理论力学课件—刚体的简单运动

解： 建立坐标系，
BCD平移，考察m点：
0
x r cos r cost
v d x r sin t
flash
dt
a d v r2 cost
dt
例：已知绳等长l，=0sinkt， 0，k为常数。
求任意时刻M点的速度和加速度。 O1
O2
解：AB平移，研究A点即可。
φ
A圆弧运动，以最低点处为弧坐标原点，A 向右为正，A的运动方程：
z2 z1
+ 为转向一致（内啮合） - 为转向相反（外啮合）
２.带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
主要内容：
1.刚体的平移及其运动特征（尤其是作曲线平移的刚体）。
2.作定轴转动的刚体的转动方程、角速度、角加速度。
3.转动刚体内各点的速度、加速度。
难点：
1.曲线平移刚体上任一点的速度和加速度的确定。 2.作定轴转动的刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示法 (初步了解)。
第六章 刚体的简单运动
刚体是由无数点组成的，在点的运动学
基础上可研究刚体的运动，研究刚体整体的
运动与其上各点运动之间的关系。 本章主要研究刚体的两种简单运动：
➢平移 ➢定轴转动
学习本章内容是为研究复杂运动（平面运动） 打基础。
§6-１ 刚体的平行移动
1.平行移动 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置。简称平移（平动）。
flash
flash
2.运动方程
k
角速度方程
d
dt
0 ch
kt
角加速度方程 d
dt
k0 sh
kt
例：边长为b的正方形绕定轴转动，
A aA
=1rad/s2，在某瞬时=1rad/s。
已知A、B两点的全加速度方向， 求轴心的位置及A、B两点的全加速度大小。
α
b 2
ω
B
aB
解：每一瞬时各点的加速度方向与转动半径的夹角相等
tan
2
物体A：A下落的距离与M同一时间走过的弧长相等，
sA sM sA sM
vA vM 0.4 m/s aA aτ 0.4 m/s 2
sA sM
M aτ
v
an
Oa
ω
vA
A
α aA
§6-４ 轮系的传动比
１.齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
v R
全加速度
a aτ2 an2 R2 2 R24
R 2 4
tan
aτ an
R R 2
2
v R
a R 2 4
tan
aτ an
2
（1）每一瞬时，转动刚体内各点的速度与加速度
的大小均与这些点到轴线的距离成正比。
（2）每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间
的夹角都有相同的值。
例：曲柄滑杆机构，OA=r。以匀角速度ω绕定轴O转动， 求BCD任意瞬时的速度和加速度。
T =1s时，轮：
2 rad/s 2 rad/s2
M点：v R 0.4 m/s
M aτ
v
an
Oa
ω
aτ R 0.4 m/s 2 an R 2 0.8 m/s 2
a
aτ2 an2 0.894 m/s2
tan 2 0.5
α
A
26o34'
M点：vM R 0.4 m/s aτ R 0.4 m/s 2
s l 0 sin ktl
M
B
v
ds dt
kl0
coskt
aτ
dv dt
k 2l0
sin
kt
an
v2
v2 l
k 2l02 cos2
kt
0为最高位置时的角度。
例：杆AC以匀速v0沿水平导槽向右 运动，通过滑块A使杆OB绕O轴转 h
O φ
动。已知O轴与导槽相距h。求杆 OB的角速度和角加速度。
C
A
数表达式。
解：已知角加速度求运动规律， 积分问题
d d d d k
dt d dt d
d k d
0
0
积分得 2 02 k 2
d
t
dt
0 o2 k 2 0
02
k 2
d
dt
d
t
dt
0 o2 k 2 0
积分得
1 k
sh1
( 0
)
t
k
转动方程 0 sh kt
v0
B
解：已知运动求角速度、角加速度，微分问题。
设开始时OB杆处于铅垂位置，
AC v0t
tan AC v0t
OC h
v0
1
h v02t 2 h2
h2
v0h v02t 2
2hv03t
(h2 v02t 2 )2
tan1 v0t
h
例：飞轮绕固定轴转动，角加速度变化
规律为=k (k为常量)，当运动开始时， 转角为0，角速度为0。求角位置、 角速度、角加速度以时间t表示的函
和转速n（rpm）之间的关系为： 2n
60
2）匀变速转动，即为常量。
0 t
0
0t
1 2
t2
（与v和at对应） 公式 5-28
5-29
0和φ0是t =0时的角速度和转角
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
转动刚体内各点都作圆周运动(自然法）
1.点的运动方程
s R
2.速度
v s R R
3.加速度
切向加速度 法向加速度
aτ
dv dt
s
R
an
v2
1 R
R 2
R 2
刚体内各点到转轴的 垂直距离
2.速度沿轨迹的切线 方向，与半径垂直
3.运动轨迹所在的面与转轴 垂直
4. 轨迹的法线方向，沿半径指向圆心 圆心在定轴上
4.速度与加速度分布图
简称刚体的转动。
通过这两个固定点的一条不动的直线， 称为刚体的转轴或轴线，简称轴。
f (t) 转动方程
转角对时间的变化率：
flash
d
dt
瞬时角速度
d
dt
d 2
dt 2
瞬时角加速度
和同号为加速，异号时为减速。
整体运动的描述。不是点的运动
flash
两种特殊情况：
1) 匀速转动，为常量。
0 t φ0 是t =0 时的转角
1
45
a R 2 4 R 2
C点为轴心。
A
aA
45
α ω
C
b 2
45 B aB
D
例：半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方 程为 t2 4t ，单位rad和s，在此轮缘 上绕一不可伸长绳子并悬挂物体A，
M
ω
O
求t =1s时轮缘上任一点M和A的速度和加速
度。
解： 2t 4 2 rad/s2 A
z
rA rB BA
A
v A A1
aA
A2
3.速度和加速度分布
rA
vB
因为 d BA 0 （常矢量）O
dt
B a B B1 B2
rB
y
所以
x
vB
drB dt
drA dt
vA
aB
dvB dt
dvA dt
aA
刚体平移
点的运动
§6-2 刚体绕定轴的转动
1.刚体绕定轴转动 刚体上(或其扩展部分)两点保持不动。