狭义相对论(2)
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§8.6 相对论动力学(Relativistic Dynamics) 1.动力学基本方程
d v Notes: ①这里 m m(v) , 一般 F m dt ②可导出动量定理： t2 Fdt dP or Fdt P2 P1
t1
1
dP d (mv ) F dt dt
y y
v t 2 x c t 2 1
21
3.狭义相对论时空观 ⑴“同时性”的相对性 某系：同时、不同地 另一系：不一定同时 ⑵时间延缓
某系： 同地、不同时(0) 另一系：时间间隔()变长 ⑶长度收缩
某系： 静止的棒长(l0) 另一系：长度(l )缩短
0 1
2
l l0 1
2
0 1 1 n
2
于是 Ek (n 1)m0c 2 [思考] 粒子的相对论质量？总能量？
35
8. 细棒静止质量为m0,长度为L0.当它沿棒长 方向做高速运动时,测得其长度为L,则其 速度v= ,其动能Ek= .
⑴ L L0 1 解：
2
2
v c 1 ( L / L0 )
t
2
1 (v / c )
5s
28
于是
x
vt 1
2
9 10 m
8
[思考] 其它方法?
29
4.
v
d
h
L
一隧道长L、宽d、高h，拱顶 为半圆．设想一列车以极高的 速度v通过隧道，若从列车上 观察，则⑴隧道的尺寸如何？ ⑵设列车长度为L0，它全部通 过隧道的时间是多少？
e.g. x 2 y 2 z 2 c 2t 2 inv.
E p 2 inv. c
2 2
20
Chap.8 SUMMARY
1.狭义相对论的两条基本原理 ⑴相对性原理 ⑵光速不变原理 2.洛仑兹变换
y y
v
x
x vt 1
2
Βιβλιοθήκη Baidu
z z
o o
P
x, x
z z
22
2
4.相对论动力学 ⑴动力学基本方程
dP F dt
( P mv )
23
⑵动量定理：
Fdt dP
m m0
or
2
t2 t1
Fdt P2 P 1
⑶相对论质量
1 (v / c )
⑷相对论能量 ①静止能量：E0=m0c2
②总能量：E=mc2
14
e.g.光子
m0 0
E Pc
又
E mc
2
E h m 2 2 c c
E h P c c
15
例8-7 电子的静止能量约为0.5Mev,⑴当其速 度为0.99c时,其动能为 Mev;⑵当 其动能为0.25Mev时,其速度为 c. 1 解: ⑴ 2 2 2 Ek mc m0c m0c ( 1) 2 1 1 0.5 ( 1) Mev 3.0 Mev 2 1 (0.99)
2
m0 1 (v / c )
2
2
(mv) 2 m 2 m0 c
7
2mvd(mv) 2mdm 0 2 c 2 vd(mv) c dm
于是
A c dm
2
m
设开始时静止 则某一时刻的相对论动能：
Ek A c dm mc m0c
2 2 m0
2
8
解： ⑴在车上看,隧道截面尺寸不变,长度为
L L 1 (v / c)
2
30
⑵在车上看,隧道迎面而来：
L0
2
L
v
L0 L L0 L 1 (v / c) t v v
[思考] 在地上看, t=？
L 1 ( v / c ) L 0 Answer: v
2
31
= 0.115 R= 1.01 0.346 1.10 0.786 2.00 0.985 10.0
10
4.相对论总能量
Ek mc m0c 2 定义：E0 m0 c ——静止能量
由
2 2
E mc
2
——相对论总能量
(质能关系式)
一定的能量相当于一定的质量，只差因子c2.
Notes: ①功能原理: A=E ②E=mc2 (质量亏损～能量释放)
d (mv ) F dr dr dt v d (mv ) v [(dm)v mdv ] 2 (dm)v mv dv
6
(dm)v mvdv v[( dm)v mdv] vd (mv)
2
又 m
解：t是原时，在地球上看，对应的时间间 隔为
t
t
1 (v / c )
2
12.5 s
在发射导弹时，火箭高度为 vt 导弹到达地球时,飞行时间为t1= (vt)/v1
37
设火箭发射后经t2时间 ,导弹到达地球, 则有
t2 t t1 (1 v / v1 )t 37.5 s
11
重核裂变
X Y Z
质量亏损
m0mX 0 (mY 0m Z 0 )
裂变能
E m0 c 2
12
2 3 4 1 e.g. 聚变反应：1 H 1H 2 He 0 n
反应前，mi0=8.348610-27 kg
反应后，mi0=8.317510-27 kg 质量亏损: m0=mi0-mi0 =3.1110-29 kg 释放能量: E=m0c2=2.79910-12 J 1kg核燃料可释放能量: 3.351014 J
答案：B
27
3. 在惯性系S1中发生于同一地点的两个事件的
时间间隔为4s，在另一惯性系S2中观察，这 两个事件的时间间隔为5s，问：在S2系中这 两个事件发生的地点间的距离是多少？ 解：x x vt vt 2 2 1 1
又 t=4s是原时
由 t 得 v=3c/5
Notes: ①vc时, Ek≈m0v2/2 (经典动能) 推导：
Ek mc m0c
2
2
m0c (
2
1 1
1 2
2
1)
[ (1 ) 1 k ]
k
m0c (1 1)
2 2
m0v
1 2
2
9
②Ek相Ek经
e.g. 令 R=Ek相/Ek经，则有
2.相对论质量
m
相对论 质量
m0 1 (v / c )
运动 速率
2
静止质量
[推导] See张三慧《大学物理(第二版)第一册》 P.319~321.
2
Notes: ①若m0≠0，则必定vc.
②当vc时,m≈m0,→牛顿力学.
③实验证明正确.
人们曾在美国斯坦福直线加速器中加速电子，
加速器全长2英里，每米加以七百万伏电电压
2
1)
0.25m0 c
[思考] 0.6c 0.8c? 0.8c 0.9c?
17
时静止于坐 例8-9 粒子的静止质量为m0,t=0 标原点,此后受到恒力Fi的作用而运动, 求t时刻粒子的动量、总能量和速度.
t 解： ⑴由动量定理 p p0 Fdt 0 Ft Ft i ⑵ E 2 E 2 ( pc) 2 0
E m 1 解： k 2 E0 m0 1
(C)
c 2 v k 1 k
34
7. 静止质量为m0的粒子,固有寿命为实验室 测得寿命的1/n,则此粒子的动能为 . 1 2 2 2 1) Ek mc m0c m0c ( 解： 2 1 实验室寿命：
0 1
E m0c
2
1 ( Ft / m0c)
2
18
⑶ v p/m
其中 m E / c m0 1 ( Ft / m0c)
2 2
于是 v
Ft m0 1 ( Ft / m0 c)
2
i
19
Note: 在狭义相对论中, 也存在着一些不依赖 于参考系的物理量(不变量 invariance)
(1kg标准煤可释放能量: 2.93107 J)
13
5.动量与能量的关系
E E ( pc)
2 2 0
2
E
E0
pc
相对论 总能量
静止 动量 能量
(来历: 相对论质量式→平方→整理) 质量丧失了惯性方面的含义，几乎成 了能量的同义词。一个电子和一个正电子 遇到一起，可以湮没，变成两个光子，这 是静质能全部转化为动能的例子。
高能粒子加速实验 加速电压提高至数 百万伏 eU=(1/2)mv2 将失 效。电子获得 4.5Mev以上的能量， 电子速率v几乎恒定 不变。
V2(×1016m2/s2)
9.0
6.0
1.5 1.0 3.0 5.0 (Mev) 5
3.相对论动能 [推导] 动能定理: A=Ek
其中 A F dr
答案：D
26
2. 在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？ ⑴一切物体相对于观察者的速度都不能大于真 空中的光速． ⑵质量、长度、时间的测量结果都是随物体与 观察者的相对运动状态而改变的． ⑶在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的 两个事件,在其它一切惯性系中也是同时发生的 ⑷惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对 运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止 的相同时钟走得慢些． (A) ⑴⑶⑷ (B) ⑴⑵⑷ (C) ⑴⑵⑶ (D) ⑵⑶⑷
2
2
⑵ Ek mc m0 c m0 c (
2
1 1
2
1)
L0 2 ( 1)m0 c L
36
9. 火箭相对于地面以v=0.6c的匀速度向上飞
离地球.在发射t=10s后(火箭上的钟)， 火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地 面为v1=0.3c，问火箭发射后多长时间，导 弹到达地球？(地球上的钟)
5.甲以4c/5的速度相对于乙运动,若甲携一长 L、截面积S、质量m的棒,此棒安放在运 动方向上,则⑴甲测得此棒密度为 ; ⑵乙测得此棒密度为 . 解： ⑴对甲而言,棒静止
m / LS
2
⑵对乙而言,棒沿其长度方向运动,棒长为
L L 1 3L / 5
截面积仍为S
32
质量：m m / 1 5m / 3
24
③动能：Ek=E-E0 动能定理：A=Ek 功能原理：A=E ④动量与能量的关系：E2=E02+(pc)2
E
E0
pc
25
Chap.8 EXERCISES
1. 下列几种说法 ⑴所有惯性系对物理基本规律都是等价的. ⑵在真空中，光的速度与光的频率、光源的运 动状态无关． ⑶在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的 传播速率都相同． 其中哪些说法是正确的？ (A)只有⑴⑵正确.(B)只有⑴⑶正确. (C)只有⑵⑶正确.(D)三种说法都正确.
⑵ Ek m0 c (
2
1
1 Ek 1 1 1 v 0 . 75 c 2 2 m0c 2 1
2
16
1)
例8-8 把一个静止质量为m0的粒子,由静止加 速到v=0.6c,需做的功为 . 解：由功能原理 A mc m0c
2 2
m0 c (
2
1
2
1
3
7 106V
7 106V
7 106V
7 106V
斯坦福加速器全貌
斯坦福加速器内貌
全长2英里
4
7 106V
7 106V
7 106V
7 106V
依经典理论电子速达到 v 8.6 1010 m / s C 而实测值为 v 0.999,999,9997c c
38
2
m / LS 25m / 9LS
[思考]若甲携带的是密度为的任意形状物体， 则乙测得其密度？ Answer:
2 1
33
6. 某粒子的总能量是其静止能量的k倍，则 其速度大小为
c (A) k 1
c 2 1 k (B) k c c 2 (C) k (k 2) k 1 (D) k 1 k
d v Notes: ①这里 m m(v) , 一般 F m dt ②可导出动量定理： t2 Fdt dP or Fdt P2 P1
t1
1
dP d (mv ) F dt dt
y y
v t 2 x c t 2 1
21
3.狭义相对论时空观 ⑴“同时性”的相对性 某系：同时、不同地 另一系：不一定同时 ⑵时间延缓
某系： 同地、不同时(0) 另一系：时间间隔()变长 ⑶长度收缩
某系： 静止的棒长(l0) 另一系：长度(l )缩短
0 1
2
l l0 1
2
0 1 1 n
2
于是 Ek (n 1)m0c 2 [思考] 粒子的相对论质量？总能量？
35
8. 细棒静止质量为m0,长度为L0.当它沿棒长 方向做高速运动时,测得其长度为L,则其 速度v= ,其动能Ek= .
⑴ L L0 1 解：
2
2
v c 1 ( L / L0 )
t
2
1 (v / c )
5s
28
于是
x
vt 1
2
9 10 m
8
[思考] 其它方法?
29
4.
v
d
h
L
一隧道长L、宽d、高h，拱顶 为半圆．设想一列车以极高的 速度v通过隧道，若从列车上 观察，则⑴隧道的尺寸如何？ ⑵设列车长度为L0，它全部通 过隧道的时间是多少？
e.g. x 2 y 2 z 2 c 2t 2 inv.
E p 2 inv. c
2 2
20
Chap.8 SUMMARY
1.狭义相对论的两条基本原理 ⑴相对性原理 ⑵光速不变原理 2.洛仑兹变换
y y
v
x
x vt 1
2
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z z
o o
P
x, x
z z
22
2
4.相对论动力学 ⑴动力学基本方程
dP F dt
( P mv )
23
⑵动量定理：
Fdt dP
m m0
or
2
t2 t1
Fdt P2 P 1
⑶相对论质量
1 (v / c )
⑷相对论能量 ①静止能量：E0=m0c2
②总能量：E=mc2
14
e.g.光子
m0 0
E Pc
又
E mc
2
E h m 2 2 c c
E h P c c
15
例8-7 电子的静止能量约为0.5Mev,⑴当其速 度为0.99c时,其动能为 Mev;⑵当 其动能为0.25Mev时,其速度为 c. 1 解: ⑴ 2 2 2 Ek mc m0c m0c ( 1) 2 1 1 0.5 ( 1) Mev 3.0 Mev 2 1 (0.99)
2
m0 1 (v / c )
2
2
(mv) 2 m 2 m0 c
7
2mvd(mv) 2mdm 0 2 c 2 vd(mv) c dm
于是
A c dm
2
m
设开始时静止 则某一时刻的相对论动能：
Ek A c dm mc m0c
2 2 m0
2
8
解： ⑴在车上看,隧道截面尺寸不变,长度为
L L 1 (v / c)
2
30
⑵在车上看,隧道迎面而来：
L0
2
L
v
L0 L L0 L 1 (v / c) t v v
[思考] 在地上看, t=？
L 1 ( v / c ) L 0 Answer: v
2
31
= 0.115 R= 1.01 0.346 1.10 0.786 2.00 0.985 10.0
10
4.相对论总能量
Ek mc m0c 2 定义：E0 m0 c ——静止能量
由
2 2
E mc
2
——相对论总能量
(质能关系式)
一定的能量相当于一定的质量，只差因子c2.
Notes: ①功能原理: A=E ②E=mc2 (质量亏损～能量释放)
d (mv ) F dr dr dt v d (mv ) v [(dm)v mdv ] 2 (dm)v mv dv
6
(dm)v mvdv v[( dm)v mdv] vd (mv)
2
又 m
解：t是原时，在地球上看，对应的时间间 隔为
t
t
1 (v / c )
2
12.5 s
在发射导弹时，火箭高度为 vt 导弹到达地球时,飞行时间为t1= (vt)/v1
37
设火箭发射后经t2时间 ,导弹到达地球, 则有
t2 t t1 (1 v / v1 )t 37.5 s
11
重核裂变
X Y Z
质量亏损
m0mX 0 (mY 0m Z 0 )
裂变能
E m0 c 2
12
2 3 4 1 e.g. 聚变反应：1 H 1H 2 He 0 n
反应前，mi0=8.348610-27 kg
反应后，mi0=8.317510-27 kg 质量亏损: m0=mi0-mi0 =3.1110-29 kg 释放能量: E=m0c2=2.79910-12 J 1kg核燃料可释放能量: 3.351014 J
答案：B
27
3. 在惯性系S1中发生于同一地点的两个事件的
时间间隔为4s，在另一惯性系S2中观察，这 两个事件的时间间隔为5s，问：在S2系中这 两个事件发生的地点间的距离是多少？ 解：x x vt vt 2 2 1 1
又 t=4s是原时
由 t 得 v=3c/5
Notes: ①vc时, Ek≈m0v2/2 (经典动能) 推导：
Ek mc m0c
2
2
m0c (
2
1 1
1 2
2
1)
[ (1 ) 1 k ]
k
m0c (1 1)
2 2
m0v
1 2
2
9
②Ek相Ek经
e.g. 令 R=Ek相/Ek经，则有
2.相对论质量
m
相对论 质量
m0 1 (v / c )
运动 速率
2
静止质量
[推导] See张三慧《大学物理(第二版)第一册》 P.319~321.
2
Notes: ①若m0≠0，则必定vc.
②当vc时,m≈m0,→牛顿力学.
③实验证明正确.
人们曾在美国斯坦福直线加速器中加速电子，
加速器全长2英里，每米加以七百万伏电电压
2
1)
0.25m0 c
[思考] 0.6c 0.8c? 0.8c 0.9c?
17
时静止于坐 例8-9 粒子的静止质量为m0,t=0 标原点,此后受到恒力Fi的作用而运动, 求t时刻粒子的动量、总能量和速度.
t 解： ⑴由动量定理 p p0 Fdt 0 Ft Ft i ⑵ E 2 E 2 ( pc) 2 0
E m 1 解： k 2 E0 m0 1
(C)
c 2 v k 1 k
34
7. 静止质量为m0的粒子,固有寿命为实验室 测得寿命的1/n,则此粒子的动能为 . 1 2 2 2 1) Ek mc m0c m0c ( 解： 2 1 实验室寿命：
0 1
E m0c
2
1 ( Ft / m0c)
2
18
⑶ v p/m
其中 m E / c m0 1 ( Ft / m0c)
2 2
于是 v
Ft m0 1 ( Ft / m0 c)
2
i
19
Note: 在狭义相对论中, 也存在着一些不依赖 于参考系的物理量(不变量 invariance)
(1kg标准煤可释放能量: 2.93107 J)
13
5.动量与能量的关系
E E ( pc)
2 2 0
2
E
E0
pc
相对论 总能量
静止 动量 能量
(来历: 相对论质量式→平方→整理) 质量丧失了惯性方面的含义，几乎成 了能量的同义词。一个电子和一个正电子 遇到一起，可以湮没，变成两个光子，这 是静质能全部转化为动能的例子。
高能粒子加速实验 加速电压提高至数 百万伏 eU=(1/2)mv2 将失 效。电子获得 4.5Mev以上的能量， 电子速率v几乎恒定 不变。
V2(×1016m2/s2)
9.0
6.0
1.5 1.0 3.0 5.0 (Mev) 5
3.相对论动能 [推导] 动能定理: A=Ek
其中 A F dr
答案：D
26
2. 在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？ ⑴一切物体相对于观察者的速度都不能大于真 空中的光速． ⑵质量、长度、时间的测量结果都是随物体与 观察者的相对运动状态而改变的． ⑶在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的 两个事件,在其它一切惯性系中也是同时发生的 ⑷惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对 运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止 的相同时钟走得慢些． (A) ⑴⑶⑷ (B) ⑴⑵⑷ (C) ⑴⑵⑶ (D) ⑵⑶⑷
2
2
⑵ Ek mc m0 c m0 c (
2
1 1
2
1)
L0 2 ( 1)m0 c L
36
9. 火箭相对于地面以v=0.6c的匀速度向上飞
离地球.在发射t=10s后(火箭上的钟)， 火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地 面为v1=0.3c，问火箭发射后多长时间，导 弹到达地球？(地球上的钟)
5.甲以4c/5的速度相对于乙运动,若甲携一长 L、截面积S、质量m的棒,此棒安放在运 动方向上,则⑴甲测得此棒密度为 ; ⑵乙测得此棒密度为 . 解： ⑴对甲而言,棒静止
m / LS
2
⑵对乙而言,棒沿其长度方向运动,棒长为
L L 1 3L / 5
截面积仍为S
32
质量：m m / 1 5m / 3
24
③动能：Ek=E-E0 动能定理：A=Ek 功能原理：A=E ④动量与能量的关系：E2=E02+(pc)2
E
E0
pc
25
Chap.8 EXERCISES
1. 下列几种说法 ⑴所有惯性系对物理基本规律都是等价的. ⑵在真空中，光的速度与光的频率、光源的运 动状态无关． ⑶在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的 传播速率都相同． 其中哪些说法是正确的？ (A)只有⑴⑵正确.(B)只有⑴⑶正确. (C)只有⑵⑶正确.(D)三种说法都正确.
⑵ Ek m0 c (
2
1
1 Ek 1 1 1 v 0 . 75 c 2 2 m0c 2 1
2
16
1)
例8-8 把一个静止质量为m0的粒子,由静止加 速到v=0.6c,需做的功为 . 解：由功能原理 A mc m0c
2 2
m0 c (
2
1
2
1
3
7 106V
7 106V
7 106V
7 106V
斯坦福加速器全貌
斯坦福加速器内貌
全长2英里
4
7 106V
7 106V
7 106V
7 106V
依经典理论电子速达到 v 8.6 1010 m / s C 而实测值为 v 0.999,999,9997c c
38
2
m / LS 25m / 9LS
[思考]若甲携带的是密度为的任意形状物体， 则乙测得其密度？ Answer:
2 1
33
6. 某粒子的总能量是其静止能量的k倍，则 其速度大小为
c (A) k 1
c 2 1 k (B) k c c 2 (C) k (k 2) k 1 (D) k 1 k