全国高中数学联赛模拟试题(三)

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高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)

高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( )A ．1292-+-x x B ．1292-+x xC ．1292+--x xD ． 1292+-x x2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ xxy cos sin = 其中在)2,0(π上为单调增函数的是 ( )A ．①B ．②C ．①和③D ．②和④3.方程x xx x x x ππ)1(12122-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，则A 中所有元素的平方和等于 ( ) A ．0 B ．1C ．2D ．44.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ，则点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．186.已知数列{n a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，则S 15等于 ( ) A ．80B ．40C ．24D ．-487.已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是 ( )A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则minmaxS S 的值为 ( ) A ．23 B ．26 C ．332 D ．362 9.设7log ,1sin ,82.035.0===z y x ，则x 、y 、z 的大小关系为 ( )A ．x<y<zB ．y<z<xC ．z<x<yD ． z<y<x10.如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )A ．181 B ．91 C ．61 D ．1813 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）11.设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，F 1、F 2分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅221||||||OP PF PF ___________.12.已知△ABC 中，==,，试用、的向量运算式子表示△ABC 的面积，即S △ABC = ____________________.13.从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求证：A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围.16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？17.设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有 nnn n a a 111+≥+18.在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为257. (1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||BN BM ⋅的最小值的集合.19.已知三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ. 求证：33arcsin32≤++<γβαπ参考答案一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题：11. 25 12.13. 4 14. 1 三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A ⊆B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ⊆B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的实根.由 A ≠φ，知 a=0 或 ⎩⎨⎧≥+=∆≠0410a a 即 41-≥aB 中元素是方程 x ax a =--1)1(22 即 0122243=-+--a x x a x a 的实根由A ⊆B ，知上方程左边含有一个因式12--x ax ，即方程可化为 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此，要A=B ，即要方程 0122=+-+a ax x a ① 要么没有实根，要么实根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①没有实根，则0)1(4222<--=∆a a a ，由此解得 43<a 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=22，代入①有 2ax+1=0.由此解得 a x 21-=,再代入②得,012141=-+a a 由此解得 43=a . 故 a 的取值范围是 ]43,41[-16.解：A 、B 、C 、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：76,117,129,108，且11712910876>>> ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由①知D 组做上衣效率最高，C 组做裤子效率最高，于是，设A 组做x 天上衣，其余(7-x)天做裤子；B 组做y 天上衣，其余(7-y)天做裤子;D 组做7天上衣，C 组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 769x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -)=123+x 72 因为 0≤x ≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax =125.因此，安排A 、D 组都做7天上衣，C 组做7天裤子，B 组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是 ∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111由算术-几何平均值不等式，可得nn n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a aa a a a 113120+-⋅⋅⋅ 注意到 110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即 nnn n a a 111+≥+18.解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0，所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x BN BM只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||⋅的最小值的集合为空集.19.证明：由题意可得 1sin sin sin 222=++γβα，且α、β、 )2,0(πγ∈所以 )cos()cos()2cos 2(cos 21sin sin 1sin 222γβγβγβγβα-+=+=--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2[sin )(cos sin 222γβπγβα+-=+>当2πγβ≥+时，2πγβα>++.当2πγβ<+时，)(2γβπα+->，同样有 2πγβα>++故 2πγβα>++另一方面，不妨设 γβα≥≥，则 33sin ,33sin ≤≥γα 令 βγα2211sin )33(1sin ,33sin --==，则 1sin sin sin12212=++γβα)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=因为 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使111γβα++增大. 所以，当α=β=γ=33arcsin时，α+β+γ取最大值 333arcsin . 综上可知，33arcsin32≤++<γβαπ。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛吉林赛区预赛高中数学联赛试题及参考答案

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛高中数学联赛试题及参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=01000)(x x x x x f π，则)]}1([{-f f f 的值为（） A ．1+π B ．0 C ．1 D ．π2．在ABC ∆中，120=A ，5=AB ，7=BC ，则CBsin sin 的值为（） A ．58B ． 85 C ．35D ．533．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（） A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+ C ．2()ln2x f x x -=+D ．()1()2x x f x a a -=+4．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者．则选出的4名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为（） A ．3316B ．12833C ．3332D ．1145．若五项的数列:}{n a 12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤<<<<，且对任意的,(15)i j i j ≤≤≤，均有i j a a -在该数列中．①10a =； ②524a a =； ③{}n a 为等差数列；④ 集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素．则上述论断正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题6分，共30分）6．函数y=f(x)是定义在R 上的周期为3的函数，右图中表示的是该函数在区间[−2, 1]上的图像，则(2014)(5)(15)ff f⨯的值等于．7．在ABC∆中，AB3=，BC1=，cos cosAC B BC A=，则AC AB⋅=8．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_______________．9．给定平面上四点,,,O A B C，满足4,3,2,3OA OB OC OB OC===⋅=，则ABC∆面积的最大值为_________．10．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++-=+++++-=+++3432abcdabcabdacdbcdcdbdbcadacabdcba的一个实数解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====____________________________________dcba三、解答题（第12题15分，第13，14，15每小题25分，共90分）11．设集合}023|{2≤++=xxxA，}0|{2≤++=baxxxB，(1) 若RBACxxBACRR=≤<-=)(},21|{)(，求ba,的值；(2)若1=b，且ABA=，求实数a的取值范围．12．函数xxxxf3cossin)1cos2(2)(2++=，Rx∈．求函数)(xf的最大值．13．直线m的方程为1y kx=+，,A B为直线m上的两点，其横坐标恰为关于x的一元二次方程22(1)220k x kx---=的两个不同的负实数根．直线l过点(2,0)P-和线段AB的中点，CD是y轴上的一条动线段，考虑一切可能的直线l，当l和线段CD无公共点时，CD长的最大值是否存在？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由．14．若存在集合,A B满足：A B=∅，且A B+=N，则称(,)A B为+N的一个二分划．（Ⅰ）设{|3,},{|31,},A x x k k B x x k k ==∈==±∈++N N 判断(,)A B 是否为+N 的一个二分划，说明理由；（Ⅱ）是否能找到+N 的一个二分划(,)A B 满足： ①A 中不存在三个成等比数列的数； ②B 中不存在无穷的等比数列．说明理由．一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=01000)(x x x x x f π，则)]}1([{-f f f 的值为（） A ．1+π B ．0 C ．1 D ．π 解：{[(1)]}((0))()1f f f f f f ππ-===+．答案: A ．2．在ABC ∆中，120=A ，5=AB ，7=BC ，则CBsin sin 的值为（） A ．58B ． 85 C ．35D ．53解：由正弦定理，得5sin sin 7c C A a ===，于是cot C =．所以sin sin()sin cos cos sin sin cot cos sin sin sin B A C A C A CA C A C C C++===+1325=-=．答案: D ．3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（） A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+C ．2()ln 2x f x x -=+D ．()1()2x x f x a a -=+ 解：设2()ln 2x f x x-=+，则22()ln ln ()22x xf x f x x x +--==-=--+因此，2()ln 2xf x x-=+是奇函数．又24122x t x x-==-+++为区间[]1,1-上的单调递减函数，ln y t =为区间(0,)+∞上的单调递增函数，而2()ln 2x f x x-=+为ln y t =与22x t x -=+的复合函数，因此函数2()ln 2xf x x-=+在区间[]1,1-上单调递减．答案: C ．4．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者．则选出的4名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）A ．3316B ．12833C ．3332D ．114 解：选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率1265412221633C C P C ⨯⨯==．答案: A ．5．若五项的数列:}{n a 12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤<<<<，且对任意的,(15)i j i j ≤≤≤，均有i j a a -在该数列中．①10a =； ②524a a =； ③{}n a 为等差数列；④ 集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素．则上述论断正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 解：论断正确的有①②③④．因为∈=-011a a {}n a ，所以10a =；因为132425250a a a a a a a a =<-<-<-< 且324252,,a a a a a a ---}{n a ∈所以 322423524,,a a a a a a a a a -=-=-= 于是 21324354a a a a a a a a -=-=-=-所以{}n a 为等差数列，且{}:0,,2,3,4n a d d d d ，因此524a a =；集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素．答案: D ．二、填空题（每小题5分，共30分）6．函数y=f(x)是定义在R 上的周期为3的函数，右图中表示的是该函数在区间[−2, 1]上的图像，则(2014)(5)(15)f f f ⨯的值等于．解：(2014)(1)22(5)(15)(1)(0)(1)1f f f f f f ===-⨯-⨯-⨯．7．在ABC ∆中，AB 3=，BC 1=，cos cos AC B BC A =，则AC AB ⋅=解：由已知得3,1,cos cos c a b B a A ===，于是sin cos sin cos B B A A =，即sin2sin2B A =．所以B A =或90B A +=︒．情形１：B A =，此时1,3,30b a c A ====︒，所以33cos 13;2AC AB bc A ⋅==⨯⨯= 情形２：90B A +=︒，此时22,3,cos 3b c A ===，所以2cos 2323AC AB bc A ⋅==⨯⨯=．8．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_______________．解：由三视图判断该几何体为三棱锥P ABC -（如图）,由俯视图知平面PAB 丄平面ABC ，,2,1AC BC OC OA OB ====;再根据左视图得出OP AB ⊥，进而OP 丄平面ABC ，且OC AB ⊥，又从主视图中得出2OP OC ==．所以346131=⋅⋅=⋅=∆-OP OC AB OP S V ABC ABC P ． 9．给定平面上四点,,,O A B C ，满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_________．解：由题可知，2227BC OB OC OB OC =+-⋅=，且OB 与OC 的夹角为60︒.O A B P C考虑以原点O 为圆心，半径分别为2,3,4的三个圆123,,O O O ，则可以将,C B 固定在圆12,O O 上，将A 在圆3O 上运动.作OD BC ⊥于D ，则当且仅当,,D O A 三点共线且DO 与DA 方向相同时，ABC ∆面积取得最大值最大．此时由sin BC OD OC OB BOC ⋅=⋅⋅∠，得OD =max (OA OD)BC 1(42272ABC S ∆+⋅==+=.10．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++-=+++++-=+++ 3432abcd abc abd acd bcd cd bd bc ad ac ab d c b a 的一个实数解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====____________________________________d c b a解：d c b a ,,,恰为方程03432234=+--+x x x x 的四个实根．方程03432234=+--+x x x x 可变形为08)1(6)1(222=+++-++x x x x ．于是212=++x x 或412=++x x所以方程组的四个实数解为：251+-，251--，2131+-，2131--的排列．（答出四个数的任意一个排列即可）．三、解答题（第12题15分，第13，14，15每小题25分，共90分） 11．设集合}023|{2≤++=x x x A ，}0|{2≤++=b ax x x B ， (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(，求b a ,的值； (2)若1=b ，且A B A = ，求实数a 的取值范围．解：]1,2[--=A ，),1()2,(+∞---∞= A C R ，设b ax x x f ++=2)(．（1）由R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(可得]2,2[-=B ，∴0,4.a b =⎧⎨=-⎩（2）∵A B A = ，A B ⊂∴．∴当Φ=B 时，由0<∆得22<<-a ．当Φ≠B 时，若0=∆，则2±=a ，当2a =-时，{1}B =，不合题意；当2a =时，{1}B =-，符合题意．若0>∆，则0,(1)0,.(2)0,12 1.f a f a ∆>⎧⎪-≥⎪⎪⇒∈Φ-≥⎨⎪⎪-≤-≤-⎪⎩综上，22≤<-a ．12．函数x x x x f 3cos sin )1cos 2(2)(2++=，R x ∈．求函数)(x f 的最大值．解：x x x x f 3cos sin )1cos 2(2)(2++=)2cos(sin 2sin 2sin 22x x x x x +++=x x x x x x x sin 2sin cos 2cos sin 2sin 2sin 22-++= x x x x x 2sin 2cos 2cos sin 2sin ++=x x x 2sin 2)2cos(+-=x x cos sin 22+=2cos cos 22++-=x x817)41(cos 22+--=x 817≤．当41cos =x 时，函数)(x f 取最大值817． 13．直线m 的方程为1y kx =+，,A B 为直线m 上的两点，其横坐标恰为关于x 的一元二次方程22(1)220k x kx ---=的两个不同的负实数根．直线l 过点(2,0)P -和线段AB 的中点，CD 是y 轴上的一条动线段，考虑一切可能的直线l ，当l 和线段CD 无公共点时，CD 长的最大值是否存在？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由．解：设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221kx x k +=- 记线段AB 的中点为M ，则12221,1211M M Mx x k x y kx k k +===+=--．设直线l 交y 轴于(0,)Q b ，根据(2,0)P -、(0,)Q b 、221(,)11k M k k --三点共线得： 2210010(2)(2)1b k k k---=-----，于是2112b k k =-++．又12,x x 为关于x 的一元二次方程22(1)220k x kx ---=的两个不同的负实数根，知1221222220, 120, 148(1)0.k x x k x x k k k ⎧+=<⎪-⎪-⎪=>⎨-⎪∆=+->⎪⎪⎩解得1k <<．于是21(,(2(2,)12b k k =∈-∞-+∞-++．所以线段CD 长的最大值存在，且24||max +=CD ． 14．若存在集合,A B 满足：A B =∅，且AB +=N ，则称(,)A B 为+N 的一个二分划．（Ⅰ）设{|3,},{|31,},A x x k k B x x k k ==∈==±∈++N N 判断(,)A B 是否为+N 的一个二分划，说明理由；（Ⅱ）是否能找到+N 的一个二分划(,)A B 满足： ①A 中不存在三个成等比数列的数； ②B 中不存在无穷的等比数列．说明理由．（Ⅰ）1,1A B ∉∉， A B +∴≠N ，故(,)A B 不是+N 的一个二分划．（Ⅱ）能找到．+N 中形成的等比数列可以唯一地用一个正整数数对(,)a q 来表示，其中a 为数列的首项，q 为数列的公比，反之每一对(,)a q 也唯一地表示一个无穷的等比数列．正整数数对(,)a q 可以排序如下(1,2),(1,3),(2,2),(1,4),(2,3),(3,2),.将这些数对所对应的无穷等比数列依次记为12,,,,.k s s s先在1s 中任取一个数1a ，在2s 中取数2a ，使得21a a >；在3s 中取数3a ，使得2231a a a >；在4s 中取数4a ，使得2341a a a >；；一般的，在k s 中取数k a ，使得211kk a a a ->；．如此得到正整数12,,,,k a a a ，由这些数组成集合A ，并令B A =+N ，可以证明上述构造的A 和B 满足题设①和②．首先+N 中每一个无穷等比数列中至少有一项在A 中，所以B 中不存在无穷等比数列．再证A 中不存在三数成等比数列．任取,,m n r a a a A ∈，不妨设m n r <<，则m n r a a a <<，但由A 的取法知222111n n r r ma a a a a a a ->≥≥，故2,r m na a a >即,,m n r a a a 不成等比数列，所以A 中不存在三个成等比数列的数．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（2）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12(k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(3)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈，AC BC t BA ≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定【答案】（）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x <<B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答案】（）5. 设()322()log 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】（） 6. 数码1232006,,,,a a a a L 中有奇数个9的2020位十进制数12320062a a a a L 的个数为 A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答案】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是。

8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 .9. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l ：3830x -++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为 .10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3. 11. 方程20062420042005(1)(1)2006xx x x x +++++=L 的实数解的个数为 .12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）15. 设2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n =L ，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .2020年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于C i （i =0，1）。

高中数学竞赛模拟题(十六套)

( xy yz zx)( x y z)
2. （本题 50 分）定义 f ( x, y, z)
，其中 x, y, z 为正实数，求 f ( x, y, z) 的值域 .
(x y)( y z)( z x)
3.（本题 50 分）已知一个给定的平面点集中，任意三点都可被一个半径为
1 的圆覆盖，求证：这个点集能被一个半径为
d( P,Q) x1 x2 y1 y2 . 若 C x, y 到点 A 1,3 、 B 6,9 的“直角距离”相等，其中实
数 x 、 y 满足 0 x 10 、 0 y 10 ，则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和为
．
5、将一个 4 4 棋盘中的 8 个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有
2. a 、 b 、 c 是从集合 1，2，3，4，5 中任意选取的 3 个不重复的数，则 ab c 为奇数的概率为 ___________
3. 已知数列 a n 的通项公式是 an
(n 1) 4 n4 1
(n 1) 2
n2
，则数列 an 的前 n 项和 Sn =_____ 1
4. 抛物线 y
1 x2 的准线与 y 轴交于点 A ，过 A 作直线交抛物线于点 M 、 N ，点 B 在抛物线对称轴上，且 8
1、设 f ( x) 适合等式 f (x)
1 2f ( )
x, 则 f (x) 的值域是
x
2、若对所有正数 x, y, 不等式 x y a x y 都成立，则 a 的最小值是
3、等差数列 3， 10， 17，…， 2005 与 3，8， 13，…， 2003 中，值相同的项有
个.

全国高中数学联赛模拟训练题.docx

的交点为交、C.现有以A为焦点，过B、C且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标当椭圆的离心率e满足|<^2<1,求实数秫的取值范围.四、(20分)。

、b、c均为实数，奸b, b?c, c^a.证明：2/M.2C|+"-M|+|C3-24<2.2 \a - b\ + \b - c\ + \c - a\五、(20分)已知fi^x^ax^+b^+cx^+dx,满足(i)。

、》、c、d均大于0； (ii)对于任一个{-2, -1,0,1,2},/3)为整数；(iii,/(5)=70.试说明，对于每个整数X, Rr)是否为整数.弟—试—、(50分)设K为、AB C的内心，点G、瓦分别为边A3、AC的中点，直线AC与GK交于点B2,直线AB于BiK交于点C2.若△AB2C2于△ABC的面积相等，试求ZCAB.二、(50 分) 设w = cosy + isin,/(.V)=(.V-M')(A'-VV3)(.V-VV7)(A'-M'9).求证：/U)为一整系数多项式，且Rx)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积.三、(50分)在圆上有21个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值.参旁答案第一试(3 ,目、三、1,兰士 .四、证略.五、是.第二试一、60°；二、证略.三、100.I 4 J金国高甲够样联赛模拟试茎(^)ZvZv 、_41弟一试一、选择题：(每小题6分，共36分)1、设log力是一个整数，且log a - > log a4b > \og b a2,给出下列四个结论b®— > 4b > a2；②logaZ?+log*=0；③OV Q V^VI；④沥一1=0.b 」」其中正确结论的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4金国高中够样联赛模拟试茎(^)ZvZv 、_41弟一试一、选择题：(每小题6分，共36分)1、a、0是异面直线，直线c与a所成的角等于c与。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛吉林赛区预赛高中数学联赛试题及参考答案

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛高中数学联赛试题及参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=01000)(x x x x x f π，则)]}1([{-f f f 的值为（） A ．1+π B ．0 C ．1 D ．π2．在ABC ∆中，120=A ，5=AB ，7=BC ，则CBsin sin 的值为（） A ．58B ． 85 C ．35D ．53 3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（） A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+ C ．2()ln2x f x x -=+D ．()1()2x x f x a a -=+4．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者．则选出的4名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）A ．3316B ．12833C ．3332D ．114 5．若五项的数列:}{n a 12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤<<<<，且对任意的,(15)i j i j ≤≤≤，均有i j a a -在该数列中．①10a =； ②524a a =； ③{}n a 为等差数列；④ 集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素．则上述论断正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题6分，共30分）6．函数y=f(x)是定义在R 上的周期为3的函数，右图中表示的是该函数在区间[−2, 1]上的图像，则(2014)(5)(15)f f f ⨯的值等于．7．在ABC ∆中，AB 3=，BC 1=，cos cos AC B BC A =，则AC AB ⋅=8．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_______________．9．给定平面上四点,,,O A B C ，满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_________．10．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++-=+++++-=+++ 3432abcd abc abd acd bcd cd bd bc ad ac ab d c b a 的一个实数解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====____________________________________d c b a三、解答题（第12题15分，第13，14，15每小题25分，共90分） 11．设集合}023|{2≤++=x x x A ，}0|{2≤++=b ax x x B ， (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(，求b a ,的值； (2)若1=b ，且A B A = ，求实数a 的取值范围．12．函数x x x x f 3cos sin )1cos 2(2)(2++=，R x ∈．求函数)(x f 的最大值．13．直线m 的方程为1y kx =+，,A B 为直线m 上的两点，其横坐标恰为关于x 的一元二次方程22(1)220k x kx ---=的两个不同的负实数根．直线l 过点(2,0)P -和线段AB 的中点，CD 是y 轴上的一条动线段，考虑一切可能的直线l ，当l 和线段CD 无公共点时，CD 长的最大值是否存在？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由． 14．若存在集合,A B 满足：A B =∅，且AB +=N ，则称(,)A B 为+N 的一个二分划．（Ⅰ）设{|3,},{|31,},A x x k k B x x k k ==∈==±∈++N N 判断(,)A B 是否为+N 的一个二分划，说明理由；（Ⅱ）是否能找到+N 的一个二分划(,)A B 满足： ①A 中不存在三个成等比数列的数； ②B 中不存在无穷的等比数列．说明理由．一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=01000)(x x x x x f π，则)]}1([{-f f f 的值为（） A ．1+π B ．0 C ．1 D ．π 解：{[(1)]}((0))()1f f f f f f ππ-===+．答案: A ．2．在ABC ∆中，120=A ，5=AB ，7=BC ，则CBsin sin 的值为（） A ．58B ． 85 C ．35D ．53解：由正弦定理，得5sin sin 7c C A a ===，于是cot C =．所以sin sin()sin cos cos sin sin cot cos sin sin sin B A C A C A CA C A C C C++===+1325=-=．答案: D ．3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（） A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+C ．2()ln 2x f x x -=+D ．()1()2x x f x a a -=+ 解：设2()ln 2x f x x-=+，则22()ln ln ()22x xf x f x x x +--==-=--+因此，2()ln 2xf x x-=+是奇函数．又24122x t x x-==-+++为区间[]1,1-上的单调递减函数，ln y t =为区间(0,)+∞上的单调递增函数，而2()ln 2x f x x -=+为ln y t =与22x t x -=+的复合函数，因此函数2()ln 2xf x x-=+在区间[]1,1-上单调递减．答案: C ．4．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者．则选出的4名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）A ．3316B ．12833C ．3332D ．114 解：选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率1265412221633C C P C ⨯⨯==．答案: A ．5．若五项的数列:}{n a 12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤<<<<，且对任意的,(15)i j i j ≤≤≤，均有i j a a -在该数列中．①10a =； ②524a a =； ③{}n a 为等差数列；④ 集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素．则上述论断正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 解：论断正确的有①②③④．因为∈=-011a a {}n a ，所以10a =；因为132425250a a a a a a a a =<-<-<-< 且324252,,a a a a a a ---}{n a ∈所以 322423524,,a a a a a a a a a -=-=-= 于是 21324354a a a a a a a a -=-=-=-所以{}n a 为等差数列，且{}:0,,2,3,4n a d d d d ，因此524a a =；集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素．答案: D ．二、填空题（每小题5分，共30分）6．函数y=f(x)是定义在R 上的周期为3的函数，右图中表示的是该函数在区间[−2, 1]上的图像，则(2014)(5)(15)f f f ⨯的值等于．解：(2014)(1)22(5)(15)(1)(0)(1)1f f f f f f ===-⨯-⨯-⨯．7．在ABC∆中，AB 3=，BC 1=，cos cos AC B BC A =，则AC AB ⋅=解：由已知得3,1,cos cos c a b B a A ===，于是sin cos sin cos B B A A =，即sin2sin2B A =．所以B A =或90B A +=︒．情形１：B A =，此时1,3,30b a c A ====︒，所以33cos 13;2AC AB bc A ⋅==⨯⨯= 情形２：90B A +=︒，此时22,3,cos 3b c A ===，所以2cos 2323AC AB bc A ⋅==⨯⨯=． 8．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_______________．解：由三视图判断该几何体为三棱锥P ABC -（如图）,由俯视图知平面PAB 出OP AB ⊥，进丄平面ABC ，,2,1AC BC OC OA OB ====;再根据左视图得而OP 丄平面ABC ，且OC AB ⊥，又从主视图中得出2OP OC ==．所以346131=⋅⋅=⋅=∆-OP OC AB OP S V ABC ABC P ． 9．给定平面上四点,,,O A B C ，满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_________．解：由题可知，7BC ==OB 与OC 的夹角为60︒.考虑以原点O 为圆心，半径分别为2,3,4的三个圆123,,O O O ，则可以将,C B 固定在圆12,O O 上，将A 在圆3O 上运动.作OD BC ⊥于D ，则当且仅当,,D O A 三点共线且DO 与DA 方向相同时，ABC ∆面积取得最大值最大．此时由sin BC OD OCOB BOC ⋅=⋅⋅∠，得7OD =max (OA OD)BC 1(42272ABC S ∆+⋅==+=.10．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++-=+++++-=+++ 3432abcd abc abd acd bcd cd bd bc ad ac ab d c b a 的一个实数解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====____________________________________d c b a解：d c b a ,,,恰为方程03432234=+--+x x x x 的四个实根．方程03432234=+--+x x x x 可变形为08)1(6)1(222=+++-++x x x x ．于是212=++x x 或412=++x x所以方程组的四个实数解为：251+-，251--，2131+-，2131--的排列．（答出四个数的任意一个排列即可）．三、解答题（第12题15分，第13，14，15每小题25分，共90分） 11．设集合}023|{2≤++=x x x A ，}0|{2≤++=b ax x x B ， (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(，求b a ,的值； (2)若1=b ，且A B A = ，求实数a 的取值范围．解：]1,2[--=A ，),1()2,(+∞---∞= A C R ，设b ax x x f ++=2)(．（1）由R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(可得]2,2[-=B ，∴0,4.a b =⎧⎨=-⎩（2）∵A B A = ，A B ⊂∴．∴当Φ=B 时，由0<∆得22<<-a ．当Φ≠B 时，若0=∆，则2±=a ，当2a =-时，{1}B =，不合题意；当2a =时，{1}B =-，符合题意．若0>∆，则0,(1)0,.(2)0,12 1.f a f a ∆>⎧⎪-≥⎪⎪⇒∈Φ-≥⎨⎪⎪-≤-≤-⎪⎩综上，22≤<-a ．12．函数x x x x f 3cos sin )1cos 2(2)(2++=，R x ∈．求函数)(x f 的最大值．解：x x x x f 3cos sin )1cos 2(2)(2++=817)41(cos 22+--=x 817≤．当41cos =x 时，函数)(x f 取最大值817． 13．直线m 的方程为1y kx =+，,A B 为直线m 上的两点，其横坐标恰为关于x 的一元二次方程22(1)220k x kx ---=的两个不同的负实数根．直线l 过点(2,0)P -和线段AB 的中点，CD 是y 轴上的一条动线段，考虑一切可能的直线l ，当l 和线段CD 无公共点时，CD 长的最大值是否存在？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由．解：设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221kx x k +=- 记线段AB 的中点为M ，则12221,1211M M Mx x k x y kx k k +===+=--．设直线l 交y 轴于(0,)Q b ，根据(2,0)P -、(0,)Q b 、221(,)11k M k k --三点共线得：2210010(2)(2)1b k k k---=-----，于是2112b k k =-++．又12,x x 为关于x 的一元二次方程22(1)220k x kx ---=的两个不同的负实数根，知1221222220, 120, 148(1)0.k x x k x x k k k ⎧+=<⎪-⎪-⎪=>⎨-⎪∆=+->⎪⎪⎩解得1k <<．于是21(,(2(2,)12b k k =∈-∞-+∞-++．所以线段CD 长的最大值存在，且24||max +=CD ． 14．若存在集合,A B 满足：A B =∅，且AB +=N ，则称(,)A B 为+N 的一个二分划．（Ⅰ）设{|3,},{|31,},A x x k k B x x k k ==∈==±∈++N N 判断(,)A B 是否为+N 的一个二分划，说明理由；（Ⅱ）是否能找到+N 的一个二分划(,)A B 满足： ①A 中不存在三个成等比数列的数； ②B 中不存在无穷的等比数列．说明理由．（Ⅰ）1,1A B ∉∉， A B +∴≠N ，故(,)A B 不是+N 的一个二分划．（Ⅱ）能找到．+N 中形成的等比数列可以唯一地用一个正整数数对(,)a q 来表示，其中a 为数列的首项，q 为数列的公比，反之每一对(,)a q 也唯一地表示一个无穷的等比数列．正整数数对(,)a q 可以排序如下(1,2),(1,3),(2,2),(1,4),(2,3),(3,2),.将这些数对所对应的无穷等比数列依次记为12,,,,.k s s s先在1s 中任取一个数1a ，在2s 中取数2a ，使得21a a >；在3s 中取数3a ，使得2231a a a >；在4s 中取数4a ，使得2341a a a >；；一般的，在k s 中取数k a ，使得211kk a a a ->；．如此得到正整数12,,,,k a a a ，由这些数组成集合A ，并令B A =+N ，可以证明上述构造的A 和B 满足题设①和②．首先+N 中每一个无穷等比数列中至少有一项在A 中，所以B 中不存在无穷等比数列．再证A 中不存在三数成等比数列．任取,,m n r a a a A ∈，不妨设m n r <<，则m n r a a a <<，但由A 的取法知222111n n r r ma a a a a a a ->≥≥，故2,r m na a a >即,,m n r a a a 不成等比数列，所以A 中不存在三个成等比数列的数．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

全国高中数学联赛模拟试题(三)(附答案)

全国高中数学联赛模拟试题(三) 第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、若集合S ＝{n |n 是整数，且22n ＋2整除2003n ＋2004}，则S 为（A ）空集∅ （B ）单元集（C ）二元集（D ）无穷集2、若多项式x 2－x ＋1能除尽另一个多项式x 3＋x 2＋ax ＋b （a 、b 皆为常数）．则a ＋b等于（A ）0 （B ）－1 （C ）1 （D ）23、设a 是整数，关于x 的方程x 2＋(a －3)x ＋a 2＝0的两个实根为x 1、x 2，且tan(arctanx 1＋arctan x 2)也是整数．则这样的a 的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）44、设一个四面体的体积为V 1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V 2．则12V V 为（A ）21 （B ）32 （C ）常数，但不等于21和32 （D ）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A ）1001 （B ）1010 （C ）1011 （D ）10136、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A ）36 （B ）37 （C ）48 （D ）49二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若直线x cos ＋y sin ＝cos 2－sin 2（0＜＜＝与圆x 2＋y 2＝41有公共点，则的取值范围是．2、在平面直角坐标系xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x 轴相切．则此圆的半径等于．3、若常数a 使得关于x 的方程lg(x 2＋20x )－lg(8x －6a －3)＝0有惟一解．则a 的取值范围是．4、 f (x )＝82x ＋x cos x ＋cos(2x )(x ∈R )的最小值是． 5、若k 是一个正整数，且2k整除20034006400624006124006040063C 3C 3C C +++++ i i 则k 的最大值为．6、设ABCD 为凸四边形，AB ＝7，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝6，其面积S 的取值范围是(a ,b ] ．则a ＋b ＝．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，点P 在椭圆上．作PQ ⊥l ，Q 为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P ，使得PQF 1F 2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e 的等式或不等式来表示）．四、（20分）设a 0＝1，a 1＝2，a n +1＝2a n -1＋n ，n ＝1,2,3,…．试求出a n 的表达式（答案用有限个关于n 的式子相加的形式表示，且项数与n 无关）．五、（20分）试求出所有的有序整数对(a ,b )，使得关于x 的方程x 4＋(2b －a 2)x 2－2ax ＋b 2－1＝0的各个根均是整数．第二试一、（50分）点P 在△ABC 内，且∠BAP ＝∠CAP ，连结BP 并延长交AC 于点Q ．设∠BAC ＝60°，且PQPC BP 111=+．求证：P 是△ABC 的内心．二、（50分）设正数a 、b 满足2ba >且使得关于x 的不等式1-x ≥b x a -+1总有实数解．试求f (a ,b )＝a 2－3ab ＋b 2的取值范围．三、（50分）试求出正整数k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k 个整数a 1,a 2,…,a k（允许相等），必定存在相应的k 的整数x 1,x 2,…,x k （也允许相等），且|x i |≤2(i ＝1,2,…,k )，|x 1|＋|x 2|＋…＋|x k |≠0，使得2003整除x 1a 1＋x 2a 2＋…＋x k a k ．参考答案第一试二、填空题：1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,323,6ππππ ； 2、5615±； 3、⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,6163； 4、－1；5、2004；6、2102．三、⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21e ．四、a 2n ＝2n +2－2n －3；a 2n +1＝3×2 n +1－2n －4．五、(a ,b )＝(2l ―1,l 2―l ―1)(∀l ∈Z )第二试一、证略（提示：将条件变形为PQPC PB PA PA PC =+⋅1，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC ＝120°，利用同一法即证）；二、(－∞，－1)．三、k min ＝7．。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛试卷

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分 36 分，每小题 6 分)1．设锐角使关于 x 的方程 x2+4xcos +cos =0 有重根，则的弧度数为()A． 6 B．12或512 C． 6 或512 D．122．已知 M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的 m∈R，均有 M∩N取值范围是()A．[－26，6 2]B．(－26，26)C．(－233，233 ]D．[－233，233 ]3．不等式 log2x－1+12log12x3+2>0 的解集为 A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]，则 b 的4．设点 O 在 ABC 的内部，且有O→A+2O→B+3O→C=→0 ，则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比为( )A．2B．32C．3D．535．设三位数 n=¯ab¯c¯，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数 n有( )A．45 个 B．81 个 C．165 个D．216 个6．顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底P面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为 B，OH⊥PB，垂足为 H，且PA=4 ， C 为 PA 的中点，则当三棱锥 O － HPC 的体积最大时， OB 的长为 ()A． 35B．2 3 5C． 36D．23 6 二．填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分)C HO BA7．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是；8．设函数 f：R→R，满足 f(0)=1，且对任意 x，y∈R，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则 f(x)=；9．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，二面角 A－BD1—A1 的度数是；10．设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 k2－pk也是一个正整数，则 k=； 11．已知数列 a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则i=∑n0a1i的值是； 12．在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M(－1，2)和 N(1，4)，点 P 在 x轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点 P 的横坐标为；D1 A1D AC1 B1C B三．解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n，则算过关．问：⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？⑵ 他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系 xOy 中，给定三点 A(0，43)，B(－1，0)，C(1，0)，点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中项． ⑴ 求点 P 的轨迹方程； ⑵ 若直线 L 经过 ABC 的内心(设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范围．15．已知，是方程 4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数 f(x)=2xx2－+1t的定义域为[ ， ]． ⑴ 求 g(t)=maxf(x)－minf(x)；⑵ 证明：对于 ui∈(0， 2 )(i=1，2，3)，若 sinu1+sinu2+sinu3=1，则g(ta1nu1)+g(ta1nu2)+g(ta1nu3)<3 4 6．二试题一．(本题满分 50 分)在锐角三角形 ABC 中，AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H，以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点， FG 与 AH 相交于点 K，已知 BC=25，BD=20，BE=7，求 AK 的长．二．(本题满分 50 分)在平面直角坐标系 XOY 中，y 轴正半轴上的点列C D{An}与曲线 y= 2x(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=1n，直线 AnBn 在 x轴上的截距为 an，点 Bn 的横坐标为 bn，n∈N*．⑴ 证明 an>an+1>4，n∈N*；AG KFHEB⑵ 证明有 n0∈N*，使得对∀ n>n0，都有bb21+bb32+…+bnb－n 1+bnb+n1<n－．三．(本题满分 50 分)对于整数 n≥4，求出最小的整数 f(n)，使得对于任何正整数 m，集合{m， m+1，…，m+n－1}的任一个 f(n)元子集中，均至少有 3 个两两互素的元素．全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分 36 分，每小题 6 分)1．设锐角使关于 x 的方程 x2+4xcos +cot =0 有重根，则的弧度数为()A． 6 B．12或512 C． 6 或512 D．12解：由方程有重根，故14 =4cos2 －cot =0，∵0< < 2 ， 2sin2 =1， =12或512 ．选 B．2．已知 M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的 m∈R，均有 M∩N取值范围是()，则 b 的A．[－26，6 2]B．(－26，6 2)C．(－233，233 ]D．[－233，233 ]解：点(0，b)在椭圆内或椭圆上， 2b2≤3，3．不等式 log2x－1+12log12x3+2>0 的解集为A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)b∈[－ 26， 26]．选 A． D．(2，4]解：令 log2x=t≥1 时， t－1>32t－2．t∈[1，2)， x∈[2，4)，选 C．4．设点 O 在 ABC 的内部，且有O→A+2O→B+3O→C=→0 ，则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比为( )A．2B．32C．3D．53A解：如图，设 AOC=S ，则 OC1D=3S ， OB1D= OB1C1=3S ， AOB= OBD=1.5S． OBC=0.5S， ABC=3S．选 C．OS BC5．设三位数 n=¯ab¯c¯，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角 B1C1形，则这样的三位数 n 有( )DA．45 个B．81 个C．165 个D．216 个解：⑴等边三角形共 9 个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为 a，b)，有 36 种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b<a<2b．a=9 或 8 时，b=4，3，2，1，(8 种)；a=7，6 时，b=3，2，1(6 种)；a=5，4 时，b=2，1(4 种)；a=3，2 时，b=1(2 种)，共有 20 种不能取的值．共有 236－20=52 种方法，而每取一组数，可有 3 种方法构成三位数，故共有 523=156 个三位数即可取 156+9=165 种数．选 C．6．顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为 B，OH⊥PB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的中点，则当三棱锥 O－HPC 的体积最大时，OB 的长为()A． 35B．2 3 5C． 36D．23 6解：AB⊥OB， PB⊥AB， AB⊥面 POB，面 PAB⊥面 POB．OH⊥PB， OH⊥面 PAB， OH⊥HC，OH⊥PC，又，PC⊥OC， PC⊥面 OCH． PC 是三棱锥 P－OCH 的高．PC=OC=2．而 OCH 的面积在 OH=HC= 2时取得最大值(斜边=2 的直角三角形)．P当 OH= 2时，由 PO=2 2，知∠OPB=30，OB=POtan302 =36．又解：连线如图，由 C 为 PA 中点，故 VO－PBC=12VB－AOP，而 VO－PHC∶VO－PBC=PPHB=PPOB22(PO2=PH·PB)．记 PO=OA=2 2=R，∠AOB= ，则VP—AOB=16R3sincos1 =12R3sin2，VB－PCO=214R3sin2．C HO BAPO2R2PB2=R2+R2cos21 =1+cos22 =3+cos2．VO－PHC=3+sicno2s2112R3．∴令sin2 y=3+cos2，y2cos2 =(3+cos2 )－(－2sin2 (3+cos2 )2)sin2=0，得 cos2=－13，cos= 33，∴OB=2 3 6，选 D．二．填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分)7．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是；解：f(x)= a2+1sin(ax+ )，周期=2a ，取长为2a ，宽为 2 a2+1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填2a a2+1．又解：∫1 0a2+1[1－sin(ax+)]dx=a2+1 a∫2 0(1－sint)dt=2apa2+1．8．设函数 f：R→R，满足 f(0)=1，且对任意 x，y∈R，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则 f(x)=；解：令 x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2， f(1)=2．令 y=1，得 f(x+1)=2f(x)－2－x+2，即 f(x+1)=2f(x)－x．①又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令 y=1 代入，得 f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即 f(x+1)=f(x)+1．②比较①、②得，f(x)=x+1． 9．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，二面角 A－BD1—A1 的度数是；解：设 AB=1 ，作 A1M⊥BD1 ， AN⊥BD1 ，则 BN·BD1=AB2 ，D1 A1MC1 B1BN=D1M=NM= 33．NDCA1M=AN= 36．AB∴AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NAcos，12=23+23+13－22 3cos，cos=12．=60 ． 10．设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 k2－pk也是一个正整数，则 k=；解：设 k2－pk=n，则(k－p2)2－n2=p42， (2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2， k=14(p+1)2．11．已知数列 a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且 a0=3，则i=∑n0a1i的值是；解：an1+1=a2n+13，令 bn=a1n+13，得 b0=23，bn=2bn－1，2 bn=32n．即a1n=2n+31－1，i=∑n0a1i=13(2n+2－n－3)．12．在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M(－1，2)和 N(1，4)，点 P 在 x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点 P 的横坐标为；解：当∠MPN 最大时，⊙MNP 与 x 轴相切于点 P(否则⊙MNPy与 x 轴交于 PQ，则线段 PQ 上的点 P 使∠MP N 更大)．于是，延N长 NM 交 x 轴于 K(－3，0)，有 KM·KN=KP2， KP=4．P(1，0)，M(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点 P 的横坐标=1．三．解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)OKPx13．一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n，则算过关．问：⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？⑵ 他连过前三关的概率是多少？解：⑴ 设他能过 n 关，则第 n 关掷 n 次，至多得 6n 点，由 6n>2n，知，n≤4．即最多能过 4 关． ⑵ 要求他第一关时掷 1 次的点数>2，第二关时掷 2 次的点数和>4，第三关时掷 3 次的点数和>8．第一关过关的概率=46=23；第二关过关的基本事件有 62 种，不能过关的基本事件有为不等式 x+y≤4 的正整数解的个数，有 C24个(亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计 6 种，过关的概率=1－662=56；第三关的基本事件有 63 种，不能过关的基本事件为方程 x+y+z≤8 的正整数解的总数，可连写 8 个 1，从8个空档中选3个空档的方法为38 C8=37 26 1=56种，不能过关的概率=5663=277，能过关的概率=2207；∴连过三关的概率=235 62270=120403．14．在平面直角坐标系 xOy 中，给定三点 A(0，43)，B(－1，0)，C(1，0)，点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中项． ⑴ 求点 P 的轨迹方程； ⑵ 若直线 L 经过 ABC 的内心(设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范围．解：⑴ 设点 P 的坐标为(x，y)，AB 方程：－x1+34y=1， 4x－3y+4=0，①BC 方程：y=0，②AC 方程：4x+3y－4=0，③∴25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|，25y2+16x2－(3y－4)2=0， 16x2+16y2+24y－16=0，2x2+2y2+3y－2=0．或 25y2－16x2+(3y－4)2=0， 16x2－34y2+24y－16=0，8x2－17y2+12y－8=0．∴ 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0，④或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0．⑤但应去掉点(－1，0)与(1，0)．PB K -1yA 1 DCO1 x⑵ ABC 的内心 D(0，12)：经过 D 的直线为 x=0 或 y=kx+12．⑥(a) 直线 x=0 与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；(b) k=0 时，直线 y=12与圆④切于点(0，12)，与双曲线⑤交于(±58 2，12)，即 k=0 满足要求．(c) k=±12时，直线⑥与圆只有 1 个公共点，与双曲线⑤也至多有 1 个公共点，故舍去．(c) k 0 时，k 12时，直线⑥与圆有 2 个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－245=0．当8－17k2=0或(5k)2－25(8－17k2)=0，即得2 k=±1734与k=±22．∴ 所求 k 值的取值范围为{0，±21734，± 22}． 15．已知，是方程 4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数 f(x)=2xx2－+1t的定义域为[ ， ]． ⑴ 求 g(t)=maxf(x)－minf(x)；⑵ 证明：对于 ui∈(0， 2 )(i=1，2，3)，若 sinu1+sinu2+sinu3=1，则g(ta1nu1)+g(ta1nu2)+g(ta1nu3)<3 4 6．解：⑴ + =t， =－14．故 <0， >0．当 x1，x2∈[ ， ]时，∴f (x)=2(x2+1(x)－2+21x)2(2x－t)=－2((xx22+－1)x2t)+2．而当 x∈[ ， ]时，x2－xt<0，于是 f (x)>0，即 f(x)在[ ， ]上单调增．∴g(t)=22－+1t－2－t (2 2+1 =－t)( 2+1)－(2 －t)( ( 2+1)( 2+1)2+1) ( =－ )[t( + )－2 +2] 2 2+ 2+ 2+15t2+1(t2+2) 8 t2+1(2t2+5)=25 = 16t2+25t2+16⑵g(tanu)=8se1c6us(2ecs2ecu2+u9+3)=161c6o+s2u4+c9ocso2su3u≥16+196co6s2u，∴1 g(tanu1)+1 g(tanu2)+1 g(tanu3)≤1 16 6[163+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]=1 16 6[75－9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)]而13(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥(sinu1+sin3u2+sinu3)2，即 9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3．∴g(ta1nu1)+g(ta1nu2)+g(ta1nu3)≤161(75－3)=3 646．由于等号不能同时成立，故得证．二试题一．(本题满分 50 分)在锐角三角形 ABC 中，AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H，以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点，FG 与 AH 相交于点 K，已知 BC=25，BD=20，BE=7，求 AK 的长．解：∵BC=25，BD=20，BE=7，∴CE=24，CD=15．C∵ AC·BD=CE·AB， AC=65AB，①∵BD⊥AC，CE⊥AB， B、E、D、C 共圆，AC(AC－15)=AB(AB－7)， 65AB(65AB－15)=AB(AB－18)，∴AB=25，AC=30． AE=18，AD=15．∴DE=12AC=15．15D GK24 20H25PAFE7B18延长 AH 交 BC 于 P，则 AP⊥BC． ∴ AP·BC=AC·BD， AP=24．连 DF，则 DF⊥AB，∵AE=DE，DF⊥AB． AF=12AE=9．∵D、E、F、G 共圆， ∠AFG=∠ADE=∠ABC， AFG∽ ABC，∴AAKP =AABF ，9 AK=2524=22156．二．(本题满分 50 分)在平面直角坐标系 XOY 中，y 轴正半轴上的点列{An}与曲线 y= 2x(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=1n，直线 AnBn 在 x 轴上的截距为 an，点 Bn 的横坐标为 bn，n∈N*．⑴ 证明 an>an+1>4，n∈N*；⑵ 证明有 n0∈N*，使得对∀ n>n0，都有bb21+bb32+…+bnb－n 1+bnb+n1<n－．解：⑴点 An(0，1n)，Bn(bn， 2bn) 由|OAn|=|OBn|， bn2+2bn=(1n)2， bn= 1+(1n)2－1(bn>0)．∴0<bn<21n2．且 bn 递减，n2bn=n( n2+1－n)= n = n2+1+n1单调增．11+(n)2+1∴ 0<n bn< 1 ．令 tn= 1 > 2且 tn 单调减．2n bn由截距式方程知，bann+ 21bn=1，(1－2n2bn=n2bn2) n∴an=1－nbnbn(1+n 2bn) 1+n 2bn= 2bn1－2n2bn=n2bn=( n1 )2+bn1 2( )=tn2+n bn2tn=(tn+ 22)2－12≥(2+ 22)2－12=4．且由于 tn 单调减，知 an 单调减，即 an>an+1>4 成立．亦可由n21bn=bn+2．n1 =bnbn+2，得 an=bn+2+2bn+2，．∴ 由 bn 递减知 an 递减，且 an>0+2+ 2 2=4．⑵ 即证k∑=n1(1－bkb+k1)>．1－bkb+k1=bk－bbkk+1=1+(1k)21－+(1k)2－1+1(k+11)2=k2((1k)2－(k+11)2)1 1+(k)2+1111+(k)2+ 1+(k+1)212k+1 1+(k)2+1 2k+1≥(k+1)21 >(k+1)22 1+(k)212>k+12．∴k∑=n1(1－bkb+k1)>k∑=n1k+12>(13+14)+(15+16+17+18)+…+>12+12+12+…．只要 n 足够大，就有k∑=n1(1－bkb+k1)>成立．三．(本题满分 50 分)对于整数 n≥4，求出最小的整数 f(n)，使得对于任何正整数 m，集合{m， m+1，…，m+n－1}的任一个 f(n)元子集中，均至少有 3 个两两互素的元素．解：⑴ 当 n≥4 时，对集合 M(m，n)={m，m+1，…，m+n－1}，当 m 为奇数时，m，m+1，m+2 互质，当 m 为偶数时，m+1，m+2，m+3 互质．即 M 的子集 M 中存在 3 个两两互质的元素，故 f(n)存在且 f(n)≤n．① 取集合 Tn={t|2|t 或 3|t，t≤n+1}，则 T 为 M(2，n)={2，3，…，n+1}的一个子集，且其中任 3 个数无不能两两互质．故 f(n)≥card(T)+1．但 card(T)=[n+21]+[n+31]－[n+61]．故 f(n)≥[n+21]+[n+31]－[n+61]+1．②由①与②得，f(4)=4，f(5)=5．5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤f(9)≤9．现计算 f(6)，取 M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意 5 个数，当这 5 个数中有 3 个奇数时，这 3个奇数互质；当这 3 个数中有 3 个偶数 k，k+2，k+4(k 0(mod 2))时，其中至多有 1 个被 5 整除，必有 1个被 3 整除，故至少有 1 个不能被 3 与 5 整除，此数与另两个奇数两两互质．故 f(6)=5．而 M(m，n+1)=M(m，n)∪{m+n}，故 f(n+1)≤f(n)+1．③∴f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8．∴ 对于 4≤n≤9，f(n)=[n+21]+[n+31]－[n+61]+1 成立．④设对于 n≤k，④成立，当 n=k+1 时，由于M(m，k+1)=M(m，k－5)∪{m+k－5，m+k－4，…，m+k}．在{m+k－5，m+k－4，…，m+k}中，能被 2 或 3 整除的数恰有 4 个，即使这 4 个数全部取出，只要在前面的 M(m，k－5)中取出 f(n)个数就必有 3 个两两互质的数．于是当 n≥4 时，f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．故 f(k+1)≤f(k－5)+f(6)－1=[k+22]+[k+32]－[k+62]+1，比较②，知对于 n=k+1，命题成立．∴对于任意 n∈N*，n≥4，f(n)=[n+21]+[n+31]－[n+61]+1 成立．又可分段写出结果：f(n)=4k+1，(n=6k，k∈N*)， 4k+2，(n=6k+1，k∈N*)， 4k+3，(n=6k+2，k∈N*)， 4k+4，(n=6k+3，k∈N*)， 4k+4，(n=6k+4，k∈N*)， 4k+5，(n=6k+5，k∈N*)．高考理科数学试题及答案（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

全国高中数学联赛模拟试题3

全国高中数学联赛模拟试题3第一试(时间：80分钟总分：120分)一、填空题（本题共 8小题，每题8分，共64分）1.已知ABC ∆的每个顶点都是整点（横、纵坐标都是整数的点），若)6,16(),0,0(-B A ，则ABC ∆的面积的最小值为 .2. 设函数1463)(23+++=x x x x f ，且19)(,1)(==b f a f ，则=+b a .3.若存在函数q px x f +=)(，对任意实数)10(≤≤x x ，均有212|1)(|2-≤--x x f ，则因此可得)212(-f . . 4.复平面内，c b a ,,是ABC ∆顶点对应的复数，若1||||||===c b a ，且存在)2,0(πα∈满足0sin cos =++ααc b a ，则ABC S ∆的取值范围是 .5. 已知正实数12,,,n a a a 与非负实数12,,,n b b b 满足下述两个条件： (1) 1212n n a a a b b b n +++++++=; (2) 121212n n a a a b b b +=，则 121212n n n b b b a a a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的最大值为． 6. 设100<n ，则使得n b a )(+的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n为 .7.已知C B A ,,为ABC ∆三内角，向量2||),2sin 3,2(cos =+-=ααB A B A ，如果当C 最大时，存在动点M ，使得|||,||,|||AB 的最大值是 .8. 有6名男生和x 名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.设至少有4名男生站在一起的概率为p ，若1100p ≤，则x 的最小值为．二、解答题（本题共3小题，共56分）9（16分）已知两两不同的正整数n h g f e d c b a ,,,,,,,,满足gh ef cd ab n +=+=，求n 的最小值.10（20分）已知二次函数316)(2++-=p x x x f .（1）若函数在区间]1,1[-上存在零点，求实数p 的取值范围.（2）问是否存在非负常数q ，当]10,[q x ∈时，)(x f 的值域区间为D ，且D 的长度为q -12.（注：区间)](,[b a b a <的长度为a b -）.11（20分）已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)33-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.设QAB 的面积为S .（1）求AQB ∠；（2）证明：3S <．第二试（时间：150分钟；总分：180分）1.求最大的正实数λ，使得不等式211121111-===∑∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+n k k i i n k k a a λ对一切正实数n a a a ,,,21 成立.2. 已知圆1O 、圆2O 与圆O 分别内切于点F E ,，圆1O 、圆2O 公共弦所在直线为l ，AB 为圆O 直径，l AB ⊥，且1,O A 位于l 同侧.求证：EF BO AO ,,21三线共点.3.求所有的正整数对),(n m ，使得存在无穷01序列}{k x ，满足对任意正整数i ，当0=i x 时，1=+m i x ；当1=i x 时，0=+n i x .4. 设X 是非空有限集合，12,,,k A A A … 是X 的k 个子集，满足下列条件： (1) 3,1,2,,i A i k ≤=…;(2) X 中任意一个元素属于12,,,k A A A …中的至少4个集合. 证明：可从12,,,k A A A …中选出37k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个集合，使得它们的并集为X .。

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(3)

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(3)一、填空题（每小题6分，共60分）1、设a , b 是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11, 那么这样的有序正整数对(a , b )有 _ 组.2、方程16sin πx cos πx ＝16x ＋1x 的解集合为3、三棱锥S ABC -是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O 是底面ABC ∆内的一点，那么tan tan tan W OSA OSB OSC =∠⋅∠⋅∠的最小值是______________4、对任意,x y R ∈，代数式M =________5、计算：232010sinsinsin sin2011201120112011ππππ=_______________ 6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种． 7、对,x y R ∀∈，函数(,)f x y 都满足：①(0,)1f y y =+；②(1,0)(,1)f x f x +=； ③(1,1)(,(1,))f x y f x f x y ++=+；则(3,2011)f =__________________ 8、设2n 个实数122,,,n a a a 满足条件21211()1n i i i a a -+=-=∑则12212()()n n n n a a a a a a μ++=+++-+++的最大值为________________9. 如图，在△ABC 中，cos25C =,0,AH BC ⋅=0)(=+⋅，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为_________10. 若实数a , b , x , y 满足3,ax by +=227ax by +=，3316ax by +=，4442ax by +=，则55ax by +=________ 二、解答题（每小题20分，共100分）11．已知数列{a n }：30,2021==a a ，.311-+-=n n n a a a ⑴ 证明：500112-=-+-n n n a a a )2(≥n⑵ 求出所有的正整数n ，使得151++n n a a 为完全平方数.12、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点．（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ∆的面积为定值；（2）若BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的31， 13、已知函数()ln ()2f x x ax 2a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，试证明：01x a>.14. 如图，已知K L 、分别是ABC ∆的边AC AB 、的中点，ABC ∆的内切圆I 分别与边CA BC 、切于点E D 、.求证：DE KL 、的交点在ABC ∠的角平分线上.15．给定大于2011的正整数n ，将21,2,3,,n 分别填入n n ⨯的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟3 参考答案1、设3312412423711,23711a b αβαααβββ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅, 则有11max 22max 33max 44max {,}4,{,}3,{,}2,{,}1αβαβαβαβ====.故有序正整数对(a , b )有(241)(231)(221)(211)⨯+⨯+⨯+⨯+=945组.2、当x ＞0时，16x ＋1x ≥8，（x ＝14取到等号）而，(x ＝14＋k , k ∈Z 取到等号), 于是有当x ＞0时，方程只有一个解x ＝14。

(2021年整理)No.49全国高中数学联合竞赛模拟试题

（完整）No.49全国高中数学联合竞赛模拟试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）No.49全国高中数学联合竞赛模拟试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2011年全国高中数学联赛模拟题1一试考试时间上午8：00~9:20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、已知函数)0(1222<+++=b x cbx x y 的值域为]3,1[,则=+c b 2、已知,R a ∈并且a x x a +>-222)0(>a ，则a 的取值范围是 3、设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为4、3322)(22+-+-=x x x x x f 的最小值为5、已知复数ααsin cos i z +=，ββsin cos i u +=，且i u z 5354+=+。

则)tan(βα+＝ 6、过椭圆C:12322=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH(H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH ｜（λ≥1).当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为 7、设][x 表示不超过x 的最大整数,则=++++]500[log ]3[log ]2[log ]1[log 33338、设p 是给定的奇质数,正整数k 也是一个正整数，则k=____________ 二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）在△ABC 中，A ，B,C 所对边分别为c b a ,,，且34cos cos ,10===a b B A c ，P 为△ABC 的内切圆上的动点，求点P 到A,B,C 的距离的平方和的最大值和最小值10、（本题20分）数列}{n a 中,2,841==a a 且满足)(212+++∈-=N n a a a n n n （1)求数列}{n a 的通项公式；（2）设)(,)12(121+∈++=-=N n b b b T a n b n n n n ，是否存在最大的正整数m ,使得对于任意的+∈N n ,均有32mT n >成立？若存在，求出m 的值；若不存在,请说明理由。

2019年全国高中数学联赛模拟试题03答案(1)

2019年全国高中数学联赛模拟试题03第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.集合{,}A x y =与3{1,log (2)}B x =+恰有一个公共元为正数1x +，则A B = ______.解：由于1x x +¹，故1x y +=．由3log (2)1x +¹知1x ¹，又因为10x +>，所以1132x x e x ++>>+即3log (2)1x x +<+故只能是11y x =+=，这样{0,1}A =，3{1,log 2}B =，得3{0,1,log 2}A B = 2.若函数()23log 2a f x ax x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________.解：（ⅰ）当01a <<时，只需01,12,140.22a aa ≥-⎧⎪<<⎪⎨>⎪⎪⎪⎪⎩，解得1814a <≤.（ⅱ）当1a >时，只需1,10.21,12a a a⎧⎪>⎪⎪⎨≤+>⎪⎪⎪⎩，解得1a >.综上，a 的取值范围是()11,1,84⎛⎤⎥⎦∞+ ⎝ .3.已知02πβα≤≤<，且tan 3tan αβ=，则u αβ=-的最大值为________.解：因为02πβα≤≤<，tan 3tan αβ=，所以02παβ≤-<，()()tan tan tan 1tan tan αβββαββ-+=--.所以()22tan 2tan 113tan 3tan ta 3n βαββββ=++≤-=，u 的最大值为6π.4.在单调递增数列{}n a 中，已知12a =，24a =，且21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，22n a +成等比数列，1,2,3,n = .那么，100a =_________.解：因为{}n a 单调递增，10a >，所以0n a >.因为21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，22n a +成等比数列，所以212122222212n n nn n n a a a a a a -++++=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩.因为212122n n n a a a -++==，所以=，数列是等差数列.易得36a =，49a =，所以1-=.1n=+，()221na n=+，2100512601a==.5.已知点(1,2,5)是空间直角坐标系O xyz-内一定点，过P作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于,,A B C三点，则所有这样的四面体OABC的体积的最小值为．解：设此平面的方程为1x y za b c++=，,,0a b c>分别是该平面在,,x y z轴上的截距，又点P 在平面ABC内，故1251a b c++=，由于1251a b c=++≥，即11027abc≥，得1456OABCV abc=≥．当12513a b c===，即(,,)(3,6,15)a b c=时，OABCV的最小值为45．6.在ABC∆中，角,,A B C的对边为,,a b c，5a=，4b=，又知31cos()32A B-=，则ABC∆的面积为．解法1：由等比定理sin sin sin sin sin sina b a b a bA B A B A B+-===+-得9(sin sin)1(sin sin)A B A B⋅-=⋅+，故18sin cos2sin cos2222A B A B A B A B-++-=，即tan9tan22A B A B+-=．因为cos()A B-=221tan21tan2A BA B---+，又根据a b>知A B>，所以7tan221A B-=，从而tan2A B+=，于是tan cot22C A B+==sin C=1sin2S ab C==．解法2：在边AB内取点1A，使14CA CA==，则1ACB CA A ABC A B∠=∠-∠=-．由条件及余弦定理得，132A B=，进一步有222111119cos cos216CA A B BCA CA BCA A B+-=-∠=-=⋅，因此1193246162c AA A B=+=⋅⋅+=，574ch=，所以115724cS ch==．7.已知过两抛物线21:1(1)C x y+=-，22:(1)41Cy x a-=-++的交点的各自的切线互相垂直，则实数a的值为．解：联立曲线12,C C的方程，求得交点坐标为(,15a±，由对称性，不妨只考虑交点(,15aA处切线是否垂直：在点A局部，12,C C所对应的解析式分别为1:1C y=+，2:1C y=．对1C求导得y'=，对2C求导得y'==-，故两条曲线在点A，它们垂直当且仅当1=-，解得0a=．8.若整数,a b 既不互质，又不存在整除关系，则称,a b 是一个“联盟”数对；设A 是集合{}1,2,,2019M = 的n 元子集，且A 中任两数皆是“联盟”数对，则n 的最大值为．解：称这种子集A 为“联盟子集”；首先，我们可构造一个联盟子集，其中具有505个元素．为此，取{}2505,506,,1009A k k == ，以下证，505就是n 的最大值．今设A 是元素个数最多的一个联盟子集，{}12,,,n A a a a = ，若j a 是集A 中的最小数，显然1j a >，如果1009j a ≤，则得22018j a ≤，即2j a M ∈，显然2j a A ∉，（因2j a 与j a 有整除关系）．今在A 中用2j a 替代j a ，其它元素不变，成为子集A '，则A '仍然是联盟子集，这是由于对于A 中异于j a 的任一元素i a ，因j a 与i a 不互质，故2j a 与i a 也不互质；再说明2j a 与i a 没有整除关系：因j a i a ，则2j a i a ；又若2i j a a ，设2j i a ka =，（显然1,2k ≠，否则,i j a a 有整除关系），则2k >，于是i j a a <，这与j a 的最小性矛盾！因此A '仍然是联盟子集，并且仍是n 元集；重复以上做法，直至子集中的元素皆大于或等于1010为止，于是得到n 元联盟子集{}12,,,n B b b b = ，其中10102019j b ≤≤．即{}1010,1009,,2019B ⊆ ，因任两个相邻整数必互质，故在这1010个连续正整数中至多能取到505个互不相邻的数，即505n ≤．又据前面所述的构造可知，n 的最大值即为505．二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）设数列{}n a 满足21131,,12n n na a a n a ++==≥．求证：（1）当2n ≥时，n a 严格单调递减．（2）当1n ≥时，1|nn a +=，这里2r =解：（1）由21131,,12n n n a a a n a ++==≥及归纳法易得*0()n a n N >∈，且n a 均为有理数，当2n ≥时，由均值不等式得，21132n n n a a a --+=≥，又因为n a 均为有理数，故当2n ≥时n a >从而221330(2)22n n n n n n n a a a a a n a a ++-+-=-=<≥，所以当2n ≥时，n a 严格单调递减．（2）由2132n n na a a ++=得2213(3)22n n n n n a a a a a ++--=-=,2213(3)22n n n n na a a a a +++=+=2⎛⎫=，2nr =，其中2r ==-，解得1nn a +=，所以1|n n a +-=10.（本小题满分20分）设椭圆22221(0)y x a b a b+=>>与抛物线22(0)x py p =>有一个共同的焦点F ，PQ 为它们的一条公切线，P 、Q 为切点，证明：PF QF ⊥．证：设()11,P x y 在抛物线上，22(,)Q x y 在椭圆上，焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则抛物线切线方程为()11x x p y y =+，椭圆切线方程为22221y y x xa b+=它们为同一直线，2222222212121,2.a x b y a b y y a x x b x p py∴==⇒=-=-①()221212212122422FP FQ p p p y y p y y a k k x x b ---+-∴⋅=⋅=②设公切线PQ 方程为y kx m =+，代入抛物线方程并由20,2pk m ∆=⇒=-2:,2pk PQ y kx ∴=-与抛物线切线方程比较可得12112x pk y pk =⎧⎪⎨=⎪⎩将公切线方程代入椭圆方程，并令242222222242220404p k m a k b a k b p k b k a ∆=⇒=+⇒=+⇒--=，两曲线有相同焦点，222244()2p c p c a b ∴=⇒==-，代入上式解得22224p b k p +=22222121442,22p b p b a y p p p p++∴=⋅==22222222212244442a pa pa p y y p b a b b =-=-=-=-+-+，2221242+2a p b y y p p-∴==，代入②式，得2222222221242122FP FQ p b p a a b b a pk k b b -⋅----∴⋅===-PF QF ∴⊥.11.（本小题满分20分）求证：（1）方程310x x --=恰有一个实根ω，并且ω是无理数；（2）ω不是任何整数系数二次方程20(,,,0)ax bx c a b c Z a ++=∈≠的根．证明：（1）设3()1f x x x =--，则2'()31f x x =-.()f x 在3,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，故()()10,3f x f =-=<极大())103f x f ==<极小再由(1)10,(2)50f f =-<=>知，方程310x x --=恰有一个实根()1,2ω∈假设m nω=，其中,m n 是互素的正整数，则32()m n m n =+，故23n m 于是1n =，即m ω=是整数，这与()1,2ω∈矛盾，由此得ω是无理数（2）假设ω还满足20(,,,0)a b c a b c Z a ωω++=∈≠①，则又因为310ωω--=②，①乘以ω减去②乘以a 得2()0b a c a ωω+++=，将其乘以a 减去①乘以b 得()2220aac b a bc ω+-+-=,由于ω是无理数,,,a b c Z ∈所以2220a ac b a bc +-=-=，因为0a ≠，所以0bc ≠，2a b c=代入220a ac b +-=得3310a a c c+-=从而a c ω=这与ω是无理数矛盾，因此ω不是任何整数系数二次方程20(,,,0)ax bx c a b c Z a ++=∈≠的根.。

2019年数学全国卷三

高考数学模拟试卷一、单选题1．设集合{}{}234345M N ==，，，，，，那么M N ⋃=（） A.{} 2345，，， B.{}234，， C.{}345，， D.{}34， 2.若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.2525 5 D.54．已知集合{}3,1,0,2,3,4A =--，{|0R B x x =≤或3}x >，则A B =（）A.∅B.{}3,1,0,4--C.{}2,3D.{}0,2,35.下列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（）A ．2(1)f x x =B ．()21f x x =+C ．()2f x x =D ．()2xf x -= 6．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]7.设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（）A.12B.6C.27D.308.函数1y x =-的定义域为( )A ．{|21}x x x >-≠且B ．{|21}x x x ≥-≠且C ．)[(21,1,)-⋃+∞D ．)((21,1,)-⋃+∞9．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（）10.已知函数()11f x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（） A ．14 ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12 ,1⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．(1,2)D ．(2,3) 11.已知m 3=n4，那么下列式子中一定成立的是（） A ．4m =3n B ．3m =4n C ．m =4n D ．mn =12二、填空题12.定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为（）。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛试题

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（）．Ａ．1Ｂ．2Ｃ．4Ｄ．不确定2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．以上三个命题中正确的有（）．Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（）．Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（）．Ａ．Ｂ．0＜ｋ≤12Ｃ．ｋ≥12Ｄ．0＜ｋ≤12或5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（）．Ａ．3333Ｂ．3666Ｃ．3999Ｄ．36．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）．Ａ．2枝玫瑰价格高Ｂ．3枝康乃馨价格高Ｃ．价格相同Ｄ．不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．8．若复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝2，｜ｚ３｜＝3，3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ，则ｚ１·ｚ２＝______________．9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ1１的棱长为1，则直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离是______________．10．不等式｜（1／ｌｏｇ1／2ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________． 11．函数的值域为______________．图312．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设｛ａｎ｝为等差数列，｛ｂｎ｝为等比数列，且ｂ１＝ａ１２，ｂ２＝ａ２２，ｂ３＝ａ３２（ａ１＜ａ２＝．又试求｛ａｎ｝的首项与公差．14．设曲线C1：1222=+y a x （a 为正常数）与C2：y2=2（x+m ）在x 轴上方仅有一个公共点P ．⑴求实数m 的取值范围（用a 表示）；⑵O 为原点，若C1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a<21时，试求ΔOAP 的面积的最大值（用a 表示）．15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．【第二试】一．（本题满分50分）如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；(2) OH ⊥MN ．O ABC H FE DNM二．（本题满分50分）设≥i x （i=1，2，…，n ）且12112=+∑∑≤<≤=nj k j k ni ix x j kx，求∑=ni i x 1的最大值与最小值．三．（本题满分50分）将边长为正整数m ，n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．nDAC B参考答案一．选择题：1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 二．填空题：7．332 8．i 13721330+-9．6610．),4()2,1()1,0(72∞+ 11．),2[)23,1[∞+ 12． 732三．解答题：13．设所求公差为d ，∵a1＜a2，∴d ＞0．由此得412121)()2(d a d a a +=+ 化简得：0422121=++d d a a 解得：1)22(a d ±-= ……………………………………………………… 5分而022<±-，故a1＜0若1)22(a d --=，则22122)12(+==a a q若1)22(a d +-=，则22122)12(-==a a q ……………………………… 10分但12)(21+=++++∞→n n b b b lim 存在，故| q |＜1，于是2)12(+=q 不可能．从而2)12)(222(12)12(121221=+-=⇒+=--a a所以222)22(,211-=+-=-=a d a ……………………………… 20分14．解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(212222m x y y ax 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(－a ，a)上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：1°△＝0得：212+=a m ，此时xp ＝－a2，当且仅当－a ＜－a2＜a ，即0＜a ＜1时适合；2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a ＜m ＜a ； 3°f (－a)＝0得m ＝a ，此时xp ＝a －2a2，当且仅当－a ＜a －2a2＜a ，即0＜a ＜1时适合．f (a)＝0得m ＝－a ，此时xp ＝－a －2a2，由于－a －2a2＜－a ，从而m≠－a ．综上可知，当0＜a ＜1时，212+=a m 或－a ＜m≤a ；当a≥1时，－a ＜m ＜a ．……………………………………………… 10分(2)△OAP 的面积p ay S 21=∵0＜a ＜21，故－a ＜m≤a 时，0＜m a a a 2122-++-＜a ，由唯一性得ma a a x p 2122-++-=显然当m ＝a 时，xp 取值最小．由于xp ＞0，从而yp ＝221a x p-取值最大，此时22a a y p -=，∴2a a a S -=．当212+=a m 时，xp ＝－a2，yp ＝21a -，此时2121a a S -=．下面比较2a a a -与2121a a -的大小：令22121a a a a a -=-，得31=a 故当0＜a≤31时，2a a a -≤2121a a -，此时2121a a S max-=．当2131<<a 时，22121a a a a a ->-，此时2a a a S max -=．……… 20分15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG ，当R i ＝a i ，i ＝3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG 最小 ……………………………………… 5分证明如下：1．设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R ，则21111R R R +=．故交换二电阻的位置，不改变R 值，且当R1或R2变小时，R 也减小，因此不妨取R1＞R2．2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB2132312132121R R R R R R R R R R R R R R AB +++=++=显然R1＋R2越大，RAB 越小，所以为使RAB 最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的—个．3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD43243142142324131214111R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R AB CD ++++++=+=若记∑≤<≤=411,j i jiRR S∑≤<<≤=412k j i kj i R R R S ，则S1、S2为定值，于是4313212R R S R R R S R CD --=只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD 最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl ，即得总电阻的阻值最小 …………………………………………………………………… 15分 4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB 代替．要使RFG 最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE 最小．由2°知要使RCE 最小，必需使R5＜R4，且应使RCD 最小．而由3°，要使RCD 最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一．证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC又∠OBC ＝21(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC∴OB ⊥DF ．(2)∵CF ⊥MA∴MC2－MH2＝AC2－AH2 ① ∵BE ⊥NA∴NB2－NH2＝AB2－AH2 ② ∵DA ⊥BC∴BD2－CD2＝BA2－AC2 ③ ∵OB ⊥DF∴BN2－BD2＝ON2－OD2 ④ ∵OC ⊥DE∴CM2－CD2＝OM2－OD2 ⑤ …………………………………… 30分 ①－②＋③＋④－⑤，得NH2－MH2＝ON2－OM2 MO2－MH2＝NO2－NH2∴OH ⊥MN …………………………………………………………………… 50分另证：以BC 所在直线为x 轴，D 为原点建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b ，0)，C(c ，0)，则b a kc a k AB AC -=-=,∴直线AC 的方程为)(c x c a y --=，直线BE 的方程为)(b x a cy -=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=)()(c x c a y b x a c y 得E 点坐标为E(2222222,c a abc ac ca bc c a +-++) 同理可得F(2222222,b a abcab b a c b b a +-++) 直线AC 的垂直平分线方程为)2(2cx a c a y -=-直线BC 的垂直平分线方程为2c b x +=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-2)2(2c b x c x a c a y 得O(a a bc cb 2,22++)bca ac abc b b a abc ab k abac a bc b c b a a bc k DFOB+-=+-=-+=-++=222222,22∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ．在直线BE 的方程)(b x a cy -=中令x ＝0得H(0，a bc -)∴ac ab bc a c b a bc a a bc k OH++=+++=32222直线DF 的方程为xbc a acab y +-=2由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)(2c x c a y x bc a ac ab y 得N (22222222,2c bc a ac abc c bc a bc c a -+--++) 同理可得M (22222222,2b bc a ab abc b bc a c b b a -+--++) ∴bc a ac ab bc a bc a b c bc a c b a k MN3)3)()(())((222222++-=++-+-=∵kOH ·kMN ＝－1，∴OH ⊥MN ．二．解：先求最小值，因为∑∑∑∑=≤<≤==⇒≥+=ni inj k j k ni i ni i xx x jkx x 11122112)(≥1等号成立当且仅当存在i 使得xi ＝1，xj ＝0，j ＝i∴∑=ni ix1最小值为1． …………………………………………………………… 10分再求最大值，令k k y k x =∴∑∑=≤<≤=+nk nj k jkkyky ky11212①设∑∑====n k nk kk y k x M 11，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++nn n n a y a y y a y y y 22121则①⇔122221=+++n a a a …………………………………………………… 30分令1-n a ＝0，则∑=+-=nk k k a a k M 11)(∑∑∑∑∑=====+--=--=-=nk nk nk nk nk kk k k k a k k a k a k a k a k 111111)1(1由柯西不等式得：212121])1([)(])1([121212∑∑∑===--=--≤nk nk k nk k k a k k M等号成立⇔222221)1()1(1--==--==n n a k k a a n k222222221)1()1()12(1--=--++-++++⇔k k a n n a a a kn21])1([112∑=----=⇔nk k k k k k a (k=1，2，…，n)由于a1≥a2≥…≥an ，从而])1([)11(221121≥---++-=-=∑=+nk k k k k k k k k a a y ，即xk≥0所求最大值为21])1([12∑=--nk k k …………………………………………… 50分三．解：记所求最小值为f (m ，n)，可义证明f (m ，n)＝rn ＋n －(m ，n) (*)其中(m ，n) 表示m 和n 的最大公约数 ………………………………………… 10分事实上，不妨没m≥n(1)关于m 归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn ＋n －(m ，n)当用m ＝1时，命题显然成立．假设当，m≤k 时，结论成立(k≥1)．当m ＝k ＋1时，若n ＝k ＋1，则命题显然成立．若n ＜k ＋1，从矩形ABCD 中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m—n＋n—(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rn＋n－(m，n) ………………………… 20分(2)关于m归纳可以证明(*)成立．当m＝1时，由于n＝1，显然f (m，n)＝rn＋n－(m，n)假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f (m，n)＝rn＋n－(m，n)若m＝k＋1，当n＝k＋1时显然f (m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)．当1≤n≤k时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，…，ap 不妨a1≥a2≥…≥ap显然a1＝n或a1＜n．若a1＜n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)．于是a1＋a2＋…＋ap不小于AB与CD之和．所以a1＋a2＋…＋ap≥2m＞rn＋n－(m，n)若a1＝n，则一个边长分别为m－n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为a2，…ap 的正方形，由归纳假设a2＋…＋ap≥m－n＋n－(m－n，n))＝rn－(m，n)从而a1＋a2＋…＋ap≥rn＋n－(m，n)于是当rn＝k＋1时，f (m，n)≥rn＋n－(m，n)再由(1)可知f (m，n)＝rn＋n－(m，n)．………………………………………… 50分高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试（附答案）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。