数学实验4-线性规划

A 煤 1 劳动日 3 仓库 0 利润 40
B 2 2 2 50
备用资源
30 60 24
问：A, B各生产多少, 可获最大利润?
6
解:设产品A, B的产量分别为变量x1 ， x2，则： max Z= 40x1 +50x2
s.t.
x1 + 2x2 30， 3x1 + 2x2 60， 2x2 24， x1 ， x2 0 ； B 2 2 2 50 备用资源 30 60 24
求：如何分配投资资金使得5年末总资本最大？
12
解： 设xik( i =1,2,3,4,5; k =A,B,C,D)表示第i年初投
资第k项目的资金数。
年份 项目
1 x1A
2 x2A x2C
3 x3A x3B
4 x4A
5
A B C D
x1D
x2D
x3D
x4D
x5D
13
xik( i =1,2,…,5; k =A,B,C,D)为第i年初投k项目的 资金数.则： maxZ= 1.15x4A +1.40 x2C+1.25x3B+1.11x5D x1A+x1D=10 x2A+x2C+x2D= 1.11 x1D x2C 3 x3A +x3B+x3D =1.15 x1A+ 1.11 x2D x3B 4 x4A +x4D =1.15 x2A+ 1.11 x3D x5D =1.15 x3A+ 1.11 x4D xik 0, i =1,2,…,5; k =A,B,C,D;
3
身高 位置
193 191 187 186 180 185 中锋 中锋 前卫 前卫 后卫 后卫
问题3
一位先生要带一个旅行 箱出远门旅行，装箱时发 现，除了已装的必须物件 外，还可以再装5公斤重 的东西，他打算从下列4 种物品中选取，这4种物 件的重量和使用价值如表 所示.问这位先生应该选 取哪些物件，既能保证增 加的重量不超过5公斤， 又能使使用价值最大？
求：如何分配投资资金使得5年末总资本最大？
2
问题2
某校篮球队准备从以下队员中选拔3名为正式队 员，并使平均身高尽可能高，这6名预备队员情况 如下表所示。 队员的挑选要满足下 预备队员 编号 列条件： 大张 1 (1)至少补充一名后卫 大李 2 队员； 小王 3 (2)大李或小田中间只 小赵 4 小田 5 能入选一名； 6 (3)最多补充一名中锋; 小周 (4)如果大李或小赵入选,小周就不能入选. 试建立此问题的数学模型。
数学实验
Experiments in Mathematics Laboratory Mathematics
阮小娥博士
线性规划
1
问题1
现有10万元，可连续投资于4个项目。各项目投资时 间和本利情况如下： 项目A：从第1年 到第4年每年初要投资，次年末 回收本利1.15倍。 项目B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25倍， 最大投资4万元。 项目C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40倍， 最大投资3万元。 项目D：每年初投资，每年末回收本利1.11倍。
23
例5 某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进 行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级 检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时 工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/ 件，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检 一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解 设需要一级和二级检验员的人数分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为x1、 x2人,则应付检验员的工资为：
例3: min Z = -x1+2x2 –3x3
s.t.
x1+x2 +x3 7, -x1 +x2 -x3 -2, x1 , x 2 , x3 0 ;
% lp3.m % 解： c=[-1,2,-3];a=[1,1,1;-1,1,-1]; b=[7;-2]; vlb=[0;0;0]; % lower bound of vector x % vub=[]; % upper bound of vector x % x=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub) z=c*x
解：% lp2.m %
c=[4,3];a=[1,1];b=[5]; vlb=[-6;-1]; %lower bound of vector x % vub=[10;4]; % upper bound of vector x % [X,Z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub)
20
仓库 车间
1 2 2 3 40
2 1 2 4 15
3 3 4 2 35
库存容量 50 30 10
1 2 3 需求
问：如何安排运输任务使得总运费最小？
10
解： 设x 为i 仓库运到 j车间的原棉数量(i ＝1,2,3; ij j ＝1,2,3)。则 minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 50， 车间 仓库 x21+x22+x23 30， 1 x31+x32+x33 10， 2 x11 +x21+x31 = 40， 3 x12 +x22+x32 =15， 需求 x13 +x23+x33 =35， xij 0， i ＝1,2,3; j ＝1,2,3;
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为： ( 8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8 x1 12 x2
24
故目标函数为：
min z ( 32 x1 24 x 2 ) (8 x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2 Matlab程序如下： 约束条件为： c = [40;36]; 8 25 x1 8 15 x2 1800 A=[-5 -3]; 8 25 x 1800 1 b=[-45]; Aeq=[]; 8 15 x2 1800 beq=[]; x 0 , x 0 1 2 vlb = zeros(2,1); vub=[9;15]; [x,fval]= linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
7
A 煤 1 劳动日 3 仓库 0 利润 40
例2、 (资源配置问题) 有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5中下料方 案，分别作成2.9m， 2.1m，1.5m的钢筋架子各100 根。每种下料方案及剩余料头如下表所示： 2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头 Ⅰ 1 0 3 7.4 0 Ⅱ 2 0 1 7.3 0.1 Ⅲ 0 2 2 7.2 0.2 Ⅳ Ⅴ 1 0 2 1 0 3 7.1 6.6 0.3 0.8
10，
22
解：% lp4.m %
c=[2,1,3,2,2,4,3,4,2]; a(1,:)=[1,1,1,0,0,0,0,0,0]; a(2,:)=[0,0,0,1,1,1,0,0,0]; a(3,:)=[0,0,0,0,0,0,1,1,1]; b=[50;30;10]; aeq(1,:)=[1,0,0,1,0,0,1,0,0]; aeq(2,:)=[0,1,0,0,1,0,0,1,0]; aeq(3,:)=[0,0,1,0,0,1,0,0,1]; beq=[40;15;35]; vlb=zeros(9,1); % lower bound of vector x % vub=[]; % upper bound of vector x % [x,Z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub)
或
min (或 max) z f T x s .t . Ax (或 , 或 ) b xi 0( i 1, 2, , n)
16
3、线性规划问题的求解方法
二元线性规划问题的图解法 线性规划问题的理论解法（单纯型法） 线性规划问题的MATLAB软件解法
17
4、求解线性规划的MATLAB命令
1 2 2 3 2 1 2 4 3 3 4 2 35 库存容量 50 30 10
s.t.
40 15
11
例4、现有10万元，可连续投资于4个项目。各项目投 资时间和本利情况如下： 项目A：从第1年 到第4年每年初要投资，次年末 回收本利1.15倍。 项目B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25倍， 最大投资4万元。 项目C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40倍， 最大投资3万元。 项目D：每年初投资，每年末回收本利1.11倍。
解：程序如下
c=[-40,-50]; a=[1,2;3,2;0,2]; b=[30;60;24]; x=linprog (c,a,b) z=c*x
[x, Z] =linprog (c,a,b)
19
例2:
min Z= 4x1 +3x2
s.t.
x1+x2 5, -6 x1 10, -1 x2 4;
问：如何下料使得剩余料头最少？
8
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则： minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5 x 1 + 2x 2 + x4 =100， 2x3 +2x4+ x5=100， s.t. 3x1+ x2+2x3 +3x5=100， xi 0 (i =1,…,5)，且为整数；
序 号 1 2 3 4 物 件 手电筒 电脑 压缩 饼干 书籍 重 量 1 4 2 3 使用 价值 3 9 6 7
4
• 线性规划 • 整数线性规划 • 0-1线性规划 • 线性多目标规划 • 最优化问题简介
参看：实验8，实验9
5
一、线性规划
1、引例 例1、生产计划问题：
某企业生产A，B两 种产品，成本和利润指标如下：
15
2、线性规划问题的一般形式
max(min)Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1, a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2, s.t. … … … am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm, xj 0(j=1,…,n);
14
s.t.
以上问题的特点:
1.在人力、财力、资源给定条件下，如何 合理安排任务，使得效益最高. 2.某项任务确定后，如何安排人力、财力、 物力，使之最省. 数学模型都是在线性等式或不等式约束下， 求线性函数的最大值或最小值问题。这类问 题称为线性规划LP (Linear Programming) 问题。
若没有不等式约束,可用[ ]替代A和b； 若没有等式约束,可用[ ]替代Aeq和beq 用[x, Fval]代替上述命令行中的x， 可同时得最优解x和最优值Fval.
18
指令：x=linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)
例1
min Z= -40x1 -50x2
s.t.
x1 + 2x2 30， 3x1 + 2x2 60， 2x2 24，
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 1 2 0 1 0 0 0 2 2 1 3 1 2 0 3 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
9
例3、(运输问题)
某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间。各车间原 棉需求量，单位产品从各仓库运往各车间的运输费 以及各仓库的库存容量如下表所列：
模型： min z = f’x s.t. Ax ≤ b 模型： min z = f’x s.t. Ax ≤ b Aeqx = beq 模型： min z = f’x s.t. Ax ≤ b Aeqx = beq lb ≤ x ≤ ub 指令： x=linprog(f, A, b) 指令： x=linprog(f, A, b, Aeq, beq)
21
例4:
minZ= 2x1 + x2+3x3+2x4 +2x5 +4x6 +3x7 +4x8 +2x9
x1 x2 s.t. x3 x1 +x2+x3
+x4 +x5 +x6 x4+x5+x6
+x7 +x8
= 40， =15，
+x9 =35，
50， 30，
x7+x8+x9 xi 0， i ＝1,2,…,9;