数学实验4-线性规划
数学建模实验报告线性规划.doc
数学建模实验报告线性规划数学建模实验报告姓名：霍妮娜班级：计算机95学号：09055093指导老师：戴永红提交日期：5月15日一．线性规划问题描述：某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人级大学生正在从若干个招聘单位中挑选合适的工作岗位，他考虑的主要因素包括发展前景、经济收入、单位信誉、地理位置等，试建立模型给他提出决策建议。
问题分析首先经过对问题的具体情况了解后，建立层次结构模型，进而进行决策分析。
下面我建立这样一个层次结构模型：某岗位综合分数发展前景x1经济收入x2家庭因素x3地理位置x4这是一个比较简单的层次结构模型,经过如下步骤就可以将问题解决。
1.成对比较从x1,x2,x3,x4中任取xi和xj，对他们对于y贡献的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：xi/xj=1，认为前者与后者贡献程度相同；xi/xj=3，前者比后者的贡献程度略大；xi/xj=5，前者比后者的贡献程度大；xi/xj=7，前者比后者的贡献大很多；xi/xj=9，前者的贡献非常大，以至于后者根本不能和它相提并论；xi/xj=2n，n=1，2，3，4，认为xi/xj介于2n-1和2n+1直接。
xj/xi=1/n，n=1，2，…，9，当且仅当xi/xj=n。
2.建立逆对称矩阵记已得所有xi/xj，i，j=1，2，3，4，建立n阶方阵1135A=11351/31/3131/51/51/313.迭代e0=（1/n，1/n，1/n，1/n）Tek=Aek-1一直迭代直达到极限e=(a1,a2,…,a4)T则权系数可取Wi=ai 解：首先通过迭代法计算得x1，x2，x3，x4的权数分别为：0.278，0.278，0.235，0.209.假设对所有的xi都采用十分制，现假设有三家招聘公司，它们的个指标如下所示：x1x2x3x4甲8579乙7966丙5798按公式分别求出甲、乙、丙三家公司的综合指数为7.144，7.112和7.123.由此可以看出，应该选择甲公司。
初中数学知识归纳线性规划的应用
初中数学知识归纳线性规划的应用线性规划（Linear Programming，简称LP）是数学中的重要分支，也是运筹学的一种基础工具。
它可以帮助我们在特定的约束条件下，找到使目标函数达到最优值的最佳决策方案。
在实际生活中，线性规划有着广泛的应用。
本文将对初中数学中线性规划的应用进行归纳总结。
一、最大最小问题最大最小问题是线性规划的基础，也是求解其他问题的前提。
在初中数学中，我们经常遇到寻找最大最小值的问题，线性规划可以帮助我们解决这些问题。
例如，考虑以下问题：某公司生产两种产品A和B，每单位A产品需要5小时的工作时间，每单位B产品需要4小时的工作时间。
公司每天可用的工作时间为40小时，每单位A产品的利润为200元，每单位B产品的利润为150元。
如何安排生产以使得利润最大化？为了解决这个问题，我们可以定义以下变量：设x为生产的A产品数量（单位：个）设y为生产的B产品数量（单位：个）根据题目中的限制条件，我们可以得到以下约束条件：5x + 4y <= 40 （工作时间限制）x >= 0 （生产数量非负）同时，我们要最大化利润，因此目标函数为：200x + 150y （利润最大化）通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优解，即最大化的利润。
二、资源分配问题线性规划还可以处理资源分配问题。
在实际生活中，我们经常需要合理分配有限的资源以达到最佳效益。
例如：某餐厅每天供应A类和B类套餐，每份A类套餐需要2个鸡腿和3个薯条，每份B类套餐需要3个鸡腿和2个薯条。
餐厅每天供应的鸡腿总量为20个，薯条总量为15个。
假设A类套餐的利润为10元，B 类套餐的利润为8元，如何安排供应以使得利润最大化？我们可以定义以下变量：设x为供应的A类套餐数量（单位：份）设y为供应的B类套餐数量（单位：份）根据题目中的限制条件，我们可以得到以下约束条件：2x + 3y <= 20 （鸡腿供应限制）3x + 2y <= 15 （薯条供应限制）x >= 0 （供应数量非负）同时，我们要最大化利润，因此目标函数为：10x + 8y （利润最大化）通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优解，即最大化的利润。
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
最优化方法-线性规划
引言
对线性规划贡献最大的是美国数学家G.B.Dantig(丹捷格)，他 在1947年提出了求解线性规划的单纯形法（Simple Method），并同时给出了许多很有价值的理论，为线性规划 奠定了理论基础。在1953年，丹捷格又提出了改进单纯形法， 1954年Lemke(兰母凯)提出了对偶单纯形法（dual simplex method）。 在1976年， R. G. Bland 提出避免出现循环的方法后，使线 性规划的理论更加完善。但在1972年，V. Klee和G .Minmty 构造了一个例子，发现单纯形法的迭代次数是指数次运算，不 是好方法——并不是多项式算法（多项式算法被认为是好算 法），这对单纯形法提出了挑战。
min Ζ ’=-Ζ =-(c1x1+c2x2+…+cnxn)
（三）若xj<0，令xj=xj’-xj”,xj’≥0,xj”≥0 利用矩阵和向量的符号，线性规划问题可以写为
minΖ =CX s.t. AX=b X≥0 minΖ =CX s.t. Σ xjPj=b C=(c1,c2, …,cn)
a11 a12 …a1n A= ┆ ┆ ┆ am1 am2 …amn b1 b2 ┆ bm x1 x2 X= ┆ xn
化一般问题为标准形式： (一)若ak1x1+ak2x2+…aknxn≤bk 加一变量xn+k≥0（松驰变量），改写为 ak1x1+ak2x2+…aknxn+xn+k=bk 若ak1x1+ak2x2+…aknxn≥bk 减一变量xn+k≥0(剩余变量），改写为 ak1x1+ak2x2+…aknxn-xn+k=bk (二) 若目标函数为maxΖ =c1x1+c2x2+…+cnxn
用matlab求解线性规划问题
用m a t l a b求解线性规划问题Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】实验四 用M A T L A B 求解线性规划问题一、实验目的： 了解Matlab 的优化工具箱，能利用Matlab 求解线性规划问题。
二、实验内容：线性规划的数学模型有各种不同的形式，其一般形式可以写为：目标函数： n n x f x f x f z +++= 2211m in约束条件： s n sn s s n n b x a x a x a b x a x a x a ≤+++≤+++221111212111这里nn x f x f x f z +++= 2211称为目标函数，j f 称为价值系数，T n f f f f ),,,(21 =称为价值向量，j x 为求解的变量，由系数ij a 组成的矩阵 称为不等式约束矩阵，由系数ij c 组成的矩阵 称为等式约束矩阵，列向量T n b b b b ),,,(21 =和T n d d d d ),,,(21 =为右端向量，条件0≥j x 称为非负约束。
一个向量Tn x x x x ),,,(21 =，满足约束条件，称为可行解或可行点，所有可行点的集合称为可行区域，达到目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解，相应的目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值。
我们这里介绍利用Matlab 来求解线性规划问题的求解。
在Matlab 中有一个专门的函数linprog()来解决这类问题，我们知道，极值有最大和最小两种，但求z 的极大就是求z -的极小，因此在Matlab 中以求极小为标准形式，函数linprog()的具体格式如下：X=linprog(f,A,b)[X,fval,exitflag,ouyput,lamnda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options)这里X 是问题的解向量，f 是由目标函数的系数构成的向量，A 是一个矩阵，b 是一个向量，A ，b 和变量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了线性规划中不等式约束条件，A ，b 是系数矩阵和右端向量。
线性规划综合性实验报告
《线性规划综合性实验》报告一、实验目的与要求掌握线性规划建模的方法以及至少掌握一种线性规划软件的使用，提高应用线性规划方法解决实际问题的实践动手能力。
通过实验，更深入、直观地理解和掌握线性规划的基本概念及基本理论和方法。
要求能对一般的线性规划问题建立正确的线性规划数学模型，掌握运筹学软件包WinQSB中Linear and Integer Programming模块的操作方法与步骤，能对求解结果进行简单的应用分析。
二、实验内容与步骤1.确定线性规划问题(写出线性规划问题)2.建立线性规划模型(写出线性规划数学模型)3.用WinQSB中Linear and Integer Programming模块求解线性规划模型（写出求解的具体步骤）4.对求解结果进行应用分析(指出最优方案并作出一定的分析)三、实验题目、实验具体步骤及实验结论(一)线性规划问题某集团摩托车公司产品年度生产计划的优化研究1)问题的提出某集团摩托车公司是生产各种类型摩托车的专业厂家，有30多年从事摩托车生产的丰富经验。
近年来，随着国内摩托车行业的发展，市场竞争日趋激烈，该集团原有的优势逐渐丧失，摩托车公司的生存和发展面临严峻的挑战。
为此公司决策层决心顺应市场，狠抓管理，挖潜创新，从市场调查入手，紧密结合公司实际，运用科学方法对其进行优化组合，制定出1999年度总体经济效益最优的生产计划方案。
2)市场调查与生产状况分析1998年，受东南亚金融风暴的影响，国内摩托车市场出现疲软，供给远大于需求，该集团的摩托车生产经营也出现开工不足、库存增加和资金周转困难等问题。
该集团共有三个专业厂，分别生产轻便摩托车、普通两轮车和三轮摩托车三大系列产品。
在市场调查的基础上，从企业实际出发普遍下调整车出厂价和目标利润率，有关数据如下表1资金占用情况如下表2由于发动机改型生产的限制，改型车M3和M6两种车1999年的生产量预测数分别为20000辆和22000辆。
数学建模实验4-线性规划模型求解
2.
H=[2 -2 3;-2 4 0;3 0 0];
C=[0 4 0];
A=[2 3 1];
b=[8];
Aeq=[1 -1 2];
beq=[8];
lb=zeros(3,1);
[xopt,fopt]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb)
Optimization terminated.
xopt = 0 0 4
fopt =0
3.
一
二
三
四
五
A
X1A
X2A
X3A
X4A
B
X3B
C
X2C
D
X1DX2DX3D源自X4DX5DMax z = 1.15*X4A+1.25*X3B+1.40*X2C+1.06*X5D
S.t
X1A+X1D=100000
X2A+X2C+X2D=1.06*X1D
X3A+X3B+X3D=1.06*X2D+1.15*X1A
其次，最后一道题编写M文件时，因未知数过多，所以需要更加的细心和耐心，否则很容易出错。
X4A+X4D=1.06*X3D+1.15*X2A
X5D=1.15*X3A+1.06*X4D
X3B<=40000
X2C<=30000
X1A,X2A,…,X5D>=0
编制M文件：
max 1.15x4a+1.40x2c+1.25x3b+1.06x5d
f=[0 0 0 -1.15 -1.25 -1.40 0 0 0 0 -1.06];
数学公式知识：线性规划的基本概念与解法
数学公式知识：线性规划的基本概念与解法线性规划是一种数学优化方法，它的目的是在一组线性约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
基本概念
1.线性函数
线性函数是指满足以下两个条件的函数：（1）任意两个自变量的加权和的值，等于这两个自变量各自代入函数后的加权和的值；（2）函数的系数是定值。
2.线性规划模型
线性规划模型是由线性约束条件和线性目标函数组成的模型。
线性约束条件包括不等式约束条件和等式约束条件。
线性目标函数表示需要优化的目标。
3.线性规划问题
线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值。
4.线性规划的基本形式
线性规划的基本形式是将问题转化为以下形式：最大化cT x （或最小化cT x），使得Ax≤b，x≥0，其中c、x和b都是向量，A是一个矩阵。
解法
线性规划的解法分为两种：图形法和单纯性法。
1.图形法
图形法是一种直观的方法，它使用二维或三维图形表示变量的取值范围，并在此基础上确定最优解。
2.单纯性法
单纯性法是一种基于矩阵运算的高效解法。
它通过不断地迭代，减少约束条件的个数，并在此过程中找到最优解。
线性规划在实际应用中具有广泛的应用，例如，生产成本优化、库存管理、交通运输规划等。
它是一种非常有用的工具，可以帮助管理者更有效地制定决策方案。
第4讲 线性规划
当目标函数该边后，等值线的方向会发生改变， 如果等值线与某个约束对应的函数直线平行， 则该函数值线上的所有可行解都是最优解
最优解（1，4）
2 x 1 x 2 2
x1 2 x 2 2
x1 x 2 5
注 释
可能出现的情况： • 可行域是空集
• 可行域无界无最优解 • 最优解存在且唯一，则一定在顶点上达到 • 最优解存在且不唯一，一定存在顶点是最优 解
m 定义 2.2.2： B 是秩为 设
基本可行解，这时对应的基阵 为可行基。 B 1 b 0 如果 则称该基可行解为非退化的，如果一个线 性规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非退化 的。
B
例 考虑问题：
min z x 1 x 2 2 x 1 x 2 x 3 2 x1 2 x 2 x 4 2 s .t . x1 x 2 x 5 5 x j 0; j 1,2,3,4,5
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
例2.1.3 把问题转化为标准
形式
max z x1 x 2 2 x 1 x 2 2 x1 2 x 2 2 s .t . x1 x 2 5 x1 0
基本可行解与基本 定理
• 定义 • 基本定理 • 问题
基本可行解定 义
令 A ( B , N ) ， x =( x B , x N )。
Ax b
分块 左乘B
xN
1
Bx B Nx N b
x B B 1 Nx N B 1 b
线性规划实验
实验一：线性规划实验1. 求解线性规划问题123451234512345min 23523..2342330,1,2,,5j f x x x x x s t x x x x x x x x x x x j =++++⎧⎪++++≥⎪⎨-+++≥⎪⎪≥=⎩2. 农场种植计划问题某农场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等耕地的面积分别为100km 2、300 km 2和200 km 2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000kg 、130000kg 和350000kg 。
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等耕地种植三种作物的单产如表1所示。
若三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg ，大豆1.50元/kg ，玉米0.80元/kg 。
那么：（1）如何制定种植计划，才能使总产量最大？ （2）如何制定种植计划，才能使总产值最大？23. 厂址选择问题考虑A 、B 、C 三地，每地都出产一定数量的原料，也消耗一定数量的产品，如表2所示。
已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为：A-B ，150km ；A-C ，100km ；B-C ，200km 。
假定每万吨原料运输1km 的运价是5000元，每万吨产品运输1km的运价是6000元。
由于地区条件的差异，在不同地点设厂的生产费用也不同。
问究竟在哪些地方设厂，规模多大，才能使总费用最小？另外，由于其他条件限制，在B 处建厂的规模（生产的产品数量）不能超过5万吨。
表2 A 、B 、C 三地出产原料、消耗产品情况表4. 生产计划问题某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用A 、B 机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A 、B 、C 三种机器加工，加工时间为每台各1小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时。
问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？5. 军事方案问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
线性规划实验报告
线性规划实验报告线性规划实验报告1.路径规划问题第一步：在excel表格中建立如下表格，详细列名各节点路线及其权重。
起点终点权数0-1 节点进出和V1 V2 5 V1 1V1 V3 2 V2 0V2 V4 2 V3 0V2 V5 7 V4 0V3 V4 7 V5 0V3 V6 4 V6 0V4 V5 6 V7 -1V4 V6 2V5 V6 1V5 V7 3V6 V7 6 目标第二步：在进出和一列以公式表示各节点的进出流量和。
V1=V12+V13;V2=V24+V25-V12;V3=V34+V36-V13;V4=V45+V46-V24-V34;V5=V56+V57-V25-V45;V6=V67-V36-V46-V56V7=-V57-V67.第三步：设置目标函数为SUMPRODUCT(C2:C12,D2:D12)第四步：设置可变单元格和限制条件。
选定0-1一列，D2：D12为可变单元格。
可变单元格数值介于0-1之间，且为整数。
进出和数值与设定值相等。
第五步：规划求解，结果如下。
由表可知，从V1至V7的最短路径为V1——V3——V6——V7，最小目标值为12。
起点终点权重0-1 节点进出和V1 V2 5 0 V1 1 = 1 V1 V3 2 1 V2 0 = 0 V2 V4 2 0 V3 0 = 0 V2 V5 7 0 V4 0 = 0 V3 V4 7 0 V5 0 = 0 V3 V6 4 1 V6 0 = 0 V4 V5 6 0 V7 -1 = -1 V4 V6 2 0V5 V6 1 0V5 V7 3 0V6 V7 6 1 目标函数12Microsoft Excel 11.0 运算结果报告工作表 [复件 11.xls]Sheet2报告的建立: 2013-12-12 14:07:00目标单元格 (最小值)单元格名字初值终值$F$12 目标函数进出和12 12可变单元格单元格名字初值终值$D$2 V2 0-1 2.22E-16 0$D$3 V3 0-1 1 1$D$4 V4 0-1 0 0$D$5 V5 0-1 2.22045E-16 0$D$6 V4 0-1 0 0$D$7 V6 0-1 1 1$D$8 V5 0-1 0 0$D$9 V6 0-1 0 0$D$10 V6 0-1 0 0$D$11 V7 0-1 2.22045E-16 0$D$12 V7 0-1 1 1约束单元格名字单元格值公式状态型数值$F$2 V1 进出和 1 $F$2=$I$2 未到限制值$F$3 V2 进出和0 $F$3=$I$3 未到限制值$F$4 V3 进出和0 $F$4=$I$4 未到限制值$F$5 V4 进出和0 $F$5=$I$5 未到限制值$F$6 V5 进出和0 $F$6=$I$6 未到限制值$F$7 V6 进出和0 $F$7=$I$7 未到限制值$F$8 V7 进出和-1 $F$8=$I$8 未到限制值$D$2 V2 0-1 0 $D$2<=1 未到限制值1$D$3 V3 0-1 1 $D$3<=1 到达限制值$D$4 V4 0-1 0 $D$4<=1 未到限制值1$D$5 V5 0-1 0 $D$5<=1 未到限制值1$D$6 V4 0-1 0 $D$6<=1 未到限制值1$D$7 V6 0-1 1 $D$7<=1 到达限制值$D$8 V5 0-1 0 $D$8<=1 未到限制值1$D$9 V6 0-1 0 $D$9<=1 未到限制值1$D$10 V6 0-1 0 $D$10<=1 未到限制值1$D$11 V7 0-1 0 $D$11<=1 未到限制值1$D$12 V7 0-1 1 $D$12<=1 到达限制值$D$2 V2 0-1 0 $D$2>=0 到达限制值$D$3 V3 0-1 1 $D$3>=0 未到限制值1$D$4 V4 0-1 0 $D$4>=0 到达限制值$D$5 V5 0-1 0 $D$5>=0 到达限制$D$6 V4 0-1 0 $D$6>=0 到达限制值$D$7 V6 0-1 1 $D$7>=0 未到限制值1$D$8 V5 0-1 0 $D$8>=0 到达限制值$D$9 V6 0-1 0 $D$9>=0 到达限制值$D$10 V6 0-1 0 $D$10>=0 到达限制值$D$11 V7 0-1 0 $D$11>=0 到达限制值$D$12 V7 0-1 1 $D$12>=0 未到限制值1$D$2 V2 0-1 0 $D$2=整数到达限制值$D$3 V3 0-1 1 $D$3=整数到达限制值$D$4 V4 0-1 0 $D$4=整数到达限制值$D$5 V5 0-1 0 $D$5=整数到达限制值$D$6 V4 0-1 0 $D$6=整数到达限制值$D$7 V6 0-1 1 $D$7=整数到达限制值$D$8 V5 0-1 0 $D$8=整数到达限制$D$9 V6 0-1 0 $D$9=整数到达限制值$D$10 V6 0-1 0 $D$10=整数到达限制值$D$11 V7 0-1 0 $D$11=整数到达限制值$D$12 V7 0-1 1 $D$12=整数到达限制值2.运用Excel构建线性规划模型与求解实验报告一、实验目的1．掌握线性规划问题建模基本方法。
《数学建模与数学实验》实验报告实验五：线性规划模型实验
《数学建模与数学实验》实验报告实验五：线性规划模型实验专业、班级数学09B 学号094080144 姓名徐波课程编号实验类型验证性学时 2实验（上机）地点同析楼4栋404 完成时间2012-6-10任课教师李锋评分一、实验目的及要求掌握数学软件lingo的基本用法和一些常用的规则，能用该软件进行基本线性规划运算，并能进行的编程，掌握线性规划模型的。
二、借助数学软件，研究、解答以下问题某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，已知发电站A可以将A的一万m^3 的水转换成400千度电能，发电站B能将水库B的一万立方米转化成200千度电能。
发电站A，B每个月最大发电能力分别是60000千度，35000千度，每个月最多有50000千度能够以200元/千度的价格出售，多余的电能只能够以140元/千度的价格出售，水库A,B的其他有关数据如下：水库A 书库B水库最大蓄水量2000 1500水源本月流入水量200 40水源下月流入水量130 15水库最小蓄水量1200 800水库目前蓄水量1900 850设计该电力公司本月和下月的生产计划。
本月的情况：解:设本月高价卖出的水量是u，低价卖出的数量是v，A,B书库用来发电的水量好似xa，xb，从水库里放走的水量是ya，yb，水库月末剩余的水量分别是za，zb；建立模型如下：目标函数：、Max=200u+140v约束条件：每个月发电量与卖电量相等：400*x1+200*x2=u+v;水库发电后剩余水量及消耗水量与发电前的水量守恒：X1+y1+z1=2100;X2+y2+z2=890+x1+y1;其他约束条件：400*x1a<=60000;200*x1a<=35000;1200<=z1a<=2000;800<=z2a<=1500;u1<=50000;现在进行两个月同时计算：设本月和下月高价卖出的水量是u1，u2，低价卖出的水量是v1,v2，A,B水库用来发电的水量是xa1,xa2,xb1,xb2,从水库直接放走的水量分别是ya1,ya2,yb1,yb2,水库月末剩余水量分别是za1,za2,zb1,zb2.建立模型如下：目标函数：Max=200*(u1+u2)+140*(v1+v2)约束条件：每个月发电量与卖电量相等：400*xa1+200*xb1=u1+v1;400*xa2+200*xb2=u2+v2;水库发电后剩余水量及消耗水量与发电前的水量守恒：xa1+ya1+za1=2100;xb1+yb1+zb1=890+xa1+ya1;xb2+yb2+zb2=zb2+15+xa2+ya2;xa2+ya2+za2=za1+130;其他约束条件：400*xa1<=60000;400*xa2<=60000;200*xb1<=35000;200*xb2<=35000;1200<=za1<=2000;1200<=za2<=2000;800<=zb1<=1500;800<=zb2<=1500;u1<=50000;u2<=50000;编程实现如下：model:max=200*u+140*v;400*x1+200*x2=u+v;X1+y1+z1=2100;X2+y2+z2=890+x1+y1;400*x1<=60000;200*x2<=35000;Z1>=1200;Z1<=2000;Z2>=800;Z2<=1500;u<=50000;end解得：Global optimal solution found.Objective value: 0.1630000E+08Total solver iterations: 5Variable Value Reduced Cost U 50000.00 0.000000V 45000.00 0.000000X1 150.0000 0.000000 X2 175.0000 0.000000 Y1 0.000000 0.000000 Z1 1950.000 0.000000 Y2 0.000000 0.000000 Z2 865.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.1630000E+08 1.0000002 0.000000 -140.00003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 140.00006 0.000000 140.00007 750.0000 0.0000008 50.00000 0.0000009 65.00000 0.00000010 635.0000 0.00000011 0.000000 60.000000编程实现如下：model:max=200*(u1+u2)+140*(v1+v2);400*x1a+200*x2a-u1+v1=0;400*x1b+200*x2b=u2+v2;X1a+y1a+z1a=2100;X2b+y2b+z2b=zb2+15+x1b+y1b;X2a+y2a+z2a=890+x1a+y1a;X1a+y1b+z1b=z1a+130;400*x1a<=60000;400*x1b<=60000;200*x2a<=35000;200*x2b<=35000;Z1a<=2000;Z1a>=1200;Z1b<=2000;Z1a>=1200;Z2a<=1500;Z2a>=800;Z2b>=800;Z2b<=1500;u1<=50000;u2<=50000;end解得：Global optimal solution found.Objective value: 0.3330000E+08Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost U1 50000.00 0.000000 U2 50000.00 0.000000 V1 50000.00 0.000000 V2 45000.00 0.000000 X1A 0.000000 56000.00 X2A 0.000000 28000.00 X1B 150.0000 0.000000 X2B 175.0000 0.000000 Y1A 900.0000 0.000000 Z1A 1200.000 0.000000 Y2B 0.000000 0.000000 Z2B 800.0000 0.000000 ZB2 810.0000 0.000000 Y1B 0.000000 0.000000 Y2A 990.0000 0.000000 Z2A 800.0000 0.000000 Z1B 1330.000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.3330000E+08 1.0000002 0.000000 140.00003 0.000000 -140.00004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 60000.00 0.0000009 0.000000 140.000010 35000.00 0.00000011 0.000000 140.000012 800.0000 0.00000013 0.000000 0.00000014 670.0000 0.00000015 0.000000 0.00000016 700.0000 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 700.0000 0.00000020 0.000000 340.000021 0.000000 60.00000由上可知，最大值是0.3260000E+08，每月A,B厂发电用水量是150,175,150,175三、本次实验的难点分析实验过程中遇到了一些问题：对掌握lingo的基本用法有所欠缺，本实验中存在偏差。
数学实验线性规划
32
第32页，本讲稿共67页
加工奶制品的生产计划
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 获利 24×3x1
x2桶牛奶生产A2
获利 16×4 x2
每天获利
Mz a7 xx1 26x4 2
原料供应 劳动时间 加工能力 非负约束
2、运输问题；
特点：从若干可能的计划（方案）中寻求某种意义下的
最优方案，数学上将这种问题称为最优化问题（ optimization).
2002.5.
12
第12页，本讲稿共67页
优化问题的表述
最优化是企业运作、科技研发和工程设计中常见的问题。 要表述一个最优化问题（即建立数学模型），应明
明确三样东西：决策变量、约束条件 和目标函数． 决策变量：它们是决策者（你）所控制的那些数量，它们取什么数值需要 决策者来决策，最优化问题的求解就是找出决策变量的最优取值。
a1
a2
…
ai
…
a7
s1
s2
si
s7
C11
C12
Ci,j
C1j
C1,15
…
…
A1
A2
Aj
A15
b1
b2
bj
b15
7 15
min
cij xij
i1 j 1
15
s.t.
xij ai, i1,2,...,7
j1
7
xij bj
i1
j1,2,...,15
2002.5.
x ij 0 ,i 1 , 7 , j 1 , ,1 5
运筹学线性规划实验报告范本
系别：专业班级：
学号：姓名：实验成绩：
实验一：线性规划问题一
一、实验内容：线性规划问题中的套裁下料问题、生产计划问题数学模型的建立及利用运筹学软件求解数学模型。
二、实验目的：掌握建立线性规划问题数学模型的方法，学会使用软件求解数学模型。
三、实验步骤：
1、套裁下料问题
（题目：可只画出相应的表把所有数据标于其中）
（1）建立数学模型
（2）利用软件求解
（注：把求解的结果通过截图或其它方式复制于此）
（3）实验结论
最优解为：x1=…
相应的最优值为：…
即…（把实际题目对应的具体方案写出，如第一种方式所裁原材料根…，总的用料根数最少为根。
）
2、生产计划问题（步骤同1）
系别：专业班级：
学号：姓名：实验成绩：
实验二：线性规划问题二
一、实验内容：线性规划问题中的配料问题、投资问题数学模型的建立及利用运筹学软件求解数学模型。
二、实验目的：掌握建立线性规划问题数学模型的方法，学会使用软件求解数学模型。
三、实验步骤：
1、配料问题
（题目：可只画出相应的表把所有数据标于其中）
（1）建立数学模型
（2）利用软件求解
（注：把求解的结果通过截图或其它方式复制于此）
（3）实验结论
最优解为：x1=…
相应的最优值为：…
即…
2、投资问题（步骤同1）。
实验四-线性规划10-11周
4.2.1 单纯形法
单纯形法
大工数
n n! 个， = m m !(n − m)!
在标准形式下，可行域（凸多面体）是由等式约束和非负约束确定的。如果 m=n，则 ；一般情况下 m<n，等式约束 由等式约束 Ax = b 可以直接接触可行点（或者判断无可行解）
Ax = b 没有唯一解，但当指定 x 中的（n-m）个分量的取值后就可以直接解出可行点（或者
这些性质保证了决策变量的影响效果与其取值是成比例的。 如果一个优化问题不满足其 中的任何一条，它就是非线性的。有 n 个决策变量则称为 n 维线性规划。 线性规划的可行域是超平面组成的凸多面体 （对于二维的情况则是平面， 对于三维的情 况则是多面体） ，等值线是超平面（对于二维的情况则是直线，对于三维的情况则是平面） ， 最优解在凸多面体的某个顶点取得（可以通过二维的情况理解） 。于是，为了便于线性代数 的方法处理，将约束条件中的不等式直接化为等式是有好处的。实际上，每个线性规划模型 都可以表达成如下的等式约束形式：
阵 B 再转 2 计算。 单纯形法的 matlab 编程实现
function [x,minf] = SimpleMthd(A,c,b,baseVector) %约束矩阵：A %目标函数系数向量：c %约束右端向量：b %初始基向量：baseVector %目标函数取极小值时的自变量值：x %目标函数的极小值：minf sz = size(A); nVia = sz(2); n = sz(1); xx = 1:nVia; nobase = zeros(1,1); m = 1;
Ax = b 的步骤如下： f = Cx, s.t. x≥0
zk − ck ≤ 0 ，则停止计算，输出最优解，否则转 4
数学建模实验报告之线性规划
数学模型实验报告——线性规划专业：数学与应用数学L081姓名： XXX 学号： 08L1002106姓名： XXX 学号： 08L1002109姓名： XXX 学号： 08L1002112数学模型实验报告（线性规划）一、 实验目的：1、了解线性规划的基本内容。
2、掌握用数学软件包求解线性规划问题。
二、实验内容：1、用MATLAB 优化工具箱解线性规划 ；2、两个例题；3、实验作业。
三、内容分析：（一）用MATLAB 优化工具箱解线性规划1、模型： min z=cXb AX t s ≤..命令：x=linprog （c ，A ，b ）2、模型： min z=cXb AX t s ≤..beq X Aeq =⋅命令：x=linprog （c ，A ，b ，Aeq, beq ） 注意：若没有不等式：b AX ≤ 存在，则令A=[ ]，b=[ ].3、模型：min z=cX b AX t s ≤..beq X Aeq =⋅VLB ≤X ≤VUB命令：[1] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB ）[2] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB, X 0）注意：[1] 若没有等式约束: beq X Aeq =⋅, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X 0表示初始点4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.例1 max 6543216.064.072.032.028.04.0x x x x x x z +++++=85003.003.003.001.001.001.0..654321≤+++++x x x x x x t s70005.002.041≤+x x 10005.002.052≤+x x 90008.003.063≤+x x 6,2,10=≥j x j解 ：编写M 文件程序如下：c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0; 0 0.02 0 0 0.05 0; 0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)例2321436m in x x x z ++= 120..321=++x x x t s301≥x 5002≤≤x 203≥x解:编写M 文件程序如下： c=[6 3 4]; A=[0 1 0]; b=[50];Aeq=[1 1 1]; beq=[120]; vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：Optimization terminated. （最优解为） x =1.0e+004 * 3.5000 0.5000 3.0000 0.0000 0.0000 0.0000 fval =-2.5000e+004（二）例题例1：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
线性规划（通用16篇）
线性规划（通用16篇）线性规划篇1【考试要求】1.了解二元一次不等式（组）表示的平面区域；了解与线性规划相关的基本概念2. 了解线性规划问题的图象法，并能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。
【教学重点】1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域；2.应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。
【教学难点】线性规划在实际问题的应用【高考展望】1. 线性规划是教材的新增内容，高考中对这方面的知识涉及的还比较少，但今后将会成为新高考的热点之一；2. 在高考中一般不会单独出现，往往都是隐含在其他数学内容的问题之中，就是说常结合其他数学内容考查，往往都是容易题【知识整合】1. 二元一次不等式（组）表示平面区域：一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的__________。
我们把直线画成虚线以表示区域_________边界直线。
当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时,此区域应___________边界直线，则把边界直线画成____________.2. 由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得到实数的符号都__________，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点，从的_________即可判断 >0表示直线哪一侧的平面区域3. 二元一次不等式组是一组对变量x,y的__________，这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，所以又称为_____________;4. (a,b是实常数)是欲达到最大值或_________所涉及的变量x,y的解析式，叫做______________。
由于又是x,y的一次解析式，所以又叫做_________;5. 求线性目标函数在_______下的最大值或____________的问题，统称为_________问题。
满足线性约束条件的解叫做_________，由所有可行解组成的集合叫做_________。
分别使目标函数取得____________和最小值的可行解叫做这个问题的___________.【典型例题】例1.（课本题）画出下列不等式（组）表示的平面区域，1） 2） 3）4） 5） 6）例2.1）画出表示的区域，并求所有的正整数解2）画出以a（3，-1）、b（-1，1）、c（1，3）为顶点的的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数的最大值和最小值。
数学实验——线性规划
实验5 线性规划分1 黄浩 43一、实验目的1.掌握用MATLAB工具箱求解线性规划的方法2.练习建立实际问题的线性规划模型二、实验内容1.《数学实验》第二版（问题6）问题叙述：某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有如下限制：(1).政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；(2).所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；(3).所购证券的平均到期年限不超过5年I.若该经理有1000万元资金，该如何投资？II.如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？III.在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？模型转换及实验过程：I.设经理对于上述五种证券A 、B 、C 、D 、E 的投资额分别为：x 1、x 2、x 3、x 4、x 5(万元)，全部到期后的总收益为z 万元。
由题目中的已知条件，可以列出约束条件为：{ x 2+x 3+x 4≥4002x 1+2x 2+x 3+x 4+5x 5≤1.4(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)9x 1+15x 2+4x 3+3x 4+2x 5≤5(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)x 1+x 2+x 3+x 4+x 5≤1000}而决策变量x =(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)T 的上下界约束为：x i ∈[0,1000]目标函数z =0.043x 1+0.027x 2+0.025x 3+0.022x 4+0.045x 5 将上述条件转变为matlab 的要求形式：使用matlab 解上述的线性规划问题（程序见四.1），并整理成表格：得出结论：当经理对A 、B 、C 、D 、E 五种证券分别投资218.18、0、736.36、0、45.45万元时，在全部收回时可得到29.836万元的税后收益，而且这种投资方式所得收益是最大的。
线性规划实验报告
精品文档课内实验报告课程名：运筹学任课教师：邢光军专业：信息管理与信息系统学号：B09110810姓名：陈倩宇2010/2011学年第 2 学期南京邮电大学经济与管理学院点击求解后，可得上表说明：整数规划问题有最优解，且最优解为126,2,max 10x x z === 。
下表是例1用Excell 工作表求解的求解结果，表中说明，为保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，最少需配备的售货人员36人，星期一开始上班的12人，星期三开始上班的11人，星期五开始上班的5人，星期六开始上班的3人，星期日开始上班的5人.3 结果分析在实际应用中，最终我们得出的对于售货人员作息时间的安排，能够达到既满足工作需要，又使总共配备售货人员最少，即用最少的人力资源成本获取最大的利益。
由此我们可以发现诸如此类有关如何合理安排的问题，利用Excel进行求解既简便又快捷，表中数据可根据用户要求自行设置，在合理安排产品的生产决策上，对于研究如何合理使用企业各项经济资源，以及研究如何统筹安排，对人、财、物等现有资源进行优化组合，实现最大效能上都可以使用。
能有效地提高组织及决策的速度及准确性，并且Excel办公软件的普遍性优点使之更适合促进科学决策的信息化水平。
成绩评定：该生对待本次实验的态度□认真□良好□一般□比较差。
本次实验的过程情况□很好□较好□一般□比较差对实验结果的分析□很好□良好□一般□比较差文档书写符合规范程度□很好□良好□一般□比较差综合意见：成绩指导教师签名日期实验背景：某商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如表1所示。
息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员人数最少？。
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4
• 线性规划 • 整数线性规划 • 0-1线性规划 • 线性多目标规划 • 最优化问题简介
参看：实验8，实验9
5
一、线性规划
1、引例 例1、生பைடு நூலகம்计划问题：
某企业生产A，B两 种产品，成本和利润指标如下：
7
A 煤 1 劳动日 3 仓库 0 利润 40
例2、 (资源配置问题) 有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5中下料方 案，分别作成2.9m， 2.1m，1.5m的钢筋架子各100 根。每种下料方案及剩余料头如下表所示： 2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头 Ⅰ 1 0 3 7.4 0 Ⅱ 2 0 1 7.3 0.1 Ⅲ 0 2 2 7.2 0.2 Ⅳ Ⅴ 1 0 2 1 0 3 7.1 6.6 0.3 0.8
解：% lp2.m %
c=[4,3];a=[1,1];b=[5]; vlb=[-6;-1]; %lower bound of vector x % vub=[10;4]; % upper bound of vector x % [X,Z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub)
20
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为： ( 8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8 x1 12 x2
24
故目标函数为：
min z ( 32 x1 24 x 2 ) (8 x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2 Matlab程序如下： 约束条件为： c = [40;36]; 8 25 x1 8 15 x2 1800 A=[-5 -3]; 8 25 x 1800 1 b=[-45]; Aeq=[]; 8 15 x2 1800 beq=[]; x 0 , x 0 1 2 vlb = zeros(2,1); vub=[9;15]; [x,fval]= linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
14
s.t.
以上问题的特点:
1.在人力、财力、资源给定条件下，如何 合理安排任务，使得效益最高. 2.某项任务确定后，如何安排人力、财力、 物力，使之最省. 数学模型都是在线性等式或不等式约束下， 求线性函数的最大值或最小值问题。这类问 题称为线性规划LP (Linear Programming) 问题。
15
2、线性规划问题的一般形式
max(min)Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1, a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2, s.t. … … … am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm, xj 0(j=1,…,n);
23
例5 某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进 行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级 检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时 工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/ 件，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检 一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、 x2人,则应付检验员的工资为：
10，
22
解：% lp4.m %
c=[2,1,3,2,2,4,3,4,2]; a(1,:)=[1,1,1,0,0,0,0,0,0]; a(2,:)=[0,0,0,1,1,1,0,0,0]; a(3,:)=[0,0,0,0,0,0,1,1,1]; b=[50;30;10]; aeq(1,:)=[1,0,0,1,0,0,1,0,0]; aeq(2,:)=[0,1,0,0,1,0,0,1,0]; aeq(3,:)=[0,0,1,0,0,1,0,0,1]; beq=[40;15;35]; vlb=zeros(9,1); % lower bound of vector x % vub=[]; % upper bound of vector x % [x,Z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub)
仓库 车间
1 2 2 3 40
2 1 2 4 15
3 3 4 2 35
库存容量 50 30 10
1 2 3 需求
问：如何安排运输任务使得总运费最小？
10
解： 设x 为i 仓库运到 j车间的原棉数量(i ＝1,2,3; ij j ＝1,2,3)。则 minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 50， 车间 仓库 x21+x22+x23 30， 1 x31+x32+x33 10， 2 x11 +x21+x31 = 40， 3 x12 +x22+x32 =15， 需求 x13 +x23+x33 =35， xij 0， i ＝1,2,3; j ＝1,2,3;
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 1 2 0 1 0 0 0 2 2 1 3 1 2 0 3 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
9
例3、(运输问题)
某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间。各车间原 棉需求量，单位产品从各仓库运往各车间的运输费 以及各仓库的库存容量如下表所列：
模型： min z = f’x s.t. Ax ≤ b 模型： min z = f’x s.t. Ax ≤ b Aeqx = beq 模型： min z = f’x s.t. Ax ≤ b Aeqx = beq lb ≤ x ≤ ub 指令： x=linprog(f, A, b) 指令： x=linprog(f, A, b, Aeq, beq)
求：如何分配投资资金使得5年末总资本最大？
12
解： 设xik( i =1,2,3,4,5; k =A,B,C,D)表示第i年初投
资第k项目的资金数。
年份 项目
1 x1A
2 x2A x2C
3 x3A x3B
4 x4A
5
A B C D
x1D
x2D
x3D
x4D
x5D
13
xik( i =1,2,…,5; k =A,B,C,D)为第i年初投k项目的 资金数.则： maxZ= 1.15x4A +1.40 x2C+1.25x3B+1.11x5D x1A+x1D=10 x2A+x2C+x2D= 1.11 x1D x2C 3 x3A +x3B+x3D =1.15 x1A+ 1.11 x2D x3B 4 x4A +x4D =1.15 x2A+ 1.11 x3D x5D =1.15 x3A+ 1.11 x4D xik 0, i =1,2,…,5; k =A,B,C,D;
数学实验
Experiments in Mathematics Laboratory Mathematics
阮小娥博士
线性规划
1
问题1
现有10万元，可连续投资于4个项目。各项目投资时 间和本利情况如下： 项目A：从第1年 到第4年每年初要投资，次年末 回收本利1.15倍。 项目B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25倍， 最大投资4万元。 项目C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40倍， 最大投资3万元。 项目D：每年初投资，每年末回收本利1.11倍。
解：程序如下
c=[-40,-50]; a=[1,2;3,2;0,2]; b=[30;60;24]; x=linprog (c,a,b) z=c*x
[x, Z] =linprog (c,a,b)
19
例2:
min Z= 4x1 +3x2
s.t.
x1+x2 5, -6 x1 10, -1 x2 4;
例3: min Z = -x1+2x2 –3x3
s.t.
x1+x2 +x3 7, -x1 +x2 -x3 -2, x1 , x 2 , x3 0 ;
% lp3.m % 解： c=[-1,2,-3];a=[1,1,1;-1,1,-1]; b=[7;-2]; vlb=[0;0;0]; % lower bound of vector x % vub=[]; % upper bound of vector x % x=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub) z=c*x
21
例4:
minZ= 2x1 + x2+3x3+2x4 +2x5 +4x6 +3x7 +4x8 +2x9
x1 x2 s.t. x3 x1 +x2+x3
+x4 +x5 +x6 x4+x5+x6
+x7 +x8
= 40， =15，
+x9 =35，
50， 30，
x7+x8+x9 xi 0， i ＝1,2,…,9;
问：如何下料使得剩余料头最少？
8
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则： minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5 x 1 + 2x 2 + x4 =100， 2x3 +2x4+ x5=100， s.t. 3x1+ x2+2x3 +3x5=100， xi 0 (i =1,…,5)，且为整数；