古塔变形 论文
关于古塔变形的研究
Ｃ ｏ ａ ｌ ， Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ ０ ３ ７ ０ ０ ３ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｓ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ２ ０ １ ３ ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｕ ｐ ＭＣ Ｍ（ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｌ ａ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｎ Ｍｏ ｄ － ｃ ｌ ｉ ｎ ｇ ）ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ Ｃ， ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｎ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｔ ｏ ｗ ｅ ｒ ．Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ， ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ａ ｎ ｄ ａ ｎ ａ ｌ —
ｙ ｓ ｉ ｓ ｔ ｈ ｅ ｔ ｉ ｌ ｔ ｉ ｎ ｇ，ｂｅ ｎ ｄｉ ｎｇ，ｔ ｗｉ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ ｏ ｔ ｈｅ ｒ ａ ｓ ｐｅ ｃ ｔ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ａ ｎ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｔ ｏ ｗｅ ｒ，ａ ｎ ｄ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ —
Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｏ ｎ ｄ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｎ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｔ ｏ ｗｅ ｒ
关于古塔的变形问题的分析
建筑科学科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald441 模型假设(1)每层的八个勘测点共面。
(2)每年测得都是相同的观测点。
(3)塔基未发生改变。
2 模型的建立与求解2.1 确定古塔各层中心位置的方法在A u t o C A D 中，画出每层的8个测试点，连接成八边形，并组合为八边形面域。
在命令栏输入m a sspro p命令后，点击八边形，则可求出此八边形的质心坐标，即中心点坐标。
2.2 求古塔四次各层的中心点坐标依照上述方法，就能求出古塔四年各层的中心点坐标，1986年各层中心坐标为(566.7412,522.7005)、(566.7219,522.6807)、(566.7793,522.6318)、(566.8213,522.6035)、(566.8684,522.5714)、(566.9168,522.5399)、(566.9512,522.5231)、(566.9845,522.5066)、(567.0247,522.4993)、(567.0491,522.4759)、(567.1021,522.4356)、(567.1530,522.4029)、(567.2253,522.3370)，1996年各层中心坐标为(566.6651,522.7089)、(566.7227,522.6699)、(566.7792,522.6317)、(566.8235,522.6031)、(566.8712,522.5685)、(566.9202,522.5365)、(566.9550,522.5193)、(566.9887,522.5024)、(567.0230,522.4850)、(567.0542,522.4707)、(567.1079,522.4299)、(567.1611,522.3893)、(567.2114,522.3549)，2009年各层中心坐标为(566.7412,522.7005)、(566.8068,522.5411)、(566.8095,522.6437)、(566.9175,522.5799)、(566.8367,522.6208)、(566.9541,522.5476)、(566.0236,522.6082)、(567.0900,522.4693)、(567.0915,522.4604)、(567.1659,522.4656)、(567.2291,522.3484)、(567.2332,522.3265)、(567.2799,522.2822)，2011年古塔各层中心坐标为(566.7413,522.7004)、(566.7763,522.6710)、(566.8098,522.6441)、(566.8372,522.6203)、(566.8662,522.5964)、(566.9548,522.5468)、(566.9879,522.5246)、(567.0402,522.4923)、(567.0925,522.4595)、(567.1474,522.4057)、(567.1901,522.3656)、(567.2326,522.3260)、(567.2812,522.2807)。
古塔的变形研究
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ：ａ ｎ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｐ ａ ｇ ｏ ｄ ａ；Ｍ ａ ｈｅ ｔ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ； ｄ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍｔ ｉ ｏ ｎ； ｔ ｉ ｌ ｔ ｅ ｄ ｄ ｅ ｆ ｏ ｍ ａ ｒ ｉ ｔ ｏ ｎ； ｂ ｅ ｎ ｔ ｄ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｔ ｗｉ ｓ ｔ ｅ ｄ ｄ ｅ ｆ ｏ ｍ ａ ｒ ｉ ｔ ｏ ｎ； ｌ ｅ ａ ｓ ｔ ｓ ｑ ｕ ａ ｒ ｅ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ；
ｉ ｆ ｔ ｉｎ ｔ ｇ
中 国是 一个 有着 ５ ０ ０ ０年 悠久 历史 的文 明古 国 ，
源远 流长 的历史 使 中 国继 承 了一 份 十分 宝 贵 的世 界 根据 几何 知 识 ， 这 个 中心 点 就 是 平 面 中一 点 到 文化 和 自然 遗 产 。 由于 长 时 间 承受 自重 、 风 力 和 地 因此 建 震等作 用影 响 ， 古 塔会 产生 各 种 变形 ， 如倾斜、 弯曲、 这有 限个 点 距 离 的 平方 和 的唯 一 最 小值 点 ， 立模 型如 下 ： 扭 曲等 。为保 护 古塔 ， 文 物 部 门 需 适 时对 古塔 进 行
关 键 词 ：古塔 ； 数 学建 模 ； 变形 ； 倾斜 ； 弯曲 ； 扭 曲； 最 小二 乘 法 ； 拟 合 中图分类 号：０ ２ ９ 文献标志码 ：Ａ 文章编号 ： ２ ０ ９ ５— ５ ３ ８ ３ （ ２ ０ １ ４ ） Ｏ ２～ ０ ０ ６ ３— ０ ２
Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ０ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｄｅ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ０ ｆ ａ ｎ Ａｎ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ Ｐ ａ ｇ ｏ ｄ ａ
ｍ ｉ ｎ ｔ ＝ ∑（ ０ ０ ＋ ｎ １ ＋ 口 ２ 一 ）
古塔变形情况的分析与改进—
古塔变形情况的分析与改进【摘要】“盛世修古建”随着我国经济实力的不断发展，古建的保护和改善也成为了国家所关注的事。
因为自然灾害所带来的影响，使古建发生了不同的形变。
本案例研究的是古塔变形的问题，要求是在自然的影响下对古塔的变形进行假设和分析。
而对本文所提出的问题，我们采用了数据的平均与分析处理，倾斜、弯曲、扭曲各因素之间相互独立互不影响和模型的大胆想象与小心求证使我们得出了该塔具体的倾斜，弯曲，扭曲的情况。
通过对问题的假设及分析求解中，我们所建立的模型简单且改进措施方便，并且能推广到更多的古塔保护问题上，具有很大的优势。
最后我们组员结合对本次数学建模的学习，实践，写出了我们的感想。
我们的理解阐述了数学建模的概念，步骤以及我们在此过程中遇到的问题。
【关键词】数据分析投影线性规划函数对比影响措施Ⅰ、问题重述由于长时间承受自重，气温，风力等各种作用，偶然还要受地震，飓风的影响，古塔会产生各种变形，比如倾斜，弯曲，扭曲等。
为保护古塔，文物部门需要适合时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月，1996年8月，2009年3 月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题；1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2.分析该塔倾斜，弯曲，扭曲等变形情况。
3.分析该塔的变形趋势。
Ⅱ、符号说明A——职工工资总额，元；A——2000-2024年职工工资总额，元；1Ⅲ、模型假设1.假设第一问中所得的图为八边形；2.假设塔的变形过程中倾斜，弯曲，扭曲是互不影响的；3.假设在倾斜过程中没有弯曲与扭曲，在扭曲过程中没有倾斜与弯曲，在弯曲过程中没有扭曲与倾斜。
Ⅳ、问题分析1. 对于问题一，是一个数据平均处理问题，它涉及到许多变量及假设。
假设附件1给出的每层8个数据均选在塔的方位所测，并且这8个点恰好能够成一个平面，若要求塔的中心相当于求这几个面的中心，再将其连接所得就是塔的中心。
关于古塔变形的数学模型
关于古塔变形的数学模型摘 要本文主要研究古塔在自重、气温、风力等因素的影响下产生变形的问题。
采用中垂线求解外切圆圆心的模型以及多次平均除误差的方法，找到了确定古塔中心的通用方法，并用多元线性回归模型及插值拟合等方法对倾斜、弯曲、扭曲等变形情况进行分析，从而通过残差拟合得出预测数据对古塔变形趋势进行描述。
针对问题一：论文采用古塔八个角点中任意三个角点构成的两两连线，取其中垂线的交点得到外接圆圆心，已知正八边形的中心与外接圆圆心一致，但古塔八角点构成的八边形存在轻微不规则，所以我们采用多次取点求外接圆圆心，并用其平均值消除误差，最后对不同取点方式进行了精度分析（答案详见表一）。
针对问题二：首先是古塔倾斜分析，根据测量学本文取塔尖和塔底的中心连线作为倾斜角计算的倾斜方程，算出塔顶在水平面投影与塔底中心的间距S ∆，引入实测高程数据H ∆，可以得到古塔四次测量的倾斜角（HD∆∆=arctan α），对其倾斜情况经行描述；然后是弯曲情况分析，根据问题一中古塔各层中点坐标，本文对其进行多元回归分析及多项式拟合，得出函数曲线，并将其和倾斜方程进行比较得到最大差值即挠度（材料力学中对弯曲的描述量）；最后是扭曲分析，本文分垂直和水平两个方向进行讨论，垂直方向上涉及高程Z ，即对各层中心点多元线性回归得到的拟合值与实测值进行残差分析，得到扭曲描述量（Ny y r i ∑-=2')(）。
水平方向，本文参考材料力学中扭转角的计算，对古塔各层间的轴向扭转进行分析，得到扭转角对古塔扭曲情况进行描述。
针对问题三：在分析了四次观测值中倾斜、弯曲，扭曲的情况下，本文采用加权平均的方法各产生影响数据进行处理后，进行残差拟合，得到下一次观测的模拟数据，对古塔的变形进行变形趋势描述关键词 多边形中心确定 多元回归分析 多项式拟合 残差分析由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
【中国古建筑论文】略谈对木结构建筑的研究
【中国古建筑论文】略谈对木结构建筑的研究1应县木塔的建模与分析全塔采用了四百多组构筑奇巧的斗栱，是木塔最具特色的组成部分。
木塔始建于公元1056年，经历了近千年的环境侵蚀和多次强地震作用，结构变形和损伤严重，亟待修缮加固。
应县木塔的维修加固是中国文物保护工作的重大课题。
自1991年国家文物局批准成立“山西省应县木塔修缮工程领导小组”以来，国家已组织了大量的人力、财力对应县木塔进行了勘测、试验和研究。
目前，应县木塔修缮方案的研究论证工作仍在继续开展，运用现代分析模拟技术进行木塔保护研究，已取得了一批较丰硕的成果。
徐燊等对应县木塔进行了计算机建模方法的研究，提出了可动态修改的三维建模方法，以提高模型制作的效率。
该方法由四个步骤实现:将木塔的构件按斗栱、柱、梁栿进行分类，找出相应的规律性;以现有测绘数据为基准并依据《营造法式》的尺寸制度，以层为单位，构建主体结构的三维复原模型;将实测的变形值编入程序，对复原模型的坐标位置进行动态修改，得到符合现状的残损模型;将各层模型叠合，配上楼梯、栏杆、屋檐、塔顶等构件，完成全部三维复原工作。
张舵等在应县木塔有限元分析模型的研究中，通过引入梁单元组模拟斗栱连接，以解决虚拟半刚性单元难于反映实际构造的问题。
在有限元模型中，把斗栱设为一个在结构上与实际构造相似的梁单元组合，斗栱的各个构件均简化为梁单元杆件并在端部采用刚性连接，通过调整梁单元的刚度来改变斗栱构件的连接刚度。
在此基础上，他们建立了以梁单元为基本单元的木塔有限元模型，并结合木塔的实测模态结果确定了斗拱的刚度。
杜雷鸣等在应县木塔的抗震性能研究中，将斗拱节点域简化为刚接和铰接两种类型。
采用有限元软件ANSYS分别建立了节点域为刚接和铰接的木塔整体有限元模型，并对这两种简化模型开展动力特性分析。
模型分析结果与木塔实测值的对比表明，两种简化模型的分析振型与实测振型基本吻合，且实测频率介于两种简化模型的分析值之间，因此，可用两种简化模型的分析值来界定木塔地震响应的范围。
古塔的变形
古塔的变形摘要本论文研究的是古塔的变形问题，首先对古塔的基本情况进行了解、分析，本文使用了较为简单实用的方法得到了结果，进而对古塔的变形情况进行分析，最后再对古塔在未来几年的变形趋势进行描述。
针对问题一，本文采用平均值等两种算法分别进行求解最终求得古塔各层在1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月时的中心坐标（具体坐标见5.1.3）。
针对问题二，本文对古塔的变形情况粗略地描述了一部分，并根据已知的一部分信息最终选择了以倾斜度为主要指标对古塔的变形成都进行了粗略的描述，结果为：1986199620092011046'33",047'9",048'39",048'46"θθθθ==== 。
针对问题三，本文根据前两问求得的数据作为基础进行分析，仍旧从倾斜变形入手分别对倾斜的方向变化趋势和倾斜增量进行了分析，由于有偶然的大型因素的影响，如2006年的超强台风“桑美”，2008年的汶川地震等，本文将变形趋势分为两类，所得结果如下：（1） 无大型因素影响趋势：古塔有由原本倾斜方向向南倾斜的趋势。
古塔10年倾斜角偏移量为00'35.5"α=（2） 有大型因素影响趋势：古塔有由原本倾斜方向向南倾斜的趋势。
古塔10年倾斜角偏移量为01'17.4"β=对于缺失的数据本文采用了近似值的方法进行补全（详见5.1.1）。
关键词：古塔变形 Matlab 文物保护 变形趋势 Lingo11 Excel一、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
古塔的变形情况及趋势研究
古塔的变形情况及趋势研究作者：王飞章茜来源：《价值工程》2014年第13期摘要：依据2013年全国大学生数学建模竞赛C题所给的古塔各层中观测点坐标的信息，运用基于最小二乘法的椭圆拟合算法结合MATLAB软件，列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
利用古塔各层中心坐标，并将问题进行转化，采用初等数学模型研究古塔的倾斜程度、弯曲程度、扭曲程度，最后建立灰色预测模型GM（1，1），对上述引起古塔变形的三个因素进行拟合、预测，分析古塔的变形趋势。
Abstract： According to coordinates of points observed for each layer of ancient pagoda in problem C of Chinese Undergraduate Mathematical Contest in Modeling（2013）， this article lists the measured coordinates of the center of each layer in old pagoda by using ellipse fitting method which based on least-square principle and MATLAB. The problem is transformed by using the coordinates of the center of old pagoda in each layer， when the tilting degree， bending degree，twisting degree of old pagoda can be studied through primary mathematics model. Finally， the paper establishes the gray prediction model GM（1，1）， summarizes and predicts the three factors which caused the deformation of old pagoda， and analyzes its trend.关键词：古塔变形；中心坐标；倾斜角；灰色预测模型GM（1，1）Key words： deformation of old pagoda；central coordinate；inclination；the gray prediction model GM （1，1）中图分类号：TU196；O242.1 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）13-0212-030 引言目前现存数量不多的古塔是一种古代高层建筑，标志着古代人们征服自然的胜利。
基于模型构建的古塔变形研究
曲等一系列变 形情况 ，最后给 出古塔变形趋势 。本 文采用模 型构 建方法研究古塔变 形，计算分析合理 ，提供 了较精
确 的结果，对于维护 古建筑物 的安 全性有着重要 的意义 。
关键 词：古塔变形； Ｍａ ｔ １ ａ ｂ 和Ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ 软件； 模型构建； 夹角模 型 中图法 分类号： ０ ２ ９ 文献标 示码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ０ ２ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ２ ． － ０ ２ ６ ５ ． － ０ ５
山东农业 大学学报（ 自然科学版） ． ， ２ ０ １ ５ ， ： ４ ６ （ ２ ） ： ２ ６ ５ ． ． ２ ６ ９ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ Ａｇ ｒ ｉ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ￣ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ
ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ Ｍａ ｌａ ｆ ｂ ， ． ｔ ｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｏ ｕ ｌ ｄ ｂ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ． ｈ ｅ Ｔ ａ ｃ ｃ ｕ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｗａ ｓ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ｅ
摘 要 ：根据在 １ ９ ８ ６ 年、１ ９ ９ ６ 年、２ ０ ０ ９ 年、２ ０ １ １ 年对 古塔 的实际观测数据 ，通过Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ 作图、编程等功能 ，以及Ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ
软件 计算分析相关数据 ， 给 出数 据分析的结果并作 出了相应 的图形。首先利用Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ 软件 绘制出１ ９ ８ ６ ： 年与２ ０ １ １ 年古塔 形 状的 图形 ，然 后利用模型构建 并求解 ，累加模 型确定古塔各层 次中心位置 ，夹角模 型描绘古塔的倾斜 、弯 曲、扭
浅谈中国古塔形制的演化
公元５０ ， ２ 年 一座 细部 明显 带 有 印 度 装
冲击 ？ 天 ， 今 当我 们前 所 未 有 地 面 对来 自世 有 记 载 ， 今 我 们 仍 然 可 以 通 过 汉 朝 明 器 饰 风 格 ， 在 结 构 上 又 与 印 度 建 筑 炯 异 的 如 但 界各国， 各领 域 艺 术形 式 的 冲 击 ， 们从 中 我 窥 当时 重楼 之 一 斑 。 由干 佛 教 中 有 塔 的 层 新 颖 砖 石 密 檐 塔 —— 嵩 岳 寺 塔 横 空 出 世 ， 国古 塔 形 制的 演 化过 程 中又 会 得 到 哪 些 启 级 越 多 等级 越 尊 贵 的 说法 ， 这 个 时期 ， 在 就 标 志 中 国匠 人 对 古塔 新 材 料 和新 形 制的 探 示 ？ 是 摆 在 当 代 建 筑 艺 术 工 作 和 研 究 者 像 西 方 的哥 特 式 建筑 一 样 ， 的 引 入 ， 动 索 有 了 新 突 破 。 然 木 结 构 容 易 损 毁 ， 这 塔 带 既 好 面前的新问题 。 要 弄 清 以上 问 题 ， 先 要 从 塔 的 起 源 首
坛， 深入 到 世 俗建 筑 的 怀 抱 。 国古 塔 为 什 我 国 古 代 提 到 佛 塔 的 最 早 文献 。 金 盘 ” 中 “ 就 提 ” “ 刚宝 座 塔 ” 给 中国 匠 人 新 的 启 和 金 带 么 会 如 此 深 入 而 持 久地 不 断 演 化 ？ 它 漫 是原 印 度 “ ｔ ｐ ” 的刹 。 重楼 ” 在 Ｓｕ ａ 上 “ 的建 筑 形 示 。 长的 形 制 演 化过 程 中有 经 历 了那些 波折 和 式 已 为 汉 代 所 常 见 ， 汉 朝 文 献 记 录 中 多 在
着佛 教 一 起传 入 中 国。 然而 出人 意 料 的是 ， 了 中 国 的 建筑 体 系 。 历 经 近 两 千 年 的 演 它
大学生高教杯数学建模C题-古塔变形论文
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期：2013年9月_16_日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形摘要本文对古塔的变形问题建立数学模型，它实质上是一个空间解析几何问题。
首先建立空间解析几何模型，并利用这个模型对问题1进行求解，然后对模型进行数据处理和图形分析，精确地给出了中心位置坐标；之后对于问题2，在问题1的基础上我们计算出中心坐标的拟合直线，计算出曲率的值；最后对于问题3，运用AR自回归模型给出古塔的变形趋势。
关于古塔变形的探讨
关于古塔变形的探讨【关键词】古塔；中心；重心；斜率； excel文章编号：issn1006—656x（2013）09 -0115-01一、问题重述（一）问题背景由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：问题一：给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
问题二：分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
问题三：分析该塔的变形趋势。
（详情见附件1）二、问题分析（一）问题一的分析根据对问题一的条件和数据的分析，我们发现z变量的数值波动性很小，而问题一求的是各古塔的中心坐标，那么我们就把z坐标的总和相加取它的平均数值，然后再根据初等方法求多边形的中心坐标方法对问题一进行求解。
（二）问题二的分析根据对问题二的研究与问题一得出的数据进行分析，我们确定了以第一层的重心坐标为基准第二层的重心坐标与第一层重心相连再依据古塔与地面垂直的情况来求出此三角形的斜率、第三层、与第四层……以此类推求出各层的斜率，再依据斜率的数据作出斜率与层数的散点图形并添加了趋势线，再依据对图形的分析我们可以得出古塔在自然因素下发生倾斜、弯曲、扭曲的大致情况。
（三）问题三的分析根据问题二中散点趋势图对比，我们可以得出古塔在1986年至2011年发生变化的形式，再结合实际对古塔未来的变形趋势进行预测。
三、模型假设（一）假设给定的测量数值是精确的。
（二）假设未来的自然因素对古塔的影响与之前相比不会出现太大的偏差。
（三）假设古塔的结构稳定。
（四）假设人类的活动对古塔的影响可以忽略。
学生论文(1)古塔变形
古塔变形摘要根据题目所给出的坐标数据，由于部分数据缺失，我们根据所给的其他数据确定等差数列,更可能的接近实际数据,并复值缺失的数据，将数据全部整理出来。
我们用最小二乘法的方法确定中心坐标。
由于古塔长时间承受外界的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲，根据中心坐标解释古塔的变化，及分析它的形变趋势。
用合理的数学定义来解决问题。
在问题一中，我们先用图形拟合让八个点尽可能在一个平面上，再用最小二乘法拟合找到中心点。
用拟合、最小二乘法及MATLAB编程解决问题在问题二中，根据每个阶层的中心点，链接起来,塔尖与底层中心的水平距离与塔高的比值既塔的倾斜度α;根据弯曲形变,我们定义弯曲率为K，利用参数方程和二次拟合出的空间曲线的曲率，来描述古塔的弯曲率。
总的来说我们用拟合、最小二乘法、空间曲线拟合、MATLAB编程等常用的方法来解决实际问题，具有较好的推广性。
关键词拟合、最小二乘法、空间曲线拟合、空间曲线参数方程1问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 让我们讨论出古塔各层中心位置的通用方法，根据给出数据，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3. 分析该塔的变形趋势。
2模型假设1、由于中国古代建筑追求对称、规则，我们假设古塔为八边形。
2、假设每次测量数据的点都是固定的。
3、假设古塔只受倾斜、弯曲、扭曲这三个因素影响，不受长时间承受自重、气温、风力、地震、飓风等的影响。
3变量说明i 为观测层数，j 为观测点，000i i i X Y Z 为中心点坐标 j=(1,2,3,﹒﹒﹒8); i=(1,2,3,﹒﹒﹒13) K 为观测次数（1,2,3,4）821min (()()()()())(1,2,3...13;1,2,3,4)i ij i ij i ij j A K X k B K C K Z K i k =++-==∑（K)Y82222220001min ()()()ij i ij i ij i j X X Y Y Z Z =-+-+-∑j=(1,2,3,﹒﹒﹒8); i=(1,2,3,﹒﹒﹒13)222111()()()x t at bt c c y t a t b t c z t t ⎧⇒++⎪=⇒++⎨⎪⇒⎩；第k 次测量古塔各层中心拟合曲线。
古塔变形模型分析
古塔变形模型分析摘要本文研究的是古塔变形的相关问题，根据给出的1986年、1996年、2009年、2011年不同的观测数据，应用垂直投影法计算出了各次测量古塔的中心坐标；在分析古塔的倾斜程度时，我们采用的是空间直线拟合的方法，对比了中心点与其余几个观测点的倾斜程度，发现该古塔经过多年洗礼，215年里并为倾斜；古塔的弯曲我们主要从古塔是否发生沉降变形来分析考虑，发现古塔有沉降迹象，在1mm～2mm之间。
在分析古塔扭曲情况时，我们将每年的中心坐标做了均值处理，假设其为定点，进而分析了每年底层同一观测点的夹角变化，由此来分析该古塔的扭曲情况，发现4年间古塔的偏移角度在0.6°左右。
关键词古塔的变形；垂直投影法；空间直线拟合；matlab计算1 问题分析古塔的变形问题在建筑学中已经是个很成熟的问题了，中国是个文明古国，各式古塔是先人遗留给我们的宝贵遗产，千年以来，未了保护好他们，很多人献出了生命；在这个科技发达的和平年代，国家越来越重视对其的保护，更是有很多学者多年来一直致力于古塔的变形原因研究及保护措施研究。
本文给出的数据只是一个个例，数据来源于2013年全国大学生数学建模竞赛C题，根据给出的四组数据确定古塔各层中心位置的通用方法，并计算出各次测量的古塔各层中心坐标，然后分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况、最后对塔的变形趋势做详细的分析。
在文中分析很多方法也是借鉴于其他优秀学者的研究成果，结合实际数据对此做出的分析。
2 模型假设1）不考虑古塔地基的影响，假设各种自然条件包括地震、飓风等对古塔地基无影响；2）假设此古塔建筑材料为砖；3）忽略古塔本身的形制结构的影响。
3 模型的建立与求解3.1各层中心坐标的模型与求解由于文中附件1给出的数据1986年、1996年古塔的13层第5个观测点的数据缺失，我们做了均值化处理，将该层其余观测点的均值做其坐标，计算得出1986年第5个观测点的坐标为（566.916，522.886，52.88），1996年第5个观测点的坐标为（569.9704，523.1144，52.796）。
古塔变形测量方法探讨
塔安全性监测方面要满足 以下三个方面 ： ①塔体倾斜
变化 ； 塔身各 段 的变化 ； 塔基 的稳 定性 。针 对 上 述 ② ③ 几方 面就 采取 对 应 的 监测 方 法 ， 体 倾 斜 变 化 采 用 垂 塔 直投影 法 （ 又称 垂 线 法 ， 相 对 位 移 量 进 行 监 测 ） 塔 对 ； 身各段 的变化监 测采 用 了前 方交会 法 。对塔 基 稳 定性
求条件下使一个墩尽量观测到多个塔的塔尖和游标卡
尺安置处 。观测边 长 ≤８ ， 用观 测 中误 差标 称精 度 ０Ｉ 采 ｎ
≤± 望远镜放大倍率不低于 ２ ２， ５倍的全站仪进行观
测 ， 最弱观测 精度 为 ８ ０／ ２ ： ．８ｍｍ， 其 ０Ｏ０ ｐｘ ０７ 满足设
定的精度要求。选择古塔顶部适宜观测且稳定 的固定 目 条件允许宜安置不锈钢针状观测 目标） 标（ 。观测时，
３ 监测 方案的具体 实施
测量精度的确定依据 《 建筑变形 测量规程》 中 “ 为实用 目的， 观测值 中误差不应超过变 形允许值 的
得读数中数与零点对 比就知道古塔在与卡尺安置平行 方向的倾斜变化值。 （） ２ 前方交会法 古塔一般都是塔体为偶数多边形的对称体 ， 选择
１２ １１ ， ／ ０— ／０ 或者 １ ｍ～ ｍ 的规定 。平面位移监 ｍ ２ｍ ” 测的观测值中误差设定为 ｍ ≤± ． ｍ， 据变形允 １５ｍ 依
测站 点 和垂直投 影法 的监测墩 一起 建 统 一 的监钡 网 ０
佳， 因测区客观条件限制不能成 ９ 。 每塔两尺安置面 Ｏ 时， 之间的夹角应控制在 ６ 。 １０之间。在古塔边建造监 ０ ～２。
测墩 ， 安装 强制 对 中盘 ， 观测 时 安 置仪 器 的对 中 墩上 使 误差降低 到最小 。监 测墩 的位 置选 择时 ， 满足 精度 要 在
古塔变形
古塔变形摘要本文主要通过对倾斜、弯曲、扭曲三个角度研究，来分析古塔的变形趋势。
针对问题一，由于观测数据缺失现象，本文先进行数据的预处理，再采用空间圆的拟合方法，建立空间球体和斜平面所组成的方程组来求解。
同时结合运用MATLAB软件，计算出4次测量的古塔各层中心坐标，并以列表形式给出。
针对问题二，本文假设古塔的第一层是水平的，首先过古塔的塔顶的中心点作第一层的垂线，作出射影，构建直角三角形，得到射影和垂线的比值作为衡量古塔倾斜程度的指标。
发现随着年份增加，古塔倾斜程度越大，但1986年—1996年、2009年—2011年的变化幅度不大，1996年—2009年的变化幅度较大。
对于研究弯曲度，将各层的中心连线向X-Z平面及Y-Z平面进行投影，分别比较两者的方差得出向X-Z平面投影的研究价值更大。
通过曲线拟合求得4年曲线对应的方程，利用曲率公式求得曲线上各点的曲率值来分析古塔的弯曲程度，得出从1968年到1996年，各层的曲率有增长趋势，从1996年-2011年各层的曲率逐渐递减。
最后，将相邻两层的中心连线投影到第一层中，得到的夹角大小来确定古塔的扭曲情况，得到各年各层的扭曲率不存在明显的递变规律。
针对问题三，本文从倾斜、弯曲、扭曲三个方面采用灰色预测模型GM(1,1) 进行拟合与预测，并得出各因素相对于各层的时间响应函数，经检验得出扭曲程度最容易预测，其次是倾斜程度，而弯曲程度不易预测。
关键词：古塔变形；空间圆拟合；投影；灰色预测模型GM(1,1)一．问题重述塔，作为一种古代高层建筑，不但标志着古代人们征服自然的胜利，同时也记录了当时的历史和工艺。
塔的挺拔高耸的姿态，对佛寺组群甚至城市轮廓面貌都起着一定的美化作用，也成为今天的地标性建筑。
塔采用多种结构，也有变化多端的造型，在中国建筑史上独树一帜，是我国古代优秀的文化遗产。
但是这类建筑物由于长细比大、重心高，且由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响等。
古塔的变形
古塔的变形摘要古塔是我国独具代表性的建筑种类之一，它展现着我国悠久的历史文化，也向世界展示着我国古代独特的建筑特色和精湛的建筑技术。
但由于古塔长时间承受自重、风力、温度等各种作用，以及地震、台风、暴雨等自然灾害的影响，古塔会产生倾斜、弯曲、扭曲等变形。
本文根据测绘公司先后在1986年、1996年、2009年和2011年对古塔进行的四次观测得到的数据，分析古塔的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况，并对古塔的变形趋势进行预测。
首先，本文通过最小二乘法建立数学优化模型，拟合出古塔各层的中心点。
利用MATLAB编程求出各层中心点坐标的通用方法及各层中心点坐标。
其次，利用空间曲线拟合和MATLAB编程分析古塔的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况。
最后，根据古塔的倾斜、弯曲和扭曲程度来分析古塔的变形趋势。
关键词：数学模型最小二乘法空间拟合 MATLAB目录1. 问题重述 (1)1.1背景知识 (1)1.2需解决的问题 (1)1.3相关数据 (1)1.4课题来源 (1)2. 问题分析 (2)2.1对问题的总体分析 (2)2.2对问题的具体分析 (2)2.2.1对问题一的分析 (2)2.2.2对问题二的分析 (2)2.2.3对问题三的分析 (2)3.模型假设 (3)4.符号说明 (3)5.模型准备 (3)5.1对建筑物变形和相关术语的说明 (3)5.2对遗失数据的预测 (4)6.模型的建立与求解 (5)6.1问题一的分析与求解 (5)6.1.1建立模型的思路 (5)6.1.2空间平面拟合 (6)6.1.3确定中心点位置 (8)6.2问题二的分析与求解 (12)6.2.1建立模型的思路 (12)6.2.2空间直线拟合 (12)6.2.3倾斜程度分析 (16)6.2.5扭曲程度分析 (19)6.3问题三的分析与求解 (21)6.3.1倾斜趋势预测 (21)6.3.2弯曲趋势预测 (22)6.3.3扭曲趋势预测 (23)参考文献 (24)附录 (25)1. 问题重述1.1 背景知识古塔是我国独具代表性的建筑种类之一，它展现着我国悠久的历史文化，也向世界展示着我国古代独特的建筑特色和精湛的建筑技术。
古塔的变形情况及趋势研究
Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｎ Ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ （ ２ ０ １ ３ ） ， ｔ ｈ ｉ ｓ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｌ ｅ ｌ ｉ ｓ ｔ ｓ ｔ ｈ ｅ ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｄ ｅ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ｏ ｆ ｅ ａ ｃ ｈ ｌ ａ ｙ ｅ ｒ ｉ ｎ ｏ ｌ ｄ ｐ ａ ｇ ｏ ｄ ａ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｅ ｌ ｌ ｉ ｐ ｓ ｅ
摘要： 依据 ２ ０ １ ３ 年全 国大学生教 学建模 竞赛 ｃ题所给的古塔各 层中观 测点坐标 的信息 ， 运 用基 于最小二 乘法的椭 圆拟合算 法 结合 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ软件， 列表给 出各次测量的古塔各层 中心 坐标。利用古塔各层 中心坐标 ， 并将问题进行转化 ， 采用初等数 学模型研究 古 塔的倾斜程度 、 弯曲程度 、 扭 曲程度 ， 最后建立灰 色预测模型 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） ， 对上述 引起古塔 变形的三个 因素进行 拟合 、 预测， 分析 古塔 的 变形趋势。
ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｍ ｏ ｄ ｅ １ ． Ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｙ ， ｔ ｈ ｅ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｓ ｈｅ ｔ ｇ ｒ ａ ｙ ｐ ｒ ｅ ｄ ｉ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｌ Ｇ Ｍ （ １ ， １ ） ， ｓ ｕ ｍｍ ａ ｒ ｉ ｚ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｐ ｒ ｅ ｄ ｉ ｃ ｔ ｓ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ
ｃ ａ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｏ ｌ ｄ ｐ ａ ｇ ｏ ｄ ａ ， ａ ｎ ｄ ａ ｎ ｌｙ ａ ｚ ｅ ｓ ｉ ｔ ｓ ｔ ｒ ｅ ｎ ｄ ．
对古塔变形的分析
工程科技与产业发展科技经济导刊 2016.35期对古塔变形的分析查雪华 华 春（南京机电职业技术学院 江苏 南京 210000）1 问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
（1）给出确定古塔各层中心位置的通用方法。
（2）分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
（3）分析该塔的变形趋势。
2 数字符号说明x:古塔每一层上八个点相对于参考点的横坐标。
y:古塔每一层上八个点相对于参考点的纵坐标。
z:古塔每一层上八个点相对于参考点的竖坐标。
3 课题研究的方法对于古塔倾斜、扭曲、弯曲等因素的处理，我们先求出古塔各层中心点的坐标，再通过对古塔各层中心点投影到某个面（我们设定的参考面）拟和成的直线或曲线的函数来分析古塔的倾斜、扭曲、弯曲等因素。
4 对倾斜、扭曲、弯曲等因素的处理方法4.1对于倾斜度的处理对于古塔的倾斜，我们用古塔各层中心点在yoz面上投影的倾斜角和在xoz面上投影的倾斜角表示古塔的倾斜度。
对于古塔在yoz面上投影的倾斜角的计算，先求出古塔各层中心点在yoz面投影拟合成的直线的方程（二元一次方程），将该方程的斜率转化成投影线与水平面的夹角，该夹角便为古塔在yoz面上投影的倾斜角。
同理，可得古塔在xoz面上投影的倾斜角。
通过古塔每年在yoz面上投影的倾斜角的变化来预测古塔在yoz面上的倾斜趋势。
同理，可预测古塔在xoz面上的倾斜趋势。
4.2对于扭曲度的处理对于古塔的扭曲，先求出古塔各层1—5点、2—6点、3—7点、4—8点在水平面上投影拟合成直线的方程（二元一次方程），再将该方程的斜率转化成投影线与x轴的夹角。
通过分析该塔每一年1—5点、2—6点、3—7点、4—8点夹角的变化来预测该塔的弯曲趋势。
4.3对于弯曲度的处理对于古塔的弯曲，我们用古塔每一年每一层中心点拟合成的线近似成圆弧投影到x轴和Z轴构成的平面上形成的半径来表示。
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关键字：
线性回归
MATLAB
拟合
预测
变化趋势
一、 问题重述
由于长时间承受自重、 气温、 风力等各种作用， 偶然还要受地震、 飓风的影响， 古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时 对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。 某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于 1986 年 7 月、 1996 年 8 月、 2009 年 3 月和 2011 年 3 月对该塔进行了 4 次观测。 请你们根据附件 1 提供的 4 次观测数据，讨论以下问题： 1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中 心坐标。 2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3. 分析该塔的变形趋势。
2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： S37007 所属学校（请填写完整的全名）：商丘职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1.袁丽丽 2.张志轩 3.孙二朋 指导教师或指导教师组负责人 日期：年月日 (打印并签名)：
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）
五、 模型的建立与求解
一、问题一的建立与求解 因为 1986 年、1996 年第 13 层第 5 个坐标点没给出来，我们可以根据 1—12 层第五个点的坐标，利用线性规划估算出第 13 层第 5 个坐标点的值。用 Excel 求解可得： X Y Z 1986 年 568.1691 519.549 52.825 1996 年 568.1769 519.5562 52.814 为观察同层各测点的大概位置，我们做出了 1986 年古塔内，同层观测点连线的 俯视图进行分析，做出下图（图一） ：
三、 模型假设
（1） 假设所测点选取的都是科学合理的，并且在同一平面上。
（2） 假设所测数据真实可靠，且都在古塔的固定位置。 （3） 每层的测量点都是围绕着这一层的中心点。 （4） 各层测量点构成的几何图形的中心是与这一层的中心位置相重合的。
四、 符号说明
j i t h Δu λ θ 观测点 古塔层数 时间， 并以 1986 年为第一年， 即 t=1 古塔同一层测点的最大高层差 古塔相邻两层 h 值得差 两对角线的夹角 古塔的倾斜角
二、 问题分析
(1)对问题一的分析 问题一，古塔各层中心位置的通用方法，首先，我们假设测点选取的科学合 理，且测得数据真实可靠，都是围绕各层中心，并且都在同一平面上，根据所给 数据也可看出大致在同一平面上，由于 1986 年、1996 年第 13 层第 5 个点没有 给出来，我们需要用一元线性回归方程估算出来，然后用 matlab 画图得古塔各 层是近似八边形， 根据八边形图形的特征，可以用每次测量点坐标的平均值作为 各层中心点的坐标。 然后对各层中心点点坐标对时间回归，可得各层中心点坐标 对时间的回归方程。根据方程就可以确定任意时间各层中心点坐标。 (2)对问题二的分析 问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。为了简化模型，我们分 别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。对于倾斜，塔尖的中心坐标在第一层内 的射影与第一层的中心点有个夹角，即为倾斜角，再根据各层中心的分布和变化 趋势方向，确定古塔的倾斜方向。 对于古塔的弯曲，首先求出每层高程绝对差 hi , t ，然后相邻两层的高程绝对 差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。再根据每层出现高程绝对差 hi , t 的两 个测量点的连线，确定每层弯曲方向。 对于古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。然后 通过每层对测量点的连线， 分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均 值来衡量古塔的扭曲情况。 （3）对问题三的分析 问题三要求我们分析该塔的变形趋势，这个问题属于预测的数学问题。对于 这个问题我们一般用回归的方法来求解，得出倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对 时间的回归方程，并作出各自的图像，观察趋势。
2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
古塔变形
摘要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
本文研究的是古塔变形，对古塔每一层进行多次测量，制定保护措施。用 matlab 画出古塔的三维结构是近似八边形。因此，问题一，我们根据四年来所 测用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标， 再用中心坐标的三个 坐标值分别对时间 t 做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。问题二， 分析该斜塔、弯曲、扭曲等变形情况由于长期受各种因素的影响，使其主轴线发 生偏移， 从上向下投影其塔顶与塔底的中心点不在同一点上，利用坐标求出塔顶 与塔底中心在水平面上距离 L，结合塔顶的高度 H 构建直角三角形最后在三角形 中解得古塔中轴线与垂线的夹角θ ，为该塔的倾斜度，从效果上观察，较为精确 地反映了实例中的问题， 由此也说明了我们所建模型的合理性。古塔的倾斜变形 必然会导致在同一层中， 测点存在高程的绝对差 h， 如果古塔存在倾斜变形的话， 每层的 h 值会相等； 如果古塔存在倾斜变形的同时也存在弯曲变形的话，则每层 的 h 值会发生改变。 所以相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程 度大小。 再根据每层出现高程绝对差 h 的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。 古塔 的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。 然后通过每层对测量点的连线， 分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度 的平均值来衡量古塔的扭曲情况。 问题三，由问题一二，结合古塔的倾斜、弯曲、扭曲的指数结合 Excel 来确定 古塔的变形趋势。