导数与微分的概念
求导与微分的区别
求导与微分的区别1、导数（derivative）亦名微商，由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。
又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。
为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0]，当t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到t1这段时间内的运动变化情况，自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。
一般地，假设一元函数y＝f(x )在x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。
若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作f′，称之为f的导函数，简称为导数。
函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0〔x0，f（x0）〕点的切线斜率。
导数是微积分中的重要概念。
导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
义导数。
简单的说，两个概念是不同而有联系的······4、微分函数和求导函数可以看成是互逆的过程。
就像加法和减法。
2+8=10但反过来，10=1+9=2+8=3+7=。
=9+1所以逆运算的微积分较难一些7、dy=y'dx 微分是用x的增量dx求y的增量dy的过程，导数是求函数值变化速率的过程8、在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。
导数公式微分公式和积分公式的比较
导数公式微分公式和积分公式的比较导数、微分和积分是微积分中的三个重要概念，它们在数学和其他科学领域中有着广泛的应用。
本文将对导数公式、微分公式和积分公式进行比较，并介绍它们的定义、性质以及应用。
一、导数公式：导数是研究函数变化率的工具，用于描述函数在其中一点的瞬时变化情况。
在微积分中，导数是函数的斜率，表示函数在其中一点处的瞬时变化率。
导数可以通过极限的概念进行定义，常用的导数公式包括：1.基本求导公式：导数的定义是函数值变化的极限比率，基本求导公式给出了一些基本函数的导数公式，如：常数函数的导数为0；幂函数的导数是该幂次减1倍的幂函数；指数函数、对数函数等的导数公式。
2.链式法则：当一个函数是由两个函数相互嵌套而成时，可以利用链式法则求导。
链式法则给出了复合函数导数的计算方法，即外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。
3.高阶导数：导数不仅可以计算一次，还可以计算多次，当导函数再次求导时，得到的导函数叫做函数的二阶导数。
高阶导数的概念可以一直推广下去。
二、微分公式：微分是研究函数在其中一点附近的近似变化的工具，微分公式是一种通过求函数的导数来描述函数的微小变化量的方法。
微分可以用于近似计算和最优化问题，常用的微分公式有：1.微分的定义：微分可以通过导数的概念进行定义，即函数在其中一点的微分是函数在该点的导数与自变量的微小变化量之积。
2.差分：微分可以理解为函数在其中一点附近的线性逼近，差分是微分的离散形式，通过求函数在两点间的斜率来近似描述函数的变化。
3.微分的性质：微分具有线性性质，即函数的和/差的微分等于函数的和/差的微分；函数的常数倍的微分等于该常数倍的函数的微分。
三、积分公式：积分是函数曲线下面积的计算工具，可以用于计算函数的总体积、质量、能量等。
积分公式是一种描述函数曲线下面积计算方法的公式，常用的积分公式有：1.不定积分和定积分：不定积分是通过求导函数来确定的，定积分是通过求曲线在一定区间上的面积来确定的。
导数与微分的区别与联系
导数与微分的区别与联系
(1)起源(定义)不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即厶y/ △ x的极限•微分起源于微量分析，如厶y可分解成A A x与0( △ x)两部分之和，其线性主部称微分•当△ x很小时，△ y的数值大小主要由微分A A x 决定,而0( △ x)对其大小的影响是很小的.
⑵几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，而厶y则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考任何一本教材的图形理解.
⑶联系：导数是微分之商(微商)y' =dy/dx,微分dy=f(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别.
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微,可微必可导.
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第二章 导数与微分
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算， 即
已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正 可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义， 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
导数与微分的概念
导数与微分是微积分中最基本的概念之一，也是研究函数变化的重要工具。
导数和微分的概念的提出，极大地推动了数学的发展，对于物理学、经济学等其他学科的研究也起到了重要的作用。
导数是函数在某一点处的瞬时变化率，也可以理解为函数在某一点处的斜率。
以函数f(x)为例，它在x=a处的导数可以表示为f'(a)，读作"f prime of a"。
导数可以用极限的概念来定义，即导数等于函数值的增量与自变量增量的比值在自变量趋于0的极限。
导数的计算方式有很多，比如常用的基本导数公式、组合函数求导法则、乘积法则、商数法则等。
导数的概念使我们能够研究函数在不同点的变化情况，通过导数我们可以求得函数的最值、拐点、增减性等重要信息。
导数的计算和应用在实际问题中非常广泛，比如在物理学中，我们可以通过对位移函数求导得到速度函数和加速度函数，从而研究物体的运动情况；在经济学中，我们可以通过对需求函数或者产量函数求导来研究市场的供需关系和产量的优化问题。
微分是导数的一种应用形式，它是函数在某一点处的线性近似。
以函数f(x)为例，它在点x=a处的微分可以表示为df(a)，读作"differential of a"。
微分可以用导数来计算，即函数在某一点处的微分等于导数乘以自变量的增量。
微分在几何学上有着重要的意义，它可以表示函数在某一点处的切线，并且在近似计算中能够提供非常有用的信息。
微分的概念使人们能够更深入地理解函数的性质，通过微分我们可以求得函数在某一点处的切线方程，从而研究函数的凹凸性、极值问题等。
微分也具有很多应用，比如在工程学中，我们可以通过微分来计算误差的传播，进而评估产品和系统的可靠性；在金融学中，我们可以通过微分来建立风险模型，从而帮助投资者做出更明智的决策。
导数和微分的概念是微积分的基础，也是了解数学和相关学科的重要一步。
它们的提出和应用极大地推动了科学的发展。
无论是基础学科还是应用学科，导数和微分都扮演着重要的角色。
专升本内容导数与微分
二阶导数旳导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3 dx
y
3
.
一般地,函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f
(n) ( x),
y(n) ,
dn dx
y
n
或
d
n f( dx n
x
)
.
5、微分旳定义
若函数y f (x)的增量 y f (x0 x) f (x0) A x o(x) ( A与x无关),则称A x为函数y f (x)在点x0处 的微分,记作 dy xx0 A x. 微分dy叫做函数增量 y的线性主部 .(微分旳实质)
d
(u) v
vdu udv v2
无论x是自变量还是中间变量 ,函数y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
注：若x为中间变量，则dx x
导数的几何意义 :
(1) f (x0 ) 0 表示有不平行于x轴的切线
(2) f(x)在x0连续,f (x0 ) (此时f (x)在x0不可导) 切线 : x x0 ,法线 : y y0
(a 0且a 1)
(sin x)(n) sin(x n ) , (cos x)(n) cos( x n )
2
2
常见类型
导数旳概念；连续与可导旳关系、可导与 可微旳关系。变限积分旳导数。复合函数旳导 数(微分)；隐函数旳导数(微分)；参数方程旳 导数。分段函数旳可导性(待定常数)。简朴函 数旳n阶导数。求曲线旳切线与法线。
试卷题型分布
导数：约30分(选择、填空、计算)
3). f (x)、g (x)皆不可导时,不能推出 f (x) g(x)、f (x) g(x)不可导
微分导数积分的区别与联系
微分导数积分的区别与联系微分、导数、积分都是微积分的基本概念，它们是互相关联的。
微分和导数是一对概念，积分和微分则是互逆的操作。
下面我就详细介绍微分、导数和积分的区别和联系。
一、微分和导数的区别与联系微分和导数是密切相关的两个概念。
微分属于导数的一种运算方法，可以说微分是导数的一种表现形式。
微分描述了函数在某一点附近的变化情况，是函数值的增量与自变量的增量之比的极限，可以看作是一个过程。
微分常用“dy”来表示，表示函数y=f(x)在某一点x处的微小变化量。
微分的物理意义是函数f(x)在x处的切线的斜率，即函数f(x)在x处的导数。
导数描述了函数在整个定义域上的变化规律，是一个函数。
导数可以看作是微分的结果，是微分的极限。
导数常用“f'(x)”或“df(x)/dx”来表示，表示函数y=f(x)的导数。
微分和导数的关系可以用下面的式子来表示：dy=f'(x)dx二、积分和微分的区别与联系积分和微分是微积分中的两个重要概念，也是微分方程的基本工具。
1.区别：积分是微分的逆运算，它描述了曲线下某一区间的累计性质。
积分可以看作是将一个函数变成另一个函数的一个过程，它反映了曲线下的面积、容积等的大小。
积分常用符号“∫”表示。
微分是为了求解导数而发展起来的概念，它描述了函数在某一点附近的变化情况。
微分可以看作是一个过程，它表示了函数值的微小变化量。
微分常用符号“d”表示。
2.联系：微分和积分之间存在一种联系，即微分和积分是互逆的操作。
对一个函数进行积分然后再对积分结果进行微分，可以得到原函数。
这个关系可以用下面的式子来表示：∫(d/dx)f(x)dx = f(x) + C其中，C为积分常数。
三、微分、导数和积分的联系微分、导数和积分是紧密联系的三个概念，它们在微积分中有着重要的地位，相互之间相互依存着。
1.微分和导数的联系：微分是导数的一种表现形式，导数是微分的极限。
微分描述了函数在某一点附近的变化情况，是函数值的增量与自变量的增量之比的极限。
微分与导数的通俗理解
微分与导数的通俗理解微分和导数是微积分中非常重要的概念，它们是描述函数变化率的工具。
在现实生活中，我们经常会遇到各种变化的现象，比如物体的运动、温度的变化以及人口的增长等等。
微分和导数的概念能够帮助我们更好地理解和描述这些变化的过程。
1.微分的概念微分是函数在某一点附近的局部线性近似。
具体来说，如果有一个函数f(x)，在某一点x=a处，对于很小的dx的变化量，函数值的变化量df可以通过微分来表达。
微分的一般形式可以用df=f'(x)dx来表示，即函数f(x)的微分df等于其导数f'(x)与自变量的微小变化量dx的乘积。
微分的几何解释是函数曲线在某一点处的切线斜率，也就是函数的导数。
微分的物理解释是速度，它描述了物体在某一点的瞬时速度。
2.导数的概念导数是描述函数在某一点的变化率，它是函数在某一点处的斜率。
导数的一般定义是f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h，表示函数f(x)在x点的导数等于函数在x+h点与x点之间的变化量f(x+h)-f(x)与自变量变化量h的比值在h趋近于0时的极限值。
导数的几何解释是函数曲线在某一点的切线斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。
导数的物理解释是速度的瞬时变化率和加速度，它描述了物体在某一点的瞬时速度和瞬时加速度。
3.微分与导数的关系微分和导数是紧密相关的概念，它们之间有着非常密切的联系。
微分和导数都是描述函数的变化率，它们本质上都是一阶导数。
微分是函数在某一点的局部线性近似，而导数是函数在某一点的斜率。
微分和导数之间的关系可以用微分等式df=f'(x)dx来表示，即函数的微分等于其导数与自变量微小变化量的乘积。
4.微分和导数的应用微分和导数在现实生活中有着广泛的应用。
在物理学中，微分和导数可以用来描述物体的运动、速度和加速度等。
在工程学中，微分和导数可以用来描述电路的电流和电压的关系。
在经济学和金融学中，微分和导数可以用来描述市场的供需关系和货币的通胀率。
导数和微分的定义
则 f ( x) 在点 x0 可导, 且 f '( x0 ) a.
例6. 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 x) f (0) x ,
x
x
lim f (0 x) f (0) lim x 1,
x0
x
h0 x
lim
f (0 x) f (0)
lim
x
1.
在 M 点处旳切线
割线 M N 旳极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 旳斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 旳斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o t0
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
得增量x 时, 面积旳增量为
x x0x (x)2
有关△x 旳 x 0 时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数在 x0 旳微分
定义: 若函数
在点 x0 旳增量可表达为 Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 旳常数)
3. 导数旳几何意义: 切线旳斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
(C) 0;
(ln x) 1
(cos x) sin x ;
x
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义;
看左右导数是否存在且相等.
微分和导数的区别
(1)起源（定义）不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即△y/△x的极限。
微分起源于微量分析，如△y可分解成A△x与o(△x)两部分之和，其线性主部称微分。
当△x很小时，△y的数值大小主要由微分A△x决定，而o(△x)对其大小的影响是很小的。
(2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，
|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。
函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，
总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。
设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，
而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量。
可参ห้องสมุดไป่ตู้任何一本教材的图形理解。
(3)联系：导数是微分之商（微商）y' =dy/dx, 微分dy=f'(x)dx，这里公式本身也体现了它们的区别。
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微，可微必可导。
数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，
第二章 导数与微分
例4
求自由落体运动 s
=
1 2
gt 2
在时刻 t0
的瞬时速度 v(t0 )
.
解
Δs
=
1 2
g (t0
+
Δt)2
−
1 2
gt02
=
gt0Δt
+
1 2
g (Δt )2
Δs Δt
=
gt0Δt
+ 1 g (Δt )2
2 Δt
=
gt0
+
1 2
gΔt
lim
Δt → 0
Δs Δt
=
lim
Δt → 0
(
g
t
0
+
1 2
也随着变动而趋向于极限位置，即直线 M0T .称直线 M0T 为曲线 y = f (x) 在定点
29
M0 处的切线.显然，此时倾角ϕ 趋向于切线 M 0T 的倾角α ，即切线 M 0T 的斜率
为
tan α = lim tanϕ = lim Δy = lim f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) .
lim Δy = lim (2x + Δx) = 2x
Δx Δx→0
Δx→0
y′ = ( x2 )′ = 2x .
同理可得 (xn )′ = nxn−1 （ n 为正整数）
例 6 求 y = sin x 的导函数.
解 Δy = sin ( x + Δx) − sin x = 2 cos(x + Δx ) ⋅ sin Δx
d f (x)
dx
x= x0
这时称函数 y = f (x0 ) 在点 x0 处是可导的函数.
导数与微分的区别与联系
..
;. 导数与微分的区别与联系
(1)起源（定义）不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率,即△y/△x的极限.微分起源于微量分析,如△y可分解成A△x与
o(△x)两部分之和,其线性主部称微分.当△x很小时,△y的数值大小主要由微分A△x决定,而o(△x)对其大小的影响是很小的. (2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率,微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量,而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考任何一本教材的图形理解.
(3)联系：导数是微分之商（微商）y' =dy/dx,微分dy=f'(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别.
(4)关系：对一元函数而言,可导必可微,可微必可导.。
导数与微分基本概念
导数与微分基本概念导数与微分是微积分的基本概念，它们在数学和物理等学科中都有广泛的应用。
本文将对导数与微分的基本概念进行介绍，并探讨它们的关系与应用。
一、导数的概念导数是函数在某一点上的变化率。
对于一个函数f(x)，若在某一点x处它的导数存在，那么这个导数就是函数在这一点上的导数。
导数可以用极限的概念来定义，它等于函数在该点附近的变化率的极限值。
导数的记号通常用f'(x)或df/dx表示，其中f'(x)表示函数f(x)的导数，df/dx表示函数f(x)的微分。
导数可以理解为函数的瞬时变化率，描述了函数在某一点上的斜率或切线的斜率。
二、微分的概念微分是函数变量的无穷小增量与函数的导数之积。
对于函数f(x)，当自变量x的增量Δx无限接近于0时，函数值的增量Δy几乎等于导数f'(x)与增量Δx的乘积（Δy ≈ f'(x)Δx）。
微分可以用dy表示，即dy≈ f'(x)dx，其中dx表示自变量的增量。
微分的概念可以理解为函数值的近似变化量。
由于微分近似地表示了函数值的变化，它在求解函数极值、函数的线性近似以及微分方程等问题中具有重要的应用。
三、导数和微分的关系导数和微分之间存在着密切的关系。
事实上，导数是微分的主要应用，微分则是导数的一个基本形式。
导数可以视为微分的比值近似，即导数f'(x)等于函数f(x)的微分dy 除以自变量的微分dx，即f'(x) = dy/dx。
这意味着导数是函数的微分与自变量微分之比。
微分可以视为导数的积分，即函数的微分dy等于导数f'(x)与自变量的微分dx之积，即dy = f'(x)dx。
这意味着微分是导数的积分形式。
四、导数和微分的应用导数和微分在数学和物理等学科中有广泛的应用。
在数学中，导数和微分是微分学和积分学的基础，它们被用来求解函数的极值、函数的图像与曲线的性质等问题。
导数和微分也是微分方程的重要工具，用于描述各种变化率和速率。
微分学和导数的关系
微分学和导数的关系微分学和导数是数学中非常重要的概念之一。
微分学是研究函数在一点的微小变化量与自变量的微小变化量之间的关系，而导数则是描述函数在某一点的变化趋势。
微分学和导数之间有着密切的关联，正是导数理论的提出和发展推动了微分学的研究，两者相互依存、相辅相成。
微分学是从微积分的发展过程中逐步发展起来的。
在18世纪之前，微积分基本上停留在几何的阶段。
直到牛顿和莱布尼兹的提出，微积分从几何向运算和代数转化，渐渐形成了现代微积分的基本理论和方法。
微分学与导数的关系可以从两个方面来看。
一是“导数是微分的极限”，这个概念是微分学的基础。
当自变量x在x0处取得一个微小的增量△x时，函数y=f(x)也相应产生一个微小的增量△y，可以表示为△y=f(x+△x)-f(x)。
现实中，当自变量的增量越来越小，对应的函数增量也越来越小。
那么若将微小增量看作无穷小，其增量比△x更加的微小，它就被称为微分值，用dy 表示。
根据微分的定义可以得出，微分dy等于函数f(x)在点x0处的导数f'(x)与x-x0的乘积，即dy=f'(x0)(x-x0)。
因此，微分可以看作导数的一个乘积。
二是“微分和导数是倒数的关系”，这个关系展示了微分学和导数的紧密关联。
当微分值dy趋近于零时，对应的自变量增量dx也趋近于零。
这个时候，如果可以求出函数f(x)在x0处的导数f'(x0)，那么微分就可以表示为dy=f'(x0)dx，这样就可以用导数的值表示微分。
反过来，如果已知函数y=f(x)在某一点x0的微分值dy，那么可以根据dy=d(y/dx)dx，通过求导得到导数的值。
这表明微分和导数是互相可逆的，因为它们之间的关系具有对称性。
微分学和导数作为一组紧密关联的概念，已经广泛应用到物理、化学、工程、经济等各个领域，形成了微积分基础上的数学模型。
微分学的重大贡献在于它将研究某一物理量的变化转化为研究函数的导数，从而为研究物理变化求导奠定了基础。
高数基础知识总结与重点概念整理
高数基础知识总结与重点概念整理
一、导数与微分
导数：描述函数在某一点附近的变化率，是函数值的极限。
可导性：函数在某点可导，当且仅当该点附近存在一个定义恰当的导数。
微分：一个近似值，表示函数在某点附近的小变化所引起的函数值的大致变化。
二、积分
不定积分：求一个函数的原函数（或反导数），即求函数的不定积分。
定积分：对一个区间上函数的值的总和的量度，即求函数的定积分。
微积分基本定理：定积分可化为不定积分的计算。
三、级数
数列：一个数字序列。
无穷级数：无穷多个数的和，即数列的和。
收敛性：无穷级数趋于一个有限的和的性质称为收敛性。
发散性：无穷级数不收敛的性质称为发散性。
四、多元函数
多元函数：定义在多个变量上的函数。
偏导数：多元函数对一个变量的导数。
方向导数：描述函数在某点处沿某一方向的变化率。
梯度：方向导数的最大值，表示函数在某点处沿梯度方向的增长最快的方向。
五、微分方程
微分方程：包含未知函数的导数或微分的方程。
初值问题：给定初始条件的微分方程问题。
通解与特解：满足微分方程的解称为通解，满足特定初始条件的解称为特解。
导数与微分的基本概念
导数与微分的基本概念导数和微分是微积分中的两个核心概念。
它们以不同的方式描述了函数的变化率和近似值。
导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则描述了函数在某一点的近似变化。
了解导数和微分的基本概念对理解微积分的其他内容至关重要。
一、导数的定义在微积分中，函数f(x)的导数可以用下式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h这个式子表示的是当自变量x的增量h趋近于零时，函数f(x)的变化量与自变量变化量的比值的极限。
导数反映了函数在某一点的斜率，也可以理解为函数在这一点的瞬时变化率。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过函数的图像进行理解。
在一个给定点上，函数图像的切线斜率等于该点处的导数值。
当导数大于零时，函数在该点递增；当导数小于零时，函数在该点递减；当导数等于零时，函数在该点取得极值。
三、微分的定义函数f(x)在点x处的微分可以用下式表示：df(x) = f'(x) * dx其中，dx表示自变量x的微小增量。
微分表示了函数在某一点的近似变化量。
通过微分，可以在给定点处用线性函数逼近原函数，进而研究函数的性质。
四、微分的应用微分在实际应用中有着广泛的应用。
例如，微分可以用来确定函数在某一点的近似值，从而进行数值计算。
微分还可以用于求解最优化问题，例如找到函数的最大值或最小值。
微分在物理学、工程学、经济学等领域都有重要作用。
五、导数与微分的关系导数和微分是密切相关的概念。
实际上，导数可以看作是微分的比值近似。
当自变量的增量趋近于零时，微分即为导数的极限。
因此，微分是导数的一个特例，可以通过导数来求解。
综上所述，导数和微分是微积分中的基本概念，它们描述了函数的变化率和近似值。
导数表示了函数在某一点的斜率，而微分表示了函数在某一点的近似变化。
了解导数和微分的基本概念对于深入理解微积分的其他内容至关重要。
在实际应用中，导数和微分有广泛的应用价值。
导数与函数的微分形式关系归纳
导数与函数的微分形式关系归纳导数与函数的微分形式关系是微积分中的重要概念之一。
它描述了函数的瞬时变化率与函数自身之间的联系。
在本文中，我们将对导数与函数的微分形式关系进行归纳和总结。
一、导数的定义与意义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。
设函数f(x)在点x=a处可导，则函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim（(f(x)-f(a))/(x-a)）当x→a其中lim代表极限的定义。
简单来说，导数表示了函数在某一点的瞬时增长率或减少率。
导数为正数表示函数在该点上升，为负数表示函数在该点下降，为零表示函数在该点取得极值。
二、导数与函数的微分形式1. 微分形式一：dy = f'(x)dx根据导数的定义，我们可以得出微分形式一：当函数f(x)在某一点x=a处可导时，函数的微分形式为dy = f'(a)dx。
简单来说，函数在某一点的微小变化dy可以用导数与自变量的微小变化dx表示。
2. 微分形式二：dy = f'(x)dx + ε(dx)当函数f(x)在某一点x处两次可导时，函数的微分形式可以进一步推广为：dy = f'(x)dx + ε(dx)，其中ε(dx)为高阶无穷小。
三、导数与函数的微分形式关系导数与函数的微分形式之间存在着紧密的联系。
根据微分形式的定义，我们可以得出以下结论：1. 如果函数f(x)在某一点x=a处可导，则微分形式dy = f'(x)dx成立。
2. 如果微分形式dy = f'(x)dx成立，那么函数f(x)在某一点x处可导。
换言之，导数与函数的微分形式是等价的，它们可以互相转化。
从微分形式可以获得导数的值，而从导数可以获得微分形式的表达式。
四、应用举例下面通过几个具体的例子来说明导数与函数的微分形式关系。
例1：设函数f(x) = x^2，求函数f(x)在点x=2处的导数以及微分形式。
解：首先求导数，由导数的定义可得：f'(2) = lim（(f(x)-f(2))/(x-2)）当x→2代入函数f(x)的表达式，化简得：f'(2) = lim（(x^2-4)/(x-2)）当x→2化简后得：f'(2) = lim（(x+2)）当x→2计算极限得f'(2) = 4因此，函数f(x)在点x=2处的导数为4。
三角函数的导数与微分
三角函数的导数与微分三角函数是数学中重要的一类函数，涉及到导数和微分的概念。
导数是用来描述函数变化率的概念，而微分则是导数的几何解释。
一、正弦函数的导数与微分正弦函数(sin x)是最基本的三角函数之一，其导数和微分的计算如下：1. 导数：设函数 y = sin x，则其导数表示为 dy/dx。
根据求导法则，对于正弦函数，有以下导数公式：dy/dx = cos x2. 微分：微分的几何解释是切线的斜率。
对于正弦函数，其微分可以表示为：dy = cos x dx二、余弦函数的导数与微分余弦函数(cos x)也是一种常见的三角函数，其导数和微分的计算如下：1. 导数：设函数 y = cos x，则其导数表示为 dy/dx。
根据求导法则，对于余弦函数，有以下导数公式：dy/dx = -sin x2. 微分：对于余弦函数，其微分可以表示为：dy = -sin x dx三、其他在三角函数中，还有两个重要的函数：正切函数(tan x)和余切函数(cot x)。
1. 正切函数的导数与微分：设函数 y = tan x，则其导数表示为 dy/dx。
根据求导法则，对于正切函数，有以下导数公式：dy/dx = sec^2 x微分的表示为：dy = sec^2 x dx2. 余切函数的导数与微分：设函数 y = cot x，则其导数表示为 dy/dx。
根据求导法则，对于余切函数，有以下导数公式：dy/dx = -csc^2 x微分的表示为：dy = -csc^2 x dx四、三角函数导数的应用三角函数的导数与微分在数学及其它学科中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1. 物理学中的运动学：在物理学中，将导数应用于描述物体的运动状态。
三角函数的导数在运动学中经常出现，用于描述物体的速度和加速度等。
2. 工程学中的信号处理：工程学中常常遇到对信号进行处理的问题，其中包括对三角函数信号进行导数运算，以求出信号的频率、幅度等信息。
导数与微分的概念
13
例5 求曲线 y x 2在点(1, 1)处的切线方程
和法线方程 .
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
k y
( x 2 ) x 1
x 1
2x
x 1
2.
所求切线方程为 y 1 2( x 1), 即 y 2 x 1. 1 法线方程为 y 1 ( x 1), 即 x 2 y 3 0. 2
y o( x ) 1 1 ( x 0). dy A x
(4) A是与x无关的常数但与f ( x )和x0有关; ,
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部 ).
19
定理1 函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函
数 f ( x )在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
当 x 很小时, 在 点 M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段MN . 即
o
y f ( x)
）
y
T N P M
o( x )
dy y
x
x0
x0 x
x
f ( x ) f ( x0 ) dy
x x0
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
23
例8 求 ln 1.01的近似值 . 解
x x0
或 df ( x )
x x0
, 即dy
x x0
A x .
微分dy叫做函数增量y的线性主部(微分的实质) .
18
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数 ;
(2) y dy o(x )是比x高阶无穷小 ;
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(c)′=0
x x
x0 x
例3 设y=lnx,求y′.
解 ①y lnx x ln x ln(1 x)
x
② y
1
ln(1
x )
1
ln(1
x
)
x x
x x
xx
x
③f
'(x)
lim
y
lim
1
ln(1
x
)
x x
x x x0
x0
x
1
x x 1
1
ln lim (1 )x ln e
x x0
上面三个例子考虑的问题都是:当自变量的改变量趋
于零时,函数的改变量与自变量的改变量之比的极限.
二、导数的概念
1.函数在一点的导数
定义 设函数y=f (x)在点 x0的邻域内有定义,当自变
量x在点 x0处取得改变量 x( 0) 时,函数y取得相应的改变
量
y f x0 x f x0
若当 x 0时,两个改变量之比 y 的极限
这三类实际问题的现实原型在数学上都可以归结 为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓 函数的变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱布尼 茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。
1.导数概念的引入 2.导数的概念 3.导数的几何意义
4.可导与连续的关系
5.函数的相对变化率-函数的弹性
6.微分的定义
x
lim y lim f x0 x f x0
x0 x x0
x
存在,则称函数y= f (x)在点 x0处可导,并称此极限值为函数
y=f(x)在点 x0处的导数,记为
f '
x0
或y' , df , dy
dx dx xx0
x x0
x x0
即
否则称函数f(x)在点 x x0 处不可导。
由左、右极限的概念,可得左、右导数的定义.
x
x
x
ln x' 1 x
若在产量 q q0 处产生一个改变量 q ,那么成本
函数的改变量 C Cq0 q Cq0 与产量的改变
量 q 之比
C C(q0 q) C(q0 )
q
qபைடு நூலகம்
平均变化率
lim C lim C(q0 q) C(q0) 成本的变化率
q q0
q0
q
称为C(q)在点 q0 处的变化率,在经济分析中称为在点处 q0 的边际成本值.
根据定义, 求曲线切线的斜率.
y
y=f (x)
割线MM1的斜率
tan y f x0 x f x0
x
x
M1(x0 x, y0 y)
M (x0 , y0 )
T
0
x0
x0 x x
切线 MT 的斜率
割线的极限位置 是切线. 割线斜率的 极限就是切线的斜率.
3.求边际成本问题
设成本函数C是产量 q 的函数C=C(q)。
st0 t
t
首先考虑当时间 t0 变化到 t0 t 时,质点这段时间走过的
路程是
s st0 t st0
st0
这段时间的平均速率为
st0 t
当 很小时,平均速率 应与 时刻的速率非常接近.
由于质点速率的变化是连续的,当 t 0 时,如果极限
lim s t0 t
存在,这个极限就是在
t0
时刻的瞬时速率,即
2.求曲线上一点处的切线问题。
在17世纪，为了设计光学透镜和了解行星的运动 方向，必须知道曲线的切线。
平面几何中圆的切线的定义:与圆只有一个交点的 直线。
推广到一般曲线上是不成立的.
如何定义曲线的切线呢?
一般曲线在某点切线的定义: 在曲线 L 上，点M 为 曲线上一个定点， 在曲线上另取一个动点 Μ 1 ，作割 线 ΜΜ1 。当动点 Μ 1 沿着曲线 L 移动而趋向于点 M 时, 割线 ΜΜ1 的极限位置 MT 为曲线 L 在定点 M 处的切线。
左导数 右导数
y lim x0 yx lim x0 x
lim x0
lim x0
f x0 x f x0 xx
x
f x0 f x0
f ' x0 f ' x0
函数f(x)在点x0 处可导的充要条件是在点x0 处左、右导数
都存在且相等.
思考题 比值 y与导数 lim y 的区别？
x
x0 x
x0 x x0
x
函数y =f (x)在点x0 处的导数 f 'x0 是导函数 f 'x 在
点 x0 处的函数值，即
f
'x0
f
'x x x0
函数y =f (x)在闭区间[a，b]上可导是指y =f (x)在 (a,b)内处处可导,且在左端点a存在右导数,在右端点b存 在左导数.
根据导数定义求导数,可归纳为三个步骤: 1. 当自变量x的改变量为 x 时,求函数y =f (x)的相应
改变量 y ,即 y f x x f x
2.求两个改变量的比值
y f x x f x
x
x
3. 求当x 0时 y 的极限,即
x
lim y f 'x
x0 x
例1 已知 f x x,2求 f '(x); f '(1); f '(1);
2
解 f x x2
f '(x0 ).
①y f x x f x x x2 x2 2x x x2
② y 2x x
x
③f 'x lim y lim 2x x 2x
x x0
x0
f 'x x2 ' 2x
f '1 2x 2 x1
f
'(1) 2
2x
x1 2
1
f '(x0 ) 2x xx0 2x0
例2 设 y = c (常数函数), 求 y′。
解 ①y c c 0; ② y 0 0; ③ lim y 0
一、导数概念的引入
1.求变速运动的瞬时速度问题
质点运动一般是变速运动还是匀速运动？怎样描绘或 怎样刻画这样的运动？
用平均速度代替瞬时速度合适吗？怎样才合适呢?
设质点运动的路程为 s,且 s 是时间 t 的函数s = s (t)。
考虑在 t0 时的瞬时速度时, 给时间 t 一个改变量 t ，
st0
这时, 对于区间(a, b)内每一个x都有一个导数值 f 'x 与之相对应. 那么 f 'x 也是 x 的一个函数, 称其为函数
y =f (x)在区间(a, b)内的导函数, 简称为导数, 记为
f 'x, y', dy , df x
dx dx
则 f 'x lim y lim f x x f x
y f x0 x f x0 函数在这段区间上的平均变化率.
x
x
y lim x0 x
lim x0
f
x0
x
x
f
x0
f
'x0
函数在一点处的瞬时变 化率—变化率.
2.函数在区间上的导数
如果函数 y =f (x) 在区间(a,b)内每一点都可导,则称函
数y =f (x)在区间(a,b)内可导.