导数与微分的概念

根据定义, 求曲线切线的斜率.
y
y=f (x)
割线MM1的斜率
tan y f x0 x f x0
x
x
M1(x0 x, y0 y)
M (x0 , y0 )
T
0
x0
x0 x x
切线 MT 的斜率
割线的极限位置 是切线. 割线斜率的 极限就是切线的斜率.
3.求边际成本问题
设成本函数C是产量 q 的函数C=C(q)。
若在产量 q q0 处产生一个改变量 q ,那么成本
函数的改变量 C Cq0 q Cq0 与产量的改变
量 q 之比
C C(q0 q) C(q0 )
q
q
平均变化率
lim C lim C(q0 q) C(q0) 成本的变化率
q q0
q0
q
称为C(q)在点 q0 处的变化率,在经济分析中称为在点处 q0 的边际成本值.
时刻的瞬时速率,即
2.求曲线上一点处的切线问题。
在17世纪，为了设计光学透镜和了解行星的运动 方向，必须知道曲线的切线。
平面几何中圆的切线的定义:与圆只有一个交点的 直线。
推广到一般曲线上是不成立的.
如何定义曲线的切线呢?
一般曲线在某点切线的定义: 在曲线 L 上，点M 为 曲线上一个定点， 在曲线上另取一个动点 Μ 1 ，作割 线 ΜΜ1 。当动点 Μ 1 沿着曲线 L 移动而趋向于点 M 时, 割线 ΜΜ1 的极限位置 MT 为曲线 L 在定点 M 处的切线。
② y 2x x
x
③f 'x lim y lim 2x x 2x
x x0
x0
f 'x x2 ' 2x
f '1 2x 2 x1
f
'(1) 2
2x
x1 2
1
f '(x0 ) 2x xx0 2x0
例2 设 y = c (常数函数), 求 y′。
解 ①y c c 0; ② y 0 0; ③ lim y 0
上面三个例子考虑的问题都是:当自变量的改变量趋
于零时,函数的改变量与自变量的改变量之比的极限.
二、导数的概念
1.函数在一点的导数
定义 设函数y=f (x)在点 x0的邻域内有定义,当自变
量x在点 x0处取得改变量 x( 0) 时,函数y取得相应的改变
量
y f x0 x f x0
若当 x 0时,两个改变量之比 y 的极限
(c)′=0
x x
x0 x
例3 设y=lnx,求y′.
解 ①y lnx x ln x ln(1 x)
x
② y
1
ln(1
x )
1
ln(1
x
)
x x
x x
xx
x
③f
'(x)
lim
y
lim
1
ln(1
x
)
x x
x x x0
x0
x
1
x x 1
1
ln lim (1 )x ln e
x x0
y f x0 x f x0 函数在这段区间上的平均变化率.
x
x
y lim x0 x
lim x0
f
x0
x
x
f
x0
Байду номын сангаас
f
'x0
函数在一点处的瞬时变 化率—变化率.
2.函数在区间上的导数
如果函数 y =f (x) 在区间(a,b)内每一点都可导,则称函
数y =f (x)在区间(a,b)内可导.
这时, 对于区间(a, b)内每一个x都有一个导数值 f 'x 与之相对应. 那么 f 'x 也是 x 的一个函数, 称其为函数
y =f (x)在区间(a, b)内的导函数, 简称为导数, 记为
f 'x, y', dy , df x
dx dx
则 f 'x lim y lim f x x f x
左导数 右导数
y lim x0 yx lim x0 x
lim x0
lim x0
f x0 x f x0 xx
x
f x0 f x0
f ' x0 f ' x0
函数f(x)在点x0 处可导的充要条件是在点x0 处左、右导数
都存在且相等.
思考题 比值 y与导数 lim y 的区别？
x
x0 x
x
lim y lim f x0 x f x0
x0 x x0
x
存在,则称函数y= f (x)在点 x0处可导,并称此极限值为函数
y=f(x)在点 x0处的导数,记为
f '
x0
或y' , df , dy
dx dx xx0
x x0
x x0
即
否则称函数f(x)在点 x x0 处不可导。
由左、右极限的概念,可得左、右导数的定义.
x0 x x0
x
函数y =f (x)在点x0 处的导数 f 'x0 是导函数 f 'x 在
点 x0 处的函数值，即
f
'x0
f
'x x x0
函数y =f (x)在闭区间[a，b]上可导是指y =f (x)在 (a,b)内处处可导,且在左端点a存在右导数,在右端点b存 在左导数.
根据导数定义求导数,可归纳为三个步骤: 1. 当自变量x的改变量为 x 时,求函数y =f (x)的相应
这三类实际问题的现实原型在数学上都可以归结 为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓 函数的变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱布尼 茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。
1.导数概念的引入 2.导数的概念 3.导数的几何意义
4.可导与连续的关系
5.函数的相对变化率-函数的弹性
6.微分的定义
st0 t
t
首先考虑当时间 t0 变化到 t0 t 时,质点这段时间走过的
路程是
s st0 t st0
st0
这段时间的平均速率为
st0 t
当 很小时,平均速率 应与 时刻的速率非常接近.
由于质点速率的变化是连续的,当 t 0 时,如果极限
lim s t0 t
存在,这个极限就是在
t0
x
x
x
ln x' 1 x
一、导数概念的引入
1.求变速运动的瞬时速度问题
质点运动一般是变速运动还是匀速运动？怎样描绘或 怎样刻画这样的运动？
用平均速度代替瞬时速度合适吗？怎样才合适呢?
设质点运动的路程为 s,且 s 是时间 t 的函数s = s (t)。
考虑在 t0 时的瞬时速度时, 给时间 t 一个改变量 t ，
st0
改变量 y ,即 y f x x f x
2.求两个改变量的比值
y f x x f x
x
x
3. 求当x 0时 y 的极限,即
x
lim y f 'x
x0 x
例1 已知 f x x,2求 f '(x); f '(1); f '(1);
2
解 f x x2
f '(x0 ).
①y f x x f x x x2 x2 2x x x2