北京市人大附中2020-2021学年高一(10月份)段考数学试题(一)
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参考答案
1．D
【分析】
先求解集合 ，即可确定 与 的关系．
【详解】
解： ， ， ，
又 ， ， ．
故选：D.
2．B
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【详解】
命题 是全称命题，则 为 ，
故选：B.
3．B
【解析】
试题分析：因为 ， ， ,所以 ， ,所以 ．
考点：集合间的基本运算．
4．A
【分析】
A．7B．6C．5D．4
二、填空题
9．已知全集 ，集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是______.
10．设集合 ，集合 ，那么“ ”是“ ”的__条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．
11．方程 的解集为______________.
12．一元二次不等式 的解集是 ，则 的值是________
由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是 的元素且是 的元素，或是 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案.
【详解】
解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足
“是 的元素且是 的元素，或是 的元素”，
故阴影部分所表示的集合是
故选：
【点睛】
本题考查利用韦恩图求集合、考查韦恩图在解决集合间的关系时是重要的工具．
因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得 ，即 ，故 ， 时满足题意，故 ， ，故只持有B股票的股民人数是 ，故选A.
点睛：本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有A股票的人数．关键是求只参加一个项目的人数中，持有A股票的人数及持有A股票以外的项目，且即持有C股票又持有B股票（a部分）的人数.
原方程化为 ，解得 （舍 或 ，
即 ，得 ，解得 或 ．
即方程 的解集为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】
本题考查函数零点与方程根的关系，训练了利用换元法求解高次方程，是中档题．
12．
【分析】
根据一元二次不等式的解集以及一元二次方程根与系数的关系列方程组，解方程组求得 ，由此求得 的值.
【详解】
根据题意，一元二次不等式 的解集是 ，
北京市人大附中2020-2021学年高一（10月份）段考数学试题（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ， ，则下列关系正确的是（）
A． B． C． D．
2．设命题 ，则 为（）
A． B．
C． D．
3．全集 ，集合 ， ，则 等于（）
的在 ， 上的最小值，大于或等于4．
（1）当 时，对于一次函数 ，当 时， 最小值为 ，
故有 ，求得 ．
（2）当 时，对于一次函数 ，
当 时， 的最小值为 ，
故有 ，求得 ．
综上可得，存在 或 ，满足题中条件．
【点评】
本题主要考查韦达定理，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
18．见解析
【详解】
6．B
【分析】
结合一元二次不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】
解：由 ，得 ，
由 ，得 ，
若 是 的必要不充分条件，则 得 得 ，
故选：B.
7．D
【解析】
当x＞0时，不等式化为x＋2＞2x－1，
解得x＜3，即0＜x＜3；
当x＝0时，不等式恒成立；
当x＜0时，不等式化为x＋2＞(2x－1)－1，
即2x2＋3x－3＜0，
解得 ，
即 ＜x＜0.
综上可知，不等式的解集为 .选D.
点睛：根据定义利用分段讨论法，将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集．
8．A
【解析】
设只持有A股票的人数为 （如图所示），则持有A股票还持有其它股票的人数为 （图中 的和），因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B和C股票的人数和为 （图中 部分）．假设只同时持有了B和C股票的人数为 （如图所示），那么： ，即： ，则：X的取值可能是：9、8、7、6、5、4、3、2、1．与之对应的 值为：2、5、8、11、14、17、20、23、26．
由（1）可得： ，
又因为 ，所以 .
考点：集合的运算.
16．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据韦达定理列方程，即可解得结果；
（2）根据实根分布列不等式组，解得结果.
【详解】
（1）设方程 的根为
则
或 （舍）
即 ；
（2）设
由题意得： 且
即实数m的取值范围为
【点睛】
本题考查实根分布、韦达定理应用，考查数形结合思想方法，属中档题.
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
【点睛】
充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
11． ， ．
【分析】
令 ，把原方程化为关于 的一元二次方程，求解 ，进一步得到关于 的一元二次方程求解．
【详解】
解：令 ，则 ，
则方程 的两根为 和 ，则有 ，
解可得 ， ，则 .
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.
13．-1，3，0
【分析】
由方程可知 且 ，得到 ，解得 ，再分别将 和 代入 ，得到 ，验证是否解集中只有一个元素，得到 .
【详解】
，化简为 ，
，变形为 ①
A．
B．
C．
D．
8．（2017北京西城二模理8）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（ ）
14．3
【分析】
运用新定义，逐个验证，即可得到结论．
【详解】
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
则满足关系式 的 的个数为：3个．
故答案为：3．
15．（1） ， ；（2） ， ．
【解析】
试题分析：（1）列举出 与 即可；（2）求出 与 的交集，以及 与 并集的补集即可.
试题解析：（1） ， ，所以用列举法表示集合 与 为： ，
5．C
【分析】
举反例可排除ABD，至于C由不等式的性质平方可证．
【详解】
解：选项A，取 ， ，显然满足 ，但不满足 ，故错误；
选项B，取 ， ，显然满足 ，但不满足 ，故错误；
选项D，取 ， ，显然满足 ，但 ，故错误；
选项C，由 和不等式的性质，平方可得 ，故正确．
故选：C．
【点评】
本题考查不等式与不等关系，举反例是解决问题的关键，属基础题．
9．
【分析】
求出集合A的补集 ，结合 ，即可确定实数 的取值范围.
【详解】
与B必有公共元素
即
【点睛】
本题主要考查了集合间的交集和补集运算，属于基础题.
10．必要不充分
【分析】
通过举反例可得充分性不成立，根据 可得必要性成立，从而得出结论．
【详解】
解：由 不能推出 ，如 时，故充分性不成立．
根据 可得，由 成立，一定能推出 ，故必要性成立．
设 是集合 的具有题设性质的子集个数.
集合 的具有题设性质的子集可分为两类：第一类子集包含元素 ，这样的子集有 个（即每个 的这种子集与 的并集，以及 ）；第二类子集不包含 ，这样的子集有 个.
于是，有 .
显然， （即 ）
.
，
解得： ，
验证当 时， ，
解得： 成立.
.
当 时，代入① ，解得：
代入原式， ，
且 ，
化wk.baidu.com得： ，
解得： 或 ，
，
方程只有一个解，成立，
，
当 时，代入① ，解得 ，
带代原式 ，
且 ，
解得： ，成立，
故答案为：-1,3,0
【点睛】
本题考查根据分式方程的解集个数求参数，意在考查基本计算，属于基础题型，本题是一道易错题，易错的原因就是忽略将 和 代入 ，验证 的值.
（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；
（2）若两根均大于1，求实数m的取值范围.
17．已知关于x的方程 的两根为 ， ，试问：是否存在实数m，使得 ， 不等式 都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由.
18．已知集合 .求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有 个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1.
13．关于x的方程 的解集中只含有一个元素, ______.
14．设集合 ， ， ， ， ， ，在 上定义运算“ ”为： ，其中 为 被4除的余数， ， ，1，2，3，4，5．则满足关系式 的 的个数为__．
三、解答题
15．已知全集 ，集合 ， .
（1）用列举法表示集合 与 ；
（2）求 及 .
16．已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.
A． B． C． D．
4．下列表示图形中的阴影部分的是（）
A． B．
C． D．
5．若a， ，则下列命题正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6． ， ，且 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是（）
A． B． C． 或 D． 或
7．定义符号函数sgnx＝ 则当x∈R时，不等式x＋2＞(2x－1)sgnx的解集是( )
17．存在， 或 ，
【分析】
由题意可得 的在 ， 上的最小值大于或等于 的最大值．分类讨论 的符号，分别求出 的最大值和 的在 ， 上的最小值，从而求出 的范围．
【详解】
解： 关于 的方程 的两根为 ， ， △ ，
， ．
， ，不等式 都成立，
的在 ， 上的最小值，大于或等于 的最大值．
的最大值为 ，
1．D
【分析】
先求解集合 ，即可确定 与 的关系．
【详解】
解： ， ， ，
又 ， ， ．
故选：D.
2．B
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【详解】
命题 是全称命题，则 为 ，
故选：B.
3．B
【解析】
试题分析：因为 ， ， ,所以 ， ,所以 ．
考点：集合间的基本运算．
4．A
【分析】
A．7B．6C．5D．4
二、填空题
9．已知全集 ，集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是______.
10．设集合 ，集合 ，那么“ ”是“ ”的__条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．
11．方程 的解集为______________.
12．一元二次不等式 的解集是 ，则 的值是________
由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是 的元素且是 的元素，或是 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案.
【详解】
解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足
“是 的元素且是 的元素，或是 的元素”，
故阴影部分所表示的集合是
故选：
【点睛】
本题考查利用韦恩图求集合、考查韦恩图在解决集合间的关系时是重要的工具．
因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得 ，即 ，故 ， 时满足题意，故 ， ，故只持有B股票的股民人数是 ，故选A.
点睛：本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有A股票的人数．关键是求只参加一个项目的人数中，持有A股票的人数及持有A股票以外的项目，且即持有C股票又持有B股票（a部分）的人数.
原方程化为 ，解得 （舍 或 ，
即 ，得 ，解得 或 ．
即方程 的解集为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】
本题考查函数零点与方程根的关系，训练了利用换元法求解高次方程，是中档题．
12．
【分析】
根据一元二次不等式的解集以及一元二次方程根与系数的关系列方程组，解方程组求得 ，由此求得 的值.
【详解】
根据题意，一元二次不等式 的解集是 ，
北京市人大附中2020-2021学年高一（10月份）段考数学试题（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ， ，则下列关系正确的是（）
A． B． C． D．
2．设命题 ，则 为（）
A． B．
C． D．
3．全集 ，集合 ， ，则 等于（）
的在 ， 上的最小值，大于或等于4．
（1）当 时，对于一次函数 ，当 时， 最小值为 ，
故有 ，求得 ．
（2）当 时，对于一次函数 ，
当 时， 的最小值为 ，
故有 ，求得 ．
综上可得，存在 或 ，满足题中条件．
【点评】
本题主要考查韦达定理，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
18．见解析
【详解】
6．B
【分析】
结合一元二次不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】
解：由 ，得 ，
由 ，得 ，
若 是 的必要不充分条件，则 得 得 ，
故选：B.
7．D
【解析】
当x＞0时，不等式化为x＋2＞2x－1，
解得x＜3，即0＜x＜3；
当x＝0时，不等式恒成立；
当x＜0时，不等式化为x＋2＞(2x－1)－1，
即2x2＋3x－3＜0，
解得 ，
即 ＜x＜0.
综上可知，不等式的解集为 .选D.
点睛：根据定义利用分段讨论法，将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集．
8．A
【解析】
设只持有A股票的人数为 （如图所示），则持有A股票还持有其它股票的人数为 （图中 的和），因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B和C股票的人数和为 （图中 部分）．假设只同时持有了B和C股票的人数为 （如图所示），那么： ，即： ，则：X的取值可能是：9、8、7、6、5、4、3、2、1．与之对应的 值为：2、5、8、11、14、17、20、23、26．
由（1）可得： ，
又因为 ，所以 .
考点：集合的运算.
16．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据韦达定理列方程，即可解得结果；
（2）根据实根分布列不等式组，解得结果.
【详解】
（1）设方程 的根为
则
或 （舍）
即 ；
（2）设
由题意得： 且
即实数m的取值范围为
【点睛】
本题考查实根分布、韦达定理应用，考查数形结合思想方法，属中档题.
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
【点睛】
充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
11． ， ．
【分析】
令 ，把原方程化为关于 的一元二次方程，求解 ，进一步得到关于 的一元二次方程求解．
【详解】
解：令 ，则 ，
则方程 的两根为 和 ，则有 ，
解可得 ， ，则 .
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.
13．-1，3，0
【分析】
由方程可知 且 ，得到 ，解得 ，再分别将 和 代入 ，得到 ，验证是否解集中只有一个元素，得到 .
【详解】
，化简为 ，
，变形为 ①
A．
B．
C．
D．
8．（2017北京西城二模理8）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（ ）
14．3
【分析】
运用新定义，逐个验证，即可得到结论．
【详解】
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
则满足关系式 的 的个数为：3个．
故答案为：3．
15．（1） ， ；（2） ， ．
【解析】
试题分析：（1）列举出 与 即可；（2）求出 与 的交集，以及 与 并集的补集即可.
试题解析：（1） ， ，所以用列举法表示集合 与 为： ，
5．C
【分析】
举反例可排除ABD，至于C由不等式的性质平方可证．
【详解】
解：选项A，取 ， ，显然满足 ，但不满足 ，故错误；
选项B，取 ， ，显然满足 ，但不满足 ，故错误；
选项D，取 ， ，显然满足 ，但 ，故错误；
选项C，由 和不等式的性质，平方可得 ，故正确．
故选：C．
【点评】
本题考查不等式与不等关系，举反例是解决问题的关键，属基础题．
9．
【分析】
求出集合A的补集 ，结合 ，即可确定实数 的取值范围.
【详解】
与B必有公共元素
即
【点睛】
本题主要考查了集合间的交集和补集运算，属于基础题.
10．必要不充分
【分析】
通过举反例可得充分性不成立，根据 可得必要性成立，从而得出结论．
【详解】
解：由 不能推出 ，如 时，故充分性不成立．
根据 可得，由 成立，一定能推出 ，故必要性成立．
设 是集合 的具有题设性质的子集个数.
集合 的具有题设性质的子集可分为两类：第一类子集包含元素 ，这样的子集有 个（即每个 的这种子集与 的并集，以及 ）；第二类子集不包含 ，这样的子集有 个.
于是，有 .
显然， （即 ）
.
，
解得： ，
验证当 时， ，
解得： 成立.
.
当 时，代入① ，解得：
代入原式， ，
且 ，
化wk.baidu.com得： ，
解得： 或 ，
，
方程只有一个解，成立，
，
当 时，代入① ，解得 ，
带代原式 ，
且 ，
解得： ，成立，
故答案为：-1,3,0
【点睛】
本题考查根据分式方程的解集个数求参数，意在考查基本计算，属于基础题型，本题是一道易错题，易错的原因就是忽略将 和 代入 ，验证 的值.
（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；
（2）若两根均大于1，求实数m的取值范围.
17．已知关于x的方程 的两根为 ， ，试问：是否存在实数m，使得 ， 不等式 都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由.
18．已知集合 .求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有 个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1.
13．关于x的方程 的解集中只含有一个元素, ______.
14．设集合 ， ， ， ， ， ，在 上定义运算“ ”为： ，其中 为 被4除的余数， ， ，1，2，3，4，5．则满足关系式 的 的个数为__．
三、解答题
15．已知全集 ，集合 ， .
（1）用列举法表示集合 与 ；
（2）求 及 .
16．已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.
A． B． C． D．
4．下列表示图形中的阴影部分的是（）
A． B．
C． D．
5．若a， ，则下列命题正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6． ， ，且 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是（）
A． B． C． 或 D． 或
7．定义符号函数sgnx＝ 则当x∈R时，不等式x＋2＞(2x－1)sgnx的解集是( )
17．存在， 或 ，
【分析】
由题意可得 的在 ， 上的最小值大于或等于 的最大值．分类讨论 的符号，分别求出 的最大值和 的在 ， 上的最小值，从而求出 的范围．
【详解】
解： 关于 的方程 的两根为 ， ， △ ，
， ．
， ，不等式 都成立，
的在 ， 上的最小值，大于或等于 的最大值．
的最大值为 ，