三重积分求解方法的深入探究

### 1) 当 f ( x, y, - z ) = - f ( x, y, z ), 即为 上关于 z 的奇函数时, f ( x, y, z ) dxdydx = 0;
### ### 2) 当 f ( x, y, - z ) = f ( x, y, z), 即为 上关于 z 的偶函数时, f ( x, y, z ) dxdydx = 2 f (x, y, 1
### 例 6 计算 I = xy zdV, 其中 : x 2 + y 2 + z2 ∀ R 2。
分析: 因为 关于三个坐标平面都对称, f ( x, y, z) = xy z分别为 x, y, z的一元奇函数, 由定理 1知: I
### = xyzdV = 0。
注: 或由 关于坐标原点对称, f ( x, y, z) = xy z 是 x, y, z 的三元奇函数, 由定理 3知其积分值为 0。
z )dxdydz, 其中 1 是 位于过 z 轴的平面一侧的部分。 定理 3 若空间闭区域 关于坐标原点对称, 即 (x, y, z ) ! , ( - x, - y - z) ! , 则有:
### 1) 当 f ( - x, - y, - z ) = - f (x, y, z ), 即为 上关于 x, y, z 的奇函数时, f (x, y, z )dxdydz = 0;
z = z, - ∃ < z < + ∃
co s - rsin 0
### ### sin rco s 0 = r, 故 f (x, y, z ) dxdydz = f( rcos , rsin , z ) rdrd dz。
0
01
### 例 2 计算三重积分 I = ( x2 + y2 )dxdydz, 其中 : x2 + y2 = 2z, z = 2所围成区域。
dxdy
f ( x, zz21((
x, x,
y) y)
y,
z ) dz
Dx y
1. 2 化为定积分里套二重积分 (简称 先二后一 )
若积分区域 可写成: = { (x, y, z ) | ( x, y ) ! Dz, a ∀ z ∀ b}, 则
b
### # ## f (x, y, z )dV = dz f( x, y, z) dxdy a Dz
2 三重积分的换元求解方法
某些三重积分经过适当的变量换元可以简化计算。换元总体原则是: 积分区域易于定限, 被积函数 能得到简化或两者兼顾。下面重点介绍柱面坐标变换和球面坐标变换。 2. 1 柱面坐标变换
当满足如下条件时可以考虑进行柱面坐标变换:
[ 收稿日期 ] 2010- 05- 08 [ 基金项目 ] 湖北省教育厅重点项目 ( A 类 ) ( 项目编号: D 20101304) 。 [ 作者简介 ] 周 俊 ( 1975- ), 男, 湖北天门人, 长江大学讲师, 硕士。研 究方向: 最优化理论。
1 三重积分化为累次积分的求解方法
1. 1 化为二重积分里套定积分 ( 简称 先一后二 )
若积分区域 可写成: = { (x, y, z ) | ( x, y ) ! D xy, z1 ( x, y ) ∀ z ∀ z2 ( x, y ) }, 则
### ## # f ( x, y, z) dV =
### 例 7 计算 I = ( x + y + z )dV, : x + y + z = 1及三个坐标平面所围成的区域。
### ### ### 分析: 因为 f ( x, y, z) = x + y + z, 积分区域具有轮换对称性, 故 xdV = ydV = zdV, 因此 I =
D yz, 点 ( z, y0, z0 ) 随 x 增大时, 当 x = 0时刚好进入 , 当 x = y0 时刚好从 中出来, 故有: = { (x, y, z ) | ( y, z ) ! D yz, 0 ∀ x ∀ y }, 即可得解。
分析二 ( 先二后一 ): 将 向 z轴投影, 得到的区间是 [ 1, 2] , z = z 平面在 上所截得的闭区域为 D z: 0 ∀ y ∀ z, 0 ∀ x ∀ y, 即可得解。
定义 2 若积分区域 关于坐标原点对称, 被积函数 f (x, y, z ) 在 上满足 f ( - x, - y, - z ) = - f (x, y, z ) 或 ( f ( - x, - y, - z ) = f ( x, y, z ) ), 则称 f (x, y, z ) 是区域 上的关于 x, y 的三元奇或偶函数。
### ### 2) 当 f ( - x, - y, - z ) = f (x, y, z ), 即为 上关于 x, y, z的偶函数时, f ( x, 源自文库, z ) dxdydz = 2 f (x, 1
y, z )dxdydz, 其中 1 是过坐标原点的平面一侧的部分。 定理 4 若空间闭区域 和被积函数 f ( x, y, z) 具有轮换对称性, 即: (x, y, z ) ! , (y, z, x ),
第 25卷第 7期 V o.l 25 N o. 7
荆楚理工学院学报 Jou rnal of Jing chu U niversity of T echno logy
2010年 7月 Ju.l 2010
三重积分求解方法的深入探究
周俊
(长江大学 信息与 数学学院, 湖北 荆州 434023)
[ 摘 要 ] 文章分析三重积分的求解方法, 重点研 究了柱 面坐标 变换和 球面坐 标变换 以及利用 积分区 域的对称性和被积函数 的奇偶性求解三重积分。通过探究得出: 定理的相互结合和方 法的灵活选择是求解三 重积分的关键所在。
( z, x, y ) ! , f ( xy, z ) 中变量 x, y, z任意对换后, 该函数关系式不变, 且 f ( x, y, z) = f1 ( x, y, z) + f 2 ( y, z, x ) + f 3 ( z, x, y ), 则有
### ### ### ### f (x, y, z )dxdydz = 3 f1 ( x, y, z ) dxdydz = 3 f2 ( x, y, z) dxdydz = 3 f3 (x, y, z )dxdydz
积为
### # # # dV =
2!
d
0
#
2a cos∀
d∀
r2 sin∀dr =
0
0
4!a3 3
(
1
-
cos4 #)
∀ 2!}, 故 的体
2. 3 广义的球坐标变换 在实际的三重积分换元求解过程中, 还可以根据被积函数或积分区域的特性对上述两种变换进行
x = arsin∀co s 适当的变形。如广义的球坐标变换 : 令 y = brsin∀ sin , 相应的 J acobi行列式为: J = abcr2 sin∀。
z )dxdydz, 其中 1 是 xoy 面的上半部分。 类似的, 当积分区域 关于坐标平面 yoz, x oz对称时, 被积函数分别是 x, y 的奇偶函数时, 也有上述
的相应结论。 定理 2 若空间闭区域 V 关于 z 轴对称, 即 ( x, y, z ) ! , ( - x, - y, z ) ! , 则有:
( 0,
! 2
),
a
>
0 为常 数。
分析: 在球坐标变换下, 球面方程 x2 + y2 + ( z - a ) 2 = a2 可表示成 r = 2acos∀, 锥面方程 z =
x2 + y2co t#可表示为 ∀ = #。因此 & { ( r, ∀, ) | 0 ∀ r ∀ 2aco s∀, 0 ∀ ∀ ∀ #, 0 ∀
例5
计算三重积分 I =
z = crcos∀
###e
x a
22+
y b
22+
z2
c 2dxdydz,
其中
不为 0的常数。
=
{ ( x,
y,
z)
|
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
∀
1}, 且 a, b, c是
39
分析: 分析积分区域、被积函数, 可以发现都是椭球体, 因此可以考虑进行广义的球坐标变换并确定 参数的范围, 即可得解。
[ 关键词 ] 三重积分; 柱面坐标变换; 球面坐标变换; 对称性 [ 中图分类号 ] O 172. 2 [文献标 识码 ] A [文章编号 ] 1008- 4657( 2010) 07- 0038- 04
求解三重积分是一个难点, 既要有较强的几何直观能力, 能够画出空间区域的草图, 以便将积分的 空间区域表示成适当的形式, 从而确定积分限, 又要灵活地选择计算方法和计算公式, 使得计算简便。
分析: 分析积分区域和被积函数可知, 本题用柱面坐标变换较好。作柱面坐标变换并确定参数的范 围, 即可得解。
### 例 3 计算三重积分 I = cos( ax + by + cz )dxdydz, 其中 a, b, c是不全为 0的常数, : x2 + y2 ∀
1。 分析: 此题似乎无从下手, 但细心观察并分析积分区域和被积函数可以发现, 积分区域是一个柱面。
类似的, 我们还可以定义 f (x, y, z ) 在积分区域 上关于 y, z 和 z, x 的二元奇或偶函数。基于积分区 域的对称性或被积函数的奇偶性的三重积分的求解方法主要应用如下几个定理 [ 3- 4] 。
定理 1 若空间闭区域 关于 x oy 面对称, 即 ( x, y, z ) ! , ( x, y, - z) ! , 则有:
### 1) 当 f ( - x, - y, z ) = - f (x, y, z ), 即为 上关于 x, y 的奇函数时, f (x, y, z )dxdydz = 0; 1
### ### 2) 当 f( - x, - y, z ) = f (x, y, z ), 即为 上关于 x, y 的偶函数时, f (x, y, z ) dxdydz = 2 f (x, y, 1
### 例 1 计算积分 I =
1
2
d
V,
其中
是点 ( x, y, z ) 到 x 轴的距离, 即
2 = y 2 + z2,
为一棱台, 其六
个顶点为 A ( 0, 0, 1), B ( 0, 1, 1), C ( 1, 1, 1), D ( 0, 0, 2), E ( 0, 2, 2), F ( 2, 2, 2)。 分析一 ( 先一后二 ): 积分区域 在 y oz 平面的投影区域 D yz 为梯形, 对任意给定的点 ( y0, z0 ) !
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1) 积分区域 的边界面中有柱面或圆锥面;
2) 被积函数为 xf ( y2 + z2 ), yf ( x2 + z2 ), zf ( x2 + y2 ), xf ( z ), yf ( z ), zf ( y ) 等类型。
y
x
x
x = rcos , 0 ∀ r < + ∃ 柱面坐标变换公式为 [ 1- 2] : y = rsin , 0 ∀ ∀ 2! , 其中 Jacob i行列式为 : J ( r, , z ) =
3 三重积分的基于积分区域的对称性或被积函数的奇偶性的求解方法
定义 1 若积分区域 关于 z轴对称, 被积函数 f ( x, y, z ) 在 上满足 f ( - x, - y, z ) = - f (x, y, z ) 或 ( f ( - x, - y, z) = f ( x, y, z) ), 则称 f (x, y, z ) 是区域 上的关于 x, y 的二元奇或偶函数。
z = rcos∀, 0 ∀ ∀ ∀ !
### ### f ( x, y, z) dxdydz = f ( rsin∀ cos , rsin∀ sin , rcos∀ ) r2sin∀drd ∀d
例 4 求由圆锥体 z % x 2 + y2 co t#和球体 x2 + y2 + ( z - a ) 2 ∀ a2 所确定的立体体积。其中 # !
经过适当的坐标系旋转变换后仍然可以通过柱面坐标变换求解, 它是一道柱面坐标变换应用的综合性 题。
2. 2 球面坐标变换 当满足如下条件时可以考虑进行球面坐标变换: 1) 积分区域 的边界面中有球面或圆锥面; 2) 被积函数为 f ( x2 + y2 + z2 ) 等类型。
x = r sin∀co s , 0 ∀ r < + ∃ 球面坐标变换公式为: y = r sin∀ sin , 0 ∀ ∀ 2! , 其中 Jacobi 行列式为: J ( r, ∀, ) = r2sin∀, 故