归纳与类比教案
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第1节归纳与类比
§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积． 归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1， 得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1， 可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】 在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】 如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1． 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V PBCDV ABCD，同理，p b h b ＝V PACD V ABCD ，p c h c ＝V PABD V ABCD ，p d h d ＝V PABCV ABCD .∵V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABC ＝V ABCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABCV ABCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明． 思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1， 将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较 归纳推理类比类推相同点 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不 同 点特点 由部分到整体，由个别到一般 由特殊到特殊推理过程 从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。
数学中的归纳与类比
第11页
返回导航
第五章
第一节
高考进行时 一轮总复习 ·数学 ·新课标通用版 ·理
传播课堂正能量 唱响课堂好声音
)
3． 数列{an}中， a1＝1， 对所有的 n∈N*， 都有 a1a2a3…an＝n2， 则 a3＋a5＝( 25 25 A. 9 B.16 31 61 C.15 D.16
解析：∵a1a2a3…an＝n2，∴a1a2a3…an－1＝(n－1)2， a1a2a3…an n2 9 25 ∴an＝ ＝ 2(n≥2)，∴a3＝ ，a5＝ 4 16 ， a1a2a3…an－1 n－1 9 25 36 25 61 ∴a3＋a5＝4＋16＝16＋16＝16。 答案：D
(3)已知 a1 且 an＋1＝qan＋b，则 an＋1＋k＝q(an＋k)(其中 k 可由待定系数法确定)， 可转化为{an＋k}为等比数列； Aan (4)形如 an＋1＝ (A，B，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法 Ban＋C 构造新数列求解。
第23页
返回导航
第五章
第一节
高考进行时 一轮总复习 ·数学 ·新课标通用版 ·理
第12页
返回导航
第五章
第一节
高考进行时 一轮总复习 ·数学 ·新课标通用版 ·理
传播课堂正能量 唱响课堂好声音
1 4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ (n≥2)，则 a5＝__________。 an－1
3 5 8 解析：由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝3，a5＝5。 8 答案：5
第13页
返回导航
第五章
第一节
高考进行时 一轮总复习 ·数学 ·新课标通用版 ·理
传播课堂正能量 唱响课堂好声音
归纳与类比课件
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1．数列0,1,3,7,15,31的一个通项公式是(
A．an＝2n－1
)
B．an＝2n－1
C．an＝2n－1－1
答案： C
D．an＝2n－1＋1
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
2．下列说法正确的是( A．合情推理就是归纳推理
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
5．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相 等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：
“________________”，这个类比命题的真假性是________．
解析： 由类比推理可知．
答案： 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题
工具
答案：
f3(x)＝
x 1－22x
fn(x)＝
x － (n∈N＋) 1－2n 1x
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1．类比推理是由特殊到特殊的推理，其命题有其特点和求解规律， 可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比 结构．
2．类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定
答案：
3
6
15
nn－1 2
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
x 【变式训练】 1.已知： f(x)＝ ， f1(x)＝f(x)，n(x)＝fn－1[fn－1(x)](n 设 f 1－x ＞1 且 n∈N＋)，则 f3(x)的表达式为______________，猜想 fn(x)(n∈N＋) 的表达式为________．
归纳与类比教案
3．1．2 类比推理一、学习目标1． 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；2． 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用． 二、学习过程 （一）课前准备（预习教材P 30~ P 38，找出疑惑之处）1．已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥． 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 ． 2． 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 ．（二）新课导学 1． 学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在． 以上都是类比思维，即类比推理．新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理． 简言之，类比推理是由 到 的推理． 2．典型例题例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质．运算律逆运算 单位元变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质．圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点00(,)x y 为圆心，r 为半径的圆的方程为22200()()x x y y r -+-=例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质．三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为1()2S a b c r =++（r 为三角形内切圆的半径）新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理．一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠． 3．动手试试练1． 如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=•．若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？练2． 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立．猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？（三）总结提升 1．学习小结(1) 类比推理是由特殊到特殊的推理．(2) 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）．(3) 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法． 2．知识拓展 试一试下列题目： (1) 南京∶江苏A ． 石家庄∶河北B ． 渤海∶中国C ． 泰州∶江苏D ． 秦岭∶淮河 (2) 成功∶失败A ． 勤奋∶成功B ． 懒惰∶失败C ． 艰苦∶简陋D ． 简单∶复杂 (3)面条∶食物A ． 苹果∶水果B ． 手指∶身体C ． 菜肴∶萝卜D ． 食品∶巧克力三、学习评价1．自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）． A ． 很好 B ． 较好 C ． 一般 D ． 较差 2． 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： (1)下列说法中正确的是（ ）． A ．合情推理是正确的推理 B ．合情推理就是归纳推理 C ．归纳推理是从一般到特殊的推理 D ．类比推理是从特殊到特殊的推理(2)下面使用类比推理正确的是（ ）． A ．“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出 “()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c≠0）” D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ） (3) 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x = （ ）．A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x (4) 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆．(5) 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 ．四、 课后作业1. 在等差数列{}n a 中，若100a =，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在怎样的等式？2． 在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a S 121（1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S。
类比推理优秀教案模板范文
教学目标：1. 让学生了解类比推理的概念和特点，提高类比推理能力。
2. 培养学生观察、分析、归纳和总结的能力。
3. 增强学生的逻辑思维能力和创新意识。
教学重难点：1. 理解类比推理的概念和特点。
2. 培养学生的类比推理能力。
教学方法：1. 讲授法：讲解类比推理的基本概念和特点。
2. 讨论法：引导学生讨论和总结类比推理的技巧和方法。
3. 案例分析法：通过案例分析，让学生更好地理解类比推理的应用。
教学过程：一、导入1. 教师简要介绍类比推理的概念和特点，激发学生的学习兴趣。
2. 提问：什么是类比推理？类比推理有什么特点？二、讲授新课1. 讲解类比推理的定义、基本形式和特点。
2. 举例说明类比推理在实际生活中的应用。
3. 分析类比推理的技巧和方法。
三、讨论与总结1. 教师提出问题，引导学生讨论类比推理的技巧和方法。
2. 学生分享自己的观点和经验，互相学习。
3. 教师总结讨论结果，强调类比推理的重要性。
四、案例分析1. 教师提供几个类比推理的案例，让学生分析并找出其中的规律。
2. 学生分组讨论，分析案例中的类比推理过程。
3. 各组汇报讨论结果，教师点评并总结。
五、巩固练习1. 教师布置几道类比推理的练习题，让学生巩固所学知识。
2. 学生独立完成练习，教师巡视指导。
3. 学生互相检查答案，共同讨论解题思路。
六、总结与反思1. 教师总结本节课的重点内容，强调类比推理的重要性。
2. 学生反思自己在类比推理方面的不足，提出改进措施。
3. 教师鼓励学生在日常生活中多运用类比推理，提高自己的思维能力。
教学反思：1. 本节课是否达到了教学目标？2. 学生对类比推理的理解程度如何？3. 教学过程中是否充分发挥了学生的主体作用？4. 教学方法是否合理，是否激发了学生的学习兴趣？5. 如何改进教学方法，提高教学效果？教学评价：1. 学生对类比推理的理解和掌握程度。
2. 学生在课堂上的参与度和积极性。
3. 学生类比推理能力的提高情况。
2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案
12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。
北师大版高中数学选修归纳推理类比推理教案
第三课时 归纳推理、类比推理习课一、教学目标 1．知识与技能：(1)学会运用归纳、类比推理解决数学问题； (2)归纳、类比推理在高考中的应用。
2．方法与过程：通过最近几年高考试题和模拟试题中的推理问题，具体了解归纳、类比推理的思想。
3．情感态度与价值观：通过归纳、类比推理的学习，使学生具有合情推理的意思和思想。
二、教学重点：合情推理的应用。
教学难点：类比推理在递推数列中的应用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、例题探析例题1. (类比推理在几何中应用，2007年广东1模) 如图4所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长 记为(1,2,3,4),i a i =此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若4312412,()1234i i a a a a Sk ih k ======∑则.类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若431241,()( )1234i i S S S S K iH ======∑则A.4V K B. 3V K C. 2V K D. VK练习1：(类比推理在几何中应用，2005年广东试卷第14题) 由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系:.P A B C P ABC V V '''--=练习2：(类比推理在几何中应用)如图(1)，在平行四边形ABCD 中，有)(22222AD AB BD AC +=+，那么，如图(2)在平图(2)图(1)行六面体中1111D C B A ABCD -中，有=+++21212121DB CA BD AC ．例题2、(1)1个点分线段为2段,2个点分线段为3段,3个点分线段为4段,则n 个点分线段___________段(归纳推理)(2) (2005年广东试卷第14题)设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示） (3) （把题(1)“类比”到平面,得到线分平面问题）（注意递推数列的应用） 一个平面用n 条直线去划分,最多能被分成几块?变1:平面内有n 个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同点,最多能把平面分多少块?变2:平面内有n 条抛物线,其中每两条都相交于两点,并且每三条都不相交于同一点,最多能把平面分多少块?（4）2006年广东试卷第16题：在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)_____f =；()_____f n =（答案用n表示）.例题3、探求凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 之间的关系…ABCD图(1)D 1C 1B 1A 1DCBA图(2)B 杆子上金属片全部移到A 杆子上。
2024届高考一轮复习政治教案(部编版浙江专用)：学会归纳与类比推理
课时5学会归纳与类比推理核心考点一归纳推理1．归纳推理的含义和种类(1)含义：以个别性或特殊性知识为前提，推出一般性的结论。
(2)种类：归纳推理可以分为完全归纳推理和不完全归纳推理。
完全归纳推理不完全归纳推理区别前提某类认识对象中的每个对象某类认识对象中的部分对象结论范围未超出前提的范围超出了前提的范围结论与前提的联系必然的或然的联系二者都是由特殊到一般的推理，前提的一般性程度较小，结论的一般性程度较大提醒①只根据一两件事实材料就简单地得出一般性结论，认为结论一定可靠，犯了“轻率概括”的逻辑错误。
②简单枚举归纳推理和科学归纳推理都是不完全归纳推理，后者结论比前者结论的可靠性要高。
2．归纳推理的方法(1)要保证完全归纳推理的结论真实可靠，必须具备两个条件：第一，断定个别对象情况的每个前提都是真实的；第二，所涉及的认识对象，一个都不能遗漏。
(2)提高不完全归纳推理结论的可靠程度，需要在认识对象与有关现象之间寻找因果联系。
因果联系是事物或现象之间引起与被引起的关系。
因果联系是事物本身所固有的、不以人的意志为转移的联系。
(3)人们常用的探求因果联系的方法有求同法、求异法、共变法等。
求同法如果被考察的现象a出现在多个场合中，而在这些场合中只有一个有关因素A是共同的，那么，这个共同因素A与被考察的现象a有因果联系求异法如果被考察的现象a在第一场合出现，在第二场合不出现，而在这两个场合之间只有一点不同，即第一场合有某一因素A，第二场合没有这个因素A，其他有关因素都是相同的，那么，这个因素A与被考察的现象a有因果联系共变法如果被考察的现象a在发生某种程度变化的各个场合中，只有一个因素A 有量的变化，而其他因素都不变，那么，这唯一发生变化的因素A与被考察的现象a有因果联系求同求异并用法如果在某一现象出现的几个场合中，只有一个共同的情况，在这一现象不出现的另外几个场合中都没有这个情况，那么，这种情况可能就是这个现象出现的原因剩余法考察某一复杂现象产生的原因，如果已知它的原因在某个特定范围内，又知道这个原因只是部分原因，那么，其他原因可能就是这一复杂现象产生的剩余原因1．以一般性知识为前提，推出个别性和特殊性的结论，这种推理形式叫作归纳推理。
类比与归纳课件
追求个人成长
培养团队成员之间的类比和归 纳能力，推动团队协作和创新。
通过类比和归纳，不断总结和 反思个人经验，实现自身能力 的提升。
结束语
通过本课程的学习，我们了解了类比与归纳这两个重要的思考工具，它们能够帮助我们更好地解决问题 和创造价值。
1 总结学习内容
回顾类比和归纳的基本 概念、作用以及注意事 项。
2 灵活运用
鼓励学生在实践中灵活 运用类比和归纳，发掘 新的解决方法。
3 深入探究
引导学生深入探究类比 和归纳的研究领域，拓 展思维和知识广度。
类比与归纳ppt课件
本课程将介绍类比与归纳这两个重要的思考工具，以及如何在实际应用中使 用这些工具来解决问题。
类比的基本概念
类比是一种比较不同事物之间相似性的方法，它可以帮助我们从一个领域的知识转移到另一个领 域，解决新的问题。
1 定义和作用
类比是通过找到两个不同事物之间的共性，来推理和解决问题的有效思考工具。
2 案例分析
了解如何使用类比来解决实际问题，通过举例说明类比的应用效果。
3 误区和注意事项
探讨在使用类比时需要注意的误区，以及如何避免这些误区。
பைடு நூலகம்
归纳的基本概念
归纳是从个别事实中推断出普遍规律的思考方法，它帮助我们总结和提炼大量信息，形成新的认知。
定义和作用
归纳是通过整合和总结大 量个别事实，从中提取出 普遍规律和原则。
案例分析
展示如何使用归纳来解决 实际问题，通过具体案例 加深理解。
误区和注意事项
探讨在归纳过程中需要注 意的误区，以及如何避免 这些误区。
类比与归纳的应用
了解如何将类比和归纳结合使用，以增强问题解决的能力和创造性思维。
初中数学类比方法教案
教案：初中数学类比方法教学目标：1. 理解类比的概念和作用；2. 学会使用类比方法解决数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
教学重点：1. 类比的概念和作用；2. 类比方法在数学问题解决中的应用。
教学难点：1. 类比方法的灵活运用；2. 创新意识的培养。
教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的数学知识，如平行线、相似三角形等；2. 提问：你们觉得这些知识之间有什么联系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍类比的概念：类比是一种推理方法，是根据两个或多个对象在某些方面相似，推断它们在其他方面也相似。
2. 讲解类比的作用：类比可以帮助我们发现数学知识之间的联系，简化问题的解决过程，培养逻辑思维能力和创新意识。
3. 举例说明类比方法在数学问题解决中的应用：a. 平行线与相似三角形的类比；b. 同角三角函数的类比；c. 圆与球的类比。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 选取部分学生的作业进行讲解和分析。
四、总结与拓展（10分钟）1. 总结本节课所学内容，强调类比的概念和作用；2. 鼓励学生在生活中运用类比方法，培养创新意识。
五、课后作业（课后自主完成）1. 深入研究类比方法在数学问题解决中的应用，选取一个实例进行分析和总结；2. 思考类比方法在其他学科中的应用，提出自己的观点。
教学反思：本节课通过讲解类比的概念和作用，以及类比方法在数学问题解决中的应用，使学生掌握了类比方法的基本原理。
在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对类比方法有一定的掌握。
但在拓展环节，部分学生对类比方法在其他学科中的应用还不够清晰，需要在今后的教学中进一步加强引导。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
《第七课 学会归纳与类比推理》教学设计
《学会归纳与类比推理》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解归纳与类比推理的含义及其干系。
2. 掌握归纳与类比推理的基本方法，能够应用于实际问题的解决。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学重难点1. 重点：理解归纳与类比推理的基本观点和方法。
2. 难点：如何将归纳与类比推理应用于实际问题的解决。
三、教学准备1. 准备教学课件，包括图片、案例、观点诠释等。
2. 准备相关的练习题，用于学生实践。
3. 准备教室，确保环境整洁、安静，适合教室教学。
4. 了解学生已掌握的基础知识，以便进行教学设计。
四、教学过程：本节课的教学目标是让学生掌握归纳与类比推理的基本观点和运用方法，能够在实际生活中运用这两种推理方式解决问题。
1. 导入：通过展示一些生活中的实例，让学生了解归纳和类比推理在平时生活中的应用。
例如，通过观察不同季节的气温变化，归纳出气温随季节变化的规律；通过比较不同国家的人均收入，类比出经济发展水平与人均收入之间的干系。
2. 讲解：(1) 归纳推理：引导学生思考如何从个别事物中概括出一般规律。
可以通过一些案例，如科学家通过观察大量动物的行为，归纳出动物具有趋利避害的本能。
同时，让学生尝试自己举出一些归纳推理的例子。
(2) 类比推理：介绍类比推理的基本观点和方法，如通过比较事物的相似的地方，推断出它们之间的干系。
可以通过一些实例，如通过比较古代文明和摩登文明的发展历程，推断出文明的发展需要不息创新的规律。
同时，让学生尝试自己举出一些类比推理的例子。
(3) 两种推理方式的比较：引导学生比较归纳推理和类比推理的不同的地方，并讨论它们在实际应用中的优缺点。
3. 实践：让学生运用归纳和类比推理解决一些实际问题，如让学生根据自己过去的学习成绩，归纳出提高学习成绩的方法；根据不同国家的历史文化背景，类比出不同国家之间的文化差别。
4. 讨论与分享：让学生分享自己在实践过程中的体会和收获，教师进行点评和总结。
归纳与类比
归纳与类比例1.探究n 边形内角和公式1.退（１）三角形内角和等于 ；（２）四边形内角和等于 ；（３）五边形内角的和等于２.观边数和分成的三角形的个数之间的关系３.归边数－２＝分成的三角形的个数例2.观察点阵图和相应的等式，探究与序号的规律：⑴.写出n=5时点阵图所对应的等式；⑵.通过归纳的规律写出与第n 个点阵相对应的等式n=1时1=12n=2时1+3=22n=3时1+3+5=32n=4时1+3+5+7=42n=5时 与第n 个点阵相对应的等式：例3.如图,用围棋子摆出了四个不同的图案,请你仔细观察其中的规律,你能用含n （n 是正整数）的代数式表示第n 个图案中棋子的总个数Sn 吗?练：1.探究 2n （n 是正整数）的结果的个位数字的规律，并说出22007的个位数字.2.在∠AOB 的内部有99条以O点为端点的射线，此时，图中共有多少个角？n=1 n=2 n=3 O AB()().1,1111,26392,63922,613312121331=-=----=----=---=---=-x x x x x x x x x x 解：3．将一张长方形的纸对折，如图所示可得一条折痕；继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续三次对折后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕. 如果对折n 次，可以得到 条折痕.第一次对折 第二次对折 第三次对折4．一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是在前16个图案中有 个“ ”，第2008个图案是5．联欢会上，小红按照4个红气球、3个黄气球、2个绿气球的顺序把气球串起来装饰会场，第52个气球的颜色是例1.我们知道不等式的解法可以类比方程的解法，观察下面的解法，你认为正确吗？若不正确请改正.(1)解方程： (2)解不等式例2.我们知道对于任意两个有理数a 、b ，若ab=0，则a=0或b=0.你能据此求出方程()()032=+-x x 中的x 的值吗？例3.如果13232322=+=⊗，36253221322122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⊗-，按此规律计算： =⊗52 ；=⊗-311 . 例4.若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，….求¡2006¡2007¡2007¡2008-的值.例5.观察下面规律： ().11111,4131431,3121321,211211+-=+-=⨯-=⨯-=⨯n n n n类比填空： ,3131121311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯ 421⨯= = ， 531⨯= = ，……()21+n n =………… ()().1,1111,26392,63922,613312121331<-<----<----<---<---<-x x x x x x x x x x 解：。
1。1_归纳与类比
结论： 凸n边形的内角和是(n-2)180 .?
6
例3.前提：
2 3
<
2+1 3+1
，
2 3
<
2+2 3+2
，
2 3
<
2+3 3+3
，…
结论：b a
<
b+m a+m
(a、b、m均为正实数).
以上三个推理有什么特征？
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
29
课堂小结:
1.定义
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
2.主要步骤（1）找出两类对象之间的相似性或一致性；
（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质； （3）猜测新的结论.
R ________________ .
3V S1 S2 S3 S4 B
O
O D
C
练习
(直击高考：09浙江文第16题)
设等差数列an的前n项和为Sn ,则S4，S8 S4，
S12 S8，S16 S12成等差数列.类比以上结论：
设等比数列bn的前n项积为Tn ,
则T4，____,
abc
分析：面积法 由12r(a+b+c)=S 2S r=a+b+c
变式：已知VABC三边长为a, b, c,面积为S,则
VABC内切圆半径r= 2S . abc
根据类比推理的方法, 若一个四面体A-BCD四个面的
《第七课 学会归纳与类比推理》教学设计教学反思-2023-2024学年高中政治统编版2019选择性必
《学会归纳与类比推理》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解归纳与类比推理的概念及其区别。
2. 掌握归纳与类比推理在生活和学习中的应用。
3. 培养运用归纳与类比推理解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 重点：通过实例了解归纳与类比推理的应用。
2. 难点：如何有效地进行归纳与类比，找到事物的共性和差异。
三、教学准备1. 准备教学PPT，包含相关图片和案例。
2. 准备一些有趣的、具有代表性的案例，以便在课堂上讨论。
3. 准备一些与教学内容相关的阅读材料，供学生课后阅读。
4. 设计课堂互动环节，鼓励学生积极参与讨论。
四、教学过程：1. 导入：首先，我们会引导学生回想他们过去在学习其他学科时的经验，并讨论归纳和类比推理在解决问题中的重要性。
例如，当我们学习新的数学公式或物理定律时，我们通常会回顾我们已经学过的类似公式或定律，并尝试找出它们之间的共同点，从而得出新的公式或定律。
这就是归纳和类比推理的基本概念。
2. 讲解概念：我们将详细解释什么是归纳和类比推理，以及它们是如何工作的。
我们将使用一些例子来说明这两个概念，例如通过比较不同国家的政治制度，来理解政治制度的普遍规律。
3. 实践活动：为了让学生更好地理解和应用这两个概念，我们将组织一些实践活动。
例如，让学生们分组，每个小组研究一种特定的社会现象，并试图找出其背后的规律或原因。
这个过程不仅有助于他们理解和应用归纳和类比推理，也有助于他们提高解决问题的能力。
4. 课堂讨论：在学生完成实践活动后，我们将组织一次课堂讨论，让他们分享他们的发现和心得。
这将有助于他们互相学习，同时也有助于增强他们的自信心和批判性思考能力。
5. 总结与回顾：最后，我们将总结本节课的主要内容，并引导学生回顾他们在课堂上的学习过程。
我们将强调归纳和类比推理的重要性，以及如何在实际生活中应用这两个概念。
6. 布置作业：为了让学生能够将所学知识应用到实际生活中，我们布置的作业是让他们在日常生活中寻找一些可以应用归纳和类比推理的问题，并尝试使用这两个概念来解决它们。
高中数学归纳与类比教案
高中数学归纳与类比教案
一、教学目标：
1. 理解和掌握高中数学中的归纳与类比方法；
2. 能够运用归纳与类比方法解决实际问题；
3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学内容：
1. 数学归纳法的基本概念和步骤；
2. 数学类比法的基本原理和应用；
3. 练习归纳与类比的相关题目。
三、教学过程：
1. 导入：通过一个实际问题引出数学归纳与类比的重要性，并与学生互动讨论。
2. 讲解：介绍数学归纳法的基本思想和步骤，以及类比法的基本原理和应用范围。
并通过具体例题进行讲解。
3. 练习：让学生分组进行练习，通过一些常见的归纳与类比题目，培养学生的解题能力。
4. 拓展：引导学生将归纳与类比方法应用到其他学科或领域中，拓展学生的思维。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强调数学归纳与类比在解决实际问题中的重要性。
四、课后作业：
1. 完成课堂练习题目；
2. 查阅相关资料，了解数学归纳与类比的更多应用。
五、教学反思：
本节课通过生动的案例和具体的练习，引导学生理解和掌握了数学归纳与类比方法，同时培养了学生的逻辑思维和解题能力。
在今后的教学中，应该多注重培养学生的综合能力，使他们能够灵活运用所学知识解决实际问题。
类比思想小学数学教案
类比思想小学数学教案教学目标：能够通过类比理解数学概念，提高学生对数学的学习兴趣。
教学内容：1. 加法类比：将加法类比为购物时的结账，学生可以想象自己去商店购物，将各种商品的价钱相加得到总金额。
通过这个类比，学生可以更好地理解加法的意义。
2. 减法类比：将减法类比为零钱找零，学生可以想象自己去商店购物后付一个金额，然后拿出足够的钱再减去总金额，得到找零的金额。
通过这个类比，学生可以更好地理解减法的概念。
3. 乘法类比：将乘法类比为种植农作物，学生可以想象种子发芽、生长、结果的过程，从而理解乘法的意义。
4. 除法类比：将除法类比为分糖果，学生可以想象将若干个糖果平均分给几个人，从而理解除法的概念。
教学方法：通过教师讲解和实例分析的方式，引导学生用生活中的类比来理解数学概念。
同时，通过小组讨论和问题解答的方式，促进学生的思维活跃和合作学习。
教学步骤：1. 导入：教师用一个小故事或例子引入讨论数学概念，引发学生兴趣。
2. 讲解：教师通过讲解和实例分析的方式，简单明了地介绍数学概念，并引导学生用生活中的类比来理解。
3. 练习：教师出示一些实际问题让学生进行练习，引导学生运用所学数学概念解决问题。
4. 讨论：学生通过小组讨论的方式，分享彼此的类比理解和解题方法，促进思维交流和合作学习。
5. 总结：教师对今天的学习内容做总结，并强调类比思想在数学学习中的重要性。
6. 布置作业：布置相关作业，让学生在家中巩固所学内容。
拓展延伸：可以设计更多生活中的类比来帮助学生理解更复杂的数学概念，如分数、小数、比例等。
同时，可以引导学生自己寻找生活中的类比，并分享给同学们。
高中政治类比推理教案
高中政治类比推理教案七课学会归纳与类比推理第二框类比推理及其方法[要点提炼]1.一个含义：类比推理的含义。
2.一个方法：模拟方法。
3.两个区别：类比推理与比较、比喻的区别。
4.三个措施：提高类比推理可靠性的措施。
[知识清单]一、类比推理的含义1．含义类比推理就是根据两个或两类对象在一些属性上相同或相似，推出它们在其他属性上也相同或相似的推理。
逻辑形式表示为：A对象具有属性a、b、c、dB对象具有属性a、b、c、所以，B对象具有属性d2．依据(1)客观事物及其属性不是孤立的，而是相互联系、相互制约的。
事物属性之间的内在联系，是类比推理的客观依据。
(2)依据事物之间相同或相似的属性进行的推理，事物的要素、结构和功能是其属性的主要内容。
3．类比推理与相关概念的关系(1)类比不同于比较。
类比要在比较的基础上得出新的结论，它是一种推理；比较的目的在于认识两类事物之间的相同点和不同点，它是一种简单的认识方法，但不是推理。
(2)类比不同于比喻。
类比和比喻虽然都以比较为基础，但是，类比是一种推理形式，目的在于推出新知识；比喻是一种修辞手法，目的在于生动形象地描写或说明认识对象。
4.逻辑错误类比推理是将性质、特点在某些方面相同或相近的不同事物加以比较,从而引出结论的方法。
不能仅仅根据对象间表面上某些性质相同或相似，就推出它们在本质属性上也相同或相似。
否则，就容易犯“机械类比”的逻辑错误。
5.特点用已经认识的某个或某类事物去推断尚未认识的另一个或另一类事物。
（前提由两个或两类对象的比较构成，结论是或然的。
）6．实质由于事物属性之间既有相似性也有差异性，从两个或两类事物某些方面相同或相似就推出它们在另外的方面也相同或相似，其前提与结论之间的联系是或然的。
7．要求运用类比推理时，我们应该注意提高其可靠程度。
二、类比推理的方法1．类型(3)归纳推理和类比推理是或然推理，是不能保证从真前提推出真结论的推理。
但是，归纳推理在帮助人们发现认识对象之间的规律方面，类比推理在帮助人们获取新知识方面，各自具有各自独特的价值。
1.1 归纳与类比 课件(北师大选修2-2)
[例 1]
1 1 1 1 1 1 1 1 1 已知：1> ；1＋ ＋ >1；1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2 2 3 2 3 4 5 6 7
3 1 1 1 > ；1＋ ＋ ＋…＋ >2；…… 2 2 3 15 根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．
[思路点拨]
n
观察不等式左边最后一项的分母特点为
(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构
成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有 点构成的集合． (2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是 空间中封闭的曲面所围成的对称图形．
通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质. 圆 球
圆心与弦(非直径)中点的连 球心与截面(不经过球心的小 线垂直于弦 圆面)圆心的连线垂直于截面
[一点通]
根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：
(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代
数式的相同或相似之处等；
(2)提炼出数、式的变化规律；
(3)运用归纳推理写出一般结论．
1．(2012· 陕西高考)观察下列不等式： 1 3 1＋ 2< ， 2 2 1 1 5 1＋ 2＋ 2< ， 2 3 3 1 1 1 7 1＋ 2＋ 2＋ 2< ， 2 3 4 4 …… 照此规律，第五个不等式为___________________．
2.演绎推理的含义 演绎推理是根据 已知的事实 和 正确的结论 ，按照 严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
1.归纳推理的特点
（1）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论 是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳 推理不能作为数学证明的工具； （2）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代
《学会归纳与类比推理》统编版新教材1
选择性必修三 逻辑与思维
思想政治
内容索引
探究活动 落实素养 必备知识 关键能力 热点引路 知能训练
探究活动 落实素养
[课标要求]
学会归纳推理、类比推理;评析常见的推理错误。
[学习清单]
1.描述与分类:①归纳推理的含义、因果联系的含义。②类比推理的含义。 2.解释与论证:①归纳推理的种类。②进行类比推理的方法。 3.预测与选择:①探求因果联系的方法。②提高类比推理可靠性的要求,类 比推理的作用。 4.辨析与评价:①区分归纳推理与探求因果联系。②类比推理与相关概念 的关系。
考点一
考点二
二、类比推理的方法 1.类比推理的内容 类比推理是依据事物之间相同或相似的属性进行的推理,事物的要素、结 构和功能是其属性的主要内容。从思维的角度说,类比推理既可以在对象 的要素和结构之间进行类比,也可以在对象的功能之间进行类比,还可以从 导致事物某种功能的条件方面进行类比。
考点一
考点二
(1)类比推理在科学技术创新中具有前锋的作用。 前提中确认对象的相同或相似属性越多,意味着它们所属的类别可能越相近,结论的可靠性越高。
描述与分类:①归纳推理的含义、因果联系的含义。 某省高级人民法院的法医们为了确定被上诉人付某是否对普鲁卡因有过敏反应时,作了如下司法鉴定:先用2%的普鲁卡因滴入付某的左眼,(为排除被试者心理因素的干扰,谎称其滴入的
[核心素养]
科学精神: 1.日常生活工作中,完全归纳推理运用得很多。 2.不完全归纳在日常生活和科学研究中有重要意义。 3.在科学技术创新中类比推理具有前锋的作用。科技人员通过类比推理, 开启思路,提出解决问题的设想。 4.在日常论证说理中,类比推理可以帮助我们创造性地解决他人思想上的 困难,纠正他人认识中的错误。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一：学习目标
能用归纳、类比推理去推广、发现命题，并能验证命题的正确性。
二：课前预习
1、在平面上，若两个正三角形的边长的比为 ，则它们的面积比为 ，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 ，则它们的体积比为__________________.
2、从1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-（1+2+3+4），┉，概括出an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，计算a2、a3猜想an等于________．
2．若{an}是等差数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，有________．
例3、已知椭圆具有性质：若 是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P为椭圆上任意一点，当直线 的斜率都存在（分别记为 ）时，那么 之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明.
备注
课堂检测——归纳与类比姓名：
1、已知三角形的面积 （r为内切圆的半径），类比四面体的体积得：_____________.
2、若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则数列bn＝ 也为等差数列，类比上述性质，若数列{cn}是等比数列，且cn>0(n∈N*)，则有dn＝________也是等比数列．
3、如图，命题：若点P、Q为线段AB的三等分点，则有 ，把此命题推广，设点 ， ， ，…， 是AB的n等分点（ ），则有 。
4、在平面直角坐标系中，不难得到“对于双曲线 上任意一点 ，若点 在 轴、 轴上的射影分别为 ，MJ 必为定值 ”.对于双曲线 上任意一点 ，请类比推理出正确的命题
3、若数列 通项公式 ，记 ，通过计算f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)=。
4、设等差数列 的前 项和为 ，则 成等差数列，类比以上结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则 ,__________,____________, 成等比数列。
5、在三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC上分别有一点M、N、Q，且PM：MA=BN：NP=1：2，PQ=5PC，则 =。
三：课堂研讨
例1、在RT△ABC中，∠C=90 ，BC= ,AC= ，则△ABC外接圆的半径为 ；运用类比方法，在四面体O-ABC中，若OA、OB、OC两两垂直，OA= ,OB= ,OC= ,则四面体O-ABC外接球的半径R=。
O
B
C
A
C
B
A
例2、在等差数列 中，若 ，
则有等式 （ ， ）成立。类比上述性质，相应地，在等比数列 中，若 ，则有等式成立。
3.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.
4、已知O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于
A′,B′,C′,则 + + =1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”. + + = + + = =1，
请运用类比思想，对于空间中的四面体V—BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.