2000-2012年苏州大学高等代数试题

1. 设 A, B 均为 n 阶方阵， A 中的所有元素均为， B 中除左上角的元素为1外，其余元素均
为 0 。问： A 与 B 是否等价？是否合同？是否相似？为什么？
1 0 2
2. = 设 A 10
−3
5

。
λ
是
A
的最大特征值。求
A
的属于 λ
的特征子空间的一个基。
4 0 −1
25

的
Jordan
标准型。
0 −2 −7
3. 设α , β ∈ ℜn 且长度为 2 ，矩阵 A =En + αα T + ββ T 。求 A 的特征多项式。
4. 设 A 是 n 阶反对称矩阵， En 为单位矩阵。证明： （1） E + A 可逆；
（2） 设 Q =( E + A) ( E − )A −1 ，求证： Q 是正交矩阵。
AX = 0 与 BX = 0 同解。证明： A∗ 的非零列与 B∗ 的非零列成比例，其中 A∗ 和 B∗ 分别
是 A, B 的伴随矩阵。
7. 设σ ,τ 是 n 维欧氏空间V 的线性变换，对任意α , β ∈V ，都有 (σ (α ), β ) = (α ,τ (β )) 。
证明：σ 的核等于τ 的值域的正交补。
（2） 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 B ，使得 QT AQ = B 。
7. 若 A 是 n 阶实矩阵， En 为 n 阶单位矩阵，且 AT + A =En ，其中 AT 是 A 的转置矩阵， 则 A 是可逆矩阵。
( ) 8. 设V 是有理数域 Q 上的线性空间，设σ 是V 的一个线性变换，设 g ( x=) x x2 + x −1 。
证明：如果σ 的多项式 g (σ ) = 0 ，则V 是σ 的核与值域的直和。
2007 年苏州大学高等代数考研试题
1. 化二次型 f ( x1, x2 , x3 ) = 2x1x2 − 2x2 x3 + 2x1x3 为标准型，并给出所用的非退化线性替换。
−1 2 6
2.
求三阶矩阵

1
7
5. 设 A ， B 都是 m × n 矩阵，线性方程组 AX = 0 与 BX = 0 同解，则 A 与 B 的行向量组
等价。
6. 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3 ，向量α =(−1, 2, −1)T ， =β (0, −1,1)T 是
线性方程组 AX = 0 的两个解。 （1） 求 A 的特征值与特征向量；
且对角线元素全大于0.
2008 年苏州大学高等代数考研试题
1. 计算 n 阶行列式
2 1 00 0 0 0 1 2 10 0 0 0 01 20000
。
0 0 00 1 2 1 000001 2
( ) 2. 设实二次型 f = x12 + x22 + x32 + 2t x1x2 + x1x3 + x2 x3 。问当 t 取何值时，f 是正定的、
6. （18' ）设σ 是数域 P 上的线性变换，且σ 2 =σ .证明：
(1) ker σ = {α −σ (α ) |α ∈V }.
(2)如果τ 是V 的线性变换， kerσ 和σ (V ) 都是τ 的不变子空间.
( ) 7. 20' 设σ 是欧氏空间V 的线性变换，且σ 3 +σ =0 .证明：σ 的迹为 0 . ( ) 8. 20' 设 A 为 n 阶实可逆矩阵.证明：存在正交矩阵 Q1,Q2 ,使得 Q1AQ2 为对角阵.
dimW1 ≠ dimW2 。
8. 设σ 是 n 维欧氏空间中的一个对称变换，= 则V kerσ ⊕σ (V ) 。
2006 年苏州大学高等代数考研试题
1． 用正交线性替换将实三元二次型 f (x1, x2 , x3 ) =x12 − 4x1x2 + 4x1x3 − 2x22 + 8x2 x3 − 2x32
5. 证明：实系数线性方程组 AX = B 有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量 B 与齐次线性方程组 AX = 0 的解空间正交。
6. 设 A, B 是 n × n 实对称矩阵，且 A + B =E ， E 为单位矩阵。证明下列结论等价：
（1） AB = 0 ， 0 为零矩阵。（2） rank ( A) + rank ( B) = n 。
换。证明：α1,α2 ,,αs 线性无关。
( ) 5. 用正交线性替换化三元二次型 f x1, x2 , x3 =x12 − 2x22 − 2x32 − 4x1x2 + 4x1x3 + 8x2 x3
为标准型，并给出所用的正交线性替换。
6. 设 A, B 为两个 n 阶方阵， rank ( A) =rank ( B)= n −1 ，其中 n > 1 ，齐次线性方程组
5. 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3 ，向量α =(−1, 2, −1)T ， =β (0, −1,1)T 是
线性方程组 AX = 0 的两个解。 （3） 求 A 的特征值与特征向量； （4） 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 B ，使得 QT AQ = B 。
6. 设 P 是一个数域，p ( x) 是 P[ x] 中次数大于零的多项式。证明：如果对于任意的 f ( x) ，
2012 年苏州大学高等代数考研试题
1. （18' ）设 f ( x) 是 n 次多项式，则 f ( x) 有 n 重根的充要条件是 f ' ( x) f ( x) .
( ) 2. （18' ）设 A 为 n 阶实矩阵，证明: rank ( A) = rank AΤ A .
3. （18' ） A, J 为 n 阶矩阵.证明：

（1） AJ = JA 的充要条件条件是 A = a11En +a12 J +a13 J 2 +L+a1n J n−1 .
0 0 0 L 0 1
1 0 0 L 0 1
其中
J
=
0 M
1 M
0 M
L O
0 M
1 . M
0 0 0 L 0 1
0 0 0 L 1 1
（2）令 C ( J ) = {A | AJ = JA} ，求 C ( J ) 的维数.
（3） 如果τ 是V 的线性变换，σ −1 (0) ，σ (V ) 都是τ 的不变子空间，则有στ = τσ 。
4. 设σ 是数域 P 上的向量空间V 的一个线性变换，α1 是σ 的属于特征值 λ 的特征向量，
向量组α1,α2 ,,αs 满足关系：(σ − λid )αi+1 = αi ,i = 1, 2,, s −1，其中 id 是恒等变
g ( x) ，由 p ( x) | f ( x) g ( x) 可以推出 p ( x) | f ( x) 或 p ( x) | g ( x) ，那么 p ( x) 是不可
约多项式。
7. 设 欧 氏 空 间 中 有 β ,α1,α2 ,,αn , β ≠ 0 ， W1 = Span (α1,α2 ,,αn ) ， W2 = Span ( β ,α1,α2 ,,αn ) 。 证 明 ： 如 果 β ,α=i 0=,i 1, 2,, n ， 那 么
明： A 和 B 至少有 r 个相同的特征值。
2004 年苏州大学高等代数考研试题
1 0 1
1.
1
求满足下列条件的
X
，

3
2
5

X

0 1
2 0
1 2

=

1 0
0 1
1
0

。
2. 设 P 是一个数域， p ( x) 是 P[ x] 中次数大于零的多项式。证明：如果对于任何的多项
变成标准形，并写出所用的非退化线性变换。
2 1 2． 设 A = −2 5
1 −1
−2
−4

。A
是否相似于一个对角矩阵？如果相似，则求出可逆矩阵
C
，
5
使得 C −1AC 为对角矩阵，且写出此对角矩阵。
3． 设 f (x)= an xn + an−1xn−1 + + a1x + a0 是一个整系数多项式，证明：如果 an + +a0 是
deg(r(x)) < 2 。
（1） （2）
证明映射 δ 是V 的一个线性变换。
{ } 求δ 在基 1, x, x2 , x3, x4 下的矩阵。
8．设 A, B 都是 n × n 矩阵，并且 AB = BA 。证明：如果 A, B 都相似于对角矩阵，则 A + B
也相似于对角矩阵。
2005 年苏州大学高等代数考研试题
一个奇数，则 f (x) 不能被 x −1整除，也不能被 x +1整除。
4． 设 A 是一个 n × n 矩阵，证明：如果 A 的秩等于 A2 的秩，则齐次线性方程组 AX = 0 与 齐次线性方程组 A2 X = 0 同解。
5． 设V 是有理数域 Q 上的线性空间， id 是V 的恒等变换。又设 δ 是V 的一个线性变换，
明：τ 与σ 可交换的充要条件τ 是 id ,σ ,σ 2 ,,σ n−1 的线性组合，其中 id 是恒等变换。
2003 年苏州大学高等代数考研试题
1．设 A 是 n × n 的实对称矩阵．证明：如果 λ0 是 A 的最小特征值，则 (1− λ0 )En + A 是正
定矩阵。
2．设 Ρ 是一个数域，V 是 Ρ 上 n 维的线性空间， Α 是V 的一个线性变换，记 W ={Αa | a ∈V}．证明： Α5 = 3Α2 − 6Α ，则V 是 Α 的核与W 的直和。