必修五不等式专题复习
高中数学必修5不等式的综合复习(详解)
高中数学不等式的综合复习【本讲教育信息】一. 教学内容：不等式的综合应用二. 教学目的：比较熟练的应用不等式解决有关的综合问题三. 教学重点：不等式与函数，方程，数列，导数等知识的联系。
教学难点：不等式与几何知识的综合。
四. 知识概要：1、不等式的功能：不等式的知识已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，体现了不等式广泛运用的工具功能。
2、建立不等式的途径：运用不等式知识解题的关键是建立不等关系，其途径有：利用几何意义、利用判别式、应用变量的有界性、应用函数的有界性、应用均值不等式。
3、实际应用：应用题中有一类是最优化结果，通常是把问题转化为不等式模型，再求出最值。
【典型例题】（一）基础训练题 例1. （1）（全国2文4）下列四个数中最大的是（ ）A. 2(ln 2)B. ln(ln 2)C.D. ln 2解：∵ 0ln 21<<，∴ ln （ln2）<0，（ln2）2< ln2，而ln 2=21ln2<ln2，∴ 最大的数是ln2，选D 。
（2）（安徽文8）设a ＞1,且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则pn m ,,的大小关系为 （ ） A. n ＞m ＞p B. m ＞p ＞nC. m ＞n ＞pD. p ＞m ＞n解析：设a ＞1,∴ 212a a +>，21a a >-，2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,∴ p n m ,,的大小关系为m ＞p ＞n ，选B 。
（3）（北京理7）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） A. ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B. ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 C. ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 D. ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2，选A 。
高中数学必修五不等式方法与题型总结
不等式的题型方法总结1 不等式性质1、不等式的性质：课本性质请自己整理。
注意：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。
如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：）2.比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法 ；(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
一、a b -与0比较大小。
1、基本功练习 1.1 比较3(1)2a ++与34(1a--的大小。
解析：注意立方和差公式。
3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++1.2 比较22123x +与32120x +的大小，其中x R ∈。
1.3 ,a b 都是正数，比较112222()()a bb a+大小。
1.4 比较62019x +与422018x x ++的大小，其中x R ∈。
1.5 已知,,,a b c d ∈{正实数}，且b c <，比较ab d +与ac bc d ++的大小。
1.6 已知0,1,0x x m n >≠>>，比较1m m x x+与1n nx x +的大小。
1、综合能力提升2.1 已知正数,,a b c 满足lg a 、lg b 、lg c 成等差数列，比较222a b c -+与2()a b c -+的大小。
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高中数学必修5第三章不等式复习一、不等式的主要性质：(1) 对称性： a b b a (2) 传达性： a b,bca c(3) 加法法例： a b a c b c ； a b,c d a c b d (4) 乘法法例： ab,c 0ac bc ； ab,cacbcab0, c d 0ac bd(5) 倒数法例： ab,ab1 1a b(6) 乘方法例： a b 0 a nb n (nN * 且 n 1)(7) 开方法例： abnanb (n N * 且 n1)二、一元二次不等式 ax 2bxc0 和 ax 2 bx c0( a0) 及其解法y ax 2bx cy ax 2 bxc2bx ca( x x 1 )( x x 2 )y axa( x x 1 )( x x 2 )二次函数y ax 2bx c（ a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根 有两相等实根ax 2bx cb 无实根a 0 的根 x 1 , x 2 ( x 1 x 2 )x 1 x 22aax 2bx c(a 0)的解集ax 2bx c 0(a 0)的解集１ . 一元二次不等式先化标准形式（ a 化正）２ . 常用 因式分解法 、求根公式法 求解一元二次不等式顺口溜： 在二次项系数为正的前提下： “大鱼”吃两边， “小鱼”吃中间三、均值不等式1. 均值不等式：假如a,b 是正数，那么a b (当且仅当时取 " " 号).abab22、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等3、均匀不等式：（a、b为正数），即 a 2 b 2 a bab2（当 a = b 时取等）2211a b四、含有绝对值的不等式1．绝对值的几何意义：| x |是指数轴上点x 到原点的距离；| x1x2 |是指数轴上x1, x2两点间的距离a a0代数意义： | a | 0a0a a02、假如a0, 则不等式：| x | a x a或 x a| x | a x a或 x a | x | a a x a| x | a a x a4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号五、其余常有不等式形式总结：①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f ( x )0 f ( x) g( x ) 0 ；f ( x )0 f ( x )g( x ) 0g( x )g( x)0g( x )②指数不等式：转变为代数不等式a f ( x ) a g ( x ) ( a 1) f ( x ) g( x ) ； a f ( x ) a g ( x ) (0 a 1) f ( x ) g( x)③对数不等式：转变为代数不等式f ( x)0 f ( x )0 log a f ( x ) log a g( x)( a1)g( x )0log a f ( x ) log a g( x )(0 a 1)g( x )0f ( x)g( x ) f ( x )g( x )④高次不等式：数轴穿根法 :奇穿，偶不穿例题：不等式( x23x2)( x4) 20 的解为（）x3A．－ 1< ≤1 或x≥2B．<－ 3 或 1≤x≤ 2x xC．x=4 或－ 3<x≤ 1 或x≥2D．x=4 或x<－3 或 1≤x≤ 2六、不等式证明的常用方法做差法、做商法七、线性规划1、二元一次不等式（组）表示的平面地区直线 l : Ax By C 0 （或0 ）：直线定界，特别点定域。
高中数学必修5第三章《不等式》复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（一）第一节不等关系与不等式[知识能否忆起]1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的基本性质1.在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意．2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．高频考点1. 比较两个数(式)的大小[例1] 已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小．[自主解答] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5；当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5. 综上可知S 3a 3＜S 5a 5.由题悟法比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．[注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．以题试法1．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：选A c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0， ∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a . ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 2. 不等式的性质(2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a－c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C.由题悟法1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．以题试法2．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1bD ．若a ＜b ＜0，则b a ＞ab解析：选B A 中，只有a ＞b ＞0，c ＞d ＞0时，才成立；B 中，由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ＞b 2成立；C ，D 通过取a ＝－2，b ＝－1验证均不正确． 3. 不等式性质的应用典题导入[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． [自主解答] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．以题试法3．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7.∴α＋3β的取值范围为[1,7]．第二节一元二次不等式及其解法[知识能否忆起]一元二次不等式的解集二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同高频考点1.一元二次不等式的解法典题导入[例1] 解下列不等式： (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． [自主解答] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3. (2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a ，或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a ，或x ＜－a .由题悟法1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．以题试法1．解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2 ≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. 2．一元二次不等式恒成立问题典题导入[例2] 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．[自主解答] 法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1) 时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1 ≤a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3 ≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．本题中的“x ∈[－1，＋∞)改为“x ∈[－1,1)”，求a 的取值范围．解：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1,1)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＞1，g (1)≥0.解得－3≤a ≤1，所求a 的取值范围是[－3,1] .由题悟法1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)(x ∈R ) 恒成立的充要条件是： a ＞0且b 2－4ac ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)(x ∈R )恒成立的充要条件是： a ＜0且b 2－4ac ＜0.以题试法2．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：由Δ1<0，即a 2－4(－a )<0，得－4<a <0； 由Δ2≥0，即a 2－4(3－a )≥0，得a ≤－6或a ≥2. 答案：(－4,0) (－∞，－6]∪[2，＋∞) 2. 一元二次不等式的应用典题导入[例3] 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． [自主解答] (1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价， 所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.由题悟法解不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题．以题试法3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？解：假设一次上网x 小时，则公司A 收取的费用为1.5x 元，公司B 收取的费用为x (35－x )20元．若能够保证选择A 比选择B 费用少，则x (35－x )20＞1.5x (0＜x ＜17)， 整理得x 2－5x ＜0，解得0＜x ＜5，所以当一次上网时间在5小时内时，选择公司A 的费用少；超过5小时，选择公司B 的费用少．练习题[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题正确的是( ) A ．若ac ＞bc ⇒a ＞b B ．若a 2＞b 2⇒a ＞b C ．若1a ＞1b ⇒a ＜bD ．若a ＜b ⇒a ＜b答案：D2．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0D ．不确定解析：选A 由a <0，ay >0知y <0，又x ＋y >0，所以x >0.故x －y >0. 4.12－1________3＋1(填“>”或“<”)． 解析：12－1＝2＋1＜3＋1. 答案：<5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立． 答案：②③4．若x ＞y, a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________． 解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此 ①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出 ②④成立． 答案：②④[小题能否全取]1．(教材习题改编)不等式x (1－2x )＞0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞答案：B2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13D ．R答案：B3．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2.4．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.解析：因为|x ＋2|<3，即－5<x <1，所以A ＝(－5,1)，又A ∩B ≠∅，所以m <1，B ＝(m,2)，由A ∩B ＝(－1，n )得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 15．不等式1x －1＜1的解集为________．解析：由1x －1＜1得1－1x －1＞0，即x －2x －1＞0，解得x ＜1，或x ＞2.答案：{x |x ＜1，或x ＞2}1．(2012·重庆高考)不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C 原不等式化为(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，故原不等式的解集为(－2,1)．2．(2013·湘潭月考)不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：选B ①当x －2＞0即x ＞2时，原不等式等价于(x －2)2≥4，解得x ≥4. ②当x －2＜0即x ＜2时，原不等式等价于(x －2)2≤4， 解得0≤x ＜2.3．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]4．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 解析：选C ①m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不合题意．②m ≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311.6．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析：选C ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1， Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.7．若不等式k －3x －3＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝________.解析：k －3x －3＞1，得1－k －3x －3＜0，即x －k x －3＜0，(x －k )(x －3)＜0，由题意得k ＝1.答案：18．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 解析：原不等式即x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，在R 上解集为∅， ∴Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0， 即a 2－2a －3＜0， 解得－1＜a ＜3. 答案：(－1,3)9．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________．解析：由已知得f (3)＝6－m ，①当m ≤3时，6－m ≥3，则f (f (3))＝2(6－m )－m ＝12－3m ＞6，解得m ＜2；②当m ＞3时，6－m ＜3，则f (f (3))＝6－m ＋5＞6，解得3＜m ＜5.综上知，m ＜2或3＜m ＜5.答案：(－∞，2)∪(3,5) 10．解下列不等式： (1)8x －1≤16x 2；(2)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)．解：(1)原不等式转化为16x 2－8x ＋1≥0， 即(4x －1)2 ≥0，则x ∈R ， 故原不等式的解集为R .(2)原不等式转化为(x ＋a )(x －3a )＜0， ∵a ＜0，∴3a ＜－a ，得3a ＜x ＜－a .故原不等式的解集为{x |3a ＜x ＜－a }．11．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)由题意知，月利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500.由月利润不少于1 300元，得－2x 2＋130x －500≥1 300. 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500 ＝－2⎝⎛⎭⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．解：由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0. ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .。
高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结
一 . 不等式知识重点1. 两实数大小的比较ababab a b 0abab2.不等式的性质： 8条性质 .aa2 2b b 222 ab1( ab )22a2整式形式abb23.基aba 2b 2本不 2等式abab 定理2根式形式2 ( a 2b 2 )ba分 式 形 式ba 2 ( a ,b 同 号 ）ab1a2a倒数形式aa12aa4.公式：a 12a ba 2b 2ab3.解不等式xb(a0)(1) 一元一次不等式 ax b(a 0)a(2) 一元二次不等式：xb(a0)a鉴别式△>0 △=0△ <0△ =b 2- 4acy=ax 2+bx+c的图象yyy(a> 0)x 1 Ox2xxOO x 1xax 2+bx+c= 0 有两相异实根有两相等实根没有实根x 1, x 2 (x 1< x 2)b(a >0) 的根x 1= x 2= 2aax 2+bx+c> 0 {x|x<x 1,或 {x|x ≠b } R2a(y> 0)的解集x>x 2}ax 2+bx+c< 0 {x|x 1< x <x 2 }ΦΦ(y <0 )的解集一元二次不等式的求解流程 ：.一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根 .三求：求对应方程的根 .四画：画出对应函数的图象.五解集：依据图象写出不等式的解集.(3)解分式不等式：f ( x)f (x) g( x)g( x)f ( x)f (x)g(x)g(x)g( x)高次不等式：( x a 1 )( x a 2 ) ( x a n )(4)解含参数的不等式： （1） (x –2)(ax –2)>0（ 2）x 2 –(a + a 2)x + a 3 >0 ； （ 3）2x 2+ ax +2 > 0 ；注:解形如 ax 2+bx+c> 0 的不等式时分类讨 论的标准有： 1、议论 a 与 0 的大小； 2、议论⊿与 0 的大小； 3、议论两根的大小；二、运用的数学思想：1、分类议论的思想；2、数形联合的思想；3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒建立的问题：.1、函数2、分别参数后用最值3、用图象例 1．已知对于x 的不等式x2(3 a2 )x 2a 10在(–2，0)上恒建立，务实数 a 的取值范围．例 2．对于x的不等式y log 2 ( ax 2ax1)对全部实数 x∈R都建立，求 a 的取值范围.x例3.若对随意x0,a恒建立，x23x 1则 a的取值范围.(5)一元二次方程根的散布问题：方法：依照二次函数的图像特点从：张口方向、鉴别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转变为一元二次不等式组求解 ..二次方程根的分布问题的讨论：f (k )0y1．x1< x2< k b kk2a x10O xx2yf (k)0．1< x2b k2k < x2ax1O x2xky3．x1< k < x2 f (k) 0kx1O x x.4．k1 < x1 < x2 < k25．x1 < k1 < k2 < x2 yyk1k2Ok1k2x1O x2x x1x2xf (k1 )0f (k2 )0k1bk2 2a6．k1< x1< k2< x2< k3f ( k1 ) 0f ( k2 ) 0f ( k2 ) 0f (k1 ) 0f (k2 ) 0yO k2x2k1x1k3x4解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值。
必修五不等式专题复习
《不等式》专题复习知识回顾一. 不等式的主要性质:(1) 对称性： ⑵传递性： ⑶加法法则: (4)乘法法则:(同向同正可乘)⑸倒数法则： ⑹乘方法则：⑺开方法则：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法(作差一一变形一一判断符号一一结论) 3、应用不等式性质证明不等式二. 解不等式1.一元二次不等式axbx c - 0或ax 2bx • c ：：： O a = 0的解集:2、简单的一元高次不等式的解法：(穿根法)其步骤是：(1) 分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； (2) 将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画 曲线；并注意奇穿过偶不过；(3 )根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集,**2 *3如口：(x +1'f x —1) (x —2) <03、 分式不等式的解法(转化为常规不等式)f(x)f(x) c- f(x)g(x)—O0二 f(x)g(x) 0;0二g(x)g(x) l g(x )工 0注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理4、 不等式的恒成立问题：同向可加)1是偶重根应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式f (x)A A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f (x )mi n > A若不等式f(x)<B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x h ax£B三、线性规划1、用二元一次不等式(组)表示平面区域2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法3、线性规划的有关概念：①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解、可行域和最优解：4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：(1)寻找线性约束条件，列出线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；(3)依据线性目标函数作参照直线ax+by二0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解四.均值不等式1. 若a,b€ R,则a2+b2>2ab,当且仅当a=b时取等号|2. 如果a,b是正数，那么- ab(当且仅当a二b时取"二"号).2变形：①a+b > 2 ab ;F、2② ab< '口i , 当且仅当a=b时取等号II 2丿—注: (1)当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.(2)求最值的重要条件“一正，二定，三取等”3. 常用不等式有：(1)a；" -殳右--了七(根据目标不等式左右的运算结构选用)；a b2 2 2(2)a、b、c・ R, a b c - ab bc ca (当且仅当a=b=c时，取等号);(3)若a b 0,m 0，则--一m(糖水的浓度问题)。
高中数学必修五第三章复习知识点及题型
必修五第三章 不等式一．不等关系与不等式1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．比较两个数的大小可以用相减法；除法；平方法；开方法；倒数法等等。
2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>⇒>∈N >． 例1 对于实数判断下列命题真假：,,,c b a（1）若;,bc ac b a <>则 (2);,22b a bc ac >>则若(3)22,0b ab a b a >><<则若 (4) .0,0,11,<>>>b a ba b a 则若 例2（1）.已知x ∈R,则22+x 与2的大小关系是 ( ).A.22+x >2 B.222≥+x C.22+x <2 D.222≤+x（2）.2)2(-≥n m 等价的是( ). A.2)2(-≤n m B.m n ≥-2)2( C.m n ≤-2)2( D.2)2(-n <m（3）设则下列不等式成立的是是非零实数，若,,b a b a < （ ） A.22b a < B.b a ab 22< C.b a ab 2211< D.ba ab <例3（1）2. 函数122-+=x x y 的定义域是 ( ) A.{}34>-<x x x 或 B.{}34<<-x x C.{}34≥-≤x x x 或 D.{}34≤≤-x x（2） 不等式022>++bx ax 的解为3121<<-x ，则b a +等于 ( )A.10B.-10C.14D.-14（3） 对于任意的实数x ，不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，实数a 的取值范围是( ) A.()2，∞- B.(]2，∞- C.()22，- D.(]22，- （4） 解关于的不等式)0(01)1(2><++-a x a ax .例4.解不等式（1）()()()0321≥-+-x x x （2）()()()0321>-+-x x x（3）()()()()032112≤-+-+-x x x x x （4）()()()()032112>-+-+x x x x（5）012<-+x x （6）221≤-+x x （7）027313222≥+-+-x x x x例5（1）.已知不等式22622>++++x x kx kx 对任意R x ∈恒成立，求k 的取值范围。
高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型_讲义含解答
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解2a b+ 1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）2211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式知识点总结必修五数学基本不等式知识点总结如下：1. 一次性解决n个一元一次方程组将所有的方程相加得到等式，将所有的不等式相加得到不等式。
2. 均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，则有：（1）算术平均值和几何平均值：(a1+a2+…+an)/n >= (a1×a2×…×an)^(1/n)（2）加权平均值和几何平均值：(a1*w1+a2*w2+…+an*wn)/(w1+w2+…+wn) >= (a1^w1×a2^w2×…×an^wn)^(1/(w1+w2+…+wn))其中，w1、w2、…、wn是正实数，满足w1+w2+…+wn=1。
3. 广义均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，m和p同为实数且m < p，则有：(a1^m+a2^m+…+an^m)/n >= (a1^p+a2^p+…+an^p)/n当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。
4. 柯西不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，则有：(a1*b1+a2*b2+…+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+…+an^2)*(b1^2+b2^2+…+bn^2)当且仅当ai/k1=bi/k2时，等号成立。
其中，k1和k2是实数。
5. 阿贝尔不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，满足a1 >= a2 >= … >= an和b1 <= b2 <= … <= bn，则有：a1*b1+a2*b2+…+an*bn >= a1*bk1+a2*bk2+…+an*bkn，其中，k1、k2、…、kn是排列1、2、…、n的一个排序方式。
6. 连续不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，如果a1 <= a2 <= … <= an，则有：（1）(a1+a2+…+an)^2 <= n*(a1^2+a2^2+…+an^2)（2）(a1+a2+…+an)^2 >= n*a1*a2*…*an其中，等号成立当且仅当a1=a2=…=an。
高中数学必修五第三章不等式复习小结优质
＞0， b
>0）的最大值为12，则
2 a
3 b的最小值为（
）
A. 25 6
8
B.
3
11
C.
D. 4
3
二、填空题：
5.已知 、 是方程 x2 2k 1 x 4 2k 0 的两个实根，且 2 ,
k 则实数 的取值范围是 , 3 .
6.已知 x, y 满足
x 4 y 3, 3x 5 y 25, 则 x 1,
z
y x3
的取值范围是
,
1 2
1,
.
7.已知 lg x lg y 1, 则
52 xy
的最小值是 2
.
三、解答题：
8、已知:函数 f ( x) a满x2足 c,
4 f (1) 1, 1 f (2) 5
求: f (3) 的取值范围.
解：因为f(x)=ax2－c,
f (1) a c
即 z 240000 720 2 1600
z 297当60x0=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形 时总造价最低,最低总造价为297600元.
不等式及其性质
一元二次不等式及其解法 简单的线性规划
基本不等式
课后完成本章测试题
第三章 不等式 复习小结
y f x
y
R
x
x
b 2a
y
R
y
ax2 bx c
图像：
x O x1 x2
x O x＝－b／2a
O
x
三、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题：
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域的方法：
1091-高中数学必修五《不等式复习》教案
不等式复习第一课时 不等式性质【复习目标】熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”【复习重点】不等式性质应用【复习难点】利用不等式加法法则及乘法法则解题【复习过程】不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且一、基本练习1、若0<<b a ，则下列不等关系正确的是( ) (A) b a 11> (B)ab a 11>- (C)||||b a > (D)22b a > 2、已知,0<<a x 则下列不等式一定成立的是( )(A)02<<ax x (B)22a ax x >> (C)022<<a x (D)ax a x ><223、“3041<<<+<ab b a 且”是“3110<<<<b a 且”成立的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件4、如果2416,4230<<<<y x ，则y x 2-的取值范围是 .yx 的取值范围是 .5、已知dc b ad c b a =>>>>,0，试比较d a + c b +(用不等号填空) 6、若b a R b a ≠∈且,，则下列不等式恒成立的是( )(A)2323b ab a >+ (B)322355b a b a b a +>+(C))1(222--≥+b a b a (D)2>+ab b a 7、已知2,=++>>z y x z y x 且，则下列不等式恒成立的是( )(A)yz xy > (B)yz xz > (C)xz xy > (D)||||y z y x >二、典型例题分析〖例1〗若0<<y x ，试比较))(())((2222y x y x y x y x +--+与的大小〖例2〗已知c ax x f -=2)(满足5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f ，求)3(f 的取值范围.巩固：已知βα,满足⎩⎨⎧≤+≤≤+≤-βαβα2111，试求βα3+的取值范围. 〖例3〗在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，011>=b a ，033>=b a ，31a a ≠，试比较55b a 与的大小.【课堂小结】不等式的性质和不等式的意义是解证不等式的理论依据，应熟练掌握，在运用不等式的性质解题时要注意运用分类讨论、等价转化和函数思想，运用时特别注意乘法法则的限制条件【课外作业】： 南师大P84/典型例题1、2、3，P85/课外作业3、5第二课时 均值不等式【复习目标】明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.【复习重点】均值不等式的应用【复习难点】利用均值不等式求解最值时的“配凑”问题【复习过程】二元均值不等式：依据：),(222R b a ab b a ∈≥+变式：),(2+∈≥+R b a ab b a ；),(2222+∈+≤+≤R b a b a b a ab ；2)2(b a ab +≤ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等”三元均值不等式：依据：),,(3333+∈≥++R c b a abc c b a 变式：),,(33+∈≥++R c b a abc c b a ，3)3(c b a abc ++≤ 作用：与二元均值不等式相仿 推广：),,,(2121321+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++R x x x x x x n nx x x x n n n n (即n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)一、基本练习1、已知：b n m a y x =+=+2222,且b a ≠，则ny mx +的最大值为( ) (A)ab (B)2b a + (C)222b a + (D)222b a + 2、若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)13、已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个4、若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为 .5、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则ab b a ab b a 2,,2,22++中最大的是 .6、设+∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是( ) (A)4)11)((≥++b a b a (B) ab abb a 222≥+ (C)21≥+abab (D)ab b a ab ≤+2 7、设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( ) (A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+ ８、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .９、若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) (A)18 (B)6 (C)32 (D)432二、典型例题分析〖例1〗若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a 〖例2〗某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案，其中0>>q p经两次提价后，哪一种方案的提价幅度最大？为什么？〖例3〗是否存在常数c ，使得不等式yx y y x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数y x ,恒成立，试证明你的结论.注：考虑y x =的特殊情况.【课堂小结】均值不等式是证明不等式及求解最值的基本方法之一，但是在求解最值时请一定要注意相等的条件，若多次利用均值不等式求解最值，则必须注意这些不等式等号成立的条件是否一致，只有在一致的条件下才有可能达到最值，这一点请务必注意.【课外作业】：1、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(>---z y x 2、在某两个正数y x ,之间插入一个数a ，使y a x ,,成等差数列；若插入两个数c b ,，使y c b x ,,,成等比数列，求证：)1)(1()1(2++≥+c b a3、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求425)1)(1(≥++b b a a . 4、证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+ 不等式证明不等式证明的常用方法有：比较法：通常有作差比较、作商比较两种；综合法：从已知条件或已经证明的不等式出发，根据不等式的性质、基本不等式或函数单调性直接证出待证不等式；分析法：从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件，直至使不等式成立的条件都已具备，就可确定待证不等式成立，这种思想通常简单地称为“执果索因”放缩法：其基本原理是不等式的传递性，关健要掌握放缩的“度”，目前考得相当少,即使考到的话也往往是也可用其它方法处理的类型.第三课时 不等式性质应用及证明(1)【复习目标】熟悉证明不等式的几种常方法，能熟练应用比较法证明不等式和用分析法寻求证明不等式的基本思路.【复习重点】比较法证明不等式.【复习难点】不等式证明思路的寻求.【复习过程】一、基本练习1、设n m ≠，4334,n m n y n m m x -=-=，则y x ,的大小关系为( )(A)y x > (B)y x = (C)y x < (D)与n m ,的取值有关2、设,,,,,,+∈R n m d c b a cd ab P +=，mb nc ma Q ⋅+=，则( ) (A)Q P ≥ (B)Q P ≤ (C)Q P > (D)Q P <3、设命题甲：“50<<x ”，命题乙：“3|2|<-x ”，那么( )(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件 (B)甲是乙的必要条件但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件 (D)甲既不是乙的充分条件又不是必要条件4、已知c b a ,,是三角形ABC 的三边，b b a a P +++=11，cc Q +=1，则 (A)Q P > (B)Q P < (C)Q P ≥ (D)Q P ≤5、若2,,,b a B b a A R b a +=+=∈+且，则B A 与的大小关系为 . 6、若+∈+=+=R x x x B x A ,2,21234，则B A 与的大小关系为 .7、设y x ,是满足202=+y x 的正数，则y x lg lg +的最大值是( )(A)50 (B)2 (C)5lg 1+ (D)1二、典型例题分析〖例1〗已知,,+∈R b a 求证：22333b a b a +<+注：对于二次三项式或二次齐次式的恒正、恒负的判定一般通过配方法处理. 〖例2〗设,,R b a ∈且1≥+b a ，求证：1333≥++ab b a〖例3〗设同号且n m n m x x f ,1,12)(2=++=，求证：对任意的实数,,b a 恒有： )()()(nb ma f b nf a mf +≥+.【课堂小结】比较法是不等式证明中最重要的一种方法，在比较法中更为常用的是作差比较，其基本步骤为“作差—变形—判定差式的符号”，在判定差式的符号过程中一般应先分解因式把差式化为若干个因式的积或商，再逐个判定各因式的符号，作商比较一般适应于两个式子均为正的情形.至于分析法，其实任何一个问题的求解不可能离开分析。
必修五不等式知识汇总5篇
必修五不等式知识汇总5篇第一篇：必修五不等式知识汇总必修五不等式知识汇总1．实数的三歧性：任意两个实数a、b，a>b，a＝b，a0⇔a>b⎧⎪⎨a－b＝0⇔a＝b⎪⎩a－b<0⇔a.2．不等式的性质：性质1(对称性)a>b⇔bb，b>c⇒a>c；性质3(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c.移项法则：不等式中的任意一项都可以变成它的相反数后从一边移到另一边．a>b⎫a>b⎫⎬⎬⇒acbc；c>0⎭c<0⎭性质5(同向可加性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6(同向可乘性)a>b>0⎫⎬⇒ac>bd； c>d>0⎭性质7(不等式的乘方法则)a>b>0⇒an>bn(n∈N＋且n>1)；性质8(不等式的开方法则)a>b>0⇒a>b(n∈N＋且n>1)．3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：4.常见不等式的解法：(1)分式不等式的解法f(x)A先通分化为一边为一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．⇔A·B>0；Bg(x)⎧⎧B≥0B≤0⎪A·⎪A·AAA⎨⎨⇔A·B<0；≥0⇔；≤0⇔.BBB⎪B≠0⎪B≠0⎩⎩如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．(2)高次不等式的解法只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．如(x－1)(x＋1)2(x＋2)3>0穿根时，－2点穿过，－1点返回，故解为x<－2或x>1.(3)含绝对值不等式的解法：一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论，二是平方法．(4)含根号的不等式解法，一是换元法，二是平方法．(5)解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、二次不等式的判别式Δ、指对不等式中的底数含参数等)．(6)超越不等式问题可用图象法．5．二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示的平面区域．(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．(3)若Ax0＋By0＋C>0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C<0所表示的平面区域．(4)主要看不等号与B的符号是否同向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B值判断法．一般地说，直线不过原点时用原点判断法或B值判断法，直线过原点时用B值判断法或用(1,0)点判断．注意：画不等式Ax＋By＋C≥0(或Ax＋By＋C≤0)所表示的平面区域时，区域包括边界直线Ax＋By＋C＝0上的点，因此应将其画为实线．把等号去掉，则直线为虚线．6．线性规划的有关概念(1)约束条件——目标函数中的变量所要满足的不等式组．(2)线性目标函数——目标函数关于变量是一次函数．(3)线性约束条件——约束条件是关于变量的一次不等式组．(4)可行解——满足线性约束条件的解．(5)可行域——由所有可行解组成的集合．(6)最优解——在可行域中使目标函数取得最值的解．(7)线性规划问题——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．7．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式所表示的平面区域作出，找出其公共部分．(2)作出目标函数的等值线．(3)确定最优解．①在可行域内平行移动目标函数等值线，最先通过或最后通过的顶点便是最优解对应的点，从而确定最优解．②利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1、l2、…、ln的斜率分别为k18．(1)重要不等式a2＋b2≥2a·b(a、b∈R)；a＋b＋(2)基本不等式ab(a、b∈R)； 2(3)均值定理．①x、y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值P.S2②x、y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy 有最大值.4(4)证明不等式常用方法有：综合法、比较法、分析法、反证法及利用函数单调性等．误区警示：1．两个同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需要求差或商时，可利用不等式的性质转化为同向不等式相加或相乘．2．a≥b的含义是“a>b”或“a＝b”，只要其中一个成立，则a≥b就成立．3．特别注意不等式性质成立的条件．对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间关系发生的变化；避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误，特别注意关于符号的限制条件．a>b>0⎫a>b⎫如：a>b⎫⎪1111⎬⇒⎬⎬但a>b⇒是错误的，⇒ac>bd是成立的，但ababc>d>0c>d⎭⎭⎪ab>0⎭⇒ac>bd是错误的．a>b>0⇒an>bn(n∈N*)是正确的，但a>b⇒an>bn是错误的，若规定n为正奇数时，a>b⇒an>bn是正确的．4．解决含有绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解．脱去绝对值符号的方法主要有：(1)定义法：|x|≤a(a>0)⇔－a≤x≤a，|x|≥a(a>0)⇔x≥a或x≤－a 分段讨论，含多个绝对值符号(高考限于2个)的情形，可令每一个为0，找出分界点再分段，特别注意a>0的条件．(2)平方法：只有在不等式两端同号的情况下才适用．(3)客观题还常结合几何意义求解．5．在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各个项中字母取某个值时，能够使得各项的值相等．其中，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立条件的一致性．6．①写一元二次不等式的解集时，一定要将图象的开口方向与判别式结合起来．②当二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的情形．如ax2－ax－1<0的解－b＋集为R，求实数a的范围．解答时应对a＝0，a≠0进行分类讨论．还应注意a<02a－b－Δ<2a③解对数不等式时，莫忘定义域的限制．④换元法解不等式时，要注意把求得的新元的范围等价转化为原来未知数的取值范围．⑤解不等式的每一步变形要保持等价．7．解线性规划问题时：①在求解应用问题时要特别注意题目中变量的取值范围，防止将范围扩大．②对线性目标函数z＝Ax＋By中的B的符号一定要注意．当B>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y 轴上截距最小时，z值最小；当B<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．③解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．求最优解时，若没有特殊要求，一般为边界交点．若实际问题要求的最优解是整数解．而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当调整．其方法应以与线性目标函数直线的距离为依据，在直线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须是在可行域内寻找.但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优点并不明显易辨时，应将最优解附近的整点都找出来，然后逐一检查，以“验明正身”．第二篇：必修五基本不等式知识点第三章:不等式、不等式解法、线性规划1.不等式的基本概念不等（等）号的定义：a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.2.不等式的基本性质（1）a>b⇔b<a（对称性）（2）a>b,b>c⇒a>c（传递性）（3）a>b⇒a+c>b+c（加法单调性）（4）a>b,c>d⇒a+c>b+d（同向不等式相加）（5）a>b,c<d⇒a-c>b-d（异向不等式相减）（6）a.>b,c>0⇒ac>bc（7）a>b,c<0⇒ac<bc（乘法单调性）（8）a>b>0,c>d>0⇒ac>bd（同向不等式相乘）(9)a>b>0,0<c<d⇒11ab（异向不等式相除）(10)a>b,ab>0⇒<（倒数关系）>abcd（11）a>b>0⇒an>bn(n∈Z,且n>1)（平方法则）（12）a>b>0⇒a>b(n∈Z,且n>1)（开方法则）练习：（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若a>b,则ac>bc；②若ac>bc,则a>b；③若a<b<0,则a>ab>b；④若a<b<0,则⑤若a<b<0,则22222211<； abba>；⑥若a<b<0,则a>b； abab11⑦若c>a>b>0,则；⑧若a>b,>，则a>0,b<0。
必修五第三章不等式知识点+例题+练习+答案
不等式知识点复习及例题+练习+答案一、不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 例题：题型一：不等式的性质1.对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是____题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 2.设0x y <<，比较22()()x y x y +-与22()()x y x y -+的大小；3.比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小题型三：求范围4.已知31<+<-b a ，42<-<b a ，求b a 32+的取值范围。
高中必修5：基本不等式整理(三个课时)
（ 2 ） 已 知 ： a 0, b 0, 且 a b 1，
求证：
a
1
1 b
4.
举一反三： 若 a , b , c是 互 不 相 等 的 正 数 ， 求 证 :a
4
b c
4
4
4
a b b c c a
2 2 2 2 2
2 2
2
abc (a b c )
例3．求函数 f ( x )
2 x x 3
2
( x 0)
x
的最大
值，及此时x的值。
解：
f ( x) 1 (2 x
3 x ≥ 2 2x
3 x
3 x
)
，因为x>0，
所以 2 x 得
2 6
(2 x
3 x
)≤ - 2 6
因此f(x)≤ 1 2 6
1
a=b 大 ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）. 4 利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
s
2
一、利用基本不等式求函数的最值
例 ： 已知x 0,求x 1 (1)
( 2) 已知x 0,求x 1
1 x
的最值 ;
的最值 ;
1 x 3 ,当 x 为何值时，函数
练习：
做一个体积为32 m，高为2m的长方体纸盒，底面的长 与宽取什么 值时用纸最少？
3
解： 设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z m 根据题意，有 Z=2×
32 2
2
2 y 即xy=16
+4x+4y =32+4(x+y)
3
高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（二）
⾼中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（⼆）⾼中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（⼆）第三节⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题[知识能否忆起]1．⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域(1)在平⾯直⾓坐标系中⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域：不等式表⽰区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某⼀侧的所有点组成的平⾯区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表⽰平⾯区域的公共部分(2)⼆元⼀次不等式表⽰的平⾯区域的确定：⼆元⼀次不等式所表⽰的平⾯区域的确定，⼀般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进⾏判定，满⾜不等式的，则平⾯区域在测试点所在的直线的⼀侧，反之在直线的另⼀侧．2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的⼀次不等式(或⽅程)组成的不等式(组) ⽬标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性⽬标函数关于x，y的⼀次解析式可⾏解满⾜线性约束条件的解(x，y)可⾏域所有可⾏解组成的集合最优解使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解线性规划问题在线性约束条件下求线性⽬标函数的最⼤值或最⼩值问题确定⼆元⼀次不等式表⽰的平⾯区域时，经常采⽤“直线定界，特殊点定域”的⽅法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某⼀侧取⼀个特殊点(x0，y0)作为测试点代⼊不等式检验，若满⾜不等式，则表⽰的就是包括该点的这⼀侧，否则就表⽰直线的另⼀侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．最优解问题如果可⾏域是⼀个多边形，那么⽬标函数⼀般在某顶点处取得最⼤值或最⼩值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将⽬标函数的直线平⾏移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表⽰线性⽬标函数的直线与可⾏域的某条边平⾏时，其最优解可能有⽆数个．⼆元⼀次不等式(组)表⽰平⾯区域典题导⼊x－y≥－2，4x＋3y ≤200与不等式组＝10－y＋x直线2)湖北⾼考2011·(1]例[表⽰的平⾯区域的公共点有( )A．0个B．1个C．2个D．⽆数个[⾃主解答]由不等式组画出平⾯区域如图(阴影部分)．，即43＝－ABk＜2恰过点＝10－y＋x2直线直线2x＋y－10＝0与平⾯区域仅有⼀个公共点A(5,0)．[答案]B由题悟法⼆元⼀次不等式(组)表⽰平⾯区域的判断⽅法：直线定界，测试点定域．注意：不等式中不等号有⽆等号，⽆等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选⼀个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．以题试法x－y≥0，x＋y－2≤0，y≥a若满⾜条件)海淀期中2012·()1．(1的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为( )x＋y≥0，x－y＋4≥0，x≤a不等式组，在平⾯直⾓坐标系中)北京朝阳期末2012·()2(所表⽰的平⾯区域的⾯积是9，则实数a的值为________．解析：(1)不等式组所表⽰的平⾯区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1 )，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C. (2)不等式组所表⽰的平⾯区域是如图所⽰的△ABC，且A(－的长为BC，＞a，故4≤ABC△S的⾯积ABC≤a，若)a，－a(C，)4＋a，a(B，)2,2 1.＝a，解得9＝)4＋a2(·)2＋a(12＝ABC △S的⾯积，由⾯积公式可得4＋a2答案：(1)C (2)1求⽬标函数的最值典题导⼊x－y≥－1，x＋y≤3，x≥0，y≥0，满⾜约束条件y，x设)新课标全国卷2012·()1(2]例[则z＝x－2y的取值范围为________．x≥0，y≤1，2x －2y ＋1≤0，满⾜y ，x 已知实数)⼴州调研2012·()2(若⽬标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)取得最⼩值时的最优解有⽆数个，则实数a 的值为________．[⾃主解答] (1)依题意，画出可⾏域，如图阴影部分所⽰，显然，)0,3(A ；当直线过点3取得最⼩值为－z 时，)2,1(B 过点z2(2)画出平⾯区域所表⽰的图形，如图中的阴影部分所⽰，平移直线ax ＋y ＝0，可知当平移到与直线2x －2y ＋1＝0重合，即a ＝－1时，⽬标函数z ＝ax ＋y 的最⼩值有⽆数多个．[答案] (1)[－3,3] (2)－112，1仅在点)0≠a (y ＋ax ＝z 条件变为⽬标函数)2(若本例处取得最⼩值，其它条件不变，求a 的取值范围．解：由本例图知，当直线ax ＋y ＝0的斜率k ＝－a ＞1，即a ＜－1时，满⾜条件，所求a 的取值范围为(－∞，－1)．由题悟法1．求⽬标函数的最值的⼀般步骤为：⼀画⼆移三求．其关键是准确作出可⾏域，理解⽬标函数的意义．2．常见的⽬标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .ab＝－y ：转化为直线的斜截式by ＋ax ＝z 求这类⽬标函数的最值常将函数．的最值z 的最值间接求出zb通过求直线的截距，z b ＋x.2)b －y ＋(2)a －x ＝(z 形如：距离型)2( .y －bx －a＝z 形如：斜率型)3( 注意：转化的等价性及⼏何意义．以题试法x ＋y≥0，x －y≤0，0≤y≤k，满⾜y ，x 其中，y ＋x 2＝z 设)1．(2若z 的最⼤值为6，则k 的值为________；z 的最⼩值为________．)y ，x (M 若点)，0,1(A 点，是坐标原点O 已知)2(．|的最⼩值是________＋则|，上的⼀个动点解析：(1)在坐标平⾯内画出题中的不等式组表⽰的平⾯区域及直线2x ＋y ＝6，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最⼤值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平⾯区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最⼩，此时z ＝2x ＋y 取得最⼩值，最⼩值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.可错误!＝|＋|，)y ，1＋x (＝＋依题意得，)2(视为点(x ，y )与点(－1,0)间的距离，在坐标平⾯内画出题中的不等式组表⽰的平⾯区域，结合图形可知，在该平⾯区域内的点中，由点(－1,0)向直线x ＋y ＝2引垂线的垂⾜位于该平⾯区域内，且与点(－1,0)的距离最⼩，因此.322＝|－1＋0－2|2的最⼩值是|＋|322)2( 2－ 2)1(答案：线性规划的实际应⽤典题导⼊[例3](2012·四川⾼考)某公司⽣产甲、⼄两种桶装产品．已知⽣产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；⽣产⼄产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶⼄产品的利润是400元．公司在⽣产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排⽣产计划，从每天⽣产的甲、⼄两种产品中，公司共可获得的最⼤利润是(B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元 [⾃主解答] 设每天分别⽣产甲产品x 桶，⼄产品y 桶，相应，在坐标平⾯y 400＋x 300＝zx ＋2y≤12，2x ＋y≤12，x≥0，y≥0，元，则z 的利润为内画出该不等式组表⽰的平⾯区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平⾯区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最⼤，此时z ＝300x ＋400y 取得最⼤值，最⼤值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最⼤利润是2 800元．[答案] C由题悟法与线性规划有关的应⽤问题，通常涉及最优化问题．如⽤料最省、获利最⼤等，其解题步骤是：①设未知数，确定线性约束条件及⽬标函数；②转化为线性规划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．以题试法3．(2012·南通模如c 及每万吨铁矿⽯的价格b 的排放量2冶炼每万吨铁矿⽯的CO ，a 的含铁率B 和A 矿⽯铁)拟下表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56则购买铁矿⽯)，万吨(的排放量不超过22若要求CO ，铁)万吨(某冶炼⼚⾄少要⽣产1.9的最少费⽤为________百万元．解析：可设需购买A 铁矿⽯x 万吨，B 铁矿⽯y 万吨，y≥0，0.5x＋0.7y≥1.9，x＋0.5y≤2，则根据题意得到约束条件为⽬标函数为z＝3x＋6y，画出不等式组表⽰的平⾯区域如图所⽰当⽬标函数经过(1,2)点15.＝2×6＋1×3＝minz时⽬标函数取最⼩值，最⼩值为答案：15第四节基本不等式[知识能否忆起]a＋b2≤ab⼀、基本不等式.>0b>0，a：基本不等式成⽴的条件时取等号b＝a当且仅当：等号成⽴的条件．2⼆、⼏个重要的不等式)．同号b，a(2≥ab＋ba)；R∈b，a(ab2≥2b∈b，a(a2＋b22≤2a＋b2)；R∈b，a(2a＋b2≤ab三、算术平均数与⼏何平均数基本不等式可叙述为2的算术平均数为b，a则，>0b，>0a设．两个正数的算术平均数不⼩于它们的⼏何平均数：四、利⽤基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则：)积定和最⼩：简记(.p有最⼩值是2y＋x，时yp是定值xy如果积)1()和定积最⼤：简记(.p24有最⼤值是xy，时y＝x那么当且仅当，p是定值y＋x如果和)2(1.在应⽤基本不等式求最值时，要把握不等式成⽴的三个条件，就是“⼀正——各项均为正；⼆定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．ab ，ab 2≥b ＋a 对于公式．2．的转化关系b ＋a 和ab 两个公式也体现了，要弄清它们的作⽤和使⽤条件及内在联系，2 3．运⽤公式解题时，既要掌握公式的正⽤，也要注意公式的逆⽤，例如a 2＋b 2≥2ab 逆⽤就是ab ≤a2＋b22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆⽤就是ab ≤a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成⽴的条件利⽤基本不等式求最值典题导⼊．的最⼤值为________x ＋4x＋2)＝x (f 则，0＜x 已知)1( 1]例[ (2)(2012·浙江⾼考)若正数x ，y 满⾜x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最⼩值是( )245A.285B. C ．5D ．6 [⾃主解答] (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，.错误!－2＝x ＋4x＋2＝)x (f ∴．时等号成⽴2＝－x ，即4－x＝x ，当且仅当－4＝42≥)x －(＋4x －∵，2＝－4－2≤错误!－2＝)x (f ∴∴f (x )的最⼤值为－2.1.＝? ??5＋135≥? ????3x y ＋12y x 15＋135＝?3x y ＋4＋9＋12y x 15＝? ????1y ＋3x ·)y 4＋x 3(·15＝y 4＋x 3∴ 5.的最⼩值为y 4＋x 3∴，)时取等号y 2＝x 当且仅当(5＝3x y ·12yx2× [答案] (1)－2 (2)C本例(2)条件不变，求xy 的最⼩值．，x·3y2≥y3＋x＝xy5，则＞y，＞x∵解：．时取等号y3＝x，当且仅当122525的最⼩值为xy∴由题悟法⽤基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后⽤基本不等式求出最值．在求条件最值时，⼀种⽅法是消元，转化为函数最值；另⼀种⽅法是将要求最值的表达式变形，然后⽤基本不等式将要求最值的表达式放缩为⼀个定值，但⽆论哪种⽅法在⽤基本不等式解题时都必须验证等号成⽴的条件．以题试法．的最⼤值为________2xx2＋1)＝x(f则，0时＞x当)1．(1．的最⼩值为________b9＋alog＋a2已知log)天津⾼考2011·()2((3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成⽴，则实数m的最⼤值是________．，1＝22≤2x＋1x＝2xx2＋1＝)x(f∴，＞x∵)1(解析：．时取等号x＝x当且仅当，1≥)ab(2log得1≥b2log＋a2log由)2(．)时取等号b2＝a，即b23当且仅当(a＋2b23×2≥b23＋a3＝b9＋a3∴，2≥ab即，)时取等号b2＝a当且仅当b2＋a∵⼜18.＝23×2≥b9＋a3∴18.有最⼩值b9＋a3时，b2＝a即当－m恒成⽴，得－m，于是由8≥xy，得2xy2≥y2＋x＝xy，＞y，＞x由)3(2≤8，即m≤10.故m的最⼤值为10.答案：(1)1 (2)18 (3)10基本不等式的实际应⽤典题导⼊[例2] (2012·江苏考)如图，建⽴平⾯直⾓坐标系xOy ，x 轴在地平⾯上，y 轴垂直于地平⾯，单位长度为1千⽶，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的120－kx ＝y 轨迹在⽅程炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．与发射⽅向有关k 其中，表⽰的曲线上)0＞k (2x )2k ＋1(．(1)求炮的最⼤射程；(2)设在第⼀象限有⼀飞⾏物(忽略其⼤⼩)，其飞⾏⾼度为3.2千⽶，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．＞k ，0＞x ，由实际意义和题设条件知0＝2x )2k ＋1(120－kx ，得0＝y 令)1( ]⾃主解答[0，．时取等号1＝k ，当且仅当10＝202≤20k ＋1k＝20k 1＋k2＝x 故所以炮的最⼤射程为10千⽶．成⽴2a )2k ＋1(120－ka ＝3.2，使0＞k 存在?，所以炮弹可击中⽬标0＞a 因为)2( 有正根0＝64＋2a ＋ak 20－2k 2a 的⽅程k 关于? 0≥)64＋2a (2a 4－2)a 20－(＝Δ判别式? ?a ≤6.所以当a 不超过6千⽶时，可击中⽬标．由题悟法利⽤基本不等式求解实际应⽤题的⽅法(1)问题的背景是⼈们关⼼的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题⽬往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有⽤信息，建⽴数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运⽤基本不等式求最值时，若等号成⽴的⾃变量不在定义域内时，就不能使⽤基本不等式求解，此时可根据变量的范围⽤对应函数的单调性求解.以题试法2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提⾼1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收⼊不低于原收⼊，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩⼤该商品的影响⼒，提⾼年销售量．公司决定明年对该商品进⾏全⾯技术⾰16公司拟投⼊．元x 并提⾼定价到，新和营销策略改⾰15，投⼊50万元作为固定宣传费⽤，万元作为技改费⽤)600－2x (x 万元作为浮动宣传费⽤．试问：当该商品明年的销售量a ⾄少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收⼊不低于原收⼊与总投⼊之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，，8×25≥t ? ??8－t －251×0.2依题意，有 40.≤t ≤25，解得0≤000 1＋t 65－2t 整理得因此要使销售的总收⼊不低于原收⼊，每件定价最多为40元．(2)依题意，x ＞25时，有解，x 15＋)600－2x (16＋50＋8×25≥ax 不等式．有解15＋x 16＋150x ≥a 时，25＞x 等价于 10.2.≥a ∴，)时，等号成⽴30＝x 当且仅当(10＝150x ·16x2≥x 16＋150x ∵因此当该商品明年的销售量a ⾄少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收⼊不低于原收⼊与总投⼊之和，此时该商品的每件定价为30元．练习题[⼩题能否全取]1.(教材习题改编)如图所⽰的平⾯区域(阴影部分)，⽤不等式表⽰为( )A ．2x －y －3＜0B ．2x －y －3＞0C ．2x －y －3≤0D ．2x －y －3≥0 解：选B将原点(0,0)代⼊2x －y －3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x －y －3＞0.x≥1，y≤2，x －y≤0，满⾜y 、x 已知实数)教材习题改编(．2则此不等式组表⽰的平⾯区域的⾯积是( )12A. 14B.1．C18D. .12＝1×1×12＝△S ∴作出可⾏域为如图所⽰的三⾓形， A 选解析： )(的最⼩值是y －x ＝z 则x≥0，x ＋2y≥3，2x ＋y≤3满⾜约束条件y ，x 若)安徽⾼考2012·(．3 A ．－3B ．0 32C.3．D 解析：选Ax≥0，x ＋2y≥3，2x ＋y≤3得可⾏域如图中阴影部分所⽰，根据z ＝x －y 得y ＝x －z ，平移直线y ＝x ，当其经过点(0,3)时取得最⼩值－3.4.写出能表⽰图中阴影部分的⼆元⼀次不等式组是__________．x≤0，0≤y≤1，2x －y ＋2≥0.由可⾏域知不等式组为解析：。
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《不等式》专题复习知识回顾一．不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：(3)加法法则： (同向可加) (4)乘法法则：(同向同正可乘)(5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式]二．解不等式1.一元二次不等式()00或022≠<++>++a c bx ax c bx ax 的解集：2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<112023；3、分式不等式的解法（转化为常规不等式）()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理4、不等式的恒成立问题：应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <。
三、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法3、线性规划的有关概念：①线性约束条件 ②线性目标函数③线性规划问题 ④可行解、可行域和最优解：4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； \（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解四．均值不等式1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba变形： ① a+b ≥ab 2；②ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a , 当且仅当a=b 时取等号.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．)（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”3.常用不等式有：（12222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
典例剖析题型一：不等式的性质1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题： …①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2. 设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小'3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小-4. 若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .题型三：解不等式5. 解不等式；6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
7. 解不等式25123xx x -<---8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为______10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<…题型四：恒成立问题11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.,13. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
三．基本不等式}题型五：求最值14. （直接用注正数）求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x15. （配凑项）（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
"（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。
16. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
【注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数()a f x x x=+的单调性。
17. 求函数224y x =+的值域。
18. （条件不等式）（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .（2） 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
—（3） 已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值./题型六：利用基本不等式证明不等式19、已知a , b 都是正数，并且a b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 219. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc》16．（12分）设a >0, b >0，且a + b = 1，求证：225)1()1(22≥+++b b a a ．~题型七：均值定理实际应用问题：20. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
、。
四.线性规划题型八：目标函数求最值21. 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值：22、已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且102x <<,22x >．则1ba -的取值范围是23、已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩ ,则222x y x ++的最小值是 }24、已知变量230,330.10x y x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩满足约束条件若目标函数z ax y =+（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为 。
:25、已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m等于（ ）]题型九：实际应用22. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。
现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大又利润最大为多少#·】}易错点剖析1、抓住两边结构进行合理转化 抓住两边结构进行转化是不等式应用的重要一环，根据结论与条件，要想促使结论与条件的“沟通”，必须仔细分析结构特点，选用恰当的不等式或变式；例1、正数a 、b 满足 b a +=1， )1)(1(++b a 的最大值 。
分析（1）本题是求“积”的最大值，常规是向“和”或“平方和”转化，并根据“和”或“平方和”是否是定值，做出选择。
（2）要利用b a +=1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式①也就顺理成章了。
解：∵ 232)1()1()1)(1(=+++≤++b a b a ， 当且仅当 ⎩⎨⎧=++=+1)1()1(b a b a 即21==b a 时取得“=”。
∴ )1)(1(++b a 的最大值是 23，例2、已知正数a 、b 满足 b a +=1， 求 22)1()1(+++b a 最小值；分析：将条件与结论放在一起，可以看出，要想从条件式推出结论式，必须完成从“和”向“平方和”的转化；若从结论入手转化，再利用条件，就必须完成从“平方和”向“和”的转化。
显然，不管是由条件推出结论还是由结论转化再利用条件，都离不开变式④。
解：∵)(222b a b a +≤+，∴ ])1()1[(2)1()1(22+++≤+++b a b a≤⇒3])1()1[(222+++b a 29)1()1(22≥+++⇒b a ，当且仅当21==b a 时取得“=’。
∴ 22)1()1(+++b a 最小值是29。
注：转化中必要的“技术处理” 对均值不等式的应用，除了要会从结构入手分析外，必要的“技术处理”还必须掌握如： “配系数”（将“x ”写成“x 221⨯”或“x 212⨯”）；“拆项”（将“1332+++x x x ”写成“111)1(++++x x ”）； …“加、减凑项”（将“x ”写成“ 1)1(-+x ” ）；“升降幂” （2)(,0a a a =>） 等都是常用的“技术处理”方法。
例3、 已知 0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+ 分析：从结构特点和字母的次数看与变式⑤吻合，可从此式入手。
解：∵ 若b>0,则b a b a -≥22， ∴ b a ba -≥2……① ab ab-≥2……② ∴由 ① + ② ⇒ b a a b b a +≥+。