必修五不等式专题复习

《不等式》专题复习

知识回顾

一．不等式的主要性质：

(1)对称性： (2)传递性：

(3)加法法则： (同向可加) (4)乘法法则：

(同向同正可乘)

(5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则：

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：

作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式

]

二．解不等式

1.一元二次不等式()00或022≠<++>++a c bx ax c bx ax 的解集：

2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是：

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过；

（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<112023

；

3、分式不等式的解法（转化为常规不等式）

()()0()()

0()()0;

0()0()

()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨

≠⎩

注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理

4、不等式的恒成立问题：

应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

。

三、线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件 ②线性目标函数

③线性规划问题 ④可行解、可行域和最优解：

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； \

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

四．均值不等式

1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.

2．如果a,b 是正数，那么).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a

变形： ① a+b ≥ab 2；

②ab ≤2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛+b a , 当且仅当a=b 时取等号.

注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为

定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

)

（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

3.常用不等式有：

（12222211

a b a b ab a b

++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，2

22a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等

号）；

（3）若0,0a b m >>>，则

b b m

a a m

+<

+（糖水的浓度问题）。 典例剖析

题型一：不等式的性质

1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题： …

①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；

③22,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 1

1,0<<<则若；

⑤b

a

a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；

⑦b c b a c a b a c ->

->>>则若,0； ⑧11

,a b a b

>>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

2. 设2a >，1

2

p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小

'

3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

-

4. 若)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b

a R

b a Q b a P b a +=+=

⋅=>>，

则R Q P ,,的大小关系是 .

题型三：解不等式

5. 解不等式

；

6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

7. 解不等式25123

x

x x -<---

8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______

9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02

>-+x b

ax 的解

集为______

10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<

…

题型四：恒成立问题

11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________

12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范

围.

,

13. 已知0,0x y >>且19

1x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范

围。

三．基本不等式

}

题型五：求最值

14. （直接用注正数）求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋12x

2

（2）y ＝x ＋1

x