静定桁架和组合结构

B
Fra Baidu bibliotekd A FN1
1
I
0
FN1= - 3FP
d
I d d
FP
例：求图示桁架杆1轴力。
解： 求反力。 取截面I-I右部。 由∑x’=0
a/2
FP I
x’
-
a A FN1 B
FN1
· cos45o+F
cos45o=0
By·
I 1
a/2 FBy= 3FP /4 a/2 a/2 a/2
FN1= FBy =0.75 FP
例：分析图示桁架。
解： 求支座反力。 作截面 I—I 由∑MC=0 求出FN1。
FxA
C
A
FAy FN3
I
FP2
B FyB
FN2
FN1 FyB
例：
刚片BCD和刚片AEF通过三个链杆 D AC、DE和BF相连
C
FP
E F
分析图示桁架。
解：求支座反力。
作截面切断杆AC、 DE、BF。 ∑x=0 FN1=0 O FN1
1、一般情况，基本方法
求图示桁架杆13、14、24的轴力。 解： （1）求反力。
I
h1 h2
I FP FP FP l= 6d FP FP
FyA
FyB
（2）计算指定杆轴力，作截面 I-I 。
I
h1 h2 I FP FyA FP FP l= 6d
3 Fy13 FN13
FP
FP FyB ∑M1=0 求出 FN24
FQAC
FNDA=2.5kN
各杆轴力:
- 2.0 - 2.0
+ 2.0
FN图 ( kN )
1kN 3、计算梁式杆 的内力,并作内 力图。 (1)、用分段 FyA=1.25kN 叠加法作杆AC、 1kN CB的弯矩图。 A
第 六 章
静定桁架和组合 结构
§6-1 桁架的特点和组成分类
一、计算简图及受力特性
1、计算简图
实 际 结 构
计 算 简
图
2、计算假定
（1）各杆两端用绝对光滑而无摩擦的理想 铰相互联结。 （2）各杆的轴线都是绝对平直，且在同一 平面内并通过铰结点的中心。 （3）荷载和支座反力都作用在结点上并位 于桁架平面内。 符合上述假定的桁架称为 理想桁架。当桁架各杆轴 线和外力都作用在一个平 面内时，称为平面桁架。
20kN
Fy2=14kN
校核:
结点4，可作校核用。
Fx1=8kN
8kN
5 4 3
10 3
1 3
2
13
20kN FN34=16.83kN
Fy1=6kN
FN24=9.33kN
Fy2=14kN
Fy2=14kN
注：
1、简单桁架，可按不同的结点次序组成， 用结点法计算时，可按不同的顺序截取结点脱 离体进行计算。 2、利用分力与合力的几何关系，可用分力 代替合力，以简化计算。 3、选择适当的投影轴，一个轴垂直于一个 （或几个）未知力，避免解联立方程。
（2）结点单杆
（结点汇交力系平衡的特殊情况）
如果在同一结点的所有内力为未知的各杆中，除某 一杆外，其余各杆都共线，则称该杆为此结点的单杆。 有如下两种情况： ① 结点只包含两个未知力杆，且此两杆不共线， 则每杆都是单杆。
② 结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线， 则第三杆都是单杆。 FP FP 单杆 单杆 单杆
20kN
∑y =0 Fy13+Fy1=0 Fy1=6kN Fy13= - 6kN Fx13= - 6×4/3= - 8kN FN13= - 6×5/3= 10kN ∑x=0 FN12+Fx13 – 8=0 F = - ( -8)+8=16kN
Fy2=14kN
Fy23 16kN
FN23
Fx23 FN24 20kN
P FN3
FN1=P FN3=0
通常将内力为零的杆称为“零杆”
③ 如果依靠拆结点单杆的方法可以将整个桁架拆完， 则此桁架即可应用结点法按照每次只解一个未知力的方 式将各杆内力求出。
2 6 7 11 1 4
3
a 5 a
12 10
a
8 10kN a
9 10kN
例： 应用以上结论，简化下列桁架的计算。 FP 0 0 0 00 0 00 00 0 0 0 0 0 0
二、桁架介绍
竖杆
桁 架 高 度
上弦杆
斜杆
d 节间长度
下弦杆
桁架的杆件，按其所在位置的不同，可分为弦杆和 腹杆两大类。
三、桁架类型
桁架可以有许多种分类方法，如： 空间、平面。 静定、超静定。 外形、支座反力等。 从计算方法入手，一般应按桁架的几 何组成方式分类。
按照桁架的几何组成方式分类 1、简单桁架： 由基础或一个基本铰结三角形开始， 依次增加二元体所组成的桁架。
a
m
m
m a
m
关于截面单杆的性质：
截面单杆的内力可从本截面相应的隔离体的 平衡条件直接求出。 上述第一种情况的单杆可以直接利用三个平 衡方程求出三根杆件的轴力。 第二种情况，若除一根外，其余各杆都交于 一点，则此单杆的轴力可用截面法利用力矩平衡 方程求得；若除一根外，其余各杆都互相平行， 利用平行杆正交方向的投影方程，直接求出此杆 的轴力。
实例说明。
例：截面隔离体与结点隔离体联合求解杆内力
求a ,b两杆轴力。
Ⅱ
FP
作截面 I - I ∑y=0 FNa cos45o-FNc cos45o+FP=0
取结点K： ∑x=0 FNa = - FNc 2FNa cos45o= - FP FNa = - 0.707FP 作截面Ⅱ-Ⅱ ∑MD=0 →FNb
2、联合桁架： 由几个简单桁架按照两刚片或三刚片 相联的组成规则联成的桁架。
3、复杂桁架： 不是按照上述两种方式组成的其它桁 架。
四、桁架的计算方法
（结点法、截面法及其联合应用）
斜杆内力的常用算法：
FN
B
l A ly
FN FNx FNy l lx ly
FN
FNy
FN
lx
FNx
注意：计算时，通常都先假定杆件内力为拉力， 若所得结果为负，则为压力。
• 例:判断图示桁架有几根零杆?
BE为零杆从B结 点看
FP
FP
0
0 0
0
0
§6-3 截面法
用截面切断拟求杆件，从截断桁架 中取截出的一部分作为隔离体，隔离体 上所作用的荷载和桁架杆件轴力为平面 一般力系，利用平面一般力系的三个独 立平衡方程，求截断杆内力。 对于求联合桁架中的联系杆，简单 桁架的指定杆，复杂桁架的特殊杆件的 轴力等问题，使用截面法计算较简便。
FNDF= - 1.5kN （压力）
同理可得： FNEB=2.5kN （拉力） FNEG= -1.5kN （压力） 提问：
1kN
1kN
FyA=1.25kN 1kN FNFD
FyB=0.75kN
1、能否用图示 结点受力图计算杆 FD、GE的轴力？
2、图示A结点受 力图是否正确?
FyA=1.25kN
FNGE FNAC 为 什 么 ？
FyB FNa FyB
FyC = Fna√2/3
②
FP Ⅰ
A D C
FyA
b
FNa
B
a
Ⅰ
FyC
由整体平衡: ∑MA=0
FyB
FyB+2FyC - FP=0 ③
①、②→③
3 2 FNa FP 2
§6-5 组合结构
一、组合结构
由仅受轴力的二力杆和承受弯矩、剪力和 轴力的梁式杆组成的结构。
三
铰
20kN
Fy2=14kN
8kN
8
8kN
6 6.67 FN34 5 3 4
10kN
10 3
1 3
2
13
20
Fx1=8kN
21.08kN
结点3: ∑y =0 -Fy34- 20+6=0 Fy1=6kN Fy34= - 14kN Fx34= - 14×2/3= - 9.33kN FN34= - 14×√13/3= - 16.83kN
例：求图示桁架杆1轴力。
B
I
1
C
D I FP FN1
2FP
解： 求反力。 取截面I-I。 由∑MD=0 FN1· 2a+2FP(l+a)
A a l a 2l
-FP (2l-a)=0 FN1= - 2FP / 3
例：求图示桁架杆1轴力。
解： 取截面I-I。 由∑MB=0 FN1· P· d+F 3d=
A FyA=FP /4 B FyB=3FP /4
∑M0=0 FN3= - FBy
∑y=0
FN2=0
FN3
再由结点法计算其 余杆轴力。
FN2
FyB
切到的杆AE和AF上的力是平衡的
② 按三刚片规则组成的联合桁架
例：分析图示桁架。 解：先求支座反力。 用双截面法求联接处内力。 ∑MD=0 ∑ME=0 ，求出FyD、 FyE
（1）示例
用结点法求 图示桁架各杆 的轴力。
解： (1) 求反力。 Fx1=8kN
8kN
5 4
10
3
3 3 2
13
1
20kN
Fy1=6kN Fy2=14kN
(2) 内力计算。
Fy13 Fx1=8kN
Fy1=6kN
FN13 Fx13 FN12 8kN
5 3 4
10 3
1 3
2
13
Fx1=8kN
结点1:
关于结点单杆的一些性质：
① 结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求 出。而非结点单杆的内力不能由该结点的平衡条件直接 求出。 ② 当结点无荷载时，单杆的内力必为零。或者， 无载结点的单杆必为零杆。 FN1 FN2 FN1= FN2 =0 FN1 FN2 FN3 FN1= FN2 FN3=0
FN1
例：作图示组合结构的内力图
解：1、反力计算。 2、链杆内力计算。 ∑MC=0 FNDE1.5- 0.75×4=0 FNDE=2kN (拉力) FNDA=2×2.5/2=2.5kN
FyA=1.25kN
I
C
1kN
1kN
I
FyB=0.75kN
（拉力）
FNDA
FNDF FNDE 2kN FyB=0.75kN
3、桁架的受力特点
桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅 作用在结点上时，桁架主要承受轴力，杆上的应 力分布均匀，材料可充分利用，用料节省，自重 轻，大跨度结构常常采用此种结构形式。 桁架的计算简图并不符合实际结构，桁架 中存在主内力和次内力。 由铰接计算简图计算出的轴力称为主内力。 实际结构由于不满足计算假定而产生的附 加内力（主要为弯矩），称为次内力。
§6-2 结点法
在求桁架的内力时，可截取桁架的结点为隔离
体，利用各结点上的荷载和各杆轴力组成的平面 汇交力系的平衡条件计算各杆的内力（轴力）， 此法称为结点法。一个节点可列两个平衡方程， 因此，从一个结点可以求解两个杆件的未知力。
对于简单桁架，利用结点法可计算出全部各杆
的内力。注意计算按组成的相反顺序。
B
A
C FNb FNa K
b
Ⅰ
d
a FNc DⅡ Ⅰ
d
d
d
d
K
FNa
FNc
例：多个截面隔离体与结点隔离体联合求解
求a 杆轴力。 FP Ⅰ
A D C
此桁架为复杂桁架。
由结点B
∑x=0 FNa=FNb
∑y=0
FyA
b
FNa
B
a
Ⅰ
FyC
FNa sin450+ FNbsin450+ FyB=0 FyB = - √2 FNa ① 由截面I-I右 ∑MD=0 FNb
Ⅰ
FP2
Ⅰ
FP1
Ⅰ
E
Ⅱ
D
Ⅱ
FP2
FxD
Ⅰ
FP1
FxE
FxA
A
Ⅲ
B FyB
C
FyD
FyD
Ⅱ
FyE
FyC
FEy
Ⅲ
FyA
Ⅱ
FxA
FyA
FxC
∑MC=0，求出FxD、 FxE FyB
§6-4 结点法与截面法的联合应用
在桁架计算中，对于某一杆件的内 力，如果只用一个的平衡条件或只作一次 截面均无法解决时，可把结点法和截面法 联合起来应用，往往能收到良好的结果。
式
屋
架
下撑式五角形屋架
加劲式吊车梁
静定组合结构
二、组合结构的计算
用截面平衡条件计算组合结构时，应注意 被截断的杆是二力杆，还是梁式杆。二力杆只 有轴力，梁式杆一般应包括有弯矩、剪力、轴 力。
分析时一般应先分析体系的几何组成，以 便选择恰当的计算方法（顺序）。
计算时，一般先求出支座反力和各链杆 （二力杆）的轴力，然后计算梁式杆的内力， 并作弯矩、剪力和轴力图。
O
a FyA
FN14 Fx13 ∑M4=0 Fx14 ∑MO=0 FN24 4 FP Fy14
求出 Fx13 求出 Fy14
2、截面单杆 （截面平衡的特殊情况）
① 截面上只截断 三根杆，且此三杆不交 于一点（或不彼此平 行），则其中每一杆都 是截面单杆。 ② 截面上截杆件数大 于三根，但除某一杆外， 其余各杆都交于一点 （或都彼此平行），则 此杆也是截面单杆。
8kN
5 3 4
10 3
1 3
2
13
Fx1=8kN
结点2: ∑y =0 Fy23 – 20 =0 Fy1=6kN Fy23= 20kN Fx23= 20×1/3= 6.67kN FN23= 20×√10/3= 21.08kN ∑x=0 FN24+Fx23 – 16=0 FN24=( -6.67)+16=9.33kN
FAy= FP /4
3、用截面法计算联合桁架 求联合桁架的轴力，必须先用截面 法先截断连接杆，用平面一般力系的平 衡方程，求出连接杆的内力；然后再用 结点法或截面法计算其他杆件的轴力。 联合桁架可分为两种类型。 一类是按两刚片相联规则组成的联 合桁架。另一类是按三刚片相联规则组 成的联合桁架。
两刚片通过铰C和 ① 按两刚片规则组成的联合桁架 杆AB相连。 I FP2 FP1