立体几何解题技巧及高考类型题—老师专用

立体几何解题技巧及高考类型题—老师专用

【命题分析】高考中立体几何命题特点：

1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．

2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．

3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现．

4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点．

此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.

【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.

【高考考查的重难点】空间距离和角

“六个距离”：

1、两点间距离 221221221)()()(d z z y y x x -+-+-=；

2、点P 到线l

的距离d = （Q 是直线l 上任意一点，u 为过点P 的直线l 法向量）； 3

、两异面直线的距离d =

（P 、Q 分别是两直线上任意两点，u 为两直线公共法向量）； 4、点P 到平面的距离

d =Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量）；

5

、直线与平面的距离d =（P 为直线上的任意一点、Q 为平面上任意一点，u 为平面法向量）； 6

、平行平面间的距离d =

（P 、Q 分别是两平面上任意两点，u 为两平面公共法向量 ）；

“三个角度”：

1、异面直线角[0，2π]，cos θ=2

121v v v v ;【辨】直线倾斜角范围[0，π）； 2、线面角 [0，2π] ，sin θ=n

v vn n v =,cos 或者解三角形； 3、二面角 [0，π]，cos 212

1n n n n ±=θ 或者找垂直线，解三角形。

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，证是本专题的一大特色.

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。

【例题解析】

考点1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.

典型例题1、（福建卷）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．

（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；

（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；

（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，

点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．

解：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．

ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥．

Q 正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

G

AO ∴⊥平面11BCC B ． 连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为

1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．

在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ． 1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．

在1AA D △

中，由等面积法可求得AF =

又112AG AB ==Q

sin AG AFG AF ∴==∠．

所以二面角1A A D B --

的大小为．

（Ⅲ）1A BD △

中，1

11A BD BD A D A B S ==△1BCD S =△．

在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B

设点C 到平面1A BD 的距离为d ．

由11A BCD C A BD V V --=

，得1

1133BCD A BD S S d =g △△，

1A BD d ∴==△ ∴点C 到平面1A BD

解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．

ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥．

Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AD ∴⊥平面11BCC B ．

取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB uuu r ，1OO u u u u r ，OA uu u r 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，

(110)D -，，

，1(0A

，(00A ，1(120)B ，，，

1(12AB ∴=u u u r ，，(210)BD =-u u u r ，，

，1(1

BA =-u u u r ． 12200AB BD =-++=u u u r u u u r Q g ，111430AB BA =-+-=u u u r u u u r g ，

1AB BD ∴u u u r u u u r ⊥，．11AB BA u u u r u u u r ⊥

1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．

(11AD =-u u u r ，，1(020)AA =u u u r ，，． AD u u u r Q ⊥n ，1AA u u u r ⊥n ，

100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g ，，n

n 020x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪

⎩，

，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，． 令1z =

得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量．

由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，

1AB ∴u u u r 为平面1A BD 的法向量．

cos

，111

AB AB AB >===u u u r u u u r g u u u r g n n x