(优选)结构化学北大版第一章势箱讲解ppt讲解
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2mE n
（ n为常数）
n 2 22 n2h 2
E
2m2 8m2
（一个n值表示粒子在一种定态）
把E的表达式代入ψ(x)的通式，得：
(x) B sin( 2mE x ) B sin nx
对 (x) B sin nx 确定B值
因为箱内粒子不能越过势箱，则粒子在箱内各处出现的几
率总和应满足根据归一化条件： ∫∞∣Ψ∣2dτ = 1
（优选）结构化学北大版第一 章势箱讲解ppt讲解
一维势箱中的Schrodinger方程
Schrodinger方程：
[ 2 ( 2 2 2 ) V ] E 2m x 2 y 2 z 2
一维Schrodinger方程：
2 [
d2
V ] E
2m dx2
当X≤0或X≥ι时，ψ=0
当 0 < x <ι时，V = 0 ,一维势箱的 Schrodinger方程为：
ψ3 0 n=3
E3 0 n=3
ψ3* ψ3
ψ2 0 n=2
ψ1 0
n=1
E2 0
n=2
E1 0
n=1
ψ2* ψ2 ψ1* ψ1
5.状态能量高低与波函数节点数之间 的关系 ------节点数（n – 1）越多，能量越高。
节点： 除边界外，Ψ = 0的点。
量子数 波函数 节点数 能量
n = 1 Ψ1(x) 0
一维势箱Schrodinger方程 : 2 d 2
2m dx2
E
这是常系数二阶线性齐次微分方程，通解为：
(x) Acos( 2mE x) B sin( 2mE x)
在边界处，ψ（0）=0， ψ（ι）=0
所以
(0) Acos 2mE 0 B sin 2mE 0 0
即 ψ（0）=Acos0+Bsin0=0
2 d 2 E
2m dx 2
Schrodinger方程的求解：
这实际上是解二阶微分方程的问题。 写出体系的位能（吸引能、排斥能）
表达式，写出薜定格方程； 写出微分方程的通解； 根据边界条件和初始条件（定态体系无
初始条件）求特解； 用归一化条件确定特解。
一维势箱Schrodinger方程的求解
H2C
CH 2
H2C CH HC CH2
3.零点能效应
当n = 1 时，体系能量最低
E h 2 / 8m2 ,
因为: E＝T＋V 而箱内: V＝0 所以，动能T永远大于零。
最低零点能效应：体系最低能量 不为零的现象。
4.粒子没有经典运动轨道，只有几 率密度分布。
按量子力学模型，箱中各处粒子的几率密度 是不均匀的，呈现波性。
对一维势箱有：
(x)
2
dx
1
0
所以
B 2 sin 2 ( nx )dx 1
0
根据积分公式：
b a
sin
2
cxdx
[x 2
1 4c
sin
2cx]ba
求得： B 2 1 2
所以 B 2
所以 ，一维势箱的解为： (x) 2 sin sin nx
( n=1,2,3,……)
E n2h2 8m2
3 (2 / )1/ 2 sin(3x / )
……
1.能量量子化
在金属内部，自由电子可有无穷多个定 态ψn ，每一定态具有一个特征能量En ， En的可能值由n来约束，由于n为量子数， 故E n的值勤是不连续的，也就是能量量 子化。当n增大时，En也增大。
两个状态间的能级差:
E
(n22
n12
一维势箱结果讨论
(x) 2 sin sin nx
根据一维势箱的解
n2h2
E
8m2
一维势箱粒子可能存在的状态和能量：
E1 h2 / 8m2 ,
E2 4h2 / 8m2 ,
E3 9h 2 / 8m2 ,
……
1 (2 / )1/ 2 sin(x / ) 2 (2 / )1/ 2 sin(2x / )
一维势箱的应用
粒子在箱中的平均位置 粒子的动量x轴分量PX 粒子的动量平方PX2 共轭体系中π电子的运动 箱中粒子出现的几率
1．粒子在箱中的平均位置
^
^
因为 X X , X X
所以无本征值，只能求平均值。
X
*
^
X
dx
0
x 2dx 0
2 x sin 2 nxdx
0
x(
因为 sin0 =0， 所以 Acos0 = 0
因为 cos0 = 1
所以
A=0
故一维势箱的薛定格方程为: ( x) B sin 2mE x
对
因为 所以
因为 所以 所以
所以
(x) B sin 2mE x
ψ（ι）=0
() B sin 2mE 0
B≠0
[若B=0，则ψ（X）=0Biblioteka Baidu]
sin( 2mE ) 0
0
=0
因为动量是矢量，故表示粒子正向运动和 逆向运动的几率相等。
粒子的动量平方PX2
解法一：
^
Px2
2
d2 dx 2
^
Px2 n
)
h2 8m2
当势箱很大（ι很大）或粒子很重（m很 大）时，能级间隔就很小，则能量就可 看成是连续的。因此，宏观物体的能量 量子化特征就显示不出来了。
2.离域效应
由于粒子活动范围增大而产生能量降低的 效应称为离域效应。
n2h2 E 8m2 由能量公式可知,当电子活动范围增大(ι增 大)时,能量值减小,例如,丁二烯中电子活 动范围比乙烯大,能量降低,因此丁二烯中 的π电子比乙烯更稳定。
^
Px n
i d ( dx
2
sin
nx
)
a
n
所以只能求的平均值。
Px
*
0n
^
Px
n dx
2 sin nx (i d ) 2 sin nx dx
0
dx
2i n
nx nx
sin cos dx
0
2i n
sin
nx
cos
nx
dx
0
2in
2
(
2n
sin 2
nx
)
能
n = 2 Ψ2(x) 1
量 升
n = 3 Ψ3(x) 2
高
…
…
…
n = n Ψn(x) n – 1 n越大节点数（n – 1）越多，能量越高。
量子效应
粒子可以存在多种运动状态，可由ψ1、 ψ2、……，ψn等描述；
能量量子化 离域效应 存在零点能效应 没有经典运动轨道，只有几率密度分布 节点数（n – 1）越多，能量越高。
2 sin nx )2 dx
0
2 x[1 cos(2nx )dx
2 0
1
2nx
0 xdx 0 x cos( )dx
1 ( 2 0) 2
1 2
2
( 2
4n 2
cos 2nx
0
2n
x
sin
2nx
0
2
粒子的动量平均值
------以动量x轴分量PX为例
^
Px
i d , dx
（ n为常数）
n 2 22 n2h 2
E
2m2 8m2
（一个n值表示粒子在一种定态）
把E的表达式代入ψ(x)的通式，得：
(x) B sin( 2mE x ) B sin nx
对 (x) B sin nx 确定B值
因为箱内粒子不能越过势箱，则粒子在箱内各处出现的几
率总和应满足根据归一化条件： ∫∞∣Ψ∣2dτ = 1
（优选）结构化学北大版第一 章势箱讲解ppt讲解
一维势箱中的Schrodinger方程
Schrodinger方程：
[ 2 ( 2 2 2 ) V ] E 2m x 2 y 2 z 2
一维Schrodinger方程：
2 [
d2
V ] E
2m dx2
当X≤0或X≥ι时，ψ=0
当 0 < x <ι时，V = 0 ,一维势箱的 Schrodinger方程为：
ψ3 0 n=3
E3 0 n=3
ψ3* ψ3
ψ2 0 n=2
ψ1 0
n=1
E2 0
n=2
E1 0
n=1
ψ2* ψ2 ψ1* ψ1
5.状态能量高低与波函数节点数之间 的关系 ------节点数（n – 1）越多，能量越高。
节点： 除边界外，Ψ = 0的点。
量子数 波函数 节点数 能量
n = 1 Ψ1(x) 0
一维势箱Schrodinger方程 : 2 d 2
2m dx2
E
这是常系数二阶线性齐次微分方程，通解为：
(x) Acos( 2mE x) B sin( 2mE x)
在边界处，ψ（0）=0， ψ（ι）=0
所以
(0) Acos 2mE 0 B sin 2mE 0 0
即 ψ（0）=Acos0+Bsin0=0
2 d 2 E
2m dx 2
Schrodinger方程的求解：
这实际上是解二阶微分方程的问题。 写出体系的位能（吸引能、排斥能）
表达式，写出薜定格方程； 写出微分方程的通解； 根据边界条件和初始条件（定态体系无
初始条件）求特解； 用归一化条件确定特解。
一维势箱Schrodinger方程的求解
H2C
CH 2
H2C CH HC CH2
3.零点能效应
当n = 1 时，体系能量最低
E h 2 / 8m2 ,
因为: E＝T＋V 而箱内: V＝0 所以，动能T永远大于零。
最低零点能效应：体系最低能量 不为零的现象。
4.粒子没有经典运动轨道，只有几 率密度分布。
按量子力学模型，箱中各处粒子的几率密度 是不均匀的，呈现波性。
对一维势箱有：
(x)
2
dx
1
0
所以
B 2 sin 2 ( nx )dx 1
0
根据积分公式：
b a
sin
2
cxdx
[x 2
1 4c
sin
2cx]ba
求得： B 2 1 2
所以 B 2
所以 ，一维势箱的解为： (x) 2 sin sin nx
( n=1,2,3,……)
E n2h2 8m2
3 (2 / )1/ 2 sin(3x / )
……
1.能量量子化
在金属内部，自由电子可有无穷多个定 态ψn ，每一定态具有一个特征能量En ， En的可能值由n来约束，由于n为量子数， 故E n的值勤是不连续的，也就是能量量 子化。当n增大时，En也增大。
两个状态间的能级差:
E
(n22
n12
一维势箱结果讨论
(x) 2 sin sin nx
根据一维势箱的解
n2h2
E
8m2
一维势箱粒子可能存在的状态和能量：
E1 h2 / 8m2 ,
E2 4h2 / 8m2 ,
E3 9h 2 / 8m2 ,
……
1 (2 / )1/ 2 sin(x / ) 2 (2 / )1/ 2 sin(2x / )
一维势箱的应用
粒子在箱中的平均位置 粒子的动量x轴分量PX 粒子的动量平方PX2 共轭体系中π电子的运动 箱中粒子出现的几率
1．粒子在箱中的平均位置
^
^
因为 X X , X X
所以无本征值，只能求平均值。
X
*
^
X
dx
0
x 2dx 0
2 x sin 2 nxdx
0
x(
因为 sin0 =0， 所以 Acos0 = 0
因为 cos0 = 1
所以
A=0
故一维势箱的薛定格方程为: ( x) B sin 2mE x
对
因为 所以
因为 所以 所以
所以
(x) B sin 2mE x
ψ（ι）=0
() B sin 2mE 0
B≠0
[若B=0，则ψ（X）=0Biblioteka Baidu]
sin( 2mE ) 0
0
=0
因为动量是矢量，故表示粒子正向运动和 逆向运动的几率相等。
粒子的动量平方PX2
解法一：
^
Px2
2
d2 dx 2
^
Px2 n
)
h2 8m2
当势箱很大（ι很大）或粒子很重（m很 大）时，能级间隔就很小，则能量就可 看成是连续的。因此，宏观物体的能量 量子化特征就显示不出来了。
2.离域效应
由于粒子活动范围增大而产生能量降低的 效应称为离域效应。
n2h2 E 8m2 由能量公式可知,当电子活动范围增大(ι增 大)时,能量值减小,例如,丁二烯中电子活 动范围比乙烯大,能量降低,因此丁二烯中 的π电子比乙烯更稳定。
^
Px n
i d ( dx
2
sin
nx
)
a
n
所以只能求的平均值。
Px
*
0n
^
Px
n dx
2 sin nx (i d ) 2 sin nx dx
0
dx
2i n
nx nx
sin cos dx
0
2i n
sin
nx
cos
nx
dx
0
2in
2
(
2n
sin 2
nx
)
能
n = 2 Ψ2(x) 1
量 升
n = 3 Ψ3(x) 2
高
…
…
…
n = n Ψn(x) n – 1 n越大节点数（n – 1）越多，能量越高。
量子效应
粒子可以存在多种运动状态，可由ψ1、 ψ2、……，ψn等描述；
能量量子化 离域效应 存在零点能效应 没有经典运动轨道，只有几率密度分布 节点数（n – 1）越多，能量越高。
2 sin nx )2 dx
0
2 x[1 cos(2nx )dx
2 0
1
2nx
0 xdx 0 x cos( )dx
1 ( 2 0) 2
1 2
2
( 2
4n 2
cos 2nx
0
2n
x
sin
2nx
0
2
粒子的动量平均值
------以动量x轴分量PX为例
^
Px
i d , dx