留数的计算方法

留数的计算方法

摘 要：本文介绍了常见的几类的留数的计算方法.并通过实例加以阐析. 关键词：留数;极点;零点

The Calculation of the Residue

Abstract: This paper presents several commonly solving methods of residue. Based on examples, these solving methods are stated and analyzed. Key W ords: Residue; Poles; Zero-point

引言

由留数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗级数中的负一次幂系数，也就是说，不必完全求出罗朗级数就可以完全确定该点的留数.

下面介绍求留数的几种常用方法，使用时要根据具体条件，选择一个较方便的方法来进行.

1. 有限远点留数的计算方法

留数定理把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点

则)(z f 在R z z <-<00内的罗朗展开式中不含负幂项，从而01=-a ，故当0z 为

)(z f 的可去奇点时，

0Re ()0.s f z = (1.1)

1.2 若0z 为)(z f 的一阶极点

(1)第一种情形：

若0z 为)(z f 的一阶极点，则)(z f 在R z z <-<00内的罗朗展开式为

110010()()()f z a z z a a z z --=-++-

+

显然)()lim (01z f z z a -=-，故当0z 为)(z f 的一阶极点时，

00Res ()lim()()

z z f z z z f z →=- （1.2）

(2)第二种情形： 若0z 为)

()

()(z Q z P z f =

的一阶极点，且0)(0'≠z Q ，则 000()

Res ()()P z f z Q z =

'. (1.3)

1. 3 若0z 为)(z f 的m 阶极点

则

01

0011d Res ()lim [()()]

(1)!d m m m z z f z z z f z m z --→=--. （1.4）

一般来讲,公式(1.4)适合计算级数较低的函数的极点的留数.如果极点的级数较高时,计算可能比较复杂,此时可根据具体情况改用其他方法计算留数. 1.4 当0z 为)(z f 的本性奇点时

几乎没有什么简捷方法，因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或计算积分的方法来求． 1.5 有限远点留数计算典型实例

例 1.5.1 求⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-1,1Re 2

z ze s z ． 解 容易知道1=z 是函数1

2-z ze z

的一阶极点，所以

211Res[(),1]lim(1)lim 112z z z z ze ze e

f z z z z →→=-==

-+.

本题也可用上述方法 设)

()

()(z Q z P z f =

，取z ze z P =)(，1)(2-=z z Q ，显然)(z P ，)(z Q 满足方法1.2中(2)的条件，所以

2(1)Res ,11(1)2z ze P e z Q ⎡⎤==

⎢⎥'-⎣⎦

.

例 1.5.2 求函数 2

)

1)(1()(+-=

z z z

z f 在1=z 处的留数. 解 由于1=z 是分母的一级零点,且分子在1=z 时不为零,因此, 1=z 是)(z f 的一级极点.由公式(1.2)可以得到

=)1),((Re z f s 41

))

1)(1(1

(lim 2

1

=+--→z z z z z . 由于1-=z 是分母的二级零点,且分子在1=z 时不为零,因此, 1-=z 是)(z f 的二级极点.由公式(1.4)得

=-)1),((Re z f s ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+-→22

1)1)(1()1(lim z z z z dz d z =4

1

)1(1lim 21-=---→z z .

例 1.5.3 求函数)(z f 1

sin 4

-=

z z

在1=z 处的留数. 解 因为14-z 以1-=z 为一级零点,而01sin ≠,因此)(z f 以1=z 为一级极点.由公式(1.3)得

=

)1),((Re z f s 1sin 4

1

4sin )1(sin 1

3

1

'

4==

-==z z z z z z . 例1.5.4 求函数)(z f z

z e 1+=在0=z 处的留数.

解 0=z 是)(z f 的本性奇点,因为

)(z f z

z e

1+==⋅=z

z

e e 1

))!

1(!21(1

2 +-++++-n z z z n , )0(∞<

z

1

的系数1-C 为 1-C +-++++

=!

)!1(1!3!21!211n n 于是

)0),((Re z f s +-++++

=!

)!1(1

!3!21!211n n 2. 无限远点处的留数计算方法

2.1 无穷远点留数定义或留数和定理