计数原理与排列组合(教师用)
计数原理与排列组合
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
分步乘法计数原理与分步有关.
例1：书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放 有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
计数原理和排列组合
计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种 不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么 完成这件事共有N m1 m2 种不同m的n 方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
Cnm
Anm Amm
nn 1n 2
m!
排列与组合的区别与联系
n
m
1
m!
n! n
m
!
共同点：元素的取法相同,都是从n个元素中取出m(m ≤ n)个元素 不同点：排列问题与顺序有关，
组合问题与顺序无关.
例2：(1)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的线
段共有多少条?
没有顺序，根据组合公式有
C52
A52 A22
5 43 21
21 3 21
10
(2)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的有
向线段共有多少条? 含有顺序，根据排列公式有
A52 5 4 20
解题关键：从n个元素中抽取m个元素是“含有顺序”, 还是“没有顺序”.再根据其对应的排列组合计算.
排列组合
1、排列的定义及公式：从n个不同元素中，任取m(m ≤n)
计数原理与排列、组合(讲解部分)
每一步得到的只是中间结果,任 何一步都不能独立完成这件事, 缺少任何一步也不可,只有各步 骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的、并列 各步之间是相互依存的,并且既
的、独立的
不能重复也不能遗漏
2.排列与排列数 (1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的① 顺序 排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)5种情况,共有
A
3种情况,而这
3
A
3种情况仅是
3
AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有
C62C42C22
A
3 3
=15(种).
(4)有序均匀分组问题.
在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式
C62C42C22 A33
·A33
A
6 6
种
方法,故共有5×A66 =3 600(种)方法.
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有 A 44 种方
法,再将4名女生进行全排列,有
A
4 4
种方法,故共有
A44
·A
4 4
=576(种)方法.
(5)(插空法)男生互不相邻,而女生不作要求,∴应先排女生,有
A
4 4
种方法,再
注意 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有
关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.
4.排列数、组合数的公式及性质
公式
n!
(1) Anm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=③ (n-m)! ;
性质
基本计数原理和排列组合
附录一.两个基本计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的办法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法。
分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有m 1种不同的方法，做第二个步骤有m 2种不同的办法……做第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法。
考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。
如果完成一件事情有n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理。
二.排列以下陈述中如无特别说明，n、m 都表示正整数。
一般的，从n 个不同的元素中任取m （m ≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
如果要求排列中诸元素互不相同，则称为选排列；反之，若排列中的元素可以有相同时，则称为可重复排列。
可重复排列在生活中比较常见，如电话号码、证件号码、汽车牌照，等等。
从n 个不同的元素中任取m（m ≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的排列数。
用符号m n A 。
为导出m n A 的计算公式，注意到对任一选排列，其第一位（从左到右计）可以放置编号1到n 的n 个元素的任意一个，共有n 种可能的结果；对于第一位的每一种放置结果，第二位可以放置剩下的n-1个元素中的任意一个，共有n-1种可能的结果；...,对于第m-1位的每一种放置结果，第m 位可以放置最后剩下的n-m+1个元素中的任何一个，共有n-m+1种可能结果。
计数原理、排列组合
计数原理一、两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.二、例题例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
现要配成一荤一素一汤的套餐。
问可以配制出多少种不同的品种？分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择第二步配一个素菜有5种选择第三步配一个汤有2种选择共有N=3×5×2=30（种）例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。
（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？（1）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算。
解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择第二类从下层取一本书有4种选择共有N=5+4=9（种）（2）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择第二步从下层取一本书有4种选择共有N=5×4=20（种）例3、有1、2、3、4、5五个数字.（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（1）分析： 1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.略解：N=5×5×5=125（个）（2）（3）（4）自己完成。
计数原理,排列、组合,二项式定理复习教案
国规教材
教育学生数据真实性与诚信、社会责任与公共利益、团队协作
教学流程图
4知识点检测：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选出两名同学，一名担任班长，一名担任副班长，有多少种不同的选法？
（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加上午和下午的活动，有多少种不同的方法？
1.组织学生在了解的基础上理解排列的概念，掌握排列数公
1.组合的概念
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列与组合的区别：排列是从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，与m个元素的排列顺序有关；组合是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素组成一组，与m个元素的排列顺序无关.
2.组合数
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，
用符号表示.
5、知识点检测：
某天上午共4节课，排语文、数学、体育、计算机课，其中体育课不排在第一节课，那么这天上午课表的不同排法种数是（）
1.引导并组织学生根据信息进行讨论.区别排列与组合。
国主义情怀.
1.二项式定理的内容
设 a.,b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
2.二项展开式的通项公式
3.二项式系数与二项展开式中某项的系数
3.知识点检测：
组织学生运用二项式定理的相关内容解决实际问题.。
计数原理与排列组合
计数原理与排列组合计数原理与排列组合是数学中重要的概念和工具，在许多实际问题中起着重要作用。
本文将介绍计数原理与排列组合的概念、性质和应用，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、计数原理的概念和性质计数原理是数学中的基本原理之一，主要用于求解事件的总数。
常见的计数原理有加法原理和乘法原理。
加法原理：若一个事物可以分成若干个互不相容的部分，且这些部分无交集，则该事物的总数等于各部分的数目之和。
乘法原理：若一个事件可以分成若干个独立的步骤，且每个步骤的选择个数相互独立，则该事件的总数等于各步骤的选择个数之积。
计数原理的性质包括交换律、结合律和分配律，这些性质使得计数原理在组合计数中具有灵活性和实用性。
二、排列组合的概念和性质排列和组合是计数原理的重要应用，它们用于描述对象的选择和排列的方式。
排列：指从n个不同元素中选取r个并按照一定顺序排列的方式。
排列的总数用P(n, r)表示，计算公式为P(n, r) = n!/(n-r)!组合：指从n个不同元素中选取r个元素的方式，不考虑元素的顺序。
组合的总数用C(n, r)表示，计算公式为C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!]排列和组合具有许多重要性质，包括互补律、对偶律、加法公式和乘法公式等，这些性质使得排列组合在实际问题中得以应用。
三、排列组合的应用排列组合在实际生活和学术研究中有广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域。
1. 组合数学：排列组合是组合数学的基础，用于研究离散结构和组合问题。
在网络安全、密码学等领域中，排列组合作为数学工具发挥着重要作用。
2. 概率统计：排列组合是概率统计的基础，用于计算事件的发生概率和统计样本的组合方式。
在数据分析、市场调查等领域中，排列组合被广泛应用。
3. 计算机科学：排列组合是计算机科学中的重要概念，用于算法设计、数据处理和图形处理等领域。
在计算机图形学、人工智能等研究中，排列组合具有重要应用。
4. 组合优化：排列组合是组合优化问题的基础，用于求解最优方案和优化策略。
排列与组合,分步乘法计数原理,分类加法计数原理
排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。
规定：0!=15、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。
组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。
b=屋=题…---掰+。
_ /3、组合数公式：1H史耀！的I一对；4、组合数性质：K - …,5、排列数与组合数的关系：量二5,排列与组合的联系与区别：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。
它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的排列，但却是同一个组合。
排列应用题的最基本的解法有:(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
排列的定义的理解：①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了 mWn,如果m<n,称为选排列；如果m=n,称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。
江苏版高考数学 20.1 计数原理与排列组合
专题二十计数原理【真题典例】20.1 计数原理与排列组合挖命题【考情探究】分析解读江苏高考对两个计数原理、排列、组合的考查往往与集合、数列、概率等进行综合,难度较大,主要考查学生的逻辑推理能力.破考点【考点集训】考点一加法原理与乘法原理1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有种.答案182.如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求有公共边的两部分颜色互异,则共有种不同的涂色方法.答案260考点二排列1.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为.答案642.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是.答案183.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数有个.答案28考点三组合1.四位学生,坐在一排有7个位置的座位上,有且只有两个空位是相邻的不同坐法有种.(用数字作答)答案4802.用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻,则不同的排法有种.答案4323.有六名同学按下列方法和要求分组,各有不同的分组方法多少种?(1)分成三个组,各组人数分别为1、2、3;(2)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为1、2、3;(3)分成三个组,各组人数分别为2、2、2.解析(1)=60(种).(2)=60×6=360(种).(3)=15(种).炼技法【方法集训】方法一两个计数原理应用的基本策略1.(2018江苏靖江中学调研)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案4802.(2019届江苏海门中学调研)从0,8中任取一个数字,从3,5,7中任取两个数字组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为.答案18方法二排列组合及其应用的解题策略1.(2019届江苏金陵中学调研)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有种.答案182.(2018江苏吴江中学月考)将甲、乙两人在内的7名医生分成三个医疗小组,一组3人,另两组每组各2人,则甲、乙不分在同一组的分法有种.答案803.(2018江苏常州二中调研)桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个,相同颜色的球不加以区分,将此9个球排成一排共有种不同的排法.(用数字作答)答案 1 6804.(2019届江苏太湖中学月考)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x,y,z),若x+y+z是3的倍数,则满足条件的点的个数为.答案252方法三集合中的计数问题1.(2019届江苏赣榆中学月考)设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足:A不是B的子集,且B也不是A的子集.(1)若M={a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数;(2)若M={a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数.解析(1)110.(2)集合M 有2n 个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n (2n -1)个.若A ⫋B,并设B 中含有k(1≤k ≤n,k ∈N *)个元素,则满足A ⫋B 的有序集合对(A,B)有(2k -1)=2k -=(3n -2n )个.同理,满足B ⫋A 的有序集合对(A,B)有(3n -2n )个. 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 2n (2n -1)-2(3n -2n )=4n +2n -2×3n .2.(2019届江苏扬州中学月考)已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1,S 2,S 3,…,集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T:b 1,b 2,b 3,…,数组T 中所有数的平均值记为m(T). (1)若S={1,2},求m(T);(2)若S={a 1,a 2,…,a n }(n ∈N *,n ≥2),求m(T).解析 (1)S={1,2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},所以数组T 为1,2,.因此m(T)==.(2)因为S={a 1,a 2,…,a n },n ∈N *,n ≥2,所以m(T)=--… - -…=--…-- …a i .又因为 - - = · - - - = - - = · - =,所以m(T)=… …a i =a i .过专题 【五年高考】A 组 自主命题·江苏卷题组1.(2016江苏,23,10分)(1)求7 -4的值;(2)设m,n ∈N *,n ≥m,求证:(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+n+(n+1)=(m+1).-解析(1)7-4=7×-4×=0.(2)证明:当n=m时,结论显然成立.当n>m时,(k+1)=··-=(m+1)··-=(m+1),k=m+1,m+2,…,n.又因为+=,所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,…,n.因此,(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)=(m+1)+[(m+2)+(m+3)+…+(n+1)]=(m+1)+(m+1)[(-)+(-)+…+(-)]=(m+1).2.(2018江苏,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2…i n 的一个逆序,排列i1i2…i n的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解析本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以f n(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n(1)=n-1.为计算f n+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.当n≥5时,f n(2)=[f n(2)-f n-1(2)]+[f n-1(2)-f n-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=--.因此,当n≥5时,f n(2)=--.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点计数原理与排列组合1.(2018课标全国Ⅰ理,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案162.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 2603.(2017山东理改编,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是.答案4.(2017课标全国Ⅱ理改编,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有种.答案365.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6606.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 0807.(2016课标全国Ⅱ理改编,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为.答案188.(2016课标全国Ⅲ理改编,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有个. 答案149.(2016四川理改编,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为.答案72C组教师专用题组1.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 5602.(2015四川改编,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有个.答案1203.(2014四川改编,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有种.答案2164.(2014重庆改编,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是.答案1205.(2014安徽改编,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有对.答案486.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案367.(2011江苏,23,10分)设整数n≥4,P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点,其中a,b∈{1,2,3,…,n},a>b.(1)记A n为满足a-b=3的点P的个数,求A n;(2)记B n为满足(a-b)是整数的点P的个数,求B n.解析(1)点P的坐标满足条件:1≤b=a-3≤n-3,所以A n=n-3.(2)设k为正整数,记f n(k)为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数.只要讨论f n(k)≥1的情形.由1≤b=a-3k≤n-3k知f n(k)=n-3k,且k≤-.设n-1=3m+r,其中m∈N*,r∈{0,1,2},则k≤m.所以B m=f n(k)=(n-3k)=mn-=--.将m=--代入上式,化简得B n=----.所以B n=-是整数--不是整数【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2019届江苏太仓中学月考)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有种.答案752.(2018江苏太湖中学月考)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有种.答案103.(2018江苏泰兴中学月考)用数字0,1,2,3,4组成的五位数中,中间三位数字各不相同,但首末两位数字相同的共有种.答案240二、解答题(共60分)4.(2019届江苏前黄中学月考)四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一球,则有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?解析(1)每个盒子放一球,共有=24种不同的放法.(2)第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;第二步:选两球为一个元素,有种选法;第三步:三个元素放入三个盒中,有种放法.故共有4×=144种放法.5.(2017江苏南通、扬州、泰州第二次调研)设S4k=a1+a2+…+a4k(k∈N*),其中a i∈{0,1}(i=1,2,…,4k).当S4k除以4的余数是b(b=0,1,2,3)时,数列a1,a2,…,a4k的个数记为m(b).(1)当k=2时,求m(1)的值;(2)求m(3)关于k的表达式,并化简.解析(1)当k=2时,m(1)表示数列a1,a2,a3,…,a8中有1个1或5个1,其余为0,所以m(1)=+=64. (2)依题意,m(3)表示数列a1,a2,…,a4k中有3个1,或7个1,或11个1,……,或(4k-1)个1,其余为0,所以m(3)=+++…+-.同理,得m(1)=+++…+-.因为=-(i=3,7,11,…,4k-1),所以m(1)=m(3).又m(1)+m(3)=+++…+-+-=24k-1,所以m(3)=24k-2=42k-1.6.(2019届江苏苏州实验中学月考)记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈N*).性质T:排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i>a i+1(i∈{1,2,…,n-1}).(1)求f(3);(2)求f(n).解析(1)当n=3时,1,2,3的所有排列为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i>a i+1的排列为(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),所以f(3)=4.(2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中,若a i=n(1≤i≤n-1),从(n-1)个数1,2,3,…,n-1中选(i-1)个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i-1,其余按从小到-.大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为-若a n=n,则满足题意的排列个数为f(n-1).综上,f(n)=f(n-1)+---=f(n-1)+2n-1-1.从而f(n)=----(n-3)+f(3)=2n-n-1.7.(2018江苏南师附中考前模拟)设集合A,B是非空集合M的两个不同子集.(1)若M={a1,a2},且A是B的子集,求所有有序集合对(A,B)的个数;(2)若M={a1,a2,a3,…,a n},且A的元素个数比B的元素个数少,求所有有序集合对(A,B)的个数. 解析(1)若集合B含有2个元素,即B={a1,a2},则A=⌀,{a1},{a2},则(A,B)的个数为3;若集合B含有1个元素,则B有种,不妨设B={a1},则A=⌀,此时(A,B)的个数为×1=2.综上,(A,B)的个数为5.(2)集合M有2n个子集,又集合A,B是非空集合M的两个不同子集,则不同的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n-1).若A的元素个数与B的元素个数一样多,则不同的有序集合对(A,B)的个数为(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=()2+()2+()2+…+()2-(+++…+).又(x+1)n(x+1)n的展开式中x n的系数为()2+()2+()2+…+()2,且(x+1)n(x+1)n=(x+1)2n的展开式中x n的系数为,所以()2+()2+()2+…+()2=.又因为+++…+=2n,所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时,有序集合对(A,B)的个数为-2n.所以A的元素个数比B的元素个数少时,有序集合对(A,B)的个数为---=-.8.(2017江苏苏州期末)如图,由若干个小正方形组成的k层三角形图阵中,第一层有1个小正方形,第二层有2个小正方形,依此类推,第k层有k个小正方形.除去最底下的一层,每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k层的每个小正方形用数字进行标注,从左到右依次记为x1,x2,…,x k,其中x i∈{0,1}(1≤i≤k),其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和,依此规律,记第一层的小正方形标注的数字为x0.(1)当k=4时,若要求x0为2的倍数,则有多少种不同的标注方法?(2)当k=11时,若要求x0为3的倍数,则有多少种不同的标注方法?解析(1)当k=4时,第4层标注的数字依次为x1,x2,x3,x4;第3层标注的数字依次为x1+x2,x2+x3,x3+x4;第2层标注的数字依次为x1+2x2+x3,x2+2x3+x4;所以x0=x1+3x2+3x3+x4.因为x0是2的倍数,x i∈{0,1},所以x1,x2,x3,x4中取值为1的个数为偶数个.其不同的取法总数为++=8.故所求的不同的标注方法有8种.(2)当k=11时,第11层标注的数字依次为x1,x2,x3,x4,…,x10,x11;第10层标注的数字依次为x i+x i+1,i=1,2, (10)第9层标注的数字依次为x i+(+)x i+1+x i+2=x i+x i+1+x i+2,i=1,2, (9)依此规律,第1层标注的数字为x0=x1+x2+…+x10+x11.计算得==1,==10,当i=2,3,4,…,8时,均是3的倍数.若要求x0是3的倍数,等价于x1+x2+x10+x11是3的倍数,即x1+x2+x10+x11是3的倍数.所以x1,x2,x10,x11中,取值为1的个数为0个或3个.所以x1,x2,x3,…,x10,x11的不同的取法总数为(+)·27=640.故所求的不同的标注方法有640种.9.(2019届江苏无锡天一中学月考)当n≥3,n∈N时,对于集合M={1,2,3,…,n},集合M的所有含3个元素的子集分别表示为N1,N2,N3,…,N M(n)-1,N M(n),其中M(n)表示集合M的含3个元素的子集的个数.设p i为集合N i 中的最大元素,q i为集合N i中的最小元素,1≤i≤M(n),记P=p1+p2+…+p M(n)-1+p M(n),Q=q1+q2+…+q M(n)-1+q M(n).(1)当n=4时,分别求M(4),P,Q;(2)求证:P=3Q.解析(1)当n=4时,M(4)==4,4个子集分别为{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},则P=3+4+4+4=15,Q=1+1+1+2=5.(2)证明:显然3≤p i≤n,p i∈Z,并且以3为最大元素的子集有个,以4为最大元素的子集有个,以5为最大元素的子集有个,……,以k(3≤k≤n)为最大元素的子集有-个,……,以n为最大元素的子集有-个,P=p1+p2+…+p M(n)-1+p M(n)=3×+4×+…+n-,①因为k-=k--=3(k=3,4,…,n),所以P=3(++…+)=3(++…+)=3(++…+)=3(++…+)=3.显然1≤q i≤n-2,q i∈Z,以1为最小元素的子集有-个,以2为最小元素的子集有-个,以3为最小元素的子集有-个,……,以k(1≤k≤n-2)为最小元素的子集有-个,……,以n-2为最小元素的子集有个.Q=q1+q2+…+q M(n)-1+q M(n),则Q=(n-2)+(n-3)+…+k-+…+-,②①+②得P+Q=(n+1)(+++…+-)=(n+1)(+++…+-)=(n+1)(+++…+-)=(n+1)(+++…+-)=(n+1)=4. 所以P=3Q.。
(教师版)排列组合问题经典题型与通用方法
排列组合问题经典题型与通用方法(教师版)1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
45计数原理和排列组合
A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种
8．（2010全国卷2）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封
放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）
A.12种B. 18种C.36种D.54种
（3）分成三份，一份4本，另两份每份1本。
规律方法总结：
二、总结提升
1.知识方面
2.数学思想方法：
NO.45计数原理与排列组合
【课后训练案】
使用说明：1.限时30分钟完成：2.独立、认真；规范快速。
1．四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（）
A．81B．64C．24D．4
2．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个新节
3.（2010山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两
位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）
（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种
4.
5.
【我的疑问】
【课内探究】
一、讨论、展示、点评、质疑
探究1：排列组合解决实际排队问题
5．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）
A 24种B 30种C 36种D 48种5题图
6.同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的
分配方式有（）
A. 6种B. 9种C. 11种D. 23种
例1.有5名男生，4名女生排成一排。
计数原理与排列组合
计数原理与排列组合计数原理和排列组合是概率论中重要的基础知识，它们用于计算事件的可能性和排列组合的情况。
计数原理是一种计算方法，用于确定事件的总数。
它有两个主要的原理：乘法原理和加法原理。
乘法原理是指如果事件A可以分解为n个步骤，每个步骤都有m个可能的选择，那么事件A发生的总次数是n乘以m。
例如，如果要选择一套衣服，有3个上衣的选择和2条裤子的选择，那么可以通过乘法原理计算出有6种不同的组合。
加法原理是指如果事件A可以通过两个或多个不相交的事件B1，B2，...，Bn发生，那么事件A发生的总次数是B1、B2、...、Bn事件发生的次数之和。
例如，某人每天可以选择穿红色、蓝色或绿色的衣服，那么一周内可能的衣服组合数可以通过加法原理计算。
排列组合是一种计算方法，用于确定从给定元素集合中选择若干个元素的不同方式。
排列是指从集合中选择出所有可能的有序排列，组合是指从集合中选择出所有可能的无序组合。
排列的计算公式为P(n,m) = n! / (n-m)!，其中n是元素总数，m是选择的元素个数，"!"表示阶乘。
例如，从4个不同的数字中选择2个数字进行排列，可以通过P(4,2) = 4! / (4-2)! = 12计算出有12种不同的排列方式。
组合的计算公式为C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)，其中n是元素总数，m是选择的元素个数。
例如，从4个不同的数字中选择2个数字进行组合，可以通过C(4,2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6计算出有6种不同的组合方式。
通过计数原理和排列组合，我们可以计算出事件的可能性和组合的情况，这对于概率论和统计学的研究非常重要。
计数原理与排列组合
计数原理与排列组合计数原理是组合数学中的一个重要概念，它是指在一定条件下，通过计算得出某种情况的可能性数量。
在实际生活中，计数原理被广泛运用于各个领域，比如概率统计、密码学、组合优化等。
而排列组合则是计数原理的一个重要应用，它涉及到有限集合中元素的排列和组合方式，是数学中的一个重要分支。
首先，我们来了解一下计数原理的基本概念。
计数原理包括加法原理和乘法原理两种基本原理。
加法原理是指如果一个事件可以分解为几个相互独立的子事件，那么这个事件的总数就是这几个子事件的数量之和。
而乘法原理是指如果一个事件可以分解为几个步骤，每个步骤的选择数目与其他步骤无关，那么这个事件的总数就是各个步骤选择数目的乘积。
接下来，我们来讨论排列和组合的概念。
排列是指从给定的元素中取出一部分进行排成一个有序的序列，而组合则是指从给定的元素中取出一部分进行组成一个无序的集合。
排列和组合的计算公式分别为P(n, m) = n!/(n-m)!和C(n, m) =n!/(m!(n-m)!)，其中n代表元素的总数，m代表取出的元素的个数，!表示阶乘运算。
在实际应用中，排列和组合有着广泛的用途。
比如在密码学中，排列和组合可以用来生成密码，计算密码的可能性数量；在概率统计中，排列和组合可以用来计算事件的发生概率；在组合优化中，排列和组合可以用来解决最优化问题。
总之，计数原理与排列组合是数学中的重要概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
通过对计数原理和排列组合的深入理解，我们可以更好地解决实际生活中的问题，提高问题的解决效率，为各个领域的发展提供有力支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解计数原理与排列组合的概念，为他们在实际应用中发挥作用提供帮助。
人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合(教师版)
人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合（教师版）排列组合_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m nC 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示. ○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列.○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nnAn =○3由此排列数公式(1)(2)(1)m nA n n n n m =---+所以!.()!m nn An m =-(3)组合数公式:!.!()!m nn Cm n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.m n m nn CC -= 性质2：11.m m m n n n CC C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b-=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2mAB.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A+例4：计算98100C[答案]98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++ [答案]原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +== 类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A-⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C+36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880CC A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336CC A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( )A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( ) A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140[答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种 [答案] C ５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0[答案] C６.1171010r r CC +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574CC C ++ B.222574C C CC.222574AA A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种 B .180种 C.270种 D.540种 [答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.[答案]864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案]3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案]1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案]140能力提升1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案]B2.方程22a b c∈--，且,,a b c互不相ay b x c=+中的,,{3,2,0,1,2,3}同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案]B3. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案]Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】９６6. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案]３６7. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A⋅=个.方程更有实根，必须满足240.bac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222AA +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222AA A ++=18个.。
计数原理和排列组合
计数原理、知识要点1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m!种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N= _____________ 种不同的方法。
注意：1 )分类要全、清； 2 )任何一种方法均能完成此事；3)各类方法相互独立。
2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m!种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有的N=________________________________________________________________________________ 种不同的方法。
注意：1 )各步方法数相互独立；2)每步均完成后才能完成这件事。
3、用两个原理解决实际问题时可按下列步骤进行思考：(1)做什么事？定目标；(2 )怎么做？一一定方法(分类、分步、先分类后分步、先分步后分类等) ；(3)确定每类或每步的方法数；(4)利用原理计算出方法总数并作答。
二、例题分析：例1 :从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？例2 :如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。
从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？三、巩固练习：1.某班级有男三好学生5人，女三好学生4人。
(1)从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法?2、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？3、一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字组成，可以设置多少种三位数的密码4、如图,从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？甲地地到丙地有2条路可通。
(完整)五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).教师版
一、 排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+L （）（）（），即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、 排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L （）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，知识结构排列组合记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L （）（） ．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、 组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有mn C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有mm P 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mmn nm mP n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯L L （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、 组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n mn n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n nC =，01n C =． 五、 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、 使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
高考一轮复习教案十二(1)计数原理(教师)文科用
模块： 十二、排列组合、二项式定理、概率统计课题： 1、计数原理教学目标： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决．重难点： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．一、 知识要点1、分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法．2、分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．二、 例题精讲例 1 、电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？答案：28800．例2、从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?答案：32个例3、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种．（以数字作答）答案：120种 654321例4、（1）有红、黄、白色旗子各n 面（3n ），取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？（2）有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？答案：（1）60；（2）7种．例5、d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？答案：9种．例6、关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？答案：（1）40个；（2）7440．例7、如图所示,问从A 到D 每次不许走重复的路,共有多少种走法?(注:每次的路线一个地方只能经过一次)答案：16例8、由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？答案：（1）72；（2）1600三、 课堂练习1、4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ；（3）男女生相间 ； （4）女生按指定顺序排列 ． 答案：576；1440；144；840.2、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有 种不同的送书方法． 答案：18003、三名男歌手和两名女歌手联合举行一场演唱会,演出时要求两名女歌手之间恰有一名男歌手,则共有出场方案 种．答案：364、圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是 ．答案：4955、7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种．答案：3600；3720.6、远洋轮一根旗杆上用红、蓝、白三面旗帜中，一面，二面或三面表示信号，则最多可组成不同信号有___________种．答案：15四、 课后作业一、填空题1、十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_________种行车路线．答案：122、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 种． 答案：123、从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有______种． 答案：254、72的正约数（包括1和72）共有__________个．答案：125、从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数()2f x ax bx c =++的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个．（用数字作答）答案：18；66、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种．（以数字作答） 答案：72 二、选择题7、某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是( )A 、9×8×7×6×5×4×3B 、8×96C 、9×106D 、81×105答案：D8、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则n m 等于( ) A 、0 B 、41 C 、21 D 、43 答案：B9、某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )A 、504B 、210C 、336D 、120答案：A三、解答题10、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？答案：3611、五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？答案：（1）1024种；（2）526种．12、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？答案：36⑤④③②①。
计数原理和排列组合教案
计数原理和排列组合教案【教案目标】1. 理解计数原理的基本概念和应用；2. 掌握排列组合的基本知识和技巧；3. 能够运用计数原理和排列组合解决实际问题。
【教案内容】一、计数原理的基本概念A. 计数原理的分类1. 乘法原理2. 加法原理B. 计数原理的应用1. 排列计数问题2. 组合计数问题二、乘法原理的应用A. 乘法原理的定义B. 定理证明与例题解析C. 真实应用场景案例分析三、加法原理的应用A. 加法原理的定义B. 定理证明与例题解析C. 真实应用场景案例分析四、排列组合的基本概念A. 排列的定义B. 组合的定义C. 排列组合的区别与联系五、排列和组合的计算方法A. 排列计算公式B. 组合计算公式C. 排列组合的应用案例分析六、计数原理和排列组合的综合应用A. 综合计数问题的解决方法B. 综合案例解析与思考七、课堂练习与讲评A. 计数原理和排列组合的基础练习题B. 学生课堂互动与讲解答疑【教学步骤】一、导入部分利用实际生活中的例子引导学生认识计数原理的重要性，并激发学生对数学的学习兴趣。
二、教学过程1. 计数原理的基本概念讲解与案例分析2. 乘法原理的应用讲解与示例演练3. 加法原理的应用讲解与示例演练4. 排列组合的基本概念讲解与案例分析5. 排列和组合的计算方法介绍与练习6. 计数原理和排列组合的综合应用实例讲解与思考三、课堂练习与讲评布置一些练习题，让学生在课堂上解答并讲解答案，及时纠正错误，并对正确答案进行讲评。
四、课堂总结与作业布置小结本节课所学的内容，概括计数原理和排列组合的要点，并布置相应的作业，以巩固已学知识。
【教学工具】黑板、彩色粉笔、PPT演示文稿、学生课本、练习题集。
【教学评价】通过学生在课堂练习中的表现和作业的完成情况，以及对学生的随堂测试，来评价他们对计数原理和排列组合的掌握程度。
【教学延伸】可以对计数原理和排列组合的应用进行深入研究，并引导学生通过自主学习来扩展应用，激发学生的创新思维和解决问题的能力。
排列组合问题常用方法(上课用)
甲乙都在前排： 1、都在左面4个座位 A22 3 =6种
2、都在右面4个座位 同上，6种
3、分列在中间3个的左右 A22 4 4 =32种
一共6+6+32=44种 甲乙都在后排： A(22)*(10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=110种 甲乙分列在前后两排 A(22)*12*8=192种 一共44+110+192=346种
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４ 幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 端，那么共有陈列方式的种数为_A_22_A_55_A_44 _
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女 生也相邻的排法有_A_22_A_55_A_55 _种
十五.实际操作穷举策略
练习： 1.把6名实习生分配到6个车间实习,共有
多少种不同的分法？
2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法共有 多少种？
一.特殊元素和特殊位置优先策略
（特殊元素（或位置）分析法）
例1.由0到9这10个数字，可以组成多少个 (1) 没有重复数字的三位数？ (2) 没有重复数字的三位奇数？ (3) 没有重复数字的三位偶数？
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
高中数学 2-3 排列组合典型例题 教师用
1．分类计数原理: 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N = n 1+n 2+n 3+…+n M 种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N =n 1·n 2·n 3·…n M 种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。
它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。
3.⑪排列的定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑫排列数的定义: 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数， 用符号m n A 表示. 其中n ，m ∈N *，并且m ≤n ．⑬排列数公式: !(1)(1)(,,)()!m n n A n n n m m n n m N n m =--+=∈- ≤ 当m =n 时，排列称为全排列，排列数为n n A =(1)21n n ⨯-⨯⨯⨯ 记为n !, 且规定O!=1.注：!(1)!!n n n n ⋅=+- ; 11--=m n m n nA A 4.⑪组合的定义: 从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑫组合数的定义: 从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示. ⑬组合数公式: (1)(1)!!!()!m m n n m m A n n n m n C A m m n m --+===- . 规定01n C =，其中m ，n ∈N +，m ≤n.注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序. ⑭组合数的两个性质:①;mn m n n C C -= 从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n -m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n -m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.②11m m m n n n C C C -++= 根据组合定义与加法原理得；在确定n +1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m -1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.5．解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法; ②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，()m m n <个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m m n nA A 种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）； ④正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略； ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略.1.1两个计数原理(1)例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
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姓名学生姓名填写时间2016-12-7学科数学年级高三教材版本人教版阶段第（ 48 ）周观察期：□维护期：□课题名称排列组合课时计划第（）课时共（）课时上课时间2016-12-8教学目标大纲教学目标1、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．2、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．个性化教学目标体会分类讨论的思想教学重点1、正确区分排列与组合,熟练排列数与组合数公式2、能熟练利用排列数与组合数公式进行求值和证明.教学难点分类讨论思想的灵活应用教学过程问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法一、分类计数原理完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有12nN m m m=+++种不同的方法说明：1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.第一部分：计数原理又称乘法原理一、问题引入问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法问题2：从1、2、3、4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数问题1和2的共同点是什么二、排列1、对排列定义的理解.定义：一般地，从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 2、相同排列.如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. 3、排列数.从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同的排列的个数，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.用符号m nA 表示.且有：nn A第二部分：排列正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n!表示，所以n 个不同元素的全排列公式可以写成：nn A n!= , 规定0! = 1，所以A n 0＝1。
注意：m nn!A (n m)!=- 11--=m n m n nA A !)!1(!n n n n -+=⋅例1、A ，B ，C ，D 四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．解：假设A ，B ，C ，D 四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号，列出树形图如下：换位后，原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA .练习2：四人A 、B 、C 、D 坐成一排，其中A 不坐在排头，写出所有的坐法． 解：例2设a ∈N *，且a ＜27，则(27－a )(28－a )…(34－a )等于( ) A ．A 27－a 8B ．A 34－a27－aC ．A 34－a 7D ．A 34－a8解析： 8个括号是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.练习1：解不等式：A 8m ＋2＜6A 8m.解析： 原不等式可化为8！8－m －2！＜6·8！8－m ！，化简得m 2－15m ＋50＜0，即(m －5)(m －10)＜0，解得5＜m ＜10，又⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤8m ≤8，即m ≤6，所以m ＝6.练习2：计算 (1)A 95＋A 94A 106－A 105；(2)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n ！.(3)2A 85＋7A 84A 88－A 95；(4)A n －1m －1·A n －mn －mA n －1n －1.[解析] (1)方法一：A 95＋A 94A 106－A 105＝5A 94＋A 9450A 94－10A 94＝6A 9440A 94＝320. 方法二：A 95＋A 94A 106－A 105＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320. (2)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n!＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n ＋1)！－n ！]＝(n ＋1)！－1.(3)2A 85＋7A 84A 88－A 95＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1. (4)A n －1m －1·A n －mn －mA n －1n －1＝n －1！[n －1－m －1]！·(n －m )！·1n －1！＝n －1！n －m ！·(n －m )！·1n －1！＝1.例3、求证：A n ＋1m－A n m＝m A nm －1.[解析] 证法一：A n ＋1m－A n m＝n ＋1！n ＋1－m ！－n ！n －m ！＝n ！n －m ！⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！n －m ！·m n ＋1－m ＝m ·n ！n ＋1－m ！＝m A n m －1. 练习：求证：A n ＋1n ＋1＝A n ＋1n ＝(n ＋1)A n n证明： ∵An ＋1n ＋1＝(n ＋1)×n ×(n －1)×…×3×2×1，An ＋1n＝(n ＋1)×n ×(n －1)× (3)2，(n ＋1)A n n＝(n ＋1)×n! ＝(n ＋1)×n ×(n －1)×…×3×2×1，∴An ＋1n ＋1＝A n ＋1n ＝(n ＋1)A n n.巩固练习：1、某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别赛一次，共进行多少场比赛故符合题意的六位数共有A 66－2A 55＋A 44＝504(个)．方法二(直接法)：十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A 55个；第二类，当个位不排0时，有A 41A 41A 44个．故共有符合题意的六位数有A 55＋A 41A 41A 44＝504(个)．(3)①当千位上排1,3时，有A 21A 31A 42个．②当千位上排2时，有A 21A 42个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A 31个；形如41××的有A 21A 31个；形如43××的只有4 310和4 302这两个数，故共有A 21A 31A 42＋A 21A 42＋2A 31＋A 21A 31＋2＝110(个)．题后感悟：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．一、问题引入问题3：从3名同学中选出2名的可能选法是多少问题4：区别问题1与问题3的不同点。
第二部分：组合含顶点A 的四面体的3个面上，除点A 外都有5个点，从中取出3点必与点A 共面共有3C 53种取法；含顶点A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类计数原理，与顶点A 共面三点的取法有3C 53＋3＝33种．(2)间接法：如图，从10个点中取4个点的取法有C 104种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面．有4C 64＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C 104－(60＋6＋3)＝141(种)．例5 在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，（1）有多少种不同的抽法（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种 （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种练习1：(2011·北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析： 数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C 41＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C 42＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C 43＝4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数． 答案： 145、几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++例6 计算：（1）()3101971002100A C C ÷+； （2）3103433C C C +++ ．分析：本题如果直接计算组合数，运算比较繁．本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第（1）题中，310097100C C =，经此变形后，可继续使用组合数性质．第（2）题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形4413n n n C C C -=+，求和；另一方面，变形4433C C =，接着453444C C C =+，463545C C C =+…，反复使用公式．解：（1）原式()310133310131013101310131002100A A A ACACC÷=÷=÷+=61133=÷=A ． （2）原式4104114546444533C C C C C C C -++-+-+= 330411==C ．另一方法是：原式310353444C C C C ++++= 31036463103545C C C C C C +++=+++= 330411310410==+==C C C ．说明：利用第（2）小题的手段，我们可以得到组合数的一个常用的结论：1121++++=++++m n m n m m m m m m C C C C C ．左边==-++-+-+=+++++++++++++1111112131112m n m n m n m m m m m m m m m m C C C C C C C C 右边．例7、计算下列各式的值．(1)3C 83－2C 52； (2)C 10098＋C 200199； (3)C 73＋C 74＋C 85＋C 96； (4)C n 5－n＋C n ＋19－n.[解题过程] (1)3C 83－2C 52＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)C 10098＋C 200199＝C 1002＋C 2001＝100×992×1＋200＝5 150. (3)原式＝C 84＋C 85＋C 96＝C 95＋C 96＝C 106＝C 104＝210. (4)由{ 5－n ≤n5－n ≥09－n ≤n ＋19－n ≥0⇒4≤n ≤5.∵n ∈N *，∴n ＝4或5.当n ＝4时，原式＝C 41＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 50＋C 64＝16.练习1：计算：(1)C 85＋C10098·C 77；(2)C 5＋C 51＋C 52＋C 53＋C 54＋C 55；(3)Cn ＋1n ·Cnn －1.解析： (1)原式＝C 83＋C 1002×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 50＋C 51＋C 52)＝2(C 61＋C 52)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. (3)方法一：原式＝C n ＋1n·C n 1＝n ＋1！n ！·n ＝n ＋1·n ！n ！·n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .方法二：原式＝(C n n＋C nn －1)·C n n －1＝(1＋C n 1)·C n 1＝(1＋n )n ＝n 2＋n .练习2：(1)已知1C 5m －1C 6m ＝710C 7m ，求C 8m . (2)解方程：C x ＋2x －2＋C x ＋2x －3＝110A x ＋33. [解] (1)原方程变形为m ！5－m ！5！－m ！6－m5－m ！6×5！＝7m ！7－m 6－m 5－m ！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝7－m 6－m 60，即m 2－23m ＋42＝0，(2)原方程可化为C x ＋3x －2＝110A x ＋33，即C x ＋35＝110A x ＋33， ∴x ＋3！5！x －2！＝x ＋3！10·x ！，∴1120x －2！＝110·x x －1·x －2！，∴x 2－x －12＝0 解得x ＝4或x ＝－3。