第十章 一元线性回归
一元线性回归
12．9 一元线性回归以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。
通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。
一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。
如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。
一元线性回归问题主要分以下三个方面：（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。
（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。
（3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。
12．9．1 一元线性回归方程 1．散点图与回归直线在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y 与普通变量x 之间的关系。
通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。
例1 在硝酸钠（NaNO 3）的溶解度试验中，测得在不同温度x （℃）下，溶解于100解 将每对观察值（x i ，y i ）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。
从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。
于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 对x 的一元线性回归方程。
设这条直线的方程为yˆ=a+bx 其中a 、b 叫做回归系数（y ˆ表示直线上y 的值与实际值y i 不同）。
图12.11下面是怎样确定a 和b ，使直线总的看来最靠近这几个点。
2．最小二乘法与回归方程在一次试验中，取得n 对数据（x i ，y i ），其中y i 是随机变量y 对应于x i 的观察值。
我们所要求的直线应该是使所有︱y i －yˆ︱之和最小的一条直线，其中i y ˆ=a+bx i 。
由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a 、b 的值使Q=21)ˆ(i ni iyy-∑=最小。
第十章 直线回归与相关分析
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130 125.5
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132 134.5
图10-2 NaCl含量对单位叶面积干物重影响的散点图
Y . X X
含义是：对于变量X的每一个值，都有一个Y 的分布，这个分布的平均数就是该线性函数。
ˆ a bX Y
回归截距 与x值相对应的依变量y的点估计值
此方程称为Y对X的直线回归方程(linear regression equation)，画出的直线称为回归线 （ regression line）。
ˆ Y a bx
ˆi ) 2 L ( yi y
i 1 n
Y
最小
编号 1 2 3 4 5 血球体积x /mm3 45 52 56 48 42 红血球数y /106 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 6 7 8 9 10 编号 血球体积x /mm3 35 58 40 39 50 红血球数y /106 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72
n n
整理后得：
an b xi yi i1 i1 n n n a xi b xi2 xi yi i1 i1 i1
解正规方程得：
x y ( x )( y ) / n b x ( x ) / n ( x x)( y y) = S S ( x x)
第二节：一元线性回归 1 散点图的绘制
2 一元正态线性回归模型 3 直线回归方程的参数估计和回归方 程的建立 4 直线回归的假设检验
5 直线回归的方差分析
6 直线回归的意义( 自学）
培养学生兴趣的课堂实践------一元线性回归分析教学反思
培养学生兴趣的课堂实践------一元线性回归分析教学反思摘要：中职学生核心素养的培养关系到学生数学能力的发展.本文旨在通过数学课堂教学中存在的一些问题，为学生兴趣的培养提供一些思考和方向.本文所选上课内容是凤凰职教中职数学第二册第十章第七节的一元线性回归分析.本节课是一节选修课，选修课由于课堂内容侧重于实践的原因，可以加入更多的实践元素，为今提升学生学习兴趣提供帮助，也可以充实更多的教育资源关键词：中职学生数学核心素养学生兴趣教育资源一、本节课的设想本节课是书本上的一节选修课，内容不是很多，其实学生在概率中已经学习了有关变量的一些概念，因此根据本节课的教学目标：通过变量做散点图，利用最小二乘法求线性回归方程.我制定了如下的教学流程：1.情境引入在这百年多的时间里，中国社会发生了翻天复地的变化，老百姓的生活水平也日渐提高，这当然离不开党的领导.党的领导决定了中国特色社会主义的性质和方向.这两者之间的关系是相当明确的.不过，在现实生活中却存在着一些其他关系，同学们上中学的时候，老师是不是说过这样的一句话：“假如你数学好，物理成绩就不会差.”从这里感觉，数学和物理成绩之间似乎有一定的关系.你怎么知道他们之间的关系？这两者之间的关系是确定吗？通过这样的情境导入，提升学生的学习兴趣，同时也让学生明白数学和物理学习之间的关系并不是确定的.接着，为了再次激起学生的兴趣，教师提出一些与生活相关的问题，例如：下列两个变量中具有相关关系得是A.正方形的体积与边长B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C.人的身高与体重D.人的身高与视力教师在这个环节中，多次通过激趣的方式，明确了不确定性，最后进行总结并引入课题，这就是一元线性回归.2.探究问题某商店为了能够顺利预测奶茶销量与温度之间的关系，随机进行了的统计，表格如下：气温/ C4如果某天的气温是，能根据上面的数据来进行预测吗？教师指导学生共同画出散点图，通过图形发现，点散步在一条直线附近，所以这时采用一个线性函数近似地表示热茶的销量与气温之间的存在的关系.那么问题就来了，应该选择怎样的直线表示关系?从理论上说，一定存在这样的一条直线，使得它与散点图中的点最接近.那么应该如何衡量呢？教师可以将表中给出的x的值带入直线方程,得到六个y的值，这六个值最好与实际值越接近越好.所以,类比估计样本方差的思想，考虑离差的平方和在上面的式子中，取相应的a,b值，使Q(a,b)达到最小值，如何求Q（a,b)的值,先把a看成常数，那么Q是关于b的二次函数.这种方法就是最小二乘法.当b=−140a−3820/2×1286,Q取最小值同样，把b看成常数，那么Q是关于a的二次函数当a=−140b−460/12,Q取最小值由此解得.所求直线方程为.当时,,故当气温为时,热茶销量约为杯.3.建构教学引导学生了解最小二乘法的求解思想（类似于估计方差，求解离差的平方和），并利用公式,（*）,求解参数b，a，最后能够顺利求解线性回归方程.教师在推导公式时，运用腾讯课堂，云班课等多种教学方式，让学生课后能够通过app学习，并调动学生学习的积极性，使学生更加热爱学习.4.数学应用根据所学线性回归知识进行运用，求解练习题，例如，求(3,11) ，(8,19) ，(15,32)这三个点的回归直线方程.并在求解结束后，教授学生运用excel软件进行验证结果的准确性.最后要求学生自主探究线性方程恒过哪个定点，调动学生的积极性，探索新知的学习兴趣.二、实际上课的效果本节课的内容是线性回归分析，其中重点和难点是求一元线性回归直线方程.1.从本课的教学上来看，还是存在一些亮点（1）利用数学成绩和物理成绩之间存在的相关关系这样的情境，是从生活入手，通过这样的学习情境的导入，可以引发学生的学习兴趣，更好的展开教学，为学生能够更好的学习知识做铺垫.（2）回归直线恒过样本点中心这个问题一元线性回归直线过哪个定点问题，是每年的常考问题.因此在本节的教学中，要求学生通过自主探究，找到了这个定点，并且代入验证，发现这个结论，学生通过这样的方式，发现这个结论很新奇，不容易遗忘，后续也不会觉得本课的枯燥，通过问题与考试的联系，加深学生对问题的认识.2. 根据学生上课的反应和课后的作业，发现了一些问题（1）学生公式记忆错误，公式中的参数a,b不会求，西格玛符号不理解.（2）教师在讲授内容时，基本通过公式解决常见题型，有的内容一带而过，从而忽略了对学生学习能力的培养.整节课教下来，学生并不理解这个公式的本质.学生出现的种种问题，归结起来，就是缺乏数学的素养和兴趣，理解，运算，解题能力较差，这也是中职学生的常态.学生感觉上课很枯燥，喜欢睡觉，对上课内容并不是很感兴趣.在这里，新课标中其实已经提到“通过学习，经历运用不同的估算方法，描述两个变量之间的线性相关关系的过程，学会用回归模型方程来描述现实中的相关关系，并知道最小二乘法的概念与思想，会利用信息科学的计算器等工具求线性回归直线.长久以来，教师只是照本宣科，应付考试，忽略了学生学习积极性的启迪，学习能力的培养.长此以往，对学生的成长以及发展是相当不利的.所以纵观整体的教学，教师应要求学生主动参与，才能使学生能够更加注重学习，学生主动参与后，才会逐渐把知识内化成自己的知识，对自身的发展帮助很大，所以学生核心素养的培养是相当重要的.三、今后教学的改进经过与探讨，反思了本节课存在的一些问题以及对今后教学的一些启示.1.本节课的内容形式上比较新颖，因此，需要重新界定教学的重难点和教学的方法和内容.本节课以及在今后的教学中，应当鼓励学生对问题和数字进行再加工，培养学生对数字的一种感觉，在学习本节课的知识之前应当先进行预习，例如：要求学生进行散点图的拟合并求解线性回归方程.2.传统教学以教科书，大纲为指导进行教学，然而现在的学习，应当以培养学生的综合素养为目标.以学生为主体，这就要求教师关注学生在整堂课中的表现，关注学生的思维状态，关注学生的学习能力，学会学以致用.应鼓励学生运用现代技术手段进行学习，而不是简单的机械记忆.3.本节课对学生的要求仅仅是计算，缺乏真正关注学生的状态，学生缺少自由学习的时间和空间.在现在和今后的教学中，教师应创造条件，教会学生运用软件，动手操作，主动学习，例如，在本节课中就是需要主动完成散点图，与excel拟合.这样才能学以致用.4.缺乏一个相对完整的评价体系，无法对学生的学习状态，行为，过程进行全面评价，只通过学生的解题对学生的掌握情况进行了评价.在今后的教学中，需要研究一些多元化的评价量表，更好的促进学生的学习.5.缺乏配套的硬件设施，班级里只有一台破旧的电脑，网络也不能完全覆盖，很多信息化工具，都无法使用.希沃，超星平台都无法使用，无法操作给学生看，一些图形的展示，学生觉得特别枯燥.后续，应该加大硬件的投入和对老师的培训，使得老师上课的形式能多样化，多元化，可以更大程度上提高学生的积极性.通过对于本节课的一些分析，实录和思考，从多个维度进行了反思，发现学生核心素养的培养来源于教学，也作用于教学，本人相信通过多年的努力和反思，学生核心素养的发展可以促使教师教学能力的提高，可以提高学生的学习兴趣.参考文献：[1]普通高中数学课程标准（实验）。
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
一元线性回归方程
一元线性回归方程
一元线性回归方程:当直线方程Y'=a+bx的a和b确定时，即为一元回归线性方程。
一元线性回归方程反映一个因变量与一个自变量之间的线性关系
一元线性回归方程反映一个因变量与一个自变量之间的线性关系，当直线方程Y'=a+bx的a和b确定时，即为一元回归线性方程。
经过相关分析后，在直角坐标系中将大量数据绘制成散点图，这些点不在一条直线上，但可以从中找到一条合适的直线，使各散点到这条直线的纵向距离之和最小，这条直线就是回归直线，这条直线的方程叫作直线回归方程。
注意：一元线性回归方程与函数的直线方程有区别，一元线性回归方程中的自变量X对应的是因变量Y的一个取值范围。
1. 根据提供的n对数据在直角坐标系中作散点图，从直观上看有无成直线分布的趋势。
即两变量具有直线关系时，才能建立一元线性回归方程。
2. 依据两个变量之间的数据关系构建直线回归方程：Y=a+bx。
简单线性回归（Simple linear regression）也称为一元线性回归，是分析一个自变量（x）与因变量（y）之间线性关系的方法，它的目的是拟合出一个线性函数或公式来描述x与y之间的关系。
一元回归线性模型
一元回归线性模型
一元线性回归模型，又称为简单线性回归模型，是机器学习中常
用的回归模型，它是利用一个自变量X来预测因变量Y的结果。
一元
线性回归模型将样本数据映射为一条直线，如y=ax+b，其中a是斜率，b是截距，也就是说，一元线性回归模型中的参数是斜率和截距，而拟
合的直线就是根据样本数据估计出来的最佳拟合直线。
目标函数是求解参数 a 和 b，使得误差平方和最小，具体来说，
目标函数的表达式为：J（a,b）=Σi(yi-f(xi))^2,其中f（x）=ax+b，yi为观测值，xi为观测值对应的自变量。
对于一元线性回归模型，求解参数 a 和 b 的最优方法要么是直
接用梯度下降法求解，要么是用最小二乘法求解。
梯度下降法求解时，需构造损失函数，使用梯度下降法迭代更新参数，直到获得最优结果；而最小二乘法求解时，通过求解参数关于损失函数的导数，便可解出
模型参数，从而得到最优结果。
一元线性回归模型在实际应用中有很多优点，其中最重要的就是
它易于拟合和解释，它求解简单，可以很大程度上减少了计算复杂度，而且可以很好地预测因变量的值，也可以用来检验变量之间的关系。
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
一元线性回归
一元线性回归
一、回归分析的基本思想 二、一元线性回归的数学模型 三、可化为一元线性回归的问题 四、小结
一、回归分析的基本思想
确定性关系 变量之间的关系 相 关 关 系
S πr 2
身高和体重
确定性关系 相关关系
相关关系的特征是:变量之间的关系很难用一 种精确的方法表示出来.
确定性关系和相关关系的联系
n
xi x
2 ( x x ) j j 1 n
var( y ) i
2
2
2 ( x x ) j j 1 n
1 xi x ˆ 0 y 1 x ( x ) yi n lxx
1 xi x ˆ Var ( 0 ) x lxx n
由于存在测量误差等原因,确定性关系在实际 问题中往往通过相关关系表示出来;另一方面,当对 事物内部规律了解得更加深刻时,相关关系也有可 能转化为确定性关系. 回归分析——处理变量之间的相关关系的一 种数学方法,它是最常用的数理统计方法.
回 归 分 析
线性回归分析
非线性回归分析
一元线性回归分析
多元线性回归分析 β1 = Nhomakorabea(x
i=1 n
n
i
x )( yi y ) ,
2 ( x x ) i i=1
β0 = y β1 x,
1 n 1 n 其中 x xi , y yi . n i 1 n i 1
记
l xx = ( xi x )2 ,
i=1
n
l yy = ( yi y )2 ,
2 x x x 2 2 i ˆ ˆ ˆ cov(y , 1 ) x cov(1 , 1 ) x nlxx l xx l xx
一元线性回归教案
一元线性回归教案引言一元线性回归是统计学中非常重要的一种回归分析方法。
它能够通过建立一个线性模型，根据自变量的值来预测因变量的值。
本教案将介绍一元线性回归的基本概念、原理和应用场景，并通过示例演示如何进行一元线性回归分析。
目录1.什么是一元线性回归？2.一元线性回归的原理3.数据的处理与准备4.拟合一元线性回归模型5.模型评估与预测6.应用案例分析7.总结1. 什么是一元线性回归？一元线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的线性回归模型。
它的数学表达式为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是模型的参数，ε是误差项。
一元线性回归的目标是找到最合适的β0和β1，使得模型对观测数据点的拟合程度最优。
2. 一元线性回归的原理一元线性回归的原理基于最小二乘法，即通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型的参数。
最小二乘法可以通过求解正规方程来获得最优的参数估计值。
3. 数据的处理与准备在进行一元线性回归分析之前，需要对数据进行处理和准备。
这包括数据清洗、变量选择和数据可视化等步骤。
本节将介绍常用的数据处理方法，以及如何选择适当的自变量和因变量。
4. 拟合一元线性回归模型拟合一元线性回归模型是通过最小二乘法来确定模型的参数估计值。
本节将介绍如何使用Python中的scikit-learn库来拟合一元线性回归模型，并分析模型的拟合结果。
5. 模型评估与预测在拟合一元线性回归模型之后，需要对模型进行评估和预测。
本节将介绍常用的评估指标，如均方误差（MSE）和决定系数（R-squared），以及如何使用模型进行预测。
6. 应用案例分析本节将通过一个实际的数据集来展示一元线性回归的应用场景。
通过分析数据集中的自变量和因变量之间的关系，我们可以建立一元线性回归模型，并对模型进行评估和预测。
7. 总结本教案从一元线性回归的基本概念和原理开始，通过示例和实践对一元线性回归进行了详细讲解。
一元线性回归分析
9--36
判定系数与回归估计标准差的计算
根据前述计算公式计算判定系数与回归估计标准差 ，需先根据样本回归方程计算出 X 的各观测值 xi 对 应的回归估计值 yi ，计算过程比较繁琐。
借助于 EXCEL 的“回归”分析工具可轻松得到其数 值。显示在 EXCEL 的回归输出结果的第一部分
判定系数（ R Square ）
也称为可解释的平方和。
3. 残差平方和（ SSE 、 Q ）
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影 响，
9--29
可决系数（判定系数 r2 或
R2 ）
1. 可决系数 = 回归平方和占总离差平方和的
比例
r2
SSR SST
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归平方和 总离差平方和
1
残差平方和 总离差平方和
综合度量回归方程对样本观测值拟合优度， 衡量变量之间的相关程度。
称为古典线性回归模型。
9--12
2. 样本回归方程（ SRF ）
实际中只能通过样本信息去估计总体回归方程的参 数。
一
元
线
性回归的
yˆi ˆ
样
本ˆx回i
归
方
a
程
的形
bxi
式
：
ˆ a, ˆ b 是样本回归方程的截距和斜率
yˆ ； i 是与 xi 相对应的 Y 的条件均值的估计 ； 9--13
样本回归方程与总体回归方程之关系
i 1
n2
�n ( yi yˆi ) 2
i 1
n2
9--34
回归估计标准差的作用
1. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状 况；反映因变量各实际值与其回归估计值之
一元线性回归
⼀元线性回归1、概念⼀元线性回归是最简单的⼀种模型，但应⽤⼴泛，⽐如简单地预测商品价格、成本评估等，都可以⽤⼀元线性模型，本节主要讲解scikit-learn⼀元线性回归的使⽤以及作图说明。
y=f(x)叫做⼀元函数，回归的意思就是根据已知数据复原某些值，线性回归(regression)就是⽤线性的模型做回归复原。
那么⼀元线性回归就是：已知⼀批(x,y)值来复原另外未知的值。
⽐如：告诉你(1,1),(2,2),(3,3)，那么问你(4,?)是多少，很容易复原出来(4,4)，这就是⼀元线性回归问题的求解。
当然实际给你的数据可能不是严格线性，但依然让我们⽤⼀元线性回归来计算，那么就是找到⼀个最能代表已知数据的⼀元线性函数来做复原和求解。
2、scikit-learn的⼀元线性回归1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]4 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]5print x6print(y)7 model = LinearRegression()8 model.fit(x, y) #训练模型9 predicted = model.predict([13])[0]#预测输出10print predictedView Code结果：1 [[1], [2], [3], [4], [5], [6]]2 [[1], [2.1], [2.9], [4.2], [5.1], [5.8]]3 [ 12.82666667]这⾥⾯的model是⼀个estimator，它通过fit()⽅法来算出模型参数，并通过predict()⽅法来预测，LinearRegression的fit()⽅法就是学习这个⼀元线性回归模型：y = a + bx原数据的图像：1import matplotlib.pyplot as plt2from matplotlib.font_manager import FontProperties3 font = FontProperties()4 plt.figure()5 plt.title('this is title')6 plt.xlabel('x label')7 plt.ylabel('y label')8 plt.axis([0, 25, 0, 25])9 plt.grid(True)10 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]11 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]12 plt.plot(x, y, 'k.')13 plt.show()View Code结果：合在⼀起：1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3import matplotlib.pyplot as plt4from matplotlib.font_manager import FontProperties56 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]7 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]8 model = LinearRegression()9 model.fit(x, y)10 x2 = [[0], [2.5], [5.3], [9.1]]11 y2 = model.predict(x2)1213 plt.figure()14 plt.title('linear sample')15 plt.xlabel('x')16 plt.ylabel('y')17 plt.axis([0, 10, 0, 10])18 plt.grid(True)19 plt.plot(x, y, 'k.')20 plt.plot(x2, y2, 'g-')21 plt.show()View Code其他相关⽤法⽅差计算:⽅差⽤来衡量样本的分散程度，⽅差公式是⽤numpy库已有的⽅法：1 np.var([1, 2, 3, 4, 5, 6], ddof=1)1 3.5得出⽅差是3.5。
一元线性回归模型(计量经济学)
回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的关系。它基于最小二乘法，寻找最合适的直线来描述变 量间的线性关系。通过回归分析，我们可以理解变量之间的因果关系和预测未知数据。
一元线性回归模型的假设
1 线性关系
2 独立误差
一元线性回归模型假设自变量和因变量之 间存在线性关系。
模型的残差项是独立的，不受其他因素的 影响。
3 常数方差
4 正态分布
模型的残差项具有恒定的方差，即方差齐 性。
模型的残差项服从正态分布。
一元线性回归模型的估计和推断
1
模型估计
使用最小二乘法估计模型的回归系数。
2
参数推断
进行参数估计的显著性检验和置信区间估计。
3
模型拟合程度
使用残差分析和R平方评估模型的拟合程度。
模型评估和解释结果
通过残差分析和R平方等指标评估模型的拟合程度，并解释模型中回归系数的 含义。了解如何正确使用模型的结果，并识别异常值和离群点对模型的影响。
一元线性回归模型(计量 经济学)
在本节中，我们将介绍一元线性回归模型，探讨回归分析的基本概念和原理， 了解一元线性回归模型所做的假设，并学习模型的估计和推断方法。我们还 将探讨模型评估和解释结果的技巧，并通过实例应用和案例分析进一步加深 对该模型的理解。最后，我们将总结和得出结论。
回归分析的基本概念和原理
实例应用和案例分析
汽车价格预测Байду номын сангаас
使用一元线性回归模型预 测汽车价格，考虑车龄、 里程等因素。
销售趋势分析
通过一元线性回归模型分 析产品销售的趋势，并预 测未来销售。
学术成绩预测
应用一元线性回归模型预 测学生的学术成绩，考虑 学习时间、背景等因素。
一元线性回归
· · ·· ·· · · ·· ·
2 4 6 8 10
o线附 近, 这告诉我们变量x和y之间大致可看作线 性关系. 从图中还看到, 这些点又不完全在 一条直线上, 这表明x和y的关系并没有确切 到给定x就可以唯一确定y的程度.
其原因在于人有较大的个体差异, 因而身高 和体重的关系, 是既密切但又不能完全确定 的函数关系.
类似的变量间的关系在大自然和社会中 屡见不鲜.
例如 , 小麦的穗长与穗重的关系 ; 某班学生最 后一次考试分数与第一次考试分数的关系;温 度、降雨量与农作物产量间的关系;人的年龄 与血压的关系;最大积雪深度与灌溉面积间的 关系;家庭收入与支出的关系等等.
这种大量存在的变量间既互相联系但又不 是完全确定的关系，称为相关关系. 从数量的角度去研究这种关系，是数 理统计的一个任务. 这包括通过观察和试 验数据去判断变量之间有无关系，对其关 系大小作出数量上的估计 , 对互有关系的 变量通过其一去推断和预测其它,等等. 回归分析就是研究相关关系的一种重 要的数理统计方法.
V=I. R
以上两例的共同点在于，三个量中任意 两个已知，其余一个就可以完全确定. 也就 是说，变量之间存在着确定性的关系，并且 可以用数学表达式来表示这种关系. 然而，在大量的实际问题中，变量之 间虽有某种关系，但这种关系很难找到一 种精确的表示方法来描述.
例如,人的身高与体重之间有一定的关系, 知道一个人的身高可以大致估计出他的体重, 但并不能算出体重的精确值.
y=a+bx+ε, ε ～N(0， )
2
(1)
现对模型(1)中的变量x , y进行了n次独 立观察, 得样本 (x1,y1),…,(xn,yn) (3)
一元线性回归
一、一元线性回归(一)基本公式如果预测对象与主要影响因素之间存在线性关系，将预测对象作为因变量y，将主要影响因素作为自变量x，即引起因变量y变化的变量，则它们之间的关系可以用一元回归模型表示为如下形式：y=a+bx+e其中：a和b是揭示x和y之间关系的系数，a为回归常数，b为回归系数e是误差项或称回归余项。
对于每组可以观察到的变量x，y的数值xi，yi，满足下面的关系：yi =a+bxi+ei其中ei是误差项，是用a+bxi去估计因变量yi的值而产生的误差。
在实际预测中，ei是无法预测的，回归预测是借助a+bxi得到预测对象的估计值yi。
为了确定a和b，从而揭示变量y与x之间的关系，公式可以表示为：y=a+bx公式y=a+bx是式y=a+bx+e的拟合曲线。
可以利用普通最小二乘法原理(ols)求出回归系数。
最小二乘法基本原则是对于确定的方程，使观察值对估算值偏差的平方和最小。
由此求得的回归系数为：b=[∑xiyi—x∑yi]/∑xi2—x∑xia=-b式中：xi、yi分别是自变量x和因变量y的观察值，、分别为x和y的平均值.=∑xi/ n ; = ∑yi/ n对于每一个自变量的数值，都有拟合值：yi’=a+bxiyi’与实际观察值的差，便是残差项ei=yi一yi’(二)一元回归流程三)回归检验在利用回归模型进行预测时，需要对回归系数、回归方程进行检验，以判定预测模型的合理性和适用性。
检验方法有方差分析、相关检验、t检验、f检验。
对于一元回归，相关检验与t检验、f检验的效果是等同的，因此，在一般情况下，通过其中一项检验就可以了。
对于多元回归分析，t检验与f检验的作用却有很大的差异。
1．方差分析通过推导，可以得出：∑(yi—y-)2= ∑(yi—yi’)2+∑(yi—y-)2其中：∑(yi—y-)2=tss，称为偏差平方和，反映了n个y值的分散程度，又称总变差。
∑(yi—yi’)2=rss,称为回归平方和，反映了x对y线性影响的大小，又称可解释变差。
线性回归分析
注意: 逐步添加法或逐步剔除法, 都应当强调“逐步” . 不 能一次按照各个变量的统计量的值 fj 的显著性概率 p 是否 小于等于选定的显著性水平 , 来决定是否作为 Y 的自变 量. 因为每添加或剔除一个变量, 都会引起所有回归系数的 变化和统计量的值 fj 的变化. 一次处理会造成误判, 只有逐 步处理, 才是恰当的.
= ( 1, 2, …, k)T
若估计出, ˆ (ˆ1, ˆ2 ,, ˆk )T 则有 Yˆ Xˆ
所以
Y Yˆ e
于是有 Y Yˆ e Xˆ e
两边左乘XT, 得 X T Y X T Xˆ X T e
由几何解释XT e , 故有XTe = 0, 所以可以求出:
Y 1 2X u
其中 ˆ1, ˆ2 为1， 2 的估计值, 则 Y 的计算值Ŷ, 可以
用下式表达:
Yˆ ˆ1 ˆ2 X
所要求出待估参数 ˆ1, ˆ2, 要使 Y 与其计算值Ŷ之间 的“误差平方和”最小. 即： 使得
Q
(Y
Yˆ
2
)
ei2
(4) u ~ N(0, 2u In )
(5) E(XTu) =0 , 或者, X 为确定矩阵
1 X12 X1k
X
1 1
X 22
X n2
X2k
X nk
(6) 秩 ( X ) = k, ( k<n)
2. 普通最小二乘法估计式
在模型中, 代入样本观测值之后, 可得
人均收入X
这两个变量之间的不确定关系，大致可以用下式表示：
Y 1 2 LnX u
人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十章第三节变量的相关性与一元线性回归模型列联表与独立性检验
i1
，其中 (yi yi )2 是残差平
(yi y)2
i1
i1
方和，R2 越大，残差平方和_越__小__，模型的拟合效果_越__好__．R2 越小，残差平方和
_越___大__，模型的拟合效果__越__差___．
5．列联表与独立性检验
(1)关于分类变量 X 和 Y 的抽样数据的 2×2 列联表：
【解析】选 C.因为 χ2＝5，根据临界值表知 P(χ2≥3.841) ＝0.05，P(χ2≥6.635) ＝0.01，
故有 95%以上的把握认为“X 和 Y 有关系”．
4．(回归方程的性质)(多选题)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)利用最小二乘法得到两个变量的经验回归方程为 ＝ x＋ ，，那么下列说法 正确的是( ) A．样本相关系数 r 不可能等于 1
X YY=0Y=1合计 X=0 a b a+b X=1 c d c+d
合计a+c b+dn=a+b+c+d
n（ad－bc）2
计算随机变量 χ2＝
，利用 χ2 的取值推断
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
分类变量 X 和 Y_是__否__独__立__的方法称为 χ2 独立性检验．
(2)独立性检验【3】 基于小概率值 α 的检验规则： 当 χ2≥xa 时，推断 H0 不成立，即认为 X 和 Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过 α； 当 χ2<xa 时，没有充分证据推断 H0 不成立，可以认为 X 和 Y 独立． 利用 χ2 的取值推断分类变量 X 和 Y 是否独立的方法称为 χ2 独立性检验，简称独立 性检验．
x0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7
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第十一章 一元线性回归一、填空题1、对回归系数的显著性检验，通常采用的是 检验。
2、若回归方程的判定系数R 2=0.81，则两个变量x 与y 之间的相关系数r 为_________________。
3、若变量x 与y 之间的相关系数r=0.8，则回归方程的判定系数R 2为____________。
4、对于直线趋势方程bx a y c +=，已知∑=,0x ∑=130xy ，n=9，1692=∑x， a=b ，则趋势方程中的b=______。
5、回归直线方程bx a y c +=中的参数b 是_____________。
估计待定参数a 和 b 常用的方法是-_________________。
6、相关系数的取值范围_______________。
7、在回归分析中，描述因变量y 如何依赖于自变量x 和误差项的方程称为 。
8、在回归分析中，根据样本数据求出的方程称为 。
9、在回归模型εββ++=x y 10中的ε反映的是 。
10、在回归分析中，F 检验主要用来检验 。
11、说明回归方程拟合优度检验的统计量称为 。
二、单选题1、年劳动生产率（x ：千元）和工人工资（y ：元）之间的回归方程为1070y x =+，这意味着年劳动生产率没提高1千元，工人工资平均（ ）A 、 增加70元B 、 减少70元C 、增加80元D 、 减少80元 2、两变量具有线形相关，其相关系数r=-0.9，则两变量之间（ ）。
A 、强相关B 、弱相关C 、不相关D 、负的弱相关关系 3、变量的线性相关关系为0，表明两变量之间（ ）。
A 、完全相关B 、无关系C 、不完全相关D 、不存在线性关系 4、相关关系与函数关系之间的联系体现在（ ）。
A 、相关关系普遍存在，函数关系是相关关系的特例 B 、函数关系普遍存在，相关关系是函数关系的特例C 、相关关系与函数关系是两种完全独立的现象D 、相关关系与函数关系没有区别 5、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δxy2=-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。
A 、显著正相关B 、低度正相关C 、显著负相关D 、低度负相关 6、对某地区前5年粮食产量进行直线趋势估计为：80.5 5.5y t =+⋅这5年的时间代码分别是：-2，-1，0，1，2，据此预测今年的粮食产量是（ ）。
A 、107B 、102.5C 、108D 、113.57、两变量的线性相关关系为-1，表明两变量之间（ ）。
A 、完全相关B 、无关系C 、不完全相关D 、不存在线性关系 8、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δxy2=-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。
A 、显著正相关B 、低度正相关C 、显著负相关D 、低度负相关9、下面的各问题中，哪一个不是回归分析要解决的问题（ ）。
A 、判断变量之间是否存在关系B 、 判断一个变量的数值的变化对另一个变量的影响B 、描述变量之间关系的强度 D 、判断样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系 10、下面的假定中，哪一个属于相关分析中的假定（ ）。
A 、两个变量之间是非线性关系B 、两个变量都是随检变量C 、自变量是随机变量，因变量不是随机变量D 、一个变量的数值增大，另一个变量的数值也应增大 11、根据你的判断，咸面的相关系数值哪一个是错误的（ ）。
A 、-0.86 B 、0.78 C 、1.25 D 、0 12、变量x 与y 之间负相关，是指（ ）。
A 、x 值增大时y 值也随之增大B 、x 值减少时y 值也随之减少C 、x 值增大时y 值也随之减少，或者x 值减少时y 值也随之增大D 、y 的取值几乎不受x 取值的影响13、已知回归平方和SSR=4584，残差平方和SSE=146，则判定系数R 2=（ ）。
A 、97.08% B 、2.92% C 、3.01% D 、33.25% 14、回归分析中，如果回归平方和所占的比重比较大则（ ）A 、相关程度高B 、相关程度低C 、完全相关D 、完全不相关 15、下列回归方程中肯定错误的是（ ）A 、 65.0,48.015ˆ=-=r x yB 、81.0,35.115ˆ-=--=r x y A 、 42.0,85.025ˆ=+-=r x yB 、96.0,56.3120ˆ-=-=r x y 16、若变量x 与y 之间的相关系数r=0.8，则回归方程的判锁定系数R 2=（ ）。
A 、0.8B 、0.89C 、0.64D 、0.40 17、根据标准化残差图主要用于直观判断（ ）A 、回归模型的线性性关系是否显著B 、回归系数是否显著C 、误差项ε服从正态分布的假定是否成立D 、误差项ε等方差的假定是否成立18、如果误差项ε服从正态分布的假定成立，那么标准化残差图中，大约95%的标准化残差落在（ ）。
A 、-2～+2之间 B 、0～1之间 C 、-1～+1之间 D 、-1～0之间 19、在回归分析中，F 检验主要用来检验（ ）A 、线性关系的显著性B 、回归系数的系数的显著性C 、线性关系的显著性D 、估计标准误差 20、在一元线性回归方程01y x ββ=+中，回归系数1β的实际意义是（ ）。
A 、当x=0时，y 的期望值B 、当x 变动1个单位时，y 的平均变动数量C 、当x 变动1个单位时，y 增加的数量D 、当y 变动1个单位时，x 的平均变动数量 21、对某地区2000—2004年商品零售额资料，以数列中项为原点，商品零售额的直线趋势方成为ˆ61073y t =+，试利用该数学模型预测2006年零售额规模（单位：万元）（ ）。
A 、683万元B 、756万元C 、829万元D 、902万元22、某校对学生的考试成绩和学习时间的关系进行测定，建立了考试成绩倚学习时间的直线回归方程为：ˆ1805yx =-，该方程明显有错，错误在于（ ） A 、0β值的计算有误，1β值是对的 B 、1β值的计算有误，0β值是对的 C 、0β值和1β值的计算都有误 D 、自变量和因变量的关系搞错了23、每一吨铸铁成本（元）倚铸件废品率（%）变动的回归方程为：ˆ568yx =+x y c 856+=，这意味着（ ）A 、废品率每增加1%，成本每吨增加64元B 、 废品率每增加1%，成本每吨增加8%C 、废品率每增加1%，成本每吨增加8元D 、如果废品率增加1%，则每吨成本为56元。
三、多项选择题1、如果两个变量之间有一定的相关性，则以下结论中正确的是 ( )A 、回归系数b 的绝对值大于零B 、判定系数2R 大于零 C 、相关系数r 的绝对值大于0.3 D 、相关系数绝对值大于0.8 E 、判定系数2R 等于零2、指出下列一元线性回归中表述中哪些肯定是错误的（ )，r 为相关系数A 、1.1,3.1100ˆ-=--=r x yB 、8.0,5.2304ˆ=--=r x yC 、6.0,5180ˆ=-=r x yD 、ˆ11.2 1.45,0.785yx r =+=- E 、2ˆ100 1.3, 1.1y x r =-= 3、对于一元线性回归方程的检验，可以（ ）。
A 、 t 检验B 、F 检验C 、 t 检验与F 检验的结论是一致的 D.、t 检验与F 检验的结论是不同的 E 、用判定系数 4、一元线性回归方程中y a bx =+的b 及其符号可以说明（ ）A 、两变量之间相关关系的密切程度B 、两变量之间相关关系的方向C 、当自变量增减一个单位时，因变量的平均增减量D 、因当变量增减一个单位时，自变量的平均增减量E 、回归方程的拟合优度5、在线性回归模型中，如果欲使用最小二乘法，对随机误差的假设有（ ）A 、具有同方差B 、具有异方差C 、期望值为零D 、相互独立E 、具有同分布 6、对两变量进行回归分析时，（ ）。
A 、两变量的关系是对等的B 、两变量的关系是不对等的C 、两变量都是随机变量D 、一变量是自变量，另一变量是因变量E 、一变量是随机变量，另一变量是非随机变量 7、回归分析中，剩余变差占总变差的比重小说明（ ）。
A 、估计标准误小B 、估计标准误大C 、回归直线的代表性大D 、回归直线的代表性小E 、估计的准确度高 8、回归分析中，如果回归平方和所占的比重比较大则（ ）。
A 、相关程度高B 、相关程度低C 、完全相关D 、完全不相关E 、判定系数比较大 9、回归分析中，剩余变差占总变差的比重大说明（ ）。
A 、估计标准误小B 、估计标准误大C 、回归直线的代表性大D 、回归直线的代表性小E 、估计的准确度高 10、估计标准误差是反映（ ）。
A 、回归方程代表性的指标B 、自变量数列离散程度的指标C 、因变量数列离散程度的指标D 、因变量估计值可靠程度的指标E 、自变量可靠程度指标11、单位成本y （单位：元）与产量想（单位：千件）的回归方程y=78-2x ，这表明（ ）。
A 、产量为1000件时，单位成本为76元 B 、产量为1000件时，单位成本为78元 C 、产量每增加1000件时，单位成本平均降低2元D 、产量每增加1000件时，单位成本平均降低78元E 、当单位成本78元时，产量为3000件 13、单位成本y （单位：元）与产量想（单位：百件）的回归方程y=76-1.85x ，这表明（ ）。
A 、产量每增加100件时，单位成本平均下降1.85元B 、产量每减少100件时，单位成本平均下降1.85元C 、产量与单位成本同方向变动D 、产量与单位成本按相反方向变动E 、当产量为200件时，单位成本为72.3元12、反映回归方程x y 10ββ+=好坏的指标有（ ）。
A 、相关系数B 、判定系数C 、估计标准误差D 、1β 的大小 D 、其他 13、在直线回归分析中,确定直线回归方程的两个变量必须是( ).A 、一个是自变量，一个是因变量B 、均为随机变量C 、对等关系D 、一个是随机变量，一个是可控制变量E 、不对等关系四、简答题1、简述相关分析与回归分析的区别与联系？2、某汽车生产商欲了解广告费用x 对销售量y 的影响，收集了过去12年的有关数据。
根据计算得到以下方差分析表，求A 、B 的值，并说明销售量的变差中有多少是由于广告费用的变动引起的？（5.0=α） 变差来源 df SS MS F Significance F 回归 1 1602708.6 1602708.6B 2.17E-09残差 10 40158.07 A 总计111642866.673、某汽车生产商欲了解广告费用x 对销售量y 的影响，收集了过去12年的有关数据。
根据计算得到以下方差分析表，求A 、B 的值，并说明销售量的变差中有多少是由于广告费用的变动引起的？（5.0=α） 变差来源 df SS MS F Significance F 回归 1 1422708.6 1422708.6B 2.17E-09残差 10 220158.07 A 总计111642866.674、简述解释总变差，回归平方和、残差平方和的含义，并说明他们之间的关系。