第三章 图像信号的正交变换
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∞
x(t) =
k =−∞
∑X(kΩ )e
0
jkΩ0t
1 T /2 − jkΩ0t X (kΩ0 ) = ∫ x(t)e dt T −T / 2
• 二、一维傅立叶变换
• 定义：
f (t) = ∫ F(s)e
−∞ ∞ −∞
∞
− j 2πst
ds dt
F(s) = ∫ f (t)e
− j 2πst
• 来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。 • 存在性:被积函数满足 具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。 一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上 述积分不存在，这时，需引入冲激函数，可得：
• 2.二维离散线性变换
• 对于 N× N 点的矩阵的变换：
N−1 N−1 x=0 y=0
F(u, v) = ∑∑ f (x, y)g(x, y, u, v) f (x, y) = ∑∑F(u, v)h(x, y, u, v)
u=0 v=0 N−1 N−1
• 其中g 和h可看作是由 N2 × N2 点的块矩阵：每一行有N块，共有 N行，每一块又是一个 N× N 的矩阵。 • 如果变换核（g 和h）是可分离的，即
X =T Y
• 来得到。
−1
• 如：
1 N−1 F = ∑ fi exp(− j2πki / N) k N i=0 可 写 ： 改 为 F= W 其 f, 中 1 wi,k = exp(− j2πki / N) N 正变换通常看作是一个分解过程：将信号分解成它的各个基元分
•
量，这些基元分量以基向量的形式表示。变换的系数决定了在原 信号中各分量所占的量。 • 反变换看作一个合成过程：通过将各分量相加来合成原始向量。 变换系数决定了为精确、完全重构输入信号而加入的各个分量的 大小。
• 2、采样和插值
p(t) = ∑δ (x − n)
n=−∞
∞
f (t) p(t) = ∑ f (t)δ (t − nT)
n=−∞
∞
• 时域的相乖相当于频域卷积，因此，时域信号的采样相 当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致 频域的周期化。 • 内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品， 逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函 数作卷积。
∞ −∞ ∞ −∞
fo (t) sin 2 st)dt ( π
fe (t) cos(2 st)dt π
• 如果将一个复数的实部和虚部都表示为奇和偶，则可得下述变换 规则： • 1、实的偶部产生实的偶部 • 2、实的奇部产生虚的奇部 • 3、虚的偶部产生虚的偶部 • 4、虚的奇部产生实的奇部 通常，我们输入的图像总是实数，但变换后将产生虚部。
• 3.3离散余弦变换
1. 问题的提出：
Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数 据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到 相同功能但数据量又不大的变换。 在此期望下，产生了DCT变换。
2. 离散余弦变换的定义
一维DCT变换对：
1 N−1 ∑ f (x) F(0) = N x=0 N−1 (2x +1)uπ F(u) = 2 ∑ f (x)cos 2N N x=0 1 2 N−1 (2x +1)uπ f (x) = F(0) + ∑F(u)cos 2N N N u=1
t
• 如果变换矩阵为酉矩阵，则满足：
t 1
P = (P )
t
−1
∗ t
• 更进一步，如果变换矩阵的元素都是实的，则变换矩阵为正交的， 此时：
P = P ,Q = Q 1 1
t
• 大部分情况下，变换矩阵为对称的，则正变换和反变换相同，因 此
F = PfP, f = PFP
• 这样，任何一组正交向量集都可用于一个线性变换，但选择不同 基向量组，将得到不同的变换结果，图像的正交变换的内容就在 于选择合适的图像基函数，以达到不同的用途。 • 将变换的形式写为外积（矢量积）形式，可把图像看作是由基本 图像按一定权值的组合。
−1
1 s ℑ f (at)} = F( ) { a a
• 6、Rayleigh定理（能量不变定理）
∫
∞
−∞
f (t) dt = ∫ F(s) ds
2 2 −∞
∞
• 定理说明：函数的变换不改变能量，并表现了相似定理 表示的意义（当幅值改变时，域也要改变，以保持能量 不变）
• 五、二维离散傅立叶变换
f (t) = cos(2πf0t) 1 F(s) = [δ (s + f0 ) +δ (s − f0 )] 2
在时域和频域抽样，得到离散化的傅立叶变换式（DFT）：
F(u) = ∑ f (k)e
k =0
N− 1
− j 2π uk / N
f (k) = ∑F(u)e
u=0
N− 1
j 2π uk / N
g(x, y, u, v) = P(u, x)Q(v, y) h(x, y, u, v) = P(u, x)Q (v, y) 1 1
• 则二维离散变换可表为：
F(u, v) = ∑∑ f (x, y)P(u, x)Q(v, y)
x=0 y=0
N−1 N−1
f (x, y) = ∑∑F(u, v)P(u, x)Q (v, y) 1 1
• 旋转不变性： • 将函数在空域旋转一角度，则其频谱在频域也旋转相应的角度。 • 投影 将f(x,y)投影到x轴上得到：
p(x) = ∫ f (x, y)dy, 其 氏 傅 傅 变 氏
−∞ ∞
∞
P(u) = ∫
改写为：
−∞ −∞
∫
∞
f (x, y)dye
− j 2πux
dx
P(u) = ∫
∞
−∞ −∞
2、加法定理
ℑ( f (t) + g(t)) = F(s) + G(s)
3、位移定理
ℑ f (t − a)] = e [
− j 2πas
F(s)
• 4、卷积定理
[ ℑ f (t) ∗ g(t)] = F(s)G(s) ℑ (F(s) ∗G(s) = f (t)g(t)
• 通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题， 可变换到另一个域中作处理。 • 5、相似性定理
• 1、定义 • 设一幅图像的长、宽分别为M、N，则
M−1N−1 x=0 y=0 ux vy − j 2π ( + ) M N
1 F(u, v) = M N 1 f (x, y) = M N
∑∑ f (x, y)e
M−1N−1 u=0 v=0
∑∑F(u, v)e
ux vy j 2π ( + ) M N
其 u, k = 0 1..., N-1 中 , ,
• 三、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的关系
1、冲激函数及其性质
定义：
∫
性质： 尺度变换： 筛选性质：
∞
−∞
ห้องสมุดไป่ตู้
δ (x)dx =1
1 δ (at) = δ (t) a ∞ ∫ δ(t −t0)x(t)dt = x(t0)
−∞
与普通函数的卷积
δ (t) ∗ f (t) = f (t)
第三章 图像信号的正交变换
空域法、频域法处理数字图像。正交变换法主要用于图像特征提取、 图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等。一般的变换方式 都是线性的。
• 3.1 线性系统理论
通常用于描述电路和光学系统的行为，为采样、滤波等提供坚实的 数学基础。
一、定义
系统：对信号施以的一种变换。可以是电路系统、光学系统甚至其 他一切对信号影响的实体。 线性移不变系统：具有线性和移不变特性的系统。
u=0 v=0
N−1 N−1
N−1 F(u, v) = ∑P(u, x)∑ f (x, y)Q(v, y) x=0 y=0 N−1 N−1 f (x, y) = ∑P(u, x)∑F(u, v)Q (v, y) 1 1 u=0 v=0
N−1
• 上两式写为矩阵形式：
F = PfQ , f = PFQ 1
• 3、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的联系
• 抽样、截断。
• 四、傅立叶变换的性质
1、对称性： 任何一个函数都可表示为奇、偶两部分。即
f (t) = fe (t) + fo (t) 利 欧 公 ，可 用 拉 式 得 F(s) = F (s) + jF (s) e 0 其 ， F (s) = ∫ 中 o F (s) = ∫ e
∫
∞
f (x, y)e
− j 2π (ux+0 y)
dxdy
= F(u,0)
• 六、实例
• 3.3数字图像的正交基表示
• 傅立叶变换的物理意义？变换的数学本质？
• 1.一维离散线性变换（线性方程组）
yi = ∑ti, j xj
j=0
N−1
Y = TX
• 如果变换矩阵T是非奇异的（？），则原向量可通过逆变换：
• 上机内容： • 1、利用菜单编辑器，编辑一反色菜单项，并编 写代码实现图像的反色。 • 2、编辑一快速傅立叶变换的菜单项，并编写相 应的消息响应函数，调用给定傅立叶变换函数， 实现图像的傅立叶变换。
二、研究线性系统的两种方法
1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应 的调谐输出。 2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信号的卷积 给出对应的输出。
傅立叶变换
• 1、背景 • 1768年出生于法国。 • 傅立叶的思想
• 3.2傅立叶变换
• 一、连续周期函数的傅立叶级数
• 反变换： 反变换：
1 2 N−1 (2y +1)vπ f (x, y) = F(0,0) + ∑F(0, v)cos 2N N N v=1 2 N−1 (2x +1)uπ + ∑F(u,0)cos 2N N u=1 2 N−1 N−1 (2x +1)uπ (2y +1)vπ + ∑∑F(u, v) cos cos N u=1 v=1 2N 2N
3.DCT变换的应用：
余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。 余弦 变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的 JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT 相 似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。
同时，DCT也有快速计算方法。
• 3.4沃尔什变换（walsh）
• 存储空间小、运算速度快。 • 主要用于实时图像处理 • 只包括+1和-1两个数值构成完备正交基。
• 当图像的长宽一致，且同为N时，得：
1 F(u, v) = ∑∑ f (x, y)e N x=0 y=0 1 f (x, y) = ∑∑F(u, v)e N u=0 v=0
• 2、性质：
• 可分离性：
N− N− 1 1
N− N− 1 1
−j
2π (ux+vy) N
j
2π (ux+vy) N
2π x −j uy − j 2πu 1 N F(u, v) = f (x, y)e N e ∑∑ N x=0 y=0 2π 2π N− N− 1 1 j (vy) − j ux 1 N N f (x, y) = e ∑∑F(u, v)e N u=0 v=0 N− N− 1 1
• 二维 二维DCT： ：
1 N−1 N−1 F(0,0) = ∑∑ f (x, y) N x=0 y=0 2 N−1 N−1 (2y +1)vπ F(0, v) = ∑∑ f (x, y)cos 2N N x=0 y=0 2 N−1 N−1 (2x +1)uπ F(u,0) = ∑∑ f (x, y)cos 2N N x=0 y=0 2 N−1 N−1 (2x +1)uπ (2y +1)vπ F(u, v) = ∑∑ f (x, y) cos cos N x=0 y=0 2N 2N
x(t) =
k =−∞
∑X(kΩ )e
0
jkΩ0t
1 T /2 − jkΩ0t X (kΩ0 ) = ∫ x(t)e dt T −T / 2
• 二、一维傅立叶变换
• 定义：
f (t) = ∫ F(s)e
−∞ ∞ −∞
∞
− j 2πst
ds dt
F(s) = ∫ f (t)e
− j 2πst
• 来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。 • 存在性:被积函数满足 具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。 一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上 述积分不存在，这时，需引入冲激函数，可得：
• 2.二维离散线性变换
• 对于 N× N 点的矩阵的变换：
N−1 N−1 x=0 y=0
F(u, v) = ∑∑ f (x, y)g(x, y, u, v) f (x, y) = ∑∑F(u, v)h(x, y, u, v)
u=0 v=0 N−1 N−1
• 其中g 和h可看作是由 N2 × N2 点的块矩阵：每一行有N块，共有 N行，每一块又是一个 N× N 的矩阵。 • 如果变换核（g 和h）是可分离的，即
X =T Y
• 来得到。
−1
• 如：
1 N−1 F = ∑ fi exp(− j2πki / N) k N i=0 可 写 ： 改 为 F= W 其 f, 中 1 wi,k = exp(− j2πki / N) N 正变换通常看作是一个分解过程：将信号分解成它的各个基元分
•
量，这些基元分量以基向量的形式表示。变换的系数决定了在原 信号中各分量所占的量。 • 反变换看作一个合成过程：通过将各分量相加来合成原始向量。 变换系数决定了为精确、完全重构输入信号而加入的各个分量的 大小。
• 2、采样和插值
p(t) = ∑δ (x − n)
n=−∞
∞
f (t) p(t) = ∑ f (t)δ (t − nT)
n=−∞
∞
• 时域的相乖相当于频域卷积，因此，时域信号的采样相 当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致 频域的周期化。 • 内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品， 逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函 数作卷积。
∞ −∞ ∞ −∞
fo (t) sin 2 st)dt ( π
fe (t) cos(2 st)dt π
• 如果将一个复数的实部和虚部都表示为奇和偶，则可得下述变换 规则： • 1、实的偶部产生实的偶部 • 2、实的奇部产生虚的奇部 • 3、虚的偶部产生虚的偶部 • 4、虚的奇部产生实的奇部 通常，我们输入的图像总是实数，但变换后将产生虚部。
• 3.3离散余弦变换
1. 问题的提出：
Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数 据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到 相同功能但数据量又不大的变换。 在此期望下，产生了DCT变换。
2. 离散余弦变换的定义
一维DCT变换对：
1 N−1 ∑ f (x) F(0) = N x=0 N−1 (2x +1)uπ F(u) = 2 ∑ f (x)cos 2N N x=0 1 2 N−1 (2x +1)uπ f (x) = F(0) + ∑F(u)cos 2N N N u=1
t
• 如果变换矩阵为酉矩阵，则满足：
t 1
P = (P )
t
−1
∗ t
• 更进一步，如果变换矩阵的元素都是实的，则变换矩阵为正交的， 此时：
P = P ,Q = Q 1 1
t
• 大部分情况下，变换矩阵为对称的，则正变换和反变换相同，因 此
F = PfP, f = PFP
• 这样，任何一组正交向量集都可用于一个线性变换，但选择不同 基向量组，将得到不同的变换结果，图像的正交变换的内容就在 于选择合适的图像基函数，以达到不同的用途。 • 将变换的形式写为外积（矢量积）形式，可把图像看作是由基本 图像按一定权值的组合。
−1
1 s ℑ f (at)} = F( ) { a a
• 6、Rayleigh定理（能量不变定理）
∫
∞
−∞
f (t) dt = ∫ F(s) ds
2 2 −∞
∞
• 定理说明：函数的变换不改变能量，并表现了相似定理 表示的意义（当幅值改变时，域也要改变，以保持能量 不变）
• 五、二维离散傅立叶变换
f (t) = cos(2πf0t) 1 F(s) = [δ (s + f0 ) +δ (s − f0 )] 2
在时域和频域抽样，得到离散化的傅立叶变换式（DFT）：
F(u) = ∑ f (k)e
k =0
N− 1
− j 2π uk / N
f (k) = ∑F(u)e
u=0
N− 1
j 2π uk / N
g(x, y, u, v) = P(u, x)Q(v, y) h(x, y, u, v) = P(u, x)Q (v, y) 1 1
• 则二维离散变换可表为：
F(u, v) = ∑∑ f (x, y)P(u, x)Q(v, y)
x=0 y=0
N−1 N−1
f (x, y) = ∑∑F(u, v)P(u, x)Q (v, y) 1 1
• 旋转不变性： • 将函数在空域旋转一角度，则其频谱在频域也旋转相应的角度。 • 投影 将f(x,y)投影到x轴上得到：
p(x) = ∫ f (x, y)dy, 其 氏 傅 傅 变 氏
−∞ ∞
∞
P(u) = ∫
改写为：
−∞ −∞
∫
∞
f (x, y)dye
− j 2πux
dx
P(u) = ∫
∞
−∞ −∞
2、加法定理
ℑ( f (t) + g(t)) = F(s) + G(s)
3、位移定理
ℑ f (t − a)] = e [
− j 2πas
F(s)
• 4、卷积定理
[ ℑ f (t) ∗ g(t)] = F(s)G(s) ℑ (F(s) ∗G(s) = f (t)g(t)
• 通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题， 可变换到另一个域中作处理。 • 5、相似性定理
• 1、定义 • 设一幅图像的长、宽分别为M、N，则
M−1N−1 x=0 y=0 ux vy − j 2π ( + ) M N
1 F(u, v) = M N 1 f (x, y) = M N
∑∑ f (x, y)e
M−1N−1 u=0 v=0
∑∑F(u, v)e
ux vy j 2π ( + ) M N
其 u, k = 0 1..., N-1 中 , ,
• 三、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的关系
1、冲激函数及其性质
定义：
∫
性质： 尺度变换： 筛选性质：
∞
−∞
ห้องสมุดไป่ตู้
δ (x)dx =1
1 δ (at) = δ (t) a ∞ ∫ δ(t −t0)x(t)dt = x(t0)
−∞
与普通函数的卷积
δ (t) ∗ f (t) = f (t)
第三章 图像信号的正交变换
空域法、频域法处理数字图像。正交变换法主要用于图像特征提取、 图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等。一般的变换方式 都是线性的。
• 3.1 线性系统理论
通常用于描述电路和光学系统的行为，为采样、滤波等提供坚实的 数学基础。
一、定义
系统：对信号施以的一种变换。可以是电路系统、光学系统甚至其 他一切对信号影响的实体。 线性移不变系统：具有线性和移不变特性的系统。
u=0 v=0
N−1 N−1
N−1 F(u, v) = ∑P(u, x)∑ f (x, y)Q(v, y) x=0 y=0 N−1 N−1 f (x, y) = ∑P(u, x)∑F(u, v)Q (v, y) 1 1 u=0 v=0
N−1
• 上两式写为矩阵形式：
F = PfQ , f = PFQ 1
• 3、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的联系
• 抽样、截断。
• 四、傅立叶变换的性质
1、对称性： 任何一个函数都可表示为奇、偶两部分。即
f (t) = fe (t) + fo (t) 利 欧 公 ，可 用 拉 式 得 F(s) = F (s) + jF (s) e 0 其 ， F (s) = ∫ 中 o F (s) = ∫ e
∫
∞
f (x, y)e
− j 2π (ux+0 y)
dxdy
= F(u,0)
• 六、实例
• 3.3数字图像的正交基表示
• 傅立叶变换的物理意义？变换的数学本质？
• 1.一维离散线性变换（线性方程组）
yi = ∑ti, j xj
j=0
N−1
Y = TX
• 如果变换矩阵T是非奇异的（？），则原向量可通过逆变换：
• 上机内容： • 1、利用菜单编辑器，编辑一反色菜单项，并编 写代码实现图像的反色。 • 2、编辑一快速傅立叶变换的菜单项，并编写相 应的消息响应函数，调用给定傅立叶变换函数， 实现图像的傅立叶变换。
二、研究线性系统的两种方法
1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应 的调谐输出。 2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信号的卷积 给出对应的输出。
傅立叶变换
• 1、背景 • 1768年出生于法国。 • 傅立叶的思想
• 3.2傅立叶变换
• 一、连续周期函数的傅立叶级数
• 反变换： 反变换：
1 2 N−1 (2y +1)vπ f (x, y) = F(0,0) + ∑F(0, v)cos 2N N N v=1 2 N−1 (2x +1)uπ + ∑F(u,0)cos 2N N u=1 2 N−1 N−1 (2x +1)uπ (2y +1)vπ + ∑∑F(u, v) cos cos N u=1 v=1 2N 2N
3.DCT变换的应用：
余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。 余弦 变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的 JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT 相 似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。
同时，DCT也有快速计算方法。
• 3.4沃尔什变换（walsh）
• 存储空间小、运算速度快。 • 主要用于实时图像处理 • 只包括+1和-1两个数值构成完备正交基。
• 当图像的长宽一致，且同为N时，得：
1 F(u, v) = ∑∑ f (x, y)e N x=0 y=0 1 f (x, y) = ∑∑F(u, v)e N u=0 v=0
• 2、性质：
• 可分离性：
N− N− 1 1
N− N− 1 1
−j
2π (ux+vy) N
j
2π (ux+vy) N
2π x −j uy − j 2πu 1 N F(u, v) = f (x, y)e N e ∑∑ N x=0 y=0 2π 2π N− N− 1 1 j (vy) − j ux 1 N N f (x, y) = e ∑∑F(u, v)e N u=0 v=0 N− N− 1 1
• 二维 二维DCT： ：
1 N−1 N−1 F(0,0) = ∑∑ f (x, y) N x=0 y=0 2 N−1 N−1 (2y +1)vπ F(0, v) = ∑∑ f (x, y)cos 2N N x=0 y=0 2 N−1 N−1 (2x +1)uπ F(u,0) = ∑∑ f (x, y)cos 2N N x=0 y=0 2 N−1 N−1 (2x +1)uπ (2y +1)vπ F(u, v) = ∑∑ f (x, y) cos cos N x=0 y=0 2N 2N