数学极限的求法

数学极限的求法常见:夹逼准则, 无穷小量的性质,两个重要极限，等价无穷小，洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式。

后四种不常见。

另外求代数式极限可参见课本P48上。

证明极限用定义证。

1：利用等价无穷小代换求极限当x 趋于0时等价，例如x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x ex n x ax x x x x x x x x x n a 1~,~1)1(,21~cos 1,~arcsin ,~tan ,~sin 2+-+-当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。

例：求4303lim (sin )2x x x x →+解：sin 22x x∴4303lim (sin )2x x x x →+＝ 4303lim ()2x x x x →+＝ 4330lim 8x x x x→+＝82：利用极限的四则运算性质求极限进行恒等变形，例如分子分母约去趋于零但不等于零的因式；分子分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。

例；求极限(1)2211lim 21x x x x →---(2)32lim3x x →-- (3)3113lim()11x x x →--++ (4) 已知111,1223(1)n x n n =+++⨯⨯-⨯求lim n n x →∞解：(1) 2211lim 21x x x x →---＝1(1)(1)lim (1)(21)x x x x x →+--+=11lim 21x x x→++＝23(2)（2）＝3x →＝3x →＝14 (3)3113lim ()11x x x →--++ ＝2312lim 1x x x x →---+＝21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-+-+＝212lim 1x x x x →---+＝-1(4) 因为111,1223(1)n x n n =+++⨯⨯-⨯111111111122334411n n n=-+-+-+--+---11n =-所以 1lim lim(1)1n n n x n →∞→∞=-=3：利用两个重要极限公式求极限(1) 0sin 1limlim sin 1x x x x x x →→∞==(2)101lim(1)lim(1)xx x x x ex →∞→+=+=例：求下列函数的极限[4](1)230lim lim cos cos cos cos2222n n n x x x x →→∞⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(2)22lim(1)mm n m →∞-（3）)1,0(,)(lim 1≠>+→a a a x xx x解：(1)23cos cos cos cos2222n x x x x＝231sin cos cos cos cossin 222222sin 2n nn x x xx xx x＝1sin 2sin 2nnxx23lim cos cos cos cos2222n n x x xx→∞＝1 limsin 2sin2n n nx x→∞sin =lim 2sin2n n n x x→∞＝sin x x∴230lim lim cos cos cos cos2222n x n x x x x →→∞⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭＝0lim x →sin xx ＝1(2) 22lim(1)mm n m →∞-＝22222()2lim(1)m n m n m m n m --→∞-＝2222()2lim(1)m n mn m n m--→∞-＝0e ＝1（3）xx x xa a 10)1(lim -→+=x x a xaxx xa a ---→+=1)1(limxx xa xa xx xa a -→--→+⋅=0lim 10])1(lim [ae e a =⋅=1.4.利用两个准则求极限。

(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a→∞= .利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。

例1.n x =++,求n x 的极限解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项.......n x ≥+=.......n x ≤+=n x ≤≤又因为lim1x x →∞==lim 1n x x →∞=（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限。

123,n y y y y a a a a====++++ 证明：从这个数列构造来看n y 显然是单调增加的。

用归纳法可证。

又因为23,n y y y ===所以得21nn y a y -=+. 因为前面证明n y 是单调增加的。

两端除以 n y 得1n nay y <+因为1n y y ≥=则na y ≤,从而11n ay +≤+1n y ≤≤+即 n y 是有界的。

根据定理{}n y 有极限，而且极限唯一。

令 lim n n y l→∞= 则 21lim lim()n n n n y y a -→∞→∞=+则2l l a =+. 因为 0,n y >解方程得12l +=所以1lim 2n n y l →∞+==洛必达法则只能对00或∞∞型才可直接使用，其他待定型如00,1,0,,0∞∞-∞∞•∞必可以化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则//()lim ()f x g x =()lim ()f x g x = A.∞•0可以通过∞∞=∞=∞11000或，∞-∞通分化为0000101-=-，后面两个幂的形式通过取对数来变化。

例[1]：(1) 求0ln sin limln sin x mxnx →(2)求0lim xx x +→解：(1) 由0limlnsin limlnsin x x mx nx →→==-∞所以上述极限是∞∞待定型，则0ln sin lim ln sin x mx nx →＝0cos sin lim cos sin x m mx nx n nx mx →⋅⋅⋅＝0sin limsin x m nxn mx→⋅＝1(2) 0lim xx x +→它为00型由对数恒等式可得ln x x x x e =0lim xx x+→=0lim ln x x xe→+00ln lim ln lim1x x xx x x ++→→⋅==0lim xx x +→＝01e =如果//()lim ()f x g x 不存在时，并不能断定()lim ()f x g x 也不存在，只是这时不能用洛必达法则。

例xx xx x cos 3sin 2lim+-∞→解：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：x x x sin 3cos 21lim --∞→，此极限 不存在，而原来极限却是存在的。

正确做法如下：原式=xxxxx cos 3sin 21lim +-∞→ （分子、分母同时除以x ）=316：利用单侧极限相等求极限用于求分段函数在分段点处的极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。

例：x>0 x 021sin ,()1,x f x xx ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩ 求 f(x)在x=0的左右极限 解：01lim sin x x x +→⋅＝1 01lim sin x x x -→⋅＝100lim ()lim ()1x x f x f x +-→→== 0lim ()1x f x →=7：利用函数的连续性求极限用于直接将值带入函数或求复合函数的极限。

如果 u=g(x) 在点0x 连续 g(0x )=0u ,而y=f(u)在点0x 连续，那么复合函数y=f(g(x))在点0x 连续。

即0lim (())(())(lim ())x x x x f g x f g x f g x →→==，极限号0limx x →可以与符号f 互换顺序。

例：求1lim ln(1)xx x →∞+ 解：令 y ＝u ln ,则xx u )11(+= 因为u ln 在点 01lim ln(1)x x u ex →∞=+= 处连续 所以 1lim ln(1)xx x →∞+ ＝1ln lim(1)x x x →∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ ＝ln e ＝18：利用无穷小量的性质求极限：可以处理一个有界函数和无穷小的乘积是无穷小类的问题。

例：求sin limx xx →∞解： 因为 sin 1x ≤ 1lim0x x →∞=所以 sin limx xx →∞＝09：换元法求极限：当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。

例：[3] 求11limln x x x x x →-解：令 1xt x =- 则 ln ln(1)x t =+11lim ln x x x x x →-＝0limln(1)t t t →+＝01limln(1)t t t →+＝1例),(11lim 1N n m xx mnx ∈--→.解（变量替换法）令mn x t =，则当1→x 时，.1→t 于是,原式nmt t t t t t t t t t n m t n m t =++++-++++-=--=--→→)1)(1()1)(1(lim 11lim121211 . 例xx x x )1(lim -+∞→.解（变量替换法）令+∞→+∞→=t x t x ,,，原式t t t t t t t t t t )11(lim )1(lim 22+⋅-=-=∞→∞→t t tt ])11()11[(lim 11--∞→-⋅+= t t t tt --∞→-⋅+=)11()11(lim 101==⋅=-e e e .10：利用中值定理求极限：1：微分中值定理：若函数 f(x) 满足(i ) 在[],a b 连续 .(ii )在(a,b)可导则在(a,b)内至少存在一点ξ，使)()()()(ξf a b a f b f '-=-，或a b a f b f f --=')()()(ξ例[2]：求30sin(sin )sin limx x xx →-解： ()01θ<<[]sin(sin )sin (sin )cos (sin )x x x x x x x θ-=-⋅⋅-+30sin(sin )sin limx x x x →-＝[]3(sin )cos (sin )limx x x x x x x θ→-⋅⋅-+＝20cos 1cos 0lim3x x x →-⋅＝0sin lim6x xx →-＝16-2：积分中值定理：设函数f(x) 在闭区间 [],a b 上连续;g(x) 在[],a b 上不变号且可积，则在[],a b 上至少有一点ξ使得()()()()bbaaf xg x f g x dxξ⋅=⋅⎰⎰()a b ξ≤≤例：求 40lim sin n n xdxπ→∞⎰解： 40lim sin n n xdxπ→∞⎰＝lim (0)4nn six πξ→∞⋅⋅-04πξ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭＝lim(sin )4nn πξ→∞0=11：利用泰勒展开式求极限泰勒展开式：若 f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数,那么()()///2()()(0)(0)()2!!n n n f x f x f x f f x x x R x n =+++++()11()()(1)!n n n f R x xn ξ++=+ (其中ξ在0与1之间)例：[]1 2240cos limx x x ex -→-解：泰勒展开式244cos 10()2!4!x x x x =-++222242110()22!2x x x ex -⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是cos x -22x e-＝4410()12x x -+ 所以2240cos limx x x ex -→-＝0limx →44410()12x x x -+＝112-12：利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，,x ∀则00()()y f x x f x =+-如果0000()()limlim x x f x x f x yx x →→+-=存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 0x 的导数，记为/0()f x .即/0000()()()limx f x x f x f x x →+-=在这种方法的运用过程中。