概率统计作业解答

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 《概率论与数理统计》作业解答
第一章 概率论的基本概念习题（P24-28）
1. 写出下列随机试验的样本空间S ：
(1) 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）.
(2) 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数.
(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品，就停止检查，或检查了4件产品就停止检查. 记录检查的结果.
(4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.
分析 要写出随机试验的样本空间，就要明确所有的样本点，即随机试验时直接产生的所有可能的结果.
解 (1) 我们考察一个班数学考试平均分的所有可能. 为此，我们先明确平均分的计算：全班的总分除以班级学生数.
设该班有n 个学生，则全班总分的所有可能为0到100n 的所有整数i . 其平均分为i n . 故，所求样本空间为：:1,2,,100i S i n n ⎧⎫==⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭
. (2) 由已知，生产的件数至少为10（刚开始生产的10件均为正品），此后，可以取大于等于10的所有整数. 故所求样本空间为：{}10,11,12,S =⋅⋅⋅.
(3) 若记0＝“检查的产品为次品”，1＝“检查的产品正品”，0，1从左到右按检查的顺序排列，则所求样本空间为：
(5) 所求样本空间为：{}
22(,):1S x y x y =+<
2. 设,,A B C 为三个事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件：
(1) A 发生，B 与C 不发生.
(2) A 与B 都发生，而C 不发生.
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(3) ,,A B C 至少有一个发生.
(4) ,,A B C 都发生.
(5) ,,A B C 都不发生.
(6) ,,A B C 不多于一个发生.
(7) ,,A B C 不多于两个发生.
(8) ,,A B C 至少有两个发生.
分析 本题只要掌握事件运算的概念即可解决.
解 (1) “A 发生，B 与C 不发生”＝A B C --(或ABC )
(2) “A 与B 都发生，而C 不发生.”＝AB C -(或ABC )
(3) “,,A B C 至少有一个发生”＝A B C ++.
(4) “,,A B C 都发生”＝ABC
(5) “,,A B C 都不发生”＝ABC
(6) “,,A B C 不多于一个发生”＝ABC ABC ABC ABC +++
(7) “,,A B C 不多于两个发生”＝ABC
(8) “,,A B C 至少有两个发生”＝AB AC BC ++.
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第二章 随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
分析 本题只要掌握随机变量独立性概念及公式：
,)~ (,)X Y f x y Z X Y ⇒=+（的密度为：
解 由已知，112()e e e ,,1,,)~ (,)0,x y x y x y X Y f x y ---+⎧⋅=>=⎨⎩其它
（ 故2(())21111()(,)d e d e d x z x z Z x x z x x z f z f x z x x x x +∞
-+---∞><-><-=-==⎰⎰⎰
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第四章 随机变量的数字特征（P110-115）
分析 本题只要掌握下列有关公式：
XY ρ=(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-⋅ 可见，要先求,X Y 的一阶矩和二阶矩. 为此，可以先求,X Y 的边缘密度.
2011()d (1),02, () (,)d 840,Y x y x y y f y f x y x +∞
-∞⎧+=+⎪==⎨⎪⎩⎰⎰≤≤其它 222232*********() ()d d ()d 444326x E X x f x x x x x x x x x +∞-∞
+⎡⎤===+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 22
22223243000111115() ()d d ()d 444433
x E X x f x x x x x x x x x +∞-∞+⎡⎤===+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故222
5711()()()3636
D X
E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 同理，由对称性得，7()6E Y =，25()3
E Y =，11()36D Y =. 故4771(,)()()()=36636
Cov X Y E XY E X E Y =-⋅-⨯=- 111115()()()2(,)23636369D X Y D X D Y Cov X Y ⎛⎫+=++=++⨯-= ⎪⎝⎭. 注 本题中，由于 () ()(,)X Y f x f y f x y ⋅=，故,X Y 不相互独立.
注本题中，若联合密度改为联合分布律：X Y01
01/61/3
11/31/6
，重算结果.
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第五章 大数定律及中心极限定理
知识点复习
1. 若12,,,,n X X X ⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列，2(),()i i E X D X μσ==，则当n 充分大时，
12n X X X +++近似服从正态分布2(,)N n n μσ.
2. 由于~(,)X B n p ⇒12n X X X X =+++其中~(1,),1,i X B p i n =且相互独立，(),(),(1)i i E X p D X pq q p ===-. 故由如上中心极限定理得：
当n 充分大时，~(,)X B n p ⇒X 近似服从正态分布(,)N np npq .
第六章 样本及抽样分布
知识点复习
3. 若12,,
,n X X X 是来自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本，则其样本均值2
~(,)X N n σμ.
4. 若12,,
,n X X X 是来自标准正态总体~(0,1)X N 的一个样本，则称统计量222212n X X X χ=++⋅⋅⋅+为自由度为n 的2χ统计量，记为
5. 若12,,,,n X X X Y 是来自标准正态总体~(0,1)X N 的一个样本，则称统
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计量T =为自由度为n 的t 统计量，记为~()T t n
8文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 第七章 参数估计
2. 设总体X
概率密度为1,01, ()0,x f x =⎪⎩其它,
≤≤其中(0)θ>为未知参数，12,,,n x x x 是来自总体X 的样本12,,,n X X X 的观察值，试求未知参数θ的
（1）矩估计量；（2）极大似然估计值.
解：（1）由矩估计法，令
即得参数θ的矩估计量.
（2）由已知，观察值：120,,,n x x x ≤≤1，故 似然函数为12() () () ()n L f x f x f x θ=⋅⋅⋅
112(n n x x x =⋅⋅⋅达最大，
即取自然对数后： ()ln ()g L θθ
=12ln 1)ln()2
n n x x x θ=+-⋅⋅⋅达最大 得唯一驻点2212ˆln ()n n x x x θ=（即最值点）即为参数θ的0极大似然估计值.。