数项级数的审敛法
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4(1 cos r 2 ) 2 r4 而 lim lim r 0 r 0 r 6 r6
故
2 r 1 cos r 2 ~ 2
2
机动
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三、求方向导数，求偏导数， 隐函数求二阶偏导， 求曲面的切平面或法线方程， 二元函数最大最小值应用题
多元函数微分法
1. 分析复合结构
为a 与b 的数量积 (点积) .
机动
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结束
b 在 a 上的投影为
b
a b a 同理 ,当 b 0 时,
故
2. 性质
记作
Pr ja
b Pr ja
b
a 0, b 0
则 a b 0
(1) a a (2) a , b 为两个非零向量, 则有
显示结构
隐式结构
(画变量关系图)
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
注意正确使用求导符号
3. 利用一阶微分形式不变性
例2. 设
有一阶导数或偏导数, 求
(99 考研)
其中 f 与F分别具
解法1 方程两边对 x 求导, 得
2 sin( x y) x2 y 1 x 0 0. 2 2 0, lim x 2 2 x 0 x y x y 2 y 0
若当点 P( x, y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 不存在 .
xy 例5. 讨论函数 f ( x, y ) 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
k x2 k lim f ( x, y ) lim 2 2 2 x 0 x 0 x k x 1 k 2
y kx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例. 求
ຫໍສະໝຸດ Baidu
此函数定义域 不包括 x , y 轴
2 2 2 2 2 2 则 ( x y ) , 解: 因 x 2 y 2 1 令 r x y , 4
4 (1 cos r ) r6
例 3. 设
f 33 f 32 1 2 f 3 2 x cos t x x y
2 x (2 x sin t cos t ) x y ( x y ) cos t 1 ( x y) 2
例3.
例3. •
设
求
y y xz x y 1 f1 1 f 2 z z y 1 f1 x y f 2 f1 xz f 2 z
例3.
设
求
解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
z f ( x y z , x yz)
解
sin( x 2 y ) lim 2 x0 x y 2 y0
sin( x 2 y) x 2 y lim 2 , 2 2 x 0 x y x y y0
sin( x 2 y ) u x 2 y sin u lim lim 1, 其中 x 0 2 x y u0 u y0
dy dz xf f xf dx dx dy dz F2 F3 F1 dx dx dz dx
x f f x f f f F2 F2 F1 x F1 f x F2 x f 1 x f F3 F2 F2 F3 0) ( x f F3 F2
sn0
sn sin s n
m A n B pC 0
L
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二、二元函数极限计算
例.求 lim 解: 原式
x 0 y 0
xy 1 1 . xy
1 1 lim x 0 x y 1 1 2
y 0
机动
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sin( x 2 y ) . 例 求极限 lim 2 2 x 0 x y y0
高等数学A复习2011.6
一、向量在另一向量上的投 影，直线与平面关系。
两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
记作
M1
s
W Fs
M2
a b
z x f ( x y) , F ( x, y, z ) 0
解法2 方程两边求微分, 得
化简
x f d y
dy F2
消去 d y 即可得
有二阶连续偏导数, 且 u 2u u , . 求 x xy x y z 1 u 解: f1 f 3 ( ) x y x x t 1 2u f13 ( ) f12 x y x y xy
设
求
z z z yz x y f1 1 f 2 • x x x f1 y z f 2 z x 1 f1 x y f 2 x x y z xz • 0 f1 1 f 2 y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
a b 0
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面与线间的关系
平面 : A x B y C z D 0, n ( A , B , C ) xx y y zz 直线 L : , s (m , n , p) m n p m n p L⊥ sn0 A B C L // 夹角公式：
故
2 r 1 cos r 2 ~ 2
2
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三、求方向导数，求偏导数， 隐函数求二阶偏导， 求曲面的切平面或法线方程， 二元函数最大最小值应用题
多元函数微分法
1. 分析复合结构
为a 与b 的数量积 (点积) .
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b 在 a 上的投影为
b
a b a 同理 ,当 b 0 时,
故
2. 性质
记作
Pr ja
b Pr ja
b
a 0, b 0
则 a b 0
(1) a a (2) a , b 为两个非零向量, 则有
显示结构
隐式结构
(画变量关系图)
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
注意正确使用求导符号
3. 利用一阶微分形式不变性
例2. 设
有一阶导数或偏导数, 求
(99 考研)
其中 f 与F分别具
解法1 方程两边对 x 求导, 得
2 sin( x y) x2 y 1 x 0 0. 2 2 0, lim x 2 2 x 0 x y x y 2 y 0
若当点 P( x, y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 不存在 .
xy 例5. 讨论函数 f ( x, y ) 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
k x2 k lim f ( x, y ) lim 2 2 2 x 0 x 0 x k x 1 k 2
y kx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
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例. 求
ຫໍສະໝຸດ Baidu
此函数定义域 不包括 x , y 轴
2 2 2 2 2 2 则 ( x y ) , 解: 因 x 2 y 2 1 令 r x y , 4
4 (1 cos r ) r6
例 3. 设
f 33 f 32 1 2 f 3 2 x cos t x x y
2 x (2 x sin t cos t ) x y ( x y ) cos t 1 ( x y) 2
例3.
例3. •
设
求
y y xz x y 1 f1 1 f 2 z z y 1 f1 x y f 2 f1 xz f 2 z
例3.
设
求
解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
z f ( x y z , x yz)
解
sin( x 2 y ) lim 2 x0 x y 2 y0
sin( x 2 y) x 2 y lim 2 , 2 2 x 0 x y x y y0
sin( x 2 y ) u x 2 y sin u lim lim 1, 其中 x 0 2 x y u0 u y0
dy dz xf f xf dx dx dy dz F2 F3 F1 dx dx dz dx
x f f x f f f F2 F2 F1 x F1 f x F2 x f 1 x f F3 F2 F2 F3 0) ( x f F3 F2
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m A n B pC 0
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二、二元函数极限计算
例.求 lim 解: 原式
x 0 y 0
xy 1 1 . xy
1 1 lim x 0 x y 1 1 2
y 0
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sin( x 2 y ) . 例 求极限 lim 2 2 x 0 x y y0
高等数学A复习2011.6
一、向量在另一向量上的投 影，直线与平面关系。
两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
记作
M1
s
W Fs
M2
a b
z x f ( x y) , F ( x, y, z ) 0
解法2 方程两边求微分, 得
化简
x f d y
dy F2
消去 d y 即可得
有二阶连续偏导数, 且 u 2u u , . 求 x xy x y z 1 u 解: f1 f 3 ( ) x y x x t 1 2u f13 ( ) f12 x y x y xy
设
求
z z z yz x y f1 1 f 2 • x x x f1 y z f 2 z x 1 f1 x y f 2 x x y z xz • 0 f1 1 f 2 y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
a b 0
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面与线间的关系
平面 : A x B y C z D 0, n ( A , B , C ) xx y y zz 直线 L : , s (m , n , p) m n p m n p L⊥ sn0 A B C L // 夹角公式：