江西名校学术联盟2019届高三上学期教学质量检测考试(二)数学理
2019届江西名校学术联盟高三年级教学质量检测(12月联考)考试(二)数学(文)试题(解析版)
2019届江西名校学术联盟高三年级教学质量检测（12月联考）考试（二）数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】先解不等式求解集合B，再利用交集的定义求解即可.【详解】因为,，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2．的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】根据诱导公式化简求解即可.【详解】===，故选A.【点睛】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题.3．已知向量，，若，则的值为A．2 B．8 C．-2 D．-8【答案】C【解析】由可知两向量共线，利用共线向量的坐标表示即可得解.【详解】由得共线，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.4．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】先求的中点坐标得圆心，再由圆心到点A的距离得半径，从而得圆的方程.【详解】圆心为的中点，半径为，则以线段为直径的圆的方程为.故选D.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，属于基础题.5．已知命题：若，则；命题：在上是增函数，则下列命题中的真命题是A．B．C．D．【答案】C【解析】由不等式的性质可判断p是假命题，再由函数的奇偶性和单调性可判断q是真命题，从而可得选项.【详解】由，可得，所以p是假命题，为奇函数，且当时，为增函数，所以在上是增函数，q是真命题，所以真命题，故选C.【点睛】本题主要考查了或且非命题的真假判断，涉及到了不等式的性质及函数的性质，属于基础题.6．三国时期数学家刘徽，创立割圆术（即用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法），为圆周率的研究提供了科学的方法，他运用割圆术得出圆周率为3.1416.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】分别求得正十二边形和圆的面积，利用几何概型公式求解即可.【详解】半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，所以该正十二边形的面积为，所以所求概率，故选B.【点睛】本题主要考查了面积型的几何概型的计算，属于基础题.7．在平行四边形中，，，，点为的中点，则A．B．C．0 D．-2【答案】B【解析】根据向量的运算将条件变形为，从而根据条件即可得解.【详解】==，故选B.【点睛】本题主要考查了数量积的运算，利用向量的加减法将平面向量转化为基底的数量积运算，属于基础题.8．已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】先求得等比数列的首项和公比，得到，分析数列的单调性得到的最值，从而列不等式求解即可.【详解】由，得，当时，取最大值1，当时，取最小值，所以，，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.9．函数的图像大致为A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数解析式可得，再取特殊值和比较大小，利用排除法即可得选项.【详解】由，可排除B，D，由，，可得，由此可排除A，故选C.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复；（5）取特殊函数值进行排除．10．如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A．B．C．D．【答案】B【解析】将三视图还原成四棱柱即可得解.【详解】该几何体是四棱柱，底面是边长为1的正方形，侧棱长为,故选B.【点睛】由三视图还原几何体时应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．11．已知是函数在上的唯一极值点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】求函数导数，由条件可得x时，即，设，求函数最小值即可得解.【详解】由，得，因为是函数在上的唯一极值点，则时，即，设，则，所以，所以a≤e，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值及恒成立问题的处理，一般地，对于不等式恒成立我们常用的方法为：变量分离，通过变量分离转化为参数与函数最值得关系，属于中档题.12．已知椭圆：的右焦点为，点，若点是椭圆上的动点，则周长的最大值为A．B．17 C．30 D．【答案】D【解析】取椭圆C的左焦点为，利用△PQF的周长=即可得解.【详解】设椭圆C的左焦点为，则△PQF的周长==12+5+=17+,当点Q为的延长线与椭圆C的交点时取等号，故选D.【点睛】本题主要考查了利用椭圆的定义求解最值问题，涉及到了“化曲为直”的数学思想，属于基础题.二、填空题13．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由渐近线方程可得，利用即可得解.【详解】由双曲线C的一条渐近线的方程为，得，所以双曲线C的离心率.故答案为：.【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线与离心率的计算，属于基础题.14．已知变量，满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出不等式的可行域，表示点与定点连线的斜率，利用数形结合即可得解.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中，表示点与定点连线的斜率，由图可知点B与连线的斜率最小为.故答案为：.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.15．若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由基本不等式可得，结合对数函数的单调性可求解.【详解】由，可得，结合，可得，由，得，所以.【点睛】本题主要考查了基本不等式和对数函数单调性的应用，属于基础题.16．在三棱锥中，与都是边长为1的正三角形，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________．【答案】【解析】易知当平面ABC与平面BCD垂直时三棱锥的体积最大，分别过与的中心做面的垂线即可得外接球的球心，再分析几何特征求即可得球半径，从而得解.【详解】如图所示,当平面ABC与平面BCD垂直时三棱锥的体积最大，此时过三角形ABC 的中心E作平面ABC的垂线，过三角形BCD的中心F作平面BCD的垂线，两垂线交于点O，则O为三棱锥的外接球的球心，设平面EOF与BC交于点G，则四边形EOFG为正方形，且OE=，OG=，，所以=，即三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.三、解答题17．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2） .【解析】（1）由条件可得，从而可得通项公式；（2）先求，从而得，利用裂项求和求解即可.【详解】(1)设等差数列的公差为d，由，得，即，解得所以.（2）由，得，所以.所以==.【点睛】本题主要考查了利用等差数列的基本量运算求解通项公式及裂项求和的方法求数列的前n项和，属于基础题.18．已知函数.（1）求图像的对称轴方程；（2）是否存在实数，使得在上递减？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）对称轴方程是；（2）.【解析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数得，（1）由，可求解对称轴方程；（2）由，求解函数的减区间，再由集合的包含关系即可得范围.【详解】==.（1）由得，，所以图象的对称轴方程是.(2)由得，所以的递减区间是，取，得在上递减，因为，所以当时在上递减，即t的取值范围是.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.19．如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）连接AF，与CD交于点H，连接GH，由中位线定理可得BF∥GH，从而得证；（2）由点H为AF的中点，可知点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，再利用，即可得解.【详解】(1)连接AF，与CD交于点H，连接GH，则GH为△ABF的中位线，所以BF∥GH，又BF平面CDG，GH⊂平面CDG，所以BF∥平面CDG.(2)由点H为AF的中点，且点平面CDG可知，点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，由四边形是正方形，，可得是三棱锥的高，由题意得，，所以，在△CDG中，，设点A到平面CDG的距离为h，则，由得，，所以点F到平面CDG的距离为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．在中，角，，的对边分别为，，且.（1）求角；（2）若角的平分线与交于点，且，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理及化简可得，从而得解；（2）由△ABD的面积和△CBD的面积等于△ABC的面积，列方程得，再结合余弦定理即可得.【详解】(1)由及正弦定理可得，即,整理得，因为,,所以,.(2)由及角B的平分线与AC交于点D,可得．因为BD=3,所以△ABD的面积=,同理可得△CBD的面积=,又△ABC的面积,所以,即.在△ABC中，由余弦定理得,=，所以,即，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理余弦定理及三角形面积公式的应用，着重考查了学生的转化与化归的能力，属于中档题.21．已知点为抛物线：的焦点，抛物线上的点满足(为坐标原点)，且.（1）求抛物线的方程；（2）若直线：与抛物线交于不同的两点，是否存在实数及定点，对任意实数，都有？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y2＝4x；（2）存在及点，对任意实数m，都有.【解析】（1）由得点A横坐标为，由抛物线定义及得，，从而得解；（2）设，由得，再由直线与抛物线联立及韦达定理代入即可得解.【详解】(1) 由得点A横坐标为，由抛物线定义及得，，所以，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)假设存在实数t及定点P，对任意实数m，都有，设，联立得y2,则y1＋y2＝,y1y2＝,=,由得==，所以，当时不满足题意，所以，即存在及点，对任意实数m，都有.【点睛】本题主要考查了利用定义求解抛物线及直线与抛物线的位置关系，着重考查了学生的运算能力及转化与化归的能力，属于中档题.22．已知函数，.（1）若，且曲线在处的切线过原点，求的值及直线的方程；（2）若函数在上有零点，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由，列方程求解即可；（2）由题意知方程在上有实根，设，求函数导数，讨论函数的单调性列不等式求解即可.【详解】(1) 若,则,所以,因为的图象在处的切线l过原点,所以直线l的斜率,即,整理得，因为，所以，，所以直线l的方程为.(2)函数在上有零点,即方程在上有实根，即方程在上有实根.设,则,①当，即时,,在上单调递增,若在上有实根，则，即，所以.②当,即时,时，,单调递减,时，,单调递增,所以,由可得,所以,在上没有实根.③当，即时,,在上单调递减,若在上有实根，则，即，解得.因为,所以时，在上有实根.综上可得实数a的取值范围是.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．。
【精品】2019年江西省九校高三联合考试数学试卷(理科)
OB
当
4时，求
的值．
OA
( 0) 与 C1 , C2 的公共点分别为 A , B ，
0, ， 2
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ]
（本小题满分 10 分）已知函数 f ( x) | x 2 | |2 x 1| . （1）求 f (x) 5 的解集； （2）若关于 x 的不等式 |b 2a | |2b a | | a | (| x 1| | x m |) ( a, b R, a 0) 能成立， 求实数 m 的取值范围 .
x
40
③ f (x) cos x；
② f ( x) ln x(0 x e) ； ④ f ( x) x2 1．
其中为“柯西函数”的个数为（
）
42
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2b cosB，且
第Ⅱ卷
44
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
46
13．已知平面向量 a (2m 1,2),b ( 2,3m 2) ，且 a b ，则 2a 3b
16
种记事件 A 为“抽出的 3 人中至少有 1 名‘欲望膨胀型’消费者” ，则 P( A)
体积的最大值为 _______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤 .第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22,23 题为选考题，考生
2019 年江西省九所重点中学高三联合考试文科数学试卷
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根据要求作答）
(一)必考题：共 60 分
)
S NA1A2
A． 3 2
B
．2
3
江西省重点中学盟校高三数学第二次联考试题理
江西省重点中学盟校2019 届高三第二次联考理科数学试卷一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是吻合题目要求的 .1. 设会集 A x | x2 3x 4 0 ， B x | ln x 0 ，则 C R A B （）A. B. 0,4 C. 1,4 D. 4,2. 若复数 z 满足zi 1 i （i为虚数单位），则z 的虚部为（）A. iB. iC. 1D. 13. 已知函数 f x 是, 上的奇函数，且 f x 的图象关于直线x 1 对称，当x 0,1 时，f x 2x 1 ，则 f 2019 的值为( )A． 2 B．1 C．0 D．1 4. 数列 a 是等差数列， a1 1，公差 d 1，2 ，且 a4 a10a16 15 ，则实数的最大值n为（）A．7B． 1 C．23 D．53 2 2 19 195. 执行程序框图，则输出的数值为（）A.12B.29C.70D.1696. 谢尔宾斯基三角形是一种分形构造。
如图构造，将三角形ABC 三边中点依次连否接得四个小三角形，把中间小三角形染色。
对剩下的三个白色小三角形均按上述操作。
问：对ABC 这样进行操作后，向ABC 内投一点，则该点落在染色地域内的概率为（）A. 5B. 3C. 7D. 116 8 16 27. 若函数f x 2sin x 2 cos x 0 的图象过点0,2 ，则 ( )2A. 点,0 是 y f x 的一个对称中心B. 函数y f x 的值域是0,24C.函数 yf x 的最小正周期是 2D.直线 x是y f x 的一条对称轴 48. 在《九章算术》中间记录了这样的问题“今有羡除，下广六尺，上广一丈， 深三尺， 末广八尺， 无深，袤七尺。
问积几何？”羡除是指三面为等腰梯形， 其他两侧面为直角三角形的五面体。
主视图左视图其三视图以下列图，则该几何体体积为（）A.84B.112C.140D.1689. 过双曲线 C :x 2y 21的右极点作 x 轴的垂线，与 C 的一a 2b 2俯视图条渐近线订交于点A ，以 C 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 A ， O 两点 ( O 为坐标原点 ) ，则双曲线 C 的离心率为 ( )A. 2B.4 7 C.2 D.2 37310. 以下 命题中，正确的选项是（）A ． x 0 ∈ R ， sin x 0 cosx 032B ．已知 a,b ,c 为平面内三向量，若 a b 2b c 2，则 acC ．“ a0, b0 ”是“ba 2 ”的充要条件a bD ．命题“x ,2x 2 0”的否定是：“xR, x 2x 2 0 ”R x11. 已知抛物线 C ： y 2 8x 的焦点为 F ，点 A, B 是其上面两动点且满足 AB 4,当AFB最大时， tanAFB()A.7B.7 C.24 D.24 24247712. 已知 f xx ，点 A 0,1 ,O 0,0 , A n n, f (n) , n N , 设 AOA nn ，对所有 n N都有不等式 sin21sin 2 2sin 2 nt 2 2t2 建立，则正数 t 的最小值为（）1222n 2A.3B.4C.5D.6二、填空题：每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上x 2 y 2 013. 已知实数 x, y 满足拘束条件2x y 4 0 ， z 2x y 的取值范围是___________.y x 114. 1 1 x 1 5x 的系数为___________. 的张开式中，x15. 在ABC 中，已知角A, B, C所对的边分别为a,b, c, 若 A 2C ，则a的范围为c___________.16. 在平行四边形ABCD 中，AB 2 2 ，BC 3 ，且cos A2BDC ，以 BD 为折痕，将3折起，使点 C 到达点 E 处，且满足AE AD ，则三棱锥 E ABD 的外接球的表面积为____________.三、解答题：共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17-21 题为必考题，每道试题考生都必定作答. 第 22、 23 题为选考题，考生依照要求作答.（一）必考题：共60 分.17. ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a, b, c 已知2bs Ci na c Co csc Ao, B s 2 , c 3 .3(1) 求角C；（2）若点E满足AE 2EC ,求BE的长.18. 如图，三棱柱ABC A1 B1C1中， CA CB, BAA1 45 ，平面 1 1 1 1AAC C⊥平面 AA B B.（1）求证： AA1⊥ BC；（ 2）若BB 2AB 2 ，直线BC 与平面ABB1A1所成角为145 ， D 为 CC1的中点，求二面角B1 A1D C1的余弦值.19. 某学校进行体检，现获取所有男生的身高数据，从中随机抽取50 人进行统计（已知这50 个身高介于 155cm到 195cm 之间），现将抽取结果按以下方式分成八组：第一组 [155,160) ，第二组 [160，165) ，，第八组 [190,195]（单位：cm），并按此分组绘制以下列图的频率分布直方图，其中第六组[180，185) 和第0.024七组 [185，190) 还没有绘制完成，已知第六组和第七组人数之比为5: 2 .0.020（1）求出这50 人身高的平均值；若将频率视为概率，任取 4 名男生身高检查，记这 4 名男生身高位于[165,185) 内的个数为X ，求 X 的希望；（2）若由直方图预计，学生身高数Z 近似遵从正态分布N , 2 ，利用抽样检查所得均值方差预计整体均值方差，求 Z 落在166.11，189.78 内的概率 .参照数据：①计算得所抽取50 人身高数据标准差为s 62.25 7.89②若Z~N , 2 ，则 P Z 0.6826 ， P 2 Z 2 0.954420. 如图，点T为圆O：x2 y2 1上一动点，过点T 分别作x轴， y 轴的垂线，垂足分别为 A, B ，连接BA并延长至点P，使得 BA AP ，点P的轨迹记为曲线 C .（1）求曲线C的方程；（ 2）已知直线l：y kx m k, m均不为零，直线 l 交曲线C于两点P、Q（点 P、 Q 落在第一象限内）。
江西省九校联盟2019届高三第二次模拟考试理科数学
江西省九校联盟2019届高三第二次模拟考试理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·肇庆统测]设集合{}220P x x x =-<，{}11Q x x =-<<，则P Q =（ ）A ．()1,2-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()0,12．[2019·呼和浩特调研]已知复数i43i b z =+，其中b ∈R ，i 为虚数单位，且5z =，则 b =（ ）A ．25±B ．1±C ．3±D ．5±3．[2019·吴起高级中学]等差数列{}n a 中，n s 为其前n 项和，若32s =，68s =，则9s =（ ） A ．32 B ．18 C ．14 D ．10 4．[2019·哈六中]哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为4的正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 5．[2019·南阳期末]若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．1 B ．2 C ．9 D ．18 6．[2019·唐山期末]长棱的长度为（ ）AB． CD7．[2019·南昌二中]已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．[2019·泉州质检]已知函数()32f x ax bx =-+的极大值和极小值分别为M ，m ，则M m +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．49．[2019·黄山一模]当输入a 的值为16，b 的值为12时，执行如图所示的程序框图，则输出的a 的结果是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610．[2019·长春十一中]已知点()0,2A ，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ）A．2B ．1:2 C．D ．1:311．[2019·东莞期末]圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）A ．9:32B ．8:27C ．9:22D ．9:2812．[2019·河北一模]已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，π4x =-是函数的一个零点，且π4x =是其图象的一条对称轴．若ππ,96⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，则ω的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．15D ．13第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·合肥一模]若非零向量a ，b 满足()2⊥+a a b ，则+=a bb __________．14．[2019·广东期末]二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为________．（用数字作答）15．[2019·百色摸底]已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的正整数n 的最大值为_______． 16．[2019·长治二中]已知a 、b 、c 是实数，方程320x ax bx c +++=的三个实数根可以作为椭圆、双曲线、抛物线的离心率，则22a b +的取值范围是____． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·东城期末]在ABC △sin cos sin A B a C =． （1）求B ∠的大小； （2）若ABC △的面积为2a ，求cos A 的值． 18．（12分）[2019·十堰调研]如图，在三棱锥S ABC -中，AC BC ⊥，SA BC ⊥，SC AC ⊥，6SC =，M ，N 分别为线段AB ，BC上的点，且CM MN ==36BC BN ==． （1）证明：MN SM ⊥； （2）若3AC =，求二面角A SM N --的余弦值．19．（12分）[2019·广元统考]2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用33+模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查．（1）已知抽取的n 名学生中含女生45人，求n 的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的45名女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为X ，求X 的分布列及期望．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．（12分）[2019·滨州期末]已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>的左1F 、2F 右焦点分别为，点)P 在椭圆上，且满足121PF PF ⋅=． （1）求椭圆C 的方程； （2）设倾斜角为45︒的直线l 与C 交于A ，B 两点，记OAB △的面积为S ，求S 取最大值时直线l 的方程．21．（12分）[2019·赣州中学]已知函数()()1e x f x ax =+，a ∈R ．（1）当0a >时，证明：()0e af x +>；（2）当12a =-时，如果12x x ≠，且()()12f x f x =，证明：122x x +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·荆门检测]在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为1x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线m 与直线l 平行，且过坐标原点，圆C 的参数方程为1cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线m 和圆C 的极坐标方程； （2）设直线m 和圆C 相交于点A 、B 两点，求ABC △的周长． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·辽宁期末] ()213f x x tx =--+，t ∈R ．f x的最大值；（1）当2t=时，求出()f x的最大值为2，试求出此时的正实数t的值．（2）若()理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】对于集合P ，由()20x x -<，解得02x <<，故()0,1P Q =，故选D ．2．【答案】A【解析】由i 43i b z =+，得i543i b z ==+，即55b=，得25b =±．故选A ．3．【答案】B【解析】∵等差数列{}n a 中，n s 为其前n 项和，32s =，68s =，则根据等差数列的性质可得3s ，63s s -，96s s -仍成等差数列，即2，82-，98s -成等差数列，则有()()928228s ⨯-=+-，解得918s =．故选B ．4．【答案】C【解析】设黑色部分的面积为S ，∵正方形二维码边长为4，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点， ∴22544400S =⨯，解得9S =，据此可估计黑色部分的面积为9，故选C ．5．【答案】D【解析】渐近线的方程为30ax y ±=，因0a >，故渐近线30ax y +=与直线13y x =垂直， 故1133a-⨯=-，解得9a =，所以双曲线的实轴长为218a =，故选D ．6．【答案】B【解析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P ABC -，其中平面PAC ⊥底面ABC ，取AC 中点为E ，则PE ⊥底面ABC ，且3PE =，2AC =，由11132332ABC V PE S BE =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，即BE = ∴ABC △为等边三角形，2AB BC CA ===，PB =PA PC ==∴最长棱的长度为．故选B ． 7．【答案】A 【解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项． 由于()2e e 2f =-，()222e e 3f =-，()()2e e f f >，函数单调递减，排除C 选项． 由于()1001002e 0e 101f =>-，排除D 选项．故选A ． 8．【答案】D 【解析】()230f x ax b '=-=，该方程两个根为1x ，2x ，故()f x 在1x ，2x 取到极值； ()()()()21212121243M m b x x a x x x x x x +=-⋅++++-， 而120x x +=，123b x x a =-，∴4M m +=，故选D ． 9．【答案】C 【解析】模拟程序的运行，可得16a =，12b =， 满足条件a b ≠，满足条件a b >，16124a =-=， 满足条件a b ≠，不满足条件a b >，1248b =-=， 满足条件a b ≠，不满足条件a b >，844b =-=， 不满足条件a b ≠，输出a 的值为4．故选C ． 10．【答案】C 【解析】∵抛物线C ：24y x =的焦点为()1,0F ，点A 坐标为()0,2， ∴抛物线的准线方程为:1l x =-，直线AF 的斜率为2k =-， 过M 作MP l ⊥于P ，根据抛物线物定义得FM PM =，∵Rt MPN △中，tan 2NMP k ∠=-=， ∴2PNPM =，可得2PN PM =，得MN ，因此可得::FM MN PM MN ==C ．11．【答案】A【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lr r ==，则母线2l r =，圆锥的高为h，则圆锥的体积为231π3r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图，则OB OS R ==，OD h R R =-=-，BD r =，在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即)222R r R =+-，展开整理得R =，∴外接球的体积为33344ππ33R ==339332r =．故选A ．12．【答案】D【解析】由题意，得()1πππ42442k T k ⎛⎫⎛⎫+=--=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，∴()2π21T k k =∈+Z ， 又2πT ω=，∴()21k k ω=+∈Z ． ∵ππ,96⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，∴ππ1692T -≤，即π9T ≥， ∵2π21T k =+，∴2118k +≤，即8.5k ≤． ①当8k =，即17ω=时，17ππ4k ϕ-+=，k ∈Z ，∴17ππ4k ϕ=+，k ∈Z ， ∵π2ϕ<，∴π4ϕ=，此时()πsin 174f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,96⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，∴17ω=不符合题意； ②当7k =，即15ω=时，15ππ4k ϕ-+=，k ∈Z ，∴15ππ4k ϕ=+，k ∈Z ， ∵π2ϕ<，∴π4ϕ=-，此时()πsin 154f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,96⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，∴15ω=不符合题意； ③当6k =，即13ω=时，13ππ4k ϕ-+=，k ∈Z ，∴13ππ4k ϕ=+，k ∈Z ． ∵π2ϕ<，∴π4ϕ=，此时()πsin 134f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,96⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴13ω=符合题意，故选D ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1 【解析】结合()2⊥+a a b 可知，()20⋅+=a a b 得到220+=a ab ，∴1+=a b b ．14．【答案】240 【解析】在二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，通项公式得()1221231662C C 2r r r r r r r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由1230r -=，得4r =，∴常数项为446C 2240=．故答案为240． 15．【答案】6 【解析】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，241581a a a a ⋅==， 即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=， 则211122221323111333313n n n n T --⎛⎫=++++=⨯=- ⎪⎝⎭-，∴12019113n T ->， 即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6．故答案为6． 16．【答案】()5,+∞【解析】构造函数()32f x x ax bx c =+++，∵一个根为抛物线的离心率，可知10a b c +++=，解得1c a b =---，∵三个实数根分别为椭圆、双曲线和抛物线的离心率，可知一个根1x 大于0，小于1，一个根2x 大于1，一个根3x 为1，绘制图像：计算导函数()232f x x ax b '=++设导函数为0时两个根为m ，n ，依据图像可知01m <<，1n >，∴得到0mn >，()()110m n -⋅-<且()010f c a b ==---<， 而23am n +=-，3bmn =，建立不等式得到1010230a b b a b a ---<⎧⎪++>⎨⎪++<⎩，绘制可行域，可得：而22a b +可以看成点(),a b 到()0,0距离的平方和，∴()2,1A -可以使得取得最小值，∴最小值为2222215a b +=+=，故225a b +>写成集合的形式为()5,+∞．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π4；（2【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理可得sin sin c A a C =，∴cos B ==，又0πB <∠<，∴π4B ∠=．（2）∵ABC △的面积为21πsin 24a ac =，∴c =，由余弦定理得22282b a a a =+-⋅⋅b =．∴222cos A ==． 18．【答案】（1）见证明；（2）． 【解析】（1）证明：由AC BC ⊥，SA BC ⊥，且SA AC A =， 则BC ⊥平面SAC ，SC ⊂平面SAC ，故BC SC ⊥， 又SC AC ⊥，BC AC C =，则SC ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，故SC MN ⊥． ∵4NC =，CM MN ==222CN CM NM =+，故CM MN ⊥． 又∵CM SC C =，∴MN ⊥平面SCM ． 又SM ⊂平面SCM ，则MN SM ⊥． （2）解：由（1）知，CB ，CA ，CS 两两相互垂直，如图是以C 为坐标原点， 分别以CB ，CA ，CS 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,3,0A ，()0,0,6S ，()2,2,0M ，()4,0,0N ， ()2,2,6SM =-，()2,1,0AM =-，()2,2,0NM =-． 设平面SAM 的法向量为()1111,,x y z =n ， 则11111226020x y z x y +-=⎧⎨-=⎩，令11x =，得()11,2,1=n ． 设平面SMN 的法向量为()2222,,x y z =n ， 则222222260220x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令23x =，则23y =，22z =，故()23,3,2=n ．∴121212,cos ⋅==n n n n n n ，由图可知二面角A SM N --为钝角，故二面角A SM N --的余弦值为．19．【答案】（1）100n =，男生人数为55人；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）由题意得45100450n=，解得100n =，男生人数为：1055055100⨯=人．（2）2×2列联表为：∴()()()()()()222100452025108.1289 6.63555457030n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为选择科目与性别有关．（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，∴这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生， 则这4名女生中选择地理的人数X 可为0，1，2，3，4． 设事件X 发生概率为()P X ，则()4549C 50126C P X ===，()315449C C 401126C P X ===，()225449C C 602126C P X ===，()135449C C 203126C P X ===，()4449C 14126C P X===． ∴X 的分布列为：期望()4060201162341261261261269E X =+⨯+⨯+⨯=．20．【答案】（1）22142x y +=；（2）y x =y x = 【解析】（1）设()1,0F c -，()2,0F c ，根据题意得()11PF c =---，()21PF c =--，∴212211PF PF c ⋅=-+=，解得22c =，∴222a b -=，① 又∵点)P 在椭圆C 上，∴22211a b +=，② 联立①②，解得24a =，22b =， ∴椭圆C 的方程为22142x y +=． （2）∵直线l 的倾斜角为45︒，∴设直线l 的方程为y x m =+． 联立22142x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得2234240x mx m ++-=， ∵直线l 与C 交于A ，B 两点， ∴()2221612244880mm m ∆=--=->，解得26m <． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1x =，2x =， 从而12AB x -==， 又∵点O 到直线l 的距离d =，∴12S ==≤= 当且仅当226m m =-，即23m =，即m = ∴OAB △的面积S l 的方程为y x =y x = 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）当0a >时，()()()e 1e 1e x x x f x a ax ax a '=⋅++=++， 由()0f x '>，得1a x a +>-， ∴()f x 在1,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． ∴1a x a +=-时，()f x 取得极小值，即最小值1e a a a +--⋅． 当0a >时，1111a a a +=+>，11a a +-<-， ∵110e e a a +-<<，∴1e e a a a a +--⋅>-，即()0e a f x +>．（2）证明：当12a =-时，()11e 2x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()11e 2x f x x '=-，∴()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，(),1x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 令()()()2F x f x f x =--，则()2111e e 22x x F x x x -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴()()()211e e 2x x F x x -'=--，当()1,x ∈+∞时，10x -<，2x x >-，2e e 0x x -->，∴()0F x '<，()F x 单调递减，∴()()()()1110F x F f f <=-=，即()()20f x f x --<， ∴当()1,x ∈+∞时，()()2f x f x <-．又()f x 在(),1-∞内是增函数，在()1,+∞内是减函数．12x x ≠，且()()12f x f x =， ∴1x ，2x 不再同一单调区间内，不妨设121x x <<，由上可知：()()222f x f x <-， ∵()()12f x f x =，∴()()122f x f x <-．∵11x <，221x -<，又()f x 在(),1-∞内是增函数， ∴122x x <-，即122x x +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）直线m 的极坐标方程为π4θ=；圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=； （2）2【解析】（I ）∵直线l 的参数方程为1x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），∴直线l 的斜率为1，∵直线m 与直线l 平行，且过坐标原点，∴直线m 的直角坐标方程为y x =， ∴直线m 的极坐标方程为π4θ=； ∵圆C 的参数方程为1cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），∴圆C 的普通方程为()()22121x y -+-=，即222440x y x y +--+=， ∴圆C 的极方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）把直线m 的极坐标方程π4θ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=中得240ρ-+=， ∴12AB ρρ=-∴ABC △的周长为223．【答案】（1）()max 4f x =；（2）6t =．【解析】（1）2t =时，()()()212321234f x x x x x =--+≤--+=，即()f x 的最大值为4．（2）∵()213f x x tx =--+，∴()max 12f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭或()max 3f x f t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，∴32f t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2t =-（舍）或6t =，当6t =时，()144,211216382,22144,2x x f x x x x x x x ⎧--≥⎪⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪+≤-⎪⎩，()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递增，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减，()max 122f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，合题意，综上可得，6t =．。
江西省九校2019届高三联合考试数学(理)试卷(含答案)
2019年江西省高三联合考试数学试卷（理科）注意事项：1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟. 2本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.3答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.已知集合}01|{≥-=xxx A ，)}12lg(|{-==x y x B ，则=B A I （ ） A.]1,0( B .]1,0[ C .]1,21( D .),21(+∞2.已知复数ii i z +-=1)31(，则复数z 的虚部为（ ）A .1 B.1- C.i D.i -3.抛物线2ax y =的焦点是直线01=-+y x 与坐标轴交点，则抛物线准线方程是（ ）A.41-=xB.1-=xC.41-=y D.1-=y4.下列命题中正确的是（ ）A. 若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题.B. “0>ab ”是“2≥+baa b ”的充要条件. C. 命题“0232=+-x x ，则1=x 或2=x ”的逆否命题为“若1≠x 或2≠x ，则0232≠+-x x ”.D. 命题p ：R x ∈∃，使得012<-+x x ，则p ⌝：R x ∈∀，使得012>-+x x .5.等差数列}{n a 前n 项和为n S ，543=+a a ，则=6S （ ） A.15 B.20 C.25 D.306.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A.2019B.2018C.2017D.2016 7.设⎩⎨⎧<--≥+=0,10,1)(2x x x x x f ,5.07.0-=a ,7.0log 5.0=b ，5log 7.0=c ,则（ ）A.)()()(c f b f a f >>B.)()()(c f a f b f >>C.)()()(b f a f c f >>D.)()()(a f b f c f >> 8.函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到)(x f y =的图象，只需把x y ωsin =的图象上所有点（ ）A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度 C.向右平移6π个单位长度 D.向左平移12π个单位长度9．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球表面积为（ ） A.π11 B.314πC.328πD.π16 10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，过原点作一条倾斜角为3π直线分别交双曲线左、右两支P ,Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ,则双曲线离心率为（ ）A.12+B.13+C.2D.511.已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。
江西省名校学术联盟(新余四中、临川一中等)2019届高三9月联考数学(理)试题 扫描版含答案
6 ， A1D 5 ， A1B 3 ，故选 C.
8.【答案】B
x 2 y 2 5, x 【解析】依题意，不妨设点 M（x,y）在第一象限，联立 解得 b y x, y a
，可知四边形 MNPQ 为矩形，且根据双曲线的对称性， c 2 a 2 b2 ）
g 1 x g 3 x 2 ，故函数 g x 的图象的对称中心为 1, 1 ，故选 B.
10.【答案】D 【解析】 依题意， f x sin x 3 cos x 2sin x 令x
x ； 当 x 0 时， ； 3 3 3
11.【答案】A 【解析】设 M x0 , y0 ， N x1 , y1 ，则直线 MA1 的斜率为 kMA1 以直线 NA1 的斜率为 k NA1 程为： y
y0 3 ，由 NA1 MA1 ，所 x0
x0 x ．于是直线 NA1 的方程为： y 0 x 3 ．同理，NA2 的方 y0 3 y0 3
2
而 BC BA AC b 3 2 ，则 a c 26 ， 而 SABC
1 1 2 2 2 1 2 2 ac sin B a c sin B a c a 2c 2 cos2 B 2 2 2
2
1 2 2 1 a2 c2 3 17 a c 16 ，当且仅当 a c 时等号成立， 16 2 2 2 2
5 5 z x 2 y过点 A , 时， z x 2 y 取最大值，最大值为 5. 3 3
15.【答案】
80 27
r 6 6 r r r 2 6 2 2 2 r ，令 x C x 6 3 3 r r
2019届高三数学二模试卷理科附答案
2019届高三数学二模试卷理科附答案理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019•乐山调研]若与互为共轭复数，则的值为（）A．B．C．D．2．[2019•济南外国语]已知集合，，则（）A．B．C．D．3．[2019•九江一模] 的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．[2019•榆林一模]已知向量，满足，，，则（）A．2 B．C．D．5．[2019•湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．[2019•武邑中学]在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角（）A．B．C．或D．或7．[2019•新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（）A．；B．；C．；D．；8．[2019•优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．B．C．D．9．[2019•成都一诊]在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．[2019•长沙一模]已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点．设，若，则的图象对称中心可以是（）A．B．C．D．11．[2019•湖北联考]已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．[2019•宜昌调研]已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019•泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点，则______．14．[2019•湖北联考]设，满足约束条件，则的最大值为____．15．[2019•镇江期末]若，，则_______．16．[2019•遵义联考]已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019•潍坊期末]已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．18．（12分）[2019•开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．19．（12分）[2019•湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）[2019•河北联考]在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且．（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019•泉州质检]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019•九江一模]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（，），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．（1）求，的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019•湘潭一模]设函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵，，又与互为共轭复数，∴，，则．故选A．2．【答案】C【解析】∵集合，，∴，，∴．故选C．3．【答案】B【解析】，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，，排除C，故选B．4．【答案】A【解析】根据题意得，，又，∴，∴，∴．故选A．5．【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴，则该双曲线的方程为．故选D．6．【答案】A【解析】∵，，，∴由正弦定理可得，∵，由大边对大角可得，∴解得．故选A．7．【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数，∴该程序框图要算出所得到的和，①当时，，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此变成2，进入下一步；②当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成3，进入下一步；③当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成4，进入下一步；④当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成5，进入下一步；⑤当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成6，进入下一步；⑥当时，用前一个加上，得，刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的值，由以上的分析，可得图中判断框应填“”，执行框应填“”．故选C．8．【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有，，，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C．9．【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2，取中点，连结，，∴是棱的中点，∴，∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选C．10．【答案】D【解析】结合题意，绘图又，，∴周期，解得，∴，，令，得到，∴，令，，得对称中心，令，得到对称中心坐标为，故选D．11．【答案】B【解析】偶函数满足，即有，即为，，可得的最小正周期为4，故①错误；②正确；由，可得，又，即有，故为奇函数，故③正确；由，若为偶函数，即有，可得，即，可得6为的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B．12．【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点，，设，，则，，∵、是椭圆上的点，∴①，②，①﹣②得：，∴，∴，∴，∴，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】函数，可得，∴，又，∴切线方程为，切线经过，∴，解得．故答案为1．14．【答案】5【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，由可得，此时．故答案为5．15．【答案】【解析】由得，即，又，解得，∴．16．【答案】【解析】取的中点，连结、，∵平面，平面，∴，可得中，中线，由，，，可知，又∵，、是平面内的相交直线，∴平面，可得，因此中，中线，∴是三棱锥的外接球心，∵中，，，∴，可得外接球半径，因此，外接球的表面积，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，成等差数列，∴，当时，，∴，当时，，，两式相减得，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2），∴，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计150 **** ****由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）由题意得所求概率为．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，1，2，3，4，∴的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面中，，，且，∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面．（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，，∴，，设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，它背向二面角，又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．20．【答案】（1）；（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．【解析】（1）联立，得，则，，从而．∵，∴，即，解得，故的方程为．（2）设线段的中点为，由（1）知，，，则线段的中垂线方程为，即．联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或．假设存在点，设的坐标为，∵，∴，则．∵，∴．若的坐标为，则，，则的坐标不可能为．故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解法一：（1），①当时，↘极小值↗∴在上单调递减，在单调递增．②当时，的根为或．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．若，即，在上恒成立，∴在上单调递增，无减区间．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．综上：当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）∵，∴．当时，恒成立．当时，．令，，设，∵在上恒成立，即在上单调递增．又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，则，∴．综上，的取值范围为．解法二：（1）同解法一；（2）令，∴，当时，，则在上单调递增，∴，满足题意．当时，令，∵，即在上单调递增．又∵，，∴在上有唯一的解，记为，↘极小值↗，满足题意．当时，，不满足题意．综上，的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；；（2）2．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，∴曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，，，∵，∴，∴，，∴的极坐标方程为．（2）由题设知，，当时，取得最小值为2．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴的解集为．（2）∵，∴，即，则，∴．。
数学理卷·2019届江西省重点中学盟校高三第二次联考(2019.04)
江西省重点中学盟校2019届第二次联考数学试卷（理）参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDBCBDCBDA第10题提示：第一行公差为1；第二行公差为2；……；第2019行公差为22019，第2019行只有M ，发现规律，得2009(12011)2M =+⋅。
或从第一行为1 , 2 , 3 及1 , 2 , 3 , 4 ,5的两个“小三角形”结合选项归纳得结果为1(31)2+⨯及3(51)2+⨯猜一般为2(1)2n n -+⋅。
二、填空题11、25212、),23[+∞ 13、ln 2 14、C 提示：（1）设M 是12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点，则：2121PF PF PI F M F M IM ==（I 为内心），33248IM PM ==， ∴53PI IM = ∵212122PF PF PI a F M F M IM c +==+ ∴63105e ==（或以内心为顶点，面积分割，用定义可得结果）（2）由2BMA π∠=得OM =，∵OM a ≤∴a ≥， ∴2222()a a c ≥-，∴[2e ∈ （3）P 在x 轴上时，双曲线上点到左焦点距离最小，∴1c a -≥，∴21a -≥，∴1a ≤111c a e a a a+=≥=+ 又1a ≤，∴2e ≥15、（A（B ）[3,5]m ∈- 三、解答题16．解：（1）1n =时，1a P =2n ≥时，1n n n a S S -=-，得1nn a P a -= ∴nn a P =………………4分（2）1n =时，111334S Pb a P=+=+=2n =时，222134P P b P P +=+=+ 3n =时，32114b P P=++…………8分 ∴22111(4)4(4)P P P +=++ ∴34P = …………12分17．解：（1）1sin 2S bc A = ………………2分4cos bc A =则1tan 12A S =≥ ………………4分42A ππ∴≤<………………6分(2)111()cos sin()22262f A A A A π=++=++………………9分 521263A πππ≤+<()f A ∴无最小值，3A π=时()f A 取得最大值为32………………12分18．解：（1）由题意得一等品件数为3或4…………2分3344440.80.20.80.8192P C C ∴=⨯+=即生产4件A 型产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192 ………………5分（2）由题意X 的所有可能取值为10,5,2,3-且(10)0.80.90.72P X ==⨯=;(5)0.20.90.18P X ==⨯=(2)0.80.10.08P X ==⨯=(3)0.20.10.02P X=-=⨯= ………………9分 所以，X 的分布列为X -3 2 5 10 P0.020.080.180.72(3)0.0220.0850.18100.728.2EX =-⨯+⨯+⨯+⨯= ………………12分19．222……4分……8分在Rt DFG 中，1tan 222DF DGF GF ∠===20．解：（1）2()3x bx af x x ++'=+(3)x >- ………………2分由(1)01f b a '=⇒=--，故(1)()()3x x a f x x --'=+01a <<时 由()0f x '> 得()f x 的单调增区间是(3,)a -，(1,)+∞ 由()0f x '< 得()f x 单调减区间是(,1)a 同理1a >时，()f x 的单调增区间(3,1)-，(,)a +∞，单调减区间为(1,)a …………5分（2）①由（1）及1(3)386f a b '≤⇒≤-- （i ）又由||2x ≥ (3)x >-有()0f x '≥知()f x '的零点在[2,2]-内，设2()g x x bx a =++，则(2)042(2)02444222g a b g a b b b ⎧⎪≥≥--⎧⎪⎪-≥⇒≥-⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎪-≤-≤⎩，结合（i ）解得4b =-，4a = ………………8分∴21()25ln(3)72f x x x x =++- ………………9分 ②又设()()()x f x f x ϕ'=-，先求()x ϕ与x 轴在(3,2)-的交点∵22(2)25()13(3)x x x x ϕ-'=+-++， 由32x -<< 得 20(3)25x <+< 故()0x ϕ'>，()x ϕ在(3,2)-单调递增又(2)16160ϕ-=-=，故()x ϕ与x 轴有唯一交点(2,0)-即()f x 与()f x '的图象在区间(3,2)-上的唯一交点坐标为(2,16)-为所求 …………13分 21．解：（1）如图，设11(,)M x y ，22(,)N x y由22x y m =，得x y m '= ∴PM 的斜率为1x mPM 的方程为11x y x y m =- 同理得2:x PN y x m=- 设00(,)P x y 代入上式得10012002x y x y mx y x ym ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 即11(,)x y ，22(,)x y 满足方程00xy x y m=-故MN 的方程为0000()x xy x y x kx m m m =-=-- ………………4分上式可化为0()xy m x mk m-=-，过交点(,)mk m∵MN 过交点(,1)Q k ， ∴mk k =，1m =x∴C 的方程为22x y = ………………6分（2）要证OAPOBQOAQOBPSSSS⋅=⋅，即证||||||||PA QA PB QB = 设33(,)A x y ，44(,)B x y 则3033403404044042()()2||||||||()()x x k x x x k x x x kx PA QA PB QB x x x k x x x k ---+++-=-=---- (Ⅰ)∵00(,)P x y ，(,1)Q k∴PQ 直线方程为0011()y y x k x k--=--， 与22x y =联立化简2000000102x y y k x x x k x k---+=--∴003402y k x x x x k -=⋅- ……① 03402(1)y x x x k-+=- ……②…………10分把①②代入（Ⅰ）式中，则分子00034034000004()2(1)2()()2()2y k x y x x k x x x kx k x kx x k x k---+++=-++--22000000042(1)()224y k y k x kx k x x x k--++--=- (Ⅱ)又P 点在直线1y kx =-上，∴001y kx =-代入Ⅱ中得： ∴||||||||PA QA PB QB -2222000000022*******kx k kx x x k k x k x x k--+-++-==- 故得证………………14分。
江西省名校学术联盟2019届高三上学期教学质量检测12月联考数学(文)试卷(有答案)
江西省名校学术联盟2019届高三上学期教学质量检测12月联考数学（文）试卷江西名校学术联盟·2019届高三年级教学质量检测考试（二）文数·参考答案1.【答案】C【解析】因为{}1,0,1A =-,{}21B x x =<{}11x x =-<<，所以A B ={}0，故选C.2.【答案】A【解析】sin 300tan 660=()()sin 36060tan 72060--=()()sin 60tan 60--(⎛= ⎝⎭=32，故选A. 3.【答案】C 【解析】由⋅=a b a b 得,a b 共线，所以()1420x ⨯--⨯=，2x =-，故选C.4.【答案】D【解析】圆心为AB 的中点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，半径为52，故选D. 5.【答案】C【解析】p 是假命题，q 是真命题，()p q ⌝∧真命题，故选C.6.【答案】B【解析】半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为π6，腰为1的等腰三角形，所以该正十二边形的面积为21π121sin 326S =⨯⨯⨯=，所以所求概率3πP =，故选B. 7.【答案】B【解析】()()12AC BE AC BC CE AB AD AD AB ⎛⎫⋅=⋅+=+⋅- ⎪⎝⎭=221122AB AD AB AD -++⋅ =12330cos 122112-=⨯⨯⨯++- ，故选B. 8.【答案】B【解析】由1220,a a +=334S =1n =时，n S 取最大值1，当2n =时，n S 取最小值12，所以1221a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，112a -≤≤，故选B. 9.【答案】C【解析】由()0f x ≥，可排除B ，D ，由121ln2864f ⎛⎫=⎪⎝⎭，124ln 2464f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得1184f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此可排除A ，故选C.10.【答案】B【解析】该几何体是四棱柱，底面是边长为1,故选B.11.【答案】A【解析】由()()32112e 32x f x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，得()()()()()'21e 1e x x f x x a x x x ax =---=--，因为1x =是函数()f x 在()0,+∞上的唯一极值点，则0x >时e 0x ax ->≥，即e x a x<≤e x x ，设()()e 0x g x x x =>，则()g x '=2)1(xx e x -，所以()()1e g x g ≥=，所以a ≤e ，故选A. 12.【答案】D【解析】设椭圆C 的左焦点为F '，则△PQF 的周长l QF QP PF =++=2a QP QF PF '+-+ 2a PF PF '≤++当点Q 为PF '的延长线与椭圆C 的交点时取等号，故选D.13.【答案】332 【解析】由双曲线C的一条渐近线的方程为0x =，得b a =，所以双曲线C的离心率e ===. 14.【答案】6 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中()()40,,1,1,0,43A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设5z x y =+，则直线50x y z +-=经过点B 时，max 6z =.15.【答案】1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由01a a >≠且，可得1a +>，结合()(log 1log a a a +<可得01a <<，由(log 0a <，得1，所以114a <<. 16.【答案】5π3【解析】如图所示,当平面ABC 与平面BCD 垂直时三棱锥A BCD -的体积最大，此时过△ABC 的中心E 作平面ABC 的垂线，过△BCD 的中心F 作平面BCD 的垂线，两垂线交于点O ，则O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，设平面EOF 与BC 交于点G ，则四边形EOFG 为正方形，且OE OG 12GC =，所以OC =即三棱锥A BCD -，所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积为55π4π123⨯=.17.解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由2345,31a a S =+=得111524631a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩， 即1155831a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2,a d ==(4分) 所以()1121n a a n d n =+-=+. (5分)(2) 由21n a n =+，得22n S n n =+， 所以()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.(8分) 所以=n T 1231111n S S S S ++++=1111111112324352n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪+⎝⎭ =21111323122124264n n n n n +⎛⎫+--=- ⎪++++⎝⎭.(10分) 18.解：()()sin sin cos f x x x x =-=21cos 21sin sin cos sin 222x x x x x --=- =1π2224x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（3分） （1）由()ππ2π42x k k +=+∈Z 得，()1ππ28x k k =+∈Z ， 所以()f x 图象的对称轴方程是()1ππ28x k k =+∈Z .（6分） (2)由()πππ2π22π242k x k k -+≤+≤+∈Z 得()3ππππ88k x k k -+≤≤+∈Z ， 所以()f x的递减区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦）（Z ∈k ，取1k =，得()f x 在5π9π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减， 因为5π9π2,88⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当9π2,8t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时()f x 在()2,t 上递减， 即t 的取值范围是9π2,8⎛⎤ ⎥⎝⎦.（12分） 19.解：(1)连接AF ，与CD 交于点H ，连接GH ，则GH 为△ABF 的中位线，所以BF ∥GH ，又BF ⊄平面CDG ，GH ⊂平面CDG ，所以BF ∥平面CDG .(5分)(2)由点H 为AF 的中点，且点∉F 平面CDG 可知，点F 到平面CDG 的距离与点A 到平面CDG 的距离相等，由四边形ADFC 是正方形，AC AB ⊥，可得CA 是三棱锥C ADG -的高，由题意得，2,1,CA AG DG DG AG ===⊥，所以111232C ADG V -=⨯⨯=，在△CDG 中，DG CG DG CG ==⊥，设点A 到平面CDG 的距离为h ，则1132A CDG V h -=⨯=，由C ADG A CDG V V --=h ===，所以点F 到平面CDG .(12分)20.解：(1)由sin cos c a B b A =及正弦定理可得sin sin sin cos C A B B A =，即()sin sin sin cos A B A B B A +=,(2分)整理得sin cos 0A B B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，因为0πA <<,sin 0A ≠,所以cos 03B B -=,tan B π3B =. (6分) (2)由π3B =及角B 的平分线与AC 交于点D ,可得π6ABD CBD ∠=∠=． 因为BD =3,所以△ABD 的面积11πsin 26S c BD =⋅=34c , 同理可得△CBD 的面积21πsin 26S a BD =⋅=a 43,又△ABC 的面积1πsin 234S ac ==,所以33444c a ac +=,即)ac a c =+.(8分) 在△ABC 中，由余弦定理得,()22222π302cos 33a c ac a c ac a c ac =+-=+-=+-=())2a c a c +-+ ，所以())2300a c a c +-+-=,即(0a c a c +++-=，所以a c +=分)21.解：(1) 由AF AO =得点A 横坐标为4p ， 由抛物线定义及32AF =得，3422p p +=，所以2p =， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (4分)(2)假设存在实数t 及定点P ，对任意实数m ，都有PM PN ⊥，设()22120012,,,,,44y y P x y M y N y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立24y x x my t⎧=⎨=+⎩得y 2440my t --=,则y 1＋y 2＝4m ,y 1y 2＝4t -,()222121212+244y y y y y y -+==242m t +,(6分)由PM PN ⊥得()()221200102044y y PM PN x x y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=()()22222121200120120164y y y y x x y y y y y y +-⋅++-++=22220000044240x m y m x y tx t t --++-+-=，所以2000,0,40x y t t ==-=， 当0t =时不满足题意，所以4t =，即存在4t =及点()0,0P ，对任意实数m ，都有PM PN ⊥.(12分)22.解：(1) 若1a =,则()2ln 2f x x x x =-+,所以()21ln f x x x '=--,(2分)因为()f x 的图象在x t =处的切线l 过原点, 所以直线l 的斜率()()f t k f t t'==,即221ln ln t t t t t --=-+ ,整理得()()120t t +-=，因为0t >，所以2t =，3ln 2k =-， 所以直线l 的方程为()3ln20x y --=.(5分)(2)函数()f x 在[]1,e 上有零点,即方程2ln 10x ax x a -++=在[]1,e 上有实根，即方程1ln 0a x a x x+-+=在[]1,e 上有实根. 设()1ln a h x x a x x +=-+,则()()()221111x x a a a h x x x x+--+'=--=,(7分) ①当11a +≤，即0a ≤时,()0h x '≥,()h x 在[]1,e 上单调递增,若()0h x =在[]1,e 上有实根，则()()10e 0h h ≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，即22e 1e 1a a ≤-⎧⎪⎨+≤⎪-⎩，所以2a ≤-. ②当11e a <+<,即0e 1a <<-时,[]1,1x a ∈+时，()0h x '≤,()h x 单调递减,[]1,e x a ∈+时，()0h x '≥,()h x 单调递增,所以()()()min 12ln 1h x h a a a a =+=+-+,由11e a <+<可得()0ln 1a a a <+<, 所以()12h a +>,()0h x =在[]1,e 上没有实根.③当1e a +≥，即e 1a ≥-时,()0h x '≤,()h x 在[]1,e 上单调递减,若()0h x =在[]1,e 上有实根，则()()10e 0h h ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，即22e 1e 1a a ≥-⎧⎪⎨+≥⎪-⎩，解得2e 1e 1a +≥-. 因为2e 1e 1e 1+>--, 所以2e 1e 1a +≥-时，()0h x =在[]1,e 上有实根.(11分)综上可得实数a 的取值范围是(]2e 1,2,e 1⎡⎫+-∞-+∞⎪⎢-⎣⎭.(12分)。
【全国校级联考】江西省名校学术联盟2019届高三教学质量检测考试(12月联考)(二)数学(理)试题
江西名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试（二）数学（理）卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|1}A x x =<，{|ln()}B x y x ==-，则A B =A ．∅B ．{|0}x x <C ．{|10}x x -<<D ．{|01}x x <<2.已知命题p ：对(1,)x ∀∈+∞，20192018xx >，则p ⌝为 A ．0(1,)x ∃∈+∞，使得2019201800x x ≤B ．0(,1]x ∃∈-∞，使得2019201800x x >C ．0(1,)x ∃∈+∞，使得2019201800x x >D ．0(,1]x ∃∈-∞，使得2019201800x x ≤3.已知向量(1,2)a =，(,4)b x =-，若||||||a b a b ⋅=，则x 的值为A ．2B ．8 C. -2 D ．-84.已知点(2,1)A =--，(1,3)B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为A ．221()(1)252x y -++=B ．221()(1)252x y ++-=C ．22125()(1)24x y -++= D ． 22125()(1)24x y ++-= 5.我们把1,()0,x D X x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称作狄里克莱函数，它是高等数学中一个很有名的函数.已知命题p ：()D X 的值域是[0,1]；命题q ：存在无数个非零常数T ，使得()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立.则下列命题中的真命题是A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝ C. ()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74S a =，则A ．34S S =B ．45S S = C.56S S = D ．67S S =7.在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，30BAD ∠=︒，点E 为CD 的中点，则AC BE ⋅=A．3+．1- C.0 D ．-2 8.如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A．{ B．{C. { D．{19.函数2()()ln f x x x x =-的图像大致为 A ．B ． C. D ． 10.若不等式112(1)(1)log 16n n a n +--<-对任意*n N ∈恒成立，则实数a 的取值范围为 A ．(4,4)- B ．(4,3)- C.[4,3)- D ．7[4,)2-11.设使直线y ax =与曲线()sin()ln 4f x x x π=++有公共点的a 的取值范围为集合A ，则。
江西名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试(二)数学(理)试题
江西名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试（二）数学（理）试题一、单选题(★★★★★) 1 . 已知集合，，则A．B．C．D．(★★★★★) 2 . 已知命题：对，，则为A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得(★★★★) 3 . 已知向量，，若，则的值为A．2B．8C．-2D．-8(★★★★★) 4 . 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为A．B．C．D．(★★★) 5 . 我们把称作狄里克莱函数，它是高等数学中一个很有名的函数.已知命题：的值域是；命题：存在无数个非零常数，使得对任意恒成立.则下列命题中的真命题是A．B．C．D．(★★★★) 6 . 已知等差数列的前项和为，若，则A．B．C．D．(★★★★)7 . 在平行四边形中，，，，点为的中点，则A．B．C．0D．-2(★★★★) 8 . 如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A．B．C．D．(★★★★) 9 . 函数的图像大致为A．B．C．D．(★★★) 10 . 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．(★★)11 . 设使直线与曲线有公共点的的取值范围为集合，则A．B．C．D．(★★) 12 . 已知函数（其中）的图像经过点，令，则A．2019B．C．6057D．二、填空题(★★★★★) 13 . 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为__________．(★★★) 14 . 已知变量满足，则的最小值为_______．(★★★) 15 . 已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于点，，且，设点是圆上的动点，则的取值范围是__________．(★★★) 16 . 在三棱锥中，与都是边长为1的正三角形，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________．三、解答题(★★★★) 17 . 在中，角，，的对边分别为，，且. （1）求角；（2）若，的面积为，求的周长.(★★★) 18 . 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.(★★★★) 19 . 已知函数的定义域为，且是奇函数. （1）求的表达式；（2）若在上的值域是，求证：，是方程的两个根.(★★★) 20 . 已知数列的前项和为，且.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.(★★★) 21 . 已知，.（1）若，，且，求；（2）若曲线在处的切线经过点，求在上的最大值与最小值.(★★) 22 . 已知函数（其中，为自然对数的底数）. （1）若，判断的单调性；（2）若且函数的图像与直线没有公共点，求的取值范围.。
【全国校级联考】江西省名校学术联盟2019届高三教学质量检测考试(12月联考)(二)数学(文)试题
江西名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试（二）数学（文）卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}A =-，2{|1}B x x =<，则A B ⋂=A ．∅B ．{1}-C ．{0}D ．{1,0}-2.sin300tan 660的值为A ．32B ．32-C ．12D ．12- 3.已知向量(1,2)a =，(,4)b x =-，若||||||a b a b ⋅=，则x 的值为A ．2B ．8 C. -2 D ．-84.已知点(2,1)A --，(1,3)B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为A ．221()(1)252x y -++=B ．221()(1)252x y ++-= C. 22125()(1)24x y -++= D ．22125()(1)24x y ++-= 5.已知命题p ：若0x y <<，则110x y <<；命题q ：()||f x x x =在(,)-∞+∞上是增函数，则下列命题中的真命题是A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝6.三国时期数学家刘徽，创立割圆术（即用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法），为圆周率的研究提供了科学的方法，他运用割圆术得出圆周率为3.1416.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为A ．1πB ．3π C.π D ．2π 7.在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，30BAD ∠=︒，点E 为CD 的中点，则AC BE ⋅=A ．32+B ． 12- C.0 D ．-2 8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，334S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是A ．[1,0]-B ．1[1,]2- C.1[,1]2D ．[0,1]9.函数2()()ln f x x x x =-的图像大致为 A ．B ． C. D ．10.如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A ．{B ．{ C. { D ．{11.已知1x =是函数3211()(2)()32x f x x e a x x =---在(0,)+∞上的唯一极值点，则实数a 的取值范围是 A ．(,]e -∞ B ．(,)e -∞ C.1[,)e+∞ D ．1(,)e +∞。
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5.【答案】C
【解析】 的值域是 ，p是假命题， 是真命题；当T为非零有理数时 对任意 恒成立，q是真命题，故选C.
6.【答案】A
【解析】 ，得 ，所以 ，故选A.
7.【答案】B
【解析】 =
= ，故选B.
8.【答案】B
【解析】该几何体是四棱柱，底面是边长为1的正方形，侧棱长为 ,故选B.
(2)由 ,得 ，
因为曲线 在 处的切线经过点 ，
所以 ，即 ，所以 .(8分)
所以 ,
所以当 时， , 是增函数,
当 时， , 是减函数,
当 时， , 是增函数,(10分)
又
且
所以 在 上的最大值为 ,最小值为 .(12分)
22.解：(1)当 时， ,
所以 ,
设 ，则 ，
所以 时， ， 是增函数，
时， ， 是减函数，
所以 ， ，
所以 在 上是减函数.(5分)
（2）若函数 的图象与直线 没有公共点,
则 恒成立，或 恒成立，
由 得 ，所以 恒成立，
即 恒成立，即 恒成立，(6分)
设 ,则 ,
问题转化为 , > 恒成立,(8分)
设 ,则 ,
所以 时, , 时, ,
所以 在 上递减,在 上递增,(10分)
所以 ,
故 ,所以 .(12分)
20.解：（1）由 得 ，
两式相减得 ，即 ，
所以 ，
由 ，得 ， ，
所以 是首项为1，公比为 的等比数列.(6分)
(2)由(1)得 ， ，
所以 ,
设 ，
则 ，
两式相减得
= ，
所以 ，
所以 .(12分)
21.解：（1）由 ， 得 ，
两边平方得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，(3分)
由 得， ，
所以 .(5分)
取 ,得 ,所以m＝ ,
设平面BCD与平面BEF所成锐二面角为
则 ＝ ,
所以平面BCD与平面BEF所成锐二面角的余弦值为 .(12分)
19.解：(1)设 ，则 ，
因为 是奇函数，
所以 ，
即 .(6分)
(2)由题意可得 ，又 ，
所以 ， ，所以 在 上是减函数，所以 ，
故 是方程 的两个根.(12分)
所以BF∥平面CDG.(4分)
（2）由题意可知，直线DG，DE，DF两两垂直，
以D为原点,直线DG，DE，DF分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , , , , ,
, , ， .(6分)
设平面BCD的一个法向量为n＝ ,则有 ,得 ,
取 ,得 ,所以n＝ ,
设平面BEF的一个法向量为m＝ ,则有 ,得 ,
9.【答案】C
【解析】由 ，可排除B，D，由 ， ，可得 ，由此可排除A，故选C.
10.【答案】D
【解析】当n为偶数时，由 恒成立，得 恒成立，所以 ，当n为奇数时，由 恒成立，得 恒成立，所以 ，即 ，综上可得实数a的取值范围为 .故选D.
11.【答案】A
【解析】设直线 与曲线 有公共点 ,则 ,设 ,则 ,所以 在 上是增函数,在 上是减函数,所以 , ，又 ，所以 ，当 时， ,所以 ,故选A.
17.解：(1)由 及正弦定理可得 ，
即 ,(2分)
整理得 ，
因为 , ,所以 , . (5分)
（2）由 及△得 = ，
所以 ，所以△ABC的周长为30.(10分)
18.解：(1)连接AF，与CD交于点H，连接GH，
则GH为△ABF的中位线，
所以BF∥GH，
又BF 平面CDG，GH⊂平面CDG，
15.【答案】
【解析】由题意，可设圆C的方程为 ，则 ， ，所以 ，则圆C的方程为 ，即 ，可得 ，设 ，则 = =
= ，由题意可知， ，所以 .
16.【答案】
【解析】如图所示,当平面ABC与平面BCD垂直时三棱锥 的体积最大，此时过三角形ABC的中心E作平面ABC的垂线，过三角形BCD的中心F作平面BCD的垂线，两垂线交于点O，则O为三棱锥 的外接球的球心，设平面EOF与BC交于点G，则四边形EOFG为正方形，且OE= ，OG= ， ，所以 = ，即三棱锥 的外接球的半径为 ，所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
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江西名校学术联盟·2019届高三年级教学质量检测考试（二）
理数·参考答案
1.【答案】C
【解析】因为 , ，所以 ，故选C.
2.【答案】A
【解析】由全称命题的否定是特称命题，先改变量词，再否定结论，故可排除B，C，D，选A.
3.【答案】C
【解析】由 得 共线，所以 ，所以 ，故选C.
4.【答案】D
12.【答案】B
【解析】由 的图象经过点 ，则 ，所以 ，结合 可得 ， ，所以 ， ， ，所以 ，所以 ，故选B.
13.【答案】
【解析】由双曲线C的一条渐近线的方程为 ，得 ，所以双曲线C的离心率 .
14.【答案】
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中 ， 表示点 与定点 连线的斜率，直线斜率最小为 .