第四章随机过程习题课

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随机过程习题和答案

一、设二维随机变量 ( ,) 的结合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：＝当时，＝设失散型随机变量X 听从几何散布：试求的特点函数，并以此求其希望与方差。

解：因此：袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确立的 t对应随机变量t假如对 t时获得红球X (t )3e t假如对 t时获得白球试求这个随机过程的一维散布函数族 .设随机过程，此中是常数，与是相互独立的随机变量，听从区间上的均匀散布，听从瑞利散布，其概率密度为试证明为宽安稳过程。

解：（ 1）与没关（2），因此（3）只与时间间隔有关，因此为宽安稳过程。

设随机过程X (t ) U cos2t，此中 U 是随机变量，且E(U ) 5， D (U ) 5.求：（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数 .设有两个随机过程X (t ) Ut 2， Y(t ) Ut 3 ,此中 U 是随机变量，且 D (U ) 5.试求它们的互协方差函数。

设 A, B是两个随机变量, 试求随机过程X (t) At 3B，t T ( ,)的均值函数和自有关函数.若 A, B互相独立,且 A ~ N (1,4), B ~ U (0,2),则m X(t)及R X(t1, t2)为多少？一队学生按序等候体检。

设每人体检所需的时间听从均值为 2 分钟的指数散布而且与其余人所需时间互相独立，则 1 小时内均匀有多少学生接受过体检在这 1 小时内最多有40 名学生接受过体检的概率是多少（设学生特别多，医生不会安闲）解：令 N (t) 表示 (0, t) 时间内的体检人数，则N (t ) 为参数为 30 的poisson 过程。

以小时为单位。

则 E(N(1)) 30。

40 (30) k e 30。

P(N (1) 40)k!k 0在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐 1,2 路公共汽车的强度分别为 1，2，当 1 路公共汽车有N1人乘坐后出发； 2 路公共汽车在有N2人乘坐后出发。

湖南大学《随机过程》课程习题集

湖南大学本科课程《随机过程》习题集主讲教师：何松华教授第一章：概述及概率论复习1.1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其中有次品的概率。

1.2 设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。

1.3 设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。

1.4 设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续n 次取得合格品的概率。

1.5设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且0()00xA Be x F x x λ-⎧+≥=⎨<⎩其中λ≥0为常数，求常数A 、B 的值。

1.6设随机变量X 的分布函数为 ()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞(1) 求系数A 、B ；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。

1.7已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为6(2)0,1(,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨⎩(1)求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2)问X 、Y 是否相互独立？1.8已知随机变量X 的概率密度分布函数为22()()]2X X X x m f x σ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c ，b 为常数。

求Y 的概率密度分布函数。

1.9设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为101()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨⎩，0()0y Y e y f y elsewhere -⎧<=⎨⎩求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数。

1.10设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为σY 的正态分布，求X 的概率密度分布。

(解答)《随机过程》第四章习题

第四章二阶矩过程、平稳过程和随机分析习题解答1、设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。

解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。

2、设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。

（1）试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？（2）试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？解：（1）样本函数不连续。

（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。

随机过程习题课

3!
3
(2)求[0,2]内收到3次且[0,3]内收到5次呼唤的概率 P ( N ( 2) 3, N ( 3) 5) P ( N (2) N (0) 3, N ( 3) N ( 2) 2) ( 2 2)3 ( 22 ) ( 2 1)2 ( 21) 64 6 e e e 3! 2! 3 (3)已知[0,3]内收到5次呼唤，求[0,2]内收到3次呼唤的概率.
E ( 2 ) E ( )( t1 t 2 ) E ( 2 )( t1t 2 ) C X (t1 , t 2 ) RX (t1 , t 2 ) X (t1 ) X (t 2 )
[ E ( 2 ) E ( )2 ] [ E () E ( ) E ( )]( t1 t 2 ) [ E ( 2 ) E ( )2 ]( t1t 2 )
37 19 19 , , 75 75 75
p(2)
1 p(0) P (2) 3
即两年后所占市场份额分别是 20
(2)试问至第2年底，A公司转移多少客户给B公司。 p12 (2)
p12 (2) 0.24
即第2年底，A公司转移24%客户给B公司。 (3)若某顾客第一年底是A公司的客户，第三年是B公司的客户，第四年仍然是A公司的客户，求该事件的概率
0 1 3 F ( x; ) 4 2 3 1 x 2 2
(1) t

4
X 4 P
2 X( ) A 4 2
2 2 1 3 2 1 3 3 2 1 3 2

2 x 2 2 2 x x 3 2 2 3 2 2
( 2) t
P ( N ( 2) 3 N ( 3)
64 6 e P ( N ( 2) 3, N ( 3) 5) 35 5) 6 6 P ( N ( 3) 5) e 5!

随机过程第4章习题

⎧2 x (0 ≤ x < 1) 对于当给定 ξ ( n－1) = x 时 ξ ( n ) 的条件概率密度均与分布 n = 1,2,3， L， f 0 ( x) = ⎨ ⎩0 (其他）
于 (1 - x, 1) 之间。问 ξ ( n ), n = 0,1,2,L , 是否满足严平稳的条件？解（待补充）
= E e j (ωt +θ ( t ) ) = e jωt
{
} ⋅ E {e ( ) }
jθ t
= e jωt ∫ e jx dF ( x, t )
由于 θ (t ) 是一个二阶严平稳过程，故
mξ ( t ) = e jωt ∫ e jx dF ( x, t ) = e jωt ∫ e jx dF ( x ) = e jωt ⋅ E e jθ ( 0)
条件数学期望
E (Y | xi ) = ∑ y j p j / i = ∑ y j p{ Y = y j | X = xi }
j j
全期望公式
E ( X ) = E{E [X / Y ]} = ∑ p Y = y j E (X / y j )
j
[
]
注意到
η ( t1 ) = m, η ( t2 ) = n η ( t1 ) − η ( t2 ) = k , η ( t1 ) + η ( t2 ) = η ( t1 ) − η ( t2 ) + 2η ( t2 ) = k + 2n
且 P{ξ (0) = 1} =
p1 p1 + p 2
，
p2 试证明该过程为严平稳过程。 p1 + p 2
解（提示）：给出初始时刻的概率分布，给出任意时刻的概率分布，证明它们示相同的；给出任意 N 个时刻的概率分布，证明它们具有平移不变性。

随机过程习题集-第四章马尔可夫过程

1第四章马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念（1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。

称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。

参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。

若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。

随机过程-习题-第4章-01

4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求：（1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之；（2）该过程的均值和相关函数。

问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先，{}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ======根据泊松过程的独立增量性质可知{}{})(1212121211221212!)()]([)()()(t t k k ek k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是，{}21122!)(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----===(2) 解：该过程的均值为[]()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑+∞=--+∞=-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >)[]()[])]([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-=其中，)()]()([1212t t t N t N E -=-λ121212)]([t t t N E λλ+=于是，12t t >时的相关函数为[]12121212121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-=同理可得21t t >时的相关函数为[]221221)()(t t t t N t N E λλ+=所以，泊松过程的相关函数为[]{}2121221,min )()(t t t t t N t N E λλ+=所以，泊松过程过程不是平稳过程。

《随机过程》第4章离散部分习题及参考答案

湖南大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案主讲教师：何松华教授30．设X(n)为均值为0、方差为σ2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：2[()()](0)E X n Y n h σ=，2220()Y n h n σσ∞==∑证：根据离散白噪声性质，220()[()()]()0X m R m E X n m X n m m σσδ⎧==+==⎨≠⎩()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞==⊗=-∑220[()()]{()()()][()()]()()()()()(0)m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞==∞∞===-=-===∑∑∑∑12121222112202121221210000[()]{()()()()][()()]()()[()()]()Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσδ∞∞==∞∞∞∞======--=--=-∑∑∑∑∑∑(对于求和区间内的每个m 1,在m 2的区间内存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠)1222110()()()m n h m h m h n σσ∞∞====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为σ2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求σW 2。

解：该级联系统的单位脉冲响应为121211100()()()()()()()1(/)()1/n m m m m mn n n nnn m m n nm m h n h n h n h n m h m a u n m b u m b b a aba b a a u n a b a a b∞∞-=-∞=-∞+++-===⊗=-=---⎛⎫====⎪--⎝⎭∑∑∑∑参照题30的结果可以得到21122222211212000222222222()[()2()()]()2(1)[]()111(1)(1)(1)n n n n n W n n n a b h n a ab b a b a b a ab b ab a b a ab b a b ab σσσσσσ++∞∞∞+++===⎡⎤-===-+⎢⎥--⎣⎦+=-+=-------∑∑∑32．设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。

随机过程第四章习题解答

第四章习题解答4.1Y1,Y2,···是来自总体Y的随机变量，与X0独立，h(x,y)是实函数.对于n 1，取X n=h(X n−1,Y n).设{X n}的状态空间为I，验证{X n}是马氏链，给出转移概率p ij.解：由题知，Y k与X1,···,X k−1独立,k 1,∀n,i,j,i1,...,i n−1∈I有，P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1, (X0)i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i)=P(h(i,Y)=j)=P(h(i,Y1)=j|X0=i)=P(X1=j|X0=i).∴X n是马氏链，P ij=P(h(i,Y)=j).4.2设{X i,i 0}是取非负整数值的独立同分布的随机变量序列，V ar(X0)>0.验证以下随机序列是马氏链：(a){X n,n 0};(b){S n,n 0}，其中S n=∑ni=0X i;(c){ξn,n 0}，其中ξn=∑ni=0(1+X i).解：∀n,i,j,i0,···,i n−1∈N+,(a).P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j)= P(X n+1=j|X n=i)=P(X1=j)=P(X1=j|X0=i).1第四章离散时间马尔可夫链第四章离散时间马尔可夫链(b).P(S n+1=j|S n=i,S n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i|X n=i−i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i)=P(X n+1=j−i,S n=i|S n=i)=P(S n+1=j|S n=i)=P(X1=j−i)=P(X1=j−i|X0=i)=P(S1=j|S0=i).(c).P(ξn+1=j|ξn=i,ξn−1=i n−1,···,ξ0=i0)=P(X n+1=ji −1)=P(X n+1=ji−1|ξn=i)=P(ξn+1=j|ξn=i)=P(X1=ji −1)=P(X1=ji−1|X0=i)=P(ξ1=j|ξ0=i).4.3马氏链的状态空间是I=(1,2,3,4,5)，转移概率矩阵P=0.20.80000.50.5000000.50.500.20.3000.500001界定马氏链的状态。

(解答)《随机过程》第四章习题

（2）如果 X ~ N (0,1) ，问过程 (t) 是否均方可微？说明理由。
解：计算随机过程 (t) 的相关函数：
R (s,t) E{ (s) (t)} E{( X cos 2s Y sin 2s)(X cos 2t Y sin 2t)} cos 2s cos 2tE{X 2} sin 2s sin 2tE{Y 2} [cos 2s sin 2t sin 2s cos 2t]E{XY}
4、设有随机过程 X (t) 2Z sin(t ) ， t ，其中 Z 、是相互独立的随机变量，Z ~ N (0,1) ，P( / 4) P( / 4) 1/ 2 。问过程 X (t) 是否均方可积
过程？说明理由。
解：由 Z 、的相互独立性，计算随机过程 X (t) 的均值函数和相关函数： E{X (t)} E{2Z sin(t )} 2E{Z}E{sin(t )} 0
Y (t) 2X (t) 1， t 0 。试求过程{Y (t), t 0} 的相关函数 RY (s,t) 。
解：由相关函数的定义，有：
RY (s,t) E{Y (s)Y (t)} E{(2X (s) 1)(2X (t) 1)} 4E{X (s) X (t)} 2E{X (s)} 2E{X (t)} 1 4E{X (s) X (t)} 4 1
0
T 2 T T E{X (s) X (u)}dsdu m2 00
T 2
T 0
T 0
R
X
(
s

u
)dsdu

m
2
T 2
T 0
T 0
[C

随机过程习题及答案

第二章随机过程分析1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1. 随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。

可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。

ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1)如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为1111111(,)(, ) (2 - 2)∂=∂F x t f x t x对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。

如果2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ∂=∂⋅∂存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。

对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。

如果n n 12n 12n n 12n 12n 12n(x )() (2 - 6)∂=∂∂∂F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。

《随机过程答案》第四章习题

第四章二阶矩过程、平稳过程和随机分析习题完整答案，请搜淘宝1、设∑=-=N k k k k n U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。

2、设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。

（1）试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？（2）试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？3、设}0),({≥t t X 是一实的零初值正交增量过程，且),(~)(2t N t X σμ。

令1)(2)(-=t X t Y ，0≥t 。

试求过程}0),({≥t t Y 的相关函数),(t s R Y 。

4、设有随机过程)sin(2)(Θ+=t Z t X ，+∞<<∞-t ，其中Z 、Θ是相互独立的随机变量，)1,0(~N Z ，2/1)4/()4/(=-=Θ==ΘππP P 。

问过程)(t X 是否均方可积过程？说明理由。

5、设随机过程t Y t X t 2sin 2cos )(+=ξ，+∞<<∞-t ，其中随机变量X 和Y 独立同分布。

（1）如果)1,0(~U X ，问过程)(t ξ是否平稳过程？说明理由；（2）如果)1,0(~N X ，问过程)(t ξ是否均方可微？说明理由。

6、设随机过程});({+∞<<∞-t t X 是一实正交增量过程，并且0)}({=t X E ，及满足：{}+∞<<∞--=-t s s t s X t X E ,,)]()([2；令：+∞<<∞---=t t X t X t Y ),1()()(，试证明)(t Y 是平稳过程。

(完整版)随机过程习题

随机过程复习一、回答： 1、什么是宽平稳随机过程？2、平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3、窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？4、什么是白噪声？性质？二、计算：1、随机过程t A t X ωcos )(=+t B ωsin ，其中ω是常数，A 、B 是相互独立统计的高斯变量，并且E[A]=E[B]=0，E[2A ]=E[2B ]=2σ。

求：)(t X 的数学期望和自相关函数？2、判断随机过程)cos()(φω+=t A t X 是否平稳？其中ω是常数，A 、φ分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。

πϕφ21)(=f πϕ20 ； 222)(σσa A eaa f -=0 a3、求随机相位正弦函数)cos()(0φω+=t A t X 的功率谱密度，其中A 、0ω是常数，φ为[0,2π]内均匀分布的随机变量。

4、求用)(t X 自相关函数及功率谱表示的)cos()()(0φω+=t t X t Y 的自相关函数及谱密度。

其中，φ为[0,2π]内均匀分布的随机变量，)(t X 是与φ相互独立的随机过程。

5、设随机过程}),cos()({0+∞<<-∞+=t Y t A t X ω，其中0ω是常数，A 与Y 是相互独立的随机变量，Y 服从区间)2,0(π上的均匀分布，A 服从瑞利分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000)(2222x x ex x f x A σσ试证明)(t X 为宽平稳过程。

解：（1）)}{cos()()}cos({)(00Y t E A E Y t A E t m X +=+=ωω⎰⎰=+=∞+-πσωσ20002220)cos(22dy y t dx exx 与t 无关（2） )()}({cos )()}cos({)}({)(20222022A E Y t E A E Y t A E t X E t X≤+=+==ωωψ dt e tdx e xA E t x ⎰⎰∞+-∞+-==0222223222221)(σσσσσ，20222022|2|222σσσσσ=-=+-=∞+-∞+-∞+-⎰t t tedt ete所以+∞<=)}({)(22t X E t Xψ （3）)]}cos()][cos({[),(201021Y t A Y t A E t t R X ++=ωω )}cos(){cos(][20102Y t Y t E A E ++=ωω dy t t y t t πωωωσπ21)](cos )[cos(2121202010202--++=⎰)(cos 1202t t -=ωσ 只与时间间隔有关，所以)(t X 为宽平稳过程。

随机信号分析基础第四章习题

RW ( ) E[W (t)W (t )] E[ A2 X (t) X (t ) ABX (t)Y (t ) ABX (t )Y (t) B2Y (t)Y (t )]
A2RX ( ) B2RY ( ) ABRXY ( ) ABRYX ( )
由维纳辛钦定理可得： GW () A2GX () B2GY () ABGXY () ABGYX ()
4.5 功率谱估值的经典方法 1. 平滑法
将全部数据用来计算出—个周期图，然后在频域将其平滑
G (i )
1 2L 1
iL
Gˆ N
j i L
(
j)
窗口根据实际情况选择
4.5 功率谱估值的经典方法
谱估值的一些实际问题
1.数据采样率 2.每段数据的长度L 3.数据总长度 4.数据预处理 a.把无用的直流分量和周期分量(比如市电干扰)去掉 b.处理前还应去掉信号中的“趋势项”，比如电生理记录
rect( )
2a
a2 2
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
sin2 ( )
2
( )2
2
4.3 功率谱密度的性质
性质1：非负性， Gx(ω)≥0 性质2： GX(ω)是实函数
性质3： Gx(ω)是偶函数，即 GX () GX ()
性质4： GX ' ( ) 2GX ( )
(2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成分就在频域的相应频率上产生δ-函数。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系典型的傅氏变换
(t)
1
c os0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos0
1 , 1

随机过程(超容易理解+配套例题).

t
K(t) H (t) 0 K(t s)dF(s)
其中H(t)，F(t)为已知，且当t<0时， H(t)， F(t)均为0，当H(t)在任何区间上有界时称此方程为适定更新方程，简称更新方程。
设m(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为M(t)
m(t
)
F
t
t
0
m
t
s
dF
s
,
M (t)
f
t
t
0
Nt
X t Yi i1
称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
条件Poisson过程
1、定义：设是一个正的随机变量，分布函数为G(x)，设N(t) 是一个计数过程，
在的条件下， {N(t),t≥0}是参数为的泊松过程，即对任意的 s, t≥0，有
PN t s N s n tn et
一个典型的更新过程的例子就是机器零件的更换。在0时刻，安装上一个新零件并开始运行，当零件在X1时刻发生损坏，马上用一个新的来替换（假设替换零件不需要时间），当第二个零件从X1时间开始运行，到X2时间发生损坏时，我们马上换第三个零件….这些零件的使用寿命是独立同分布的，那么到t时刻为止已经更换的零件数目就构成一个更新过程。
解：
设 N (t)表示在时间t时到达的顾客数
P(N(0.5) 1, N(2.5) 5)
P(N(0.5) 1, N(2.5) N(0.5) 4)
P(N(0.5) 1)P(N(2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!4!0.0来自55Poisson过程的推广
随机过程简介
1、实际背景：在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.

随机过程及应用习题课四

1. 设{(),0,1,2,}X n n =为马氏链，证明12312{(1)|(2),(3),,()}{(1)|(2)}n P X x X x X x X n x P X x X x =======即马氏链的逆序也构成一个马氏链. 2. 如果马氏链的转移概率矩阵为0110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭证明：此马氏链不是遍历的马氏链，但具有平稳分布.3. 一个开关有两种状态：开或关，设它现在开着时，经过单位时间(s )后，它仍然开着的概率为12，关上的概率为12；当它现在关着时，经过单位时间(s )后它仍然关着的概率为34，它打开的概率为14. 假设开关的状态转移只在0,1,2,3,…(s )时进行. 设0t =时，开关开着. 求3t =时，开关关着和开关开着的概率.4. 甲乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为r ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分. 当两人中有一个获得2分时，结束比赛. 以()X n 表示比赛至第n 局时，甲获得的分数. {(),0,1,2,}X n n =是一个齐次马氏链.（1）写出此马氏链的状态空间；（2）写出状态转移矩阵；（3）计算2步转移矩阵；（4）问在甲获得1分的情况下，再赛2局就结束比赛的概率为多少？5. A 、B 、C 三家公司决定在某一时间推销一新产品. 当时它们各拥有13的市场，然而一年后，情况发生了如下的变化：（1）A 保住40%的顾客，而失去30%给B ，失去30%给C ；（2）B 保住30%的顾客，而失去60%给A ，失去10%给C ；（3）C 保住30%的顾客，而失去60%给A ，失去10%给B .如果这种趋势继续下去，试问第2年底各公司拥有多少份额的市场？（从长远来看，情况又如何？）6. 一质点沿圆周游动，圆周上按顺时针等距排列五个点0，1，2，3，4，把圆周分成五格。

随机过程课后习题

习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。

求X 的特征函数、EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。

4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求的分布。

5．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

6．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的概率密度函数。

8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。

求X+Y 的分布。

9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。

10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。

11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nk k X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f t n e -=-21()1f t t=+11n i i XX n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

第四章 随机过程习题课

随机过程习题和答案

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