高中数学人教B版选修2-1同步练习：2.1.1曲线与方程的概念word版含答案

2.1.1曲线与方程的概念
一、选择题
1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么()
A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P既在圆M上，也在直线l上
D．点P既不在圆M上，也不在直线l上
[答案] C
[解析]将P(2,1)代入圆M和直线l的方程，得(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，∴点P(1,2)既在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2上也在直线l：x＋y－3＝0上，故选C.
2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析]根据曲线与方程的概念知．
3．下列各组方程中表示相同曲线的是()
A．x2＋y＝0与xy＝0
B.x＋y＝0与x2－y2＝0
C．y＝lg x2与y＝2lg x
D．x－y＝0与y＝lg10x
[答案] D
[解析]∵lg10x＝x，故x－y＝0与y＝lg10x表示相同的曲线．
4．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k＝()
A．±3 B．0
C．±2 D. 一切实数
[答案] A
[解析]两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.
5．给出下列曲线，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是()
①4x ＋2y －1＝0；②x 2
＋y 2
＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22
－y 2
＝1.
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
[答案] D
[解析] y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，无交点；将y ＝－2x －3代入x 2＋y 2＝3得5x 2＋12x ＋6＝0
Δ＝144－4×5×6＝24>0故有两个交点； 同理y ＝－2x －3与x 22±y 2
＝1也有交点．故选D.
6．曲线y ＝1
4x 2与x 2＋y 2＝5的交点是( )
A ．(2,1)
B ．(±2,1)
C ．(2,1)或(22，5)
D ．(±2,1)或(±25，5) [答案] B
[解析] 易知x 2＝4y 代入x 2＋y 2＝5得y 2＋4y －5＝0得(y ＋5)(y －1)＝0解得y ＝－5，y ＝1，y ＝－5不合题意舍去，∴y ＝1，解得x ＝±2.
二、填空题
7．如图所示曲线方程是__________________．
[答案] |y |＝x
[解析] 曲线表示两条射线y ＝x (x ≥0)和y ＝－x (x ≥0)∴曲线方程为|y |＝x . 8．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________． [答案] 四个点
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2
－4＝0y 2－4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2
y ＝－2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2y ＝2或⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2y ＝－2 故方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是四个点． 三、解答题
9．若直线x ＋y －m ＝0被曲线y ＝x 2所截得的线段长为32，求m 的值．
[解析] 设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，联立直线与
曲线得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －m ＝0，(1)y ＝x 2
.(2)将(2)代入(1)得x 2＋x －m ＝0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－m ，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋(－1)2·|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·1＋4m ＝32，所以1＋4m ＝3，所以m 的值为2.
一、选择题
1．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( ) A ．直线2x －y ＝0 B ．直线2x ＋y ＋3＝0
C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0
D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0 [答案] C
[解析] ∵4x 2－y 2＋6x －3y ＝(2x ＋y )(2x －y )＋3(2x －y )＝(2x －y )(2x ＋y ＋3)， ∴原方程表示两条直线2x －y ＝0和2x ＋y ＋3＝0.
2．设曲线F 1(x ，y )＝0和F 2(x ，y )＝0的交点为P ，那么曲线F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0必定( )
A ．经过P 点
B ．经过原点
C ．经过P 点和原点
D ．不一定经过P 点
[答案] A
[解析] 设A 点坐标为(x 0，y 0)，∴F 1(x 0，y 0)＝0，F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x 0，y 0)－F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0过定点P .是否有F 1(0,0)＝F 2(0,0)未知，故是否过原点未知．
3．方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝0表示曲线是( ) A ．圆 B ．两条直线 C ．一个点 D ．两个点 [答案] C
[解析] 由题意得x ＝2且y ＝－2为一个点．
4．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＝－|ax |(a ∈R )的交点个数一定是( ) A ．2 B ．4
C ．0
D ．与a 的取值有关 [答案] A
[解析] 画出图形，易知两曲线的交点个数为2. 二、填空题
5．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线是________． [答案] 两条线段
[解析] 由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0，∴y ＝|x |，|x |≤1∴曲线表示两条线段． 6．已知直线y ＝2x －5与曲线x 2＋y 2＝k ，当________时，有两个公共点；当________时，有一个公共点；当________时，无公共点．
[答案] k >5；k ＝5；0<k <5
[解析] 首先应用k >0，再联立y ＝2x －5和x 2＋y 2＝k 组成方程组，利用“△”去研究． 7．|x |＋|y |＝1表示的曲线围成的图形面积为____． [答案] 2
[解析] 利用x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形，其边长为2，面积为2.
三、解答题
8．已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A 、B 两点，且|AB |＝5，求实数b 的值． [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋b ，xy ＝2.
消去y 整理得2x 2＋bx －2＝0，①
运用x 1＋x 2＝－b
2，x 1·x 2＝－1及y 1－y 2＝(2x 1＋b )－(2x 2＋b )＝2(x 1－x 2)，得
|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2
＝5·(x 1－x 2)2
＝5·b 2
4
＋4＝5.
解得b 2＝4，b ＝±2.
而①式中Δ＝b 2＋16>0一定成立，故b ＝±2.
9．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围．
[解析] 解法1：由方程组⎩⎨⎧
y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2(y ≥0)，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1(y ≥0). 消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．
l 与C 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，
可得⎩⎪⎨
⎪⎧
△＝4b 2－8(b 2－1)>0，
y 1
＋y 2＝b >0，y 1y 2
＝b 2
－12
≥0，
解得1≤b < 2
解法2：在同一直线坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图形，如图所示，易得b 的范围为1≤b < 2.。