初中全等三角形专题复习.docx

全等三角形

1、知识点复习

全等三角形定义： ____________________________________

三角形全等的条件：

边边边公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS。简称为“三边”

边角边公理：如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS。简称为“边夹角”

角边角公理：如果两个三角形的两个角及•其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等,简记为ASA。简称为“角夹边”

角角边公理：有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为AAS。简称为“角角边”

斜边直角边定理：两个直角三角形的直角边和斜边对应相等，这两个直角三角形全等，简记为：HLo

三角形全等的应用：证明全等测量距离证明平行

判定三角形全等的方法：

(1)已知两边对应相等

①证第三边相等，再用SSS证全等

②证已知边的夹角相等，再用SAS证全等

③找直角，再用HL证全等

(2)已知一角及其邻边相等

①证已知角的另一邻边相等，再用SAS证全等

②证已知边的另一邻角相等，再用ASA证全等

③证已知边的对角相等，再用AAS证全等

(3)已知一角及其对边相等

证另一角相等，再用AAS证全等

(4)已知两角对应相等

①证其夹边相等，再用ASA证全等

②证一已知角的对边相等，再用AAS证全等

（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

（2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长屮线）

（3）利用加氏（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）

2、典型例题

例题1、如图，在ZA（）B的两边C）A,OB上分别取C）M=ON, OD=OE, 求证：点C在ZAOB的平分线上.

DN和EM相交于点C.

例I题2、•如图，在/XABC中，AB = AC, ZBAC = 4 0°,分别以AB, AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE ,使ZEAD = Z.CAE = 90°.

（1）求ZDBC的度数；（2）求证：BD = CE .

例题3、如图，四边形A BCD的对角线AC与相交于。点，Zl = Z2 , Z3 = Z4. 求证：（1）/\ABC ^/\ADC ；（2）BO = D O.

例题4、(1)如图1,以厶ABC的边AB. AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判断△ ABC与厶AEG而积Z间的关系，并说明理由.

(2)园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有止方形的面积Z和是。平方米，内圈的所有三角形的面积Z和

是b平方米，这条小路-共占地多少平方米?

E

外

（因

2 ）

例题5、

一、直角三角形的全等问题：宜角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！宜角

三角形有关的全等问题中，除了特用的HL定理之外，在条件的寻找上首先就有了一纟艮肓角

相等；而多个直角，多个垂总的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”

来得到其他的角相等。

例一：图1,已知D0丄BC, OC=OA, OB=OD,

［分析］:

图

1

［变形1］：请说明ABCE是直角三角形。

［变形2」：（2008威海）把两个含有45。角的直角三角板如图1放置，点D在BC上

连结BE, AD, AD的延长线交BE于点F.求证：AF丄BE.

B

［分析］:

C A

［变形3］：两个人小不同的等腰点角三角形三角板如图1所示放賢，图2是山它抽象出的儿何

图形，B, C, E在同一条直线上，连结CD.

(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);

(2)证明：CD1BE

［变形4］、如图2,在AABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，问△ BHD^AACD,

为什么？

［分析］:D

图1 图2

C

［变形5］：如图3,已知ED丄AB, EF丄BC, BD=EF，问BM=ME吗？说明理山。

D

图3

例二：如图1,已知，AC丄CE, AC=CE, ZABC=ZCDE=90° ,问BD=AB+ED 吗?

［分析］:

（1）凡是题中的垂直往往意味着会冇一组90°角，得到一组等量关系；

（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等Z后，还要继续往下面想，这儿组相等的边能否组合在一起：

［变形1］：如图7,如果△ ABC^ACDE,请说明AC与CE的关系。

［注意］:两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）

C

［变形2］：（2008泸州）如图，E是正方形ABCD的边DC ±的一点，过点A作FA丄AE 交CB的延长线丁•点F,

求证：DE=BF

［分析］:

F B C

［变形3］：如图8,在AABC中，ZBAC=90° , AB=AC, AE是过点A的直线，BD丄AE,

CE 丄AE,

如果CE=3, BD=7,请你求出DE的长度。

［分析］:

D

［变形4］：在Z\ABC中，ZACB= 90°, AC=BC,直线MN经过点C,且AD丄MN于D,

BE丄MN于E。

（1）当直线MN绕点（2旋转到图9的位置时，△ADC9ACEB, 口DE=AD+BE。你能说

出具屮的道理吗？