图论-平面图在信息学中的应用-平面图理论
图论及其应用的平面图
f4
f2 f3
f1
平面图G
在上图中，红色边在G中的导出子图为面 f3 的边界。
deg( f1) 1 deg( f2 ) 3 deg( f3 ) 6 deg( f4 ) 6
1、平面图的次数公式
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定理1 设G=(n, m)是平面图，则：
deg( f ) 2m
f
证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义， 它也给总次数贡献2次。于是有：
f1
平面图G
在上图G中，共有4个面。其中f4是外部面，其余是内部 面。Φ=｛f1, f2, f3, f4｝。
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 在G中，顶点和边都与某个给定区域关联的子图，称 为该面的边界。某面 f 的边界中含有的边数(割边计算2次)
要求空调管道间不能交叉。如何设计？
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且 仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应 的图为：
A1
A6
A2
A5 A3
A4
于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不 会相互交叉？
图论及其应用
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
闭卷考试 （60%-70%）
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关 系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为： a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
第3章 平图与平面图
第1节 平图与Euler公式
基本性质 性质1
10
若图 G 是平面图，则 G 的任何子图都是平面图。
性质2
性质3
若图 G 是非平面图，则 G 的任何母图都是非平面图。
若图 G 是平面图，则在 G 中添加重边或环边后所得之
图仍是平面图。
注：由以上定理知
(1) K n ( n ≤ 4 ) 和 K1,n (n ≥ 1) 及其所有子图都是平面图。 (2) 环边和重边不影响图的平面性。
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第1节 平图与Euler公式
定理3.1.2
14
平面图 G 中所有面的次数之和等于 G 的边数的
两倍，即
deg( f ) 2
i 1 i
r
其中 f1 , … , fr 是 G 的所有面。
证明：对
G 的任何一条边 e ，若 e 是两个面 fi 和 fj 的公共
边界，则在计算 fi 和 fj 的次数时， e 各提供了 1 ；若 e 只 是某一个面的边界，则在计算该面的次数时， e 提供了 2 。
返回 结束
第2节 Kuratowski定理
定理3.2 (Kuratowski定理 1930)
24
P125
图G是平面图 G不含K5或K3,3的细分图。
根据Kuratowski定理，可以断定：所有树都是平面图。
补充 (Wager定理 1937)
P128
图G是平面图 G不含边收缩为K5或K3,3的子图。
定理3.1.4 设G是简单平面图，则G是极大的 ε= 3ν- 6。 推论3.1.4.1 设G是简单平面图，则 ε≤ 3ν- 6。 推论3.1.4.2 若图G是简单平面图，则δ≤5。 推论3.1.4.3 K5是非平面图。
《图论》第5章 平面图
5.1 平面图及其性质
[区域] 由平面图的边包围而成，其中不含图的顶点。 也称为面。包围域 R 的所有边组成的回路称为该 域的边界，回路长度称为该域的度，记为deg(R)。
[例]
v2
v1
R1
v3
v5 各域的边界：
v4
v6 R2
R0
v7
R3
R0: v1 v2 v4 v5 v7 v7 v4 v3 v1 R1: v1 v2 v4 v3 v1 R2: v4 v5 v7 v4 v6 v4 R3: v7 v7
deg(R0)=8, deg(R1)=4, deg(R2)=5, deg(R3)=1
5.1 平面图及其性质
[定理5-1-1] 平面图 G 的所有域的度之和等于其边数 m 的2倍，即：
r
deg(Ri ) 2m
i1
➢ 域的度也称为域的次数。
[内部面和外部面] 由平面图的边包围且无穷大的域称 为外部面。（如上例的域 R0 为外部面）
5.1 平面图及其性质
[二部图] 图 G=(V, E)，若 V 可划分成 V1 和 V2 两部分， 使得：①任给 v1 V1，若( v1, v2 ) E ，则必 v2V2 ；②任给 v2 V2，若( v1, v2 ) E ，则必 v1V1 。则称G为一个二部图。
[例]
5.1 平面图及其性质
[完全二部图] 设 G=(V, E)为一个二部图， V1 和V2 如 上所述，若 (v1) (v2)(v1V1, v2V2 ( v1, v2 ) E)， 则称 G 为一个完全二部图，记为 Kn1, n2。 ( n1 =|V1| ，n2 =| V2 |)
m (nk 1)l l 2
[证明]
由欧拉公式： nm+d =k+1 得 d = k+1+mn 由[定理5-1-1]：2mld = l (k+1+mn)= (k+1n)l +ml 联立得不等式： (l2)m (n k1)l
图论第6章
面的连通平面图，则有
n – m + ф =2
（1.2）
证明 对ф 用归纳法。
当ф =1时 ，G 无圈又连通，从而是树，有
于是
n =m+1 n -m+ф =（m+1）- m + 1= 2
设 ф = k 时，（1.2）式成立。
9
当 ф = k+1 时，此时 G 至少两个面，从而有 圈 C。删去 C 中一条边，记所得之图为 G ’ 。并 设 G ’ 的点数、边数和面数依次为 n’ , m’ 和 ф ’, 易知 G ’ 仍连通，但只有 k 个面，由归纳假设有
(1.7）
证明 只需在定理4的证明中将所有不等号改为等号即可得 (1.7)式。
例3 在右图所示的图中， m=12，n = 8，l = 4
有 12×(4-2) = 4×(8-2)， 满足（1.7）式。
例4 证明 K5 和 K 3,3 是不可平面图。
16
证明 若 K5 是可平面图，则因 K5 是至少三个点的简单图， 由推论1，K5 应满足 m≤3n -6。而 K5 中 m=10， n = 5，代
例1
=
平面图
可平面图
3
不可平面图
=
可平面图
不可平面图
4
= 可平面图
= 可平面图
5
定义： 设G 是一个平面图，G 将所嵌入的平 面划分为若干个区域，每个区域的内部连同边界 称为 G 的面，无界的区域称为外部面或无限面。 每个平面图有且仅有一个外部面。设 f 是 G 的一 个面，构成 f 的边界的边数（割边计算两次）称 为 f 的次数，记为 deg(f )。
y1
y2
y3
但如果在 x3 与y1 之间也要修一条铁路，则 可验证满足要求的方案不存在。
图论方法在信息科学中的应用研究
图论方法在信息科学中的应用研究图论是数学中的一个分支，研究的对象是图。
图是用点和线（或称边）所组成的数学模型，它是一种非常抽象的结构，但在现实生活中却有着广泛的应用。
图论方法在信息科学中的应用研究，旨在利用图论的理论和方法来解决信息科学领域中的各种问题，包括网络安全、社交网络分析、推荐系统等方面。
在信息科学领域，网络结构是一个非常重要的研究对象。
网络由节点和边组成，节点代表实体或主体，边代表节点之间的联系。
通过构建网络结构，我们可以分析节点之间的关系，发现隐藏在数据背后的规律，并为信息传播、资源分配等问题提供有效的解决方案。
网络安全是信息科学中一个非常重要的研究领域，图论方法在网络安全中得到了广泛的应用。
通过建立网络的图模型，可以分析网络中节点之间的连接关系，识别出网络中的关键节点和脆弱点，从而设计有效的安全防护策略。
例如，通过分析社交网络中用户之间的联系，可以识别潜在的垃圾信息传播节点，采取相应的措施进行防范。
另一个信息科学领域中图论方法的应用是社交网络分析。
社交网络是人们之间相互联系的网络模型，通过分析社交网络中节点之间的联系，可以发现人们的社交行为规律、群体结构等信息。
社交网络分析可以应用在社交媒体营销、舆情监测等领域，帮助企业提升营销效果，政府及时了解社会热点，从而更好地服务人民。
除此之外，图论方法还在推荐系统中得到了广泛的应用。
推荐系统是一种通过分析用户的行为数据，向用户推荐他们可能感兴趣的信息、产品等内容的系统。
通过构建用户-物品关系的图模型，可以发现用户之间的相似性和物品之间的相关性，从而为用户提供更加个性化和准确的推荐。
图论方法在推荐系统中的应用，可以提高系统的精确度和用户满意度，促进用户与系统的互动与信任。
总的来说，图论方法在信息科学中的应用研究具有重要的意义。
通过构建图模型，可以揭示数据之间的联系和规律，帮助人们更好地理解信息世界。
图论方法不仅可以提高信息科学研究的效率和准确度，还可以推动信息技术的发展与创新。
图论平面图
本定理的用途:判定某图是非平面图。
说明：这是简单 图是平面图的必 要条件。
例如：K5中e=10，v=5，3v-6=9，从而e>3v-6， 所以K5不是平面图。
定理4.6.3的条件不是充分的。如K3,3图满 足定理4-6.3的条件（v=6，e=9，3v-6=12， e≤3v-6成立），但K3,3不是平面图。
4-6 平面图
重点：掌握欧拉定理及其证明。
一、平面图 1、定义4-6.1 如果无向图G=<V,E>的所有结点和 边可以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点 处相交。无向图G称为平面图，否则称G为非平面 图。
有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不 能就此肯定它不是平面图，例如，下面左图表面看 有几条边相交，但如把它画成右图，则可看出它是 一个平面图。
5.定理4-6.3 设G为一简单连通平面图，其顶点数 v≥3，其边数为e，那么 e≤3v – 6
证明思路：设G的面数为r,当v=3,e=2时上式成立,
若e=3,则每Hale Waihona Puke 面的次数不小于3,各面次数之和不小于
2e,因此
2e≥3r, r≤2e/3
代入欧拉公式: 2=v-e+r≤v-e+ 2e/3
整理后得: e≤3v – 6
定义4-6.3 设图G=<V,E>是一连通平面图,由图中 各边所界定的区域称为平面图的面(regions)。有界的 区域称为有界面，无界的区域称为无界面。界定各面 的闭的路径称为面的边界（boundary），面r的边界长 度称为面r的度（degree）记为deg (r) ，又称为面r的 次数 。
例如图
故 v-e+r=2成立。 （2）若G为一个边，即v=2，e=1，r=1，
图论讲义第7章-平面图
第七章 平面图§7.1 平面图的概念定义7.1.1 如果图G 能画在曲面S 上，使得任意两边互不交叉，则称G 可嵌入曲面S 。
若图G 可嵌入平面，则称G 是可平面图或平面图，画出的无交叉边的图形称为图G 的平面嵌入。
例如，下面是三个平面图及其平面嵌入。
根据定义，下列定理是显然的。
定理7.1.1 若图G 是平面图，则G 的任何子图都是平面图。
定理7.1.2 若图G 是非平面图，则G 的任何母图都是非平面图。
定理7.1.3 若图G 是平面图, 则在G 中添加重边或环边后所得之图仍是平面图。
注：由以上定理知(1) K n ( n ≤4 ) 和 K 1,n (n ≥ 1)及其所有子图都是平面图。
(2) 环边和重边不影响图的平面性。
故以下讨论平面性时总假定图G 是简单图。
定义7.1.2 设图G 是平面图 (已平面嵌入)，G 的边将平面划分出的若干区域都称为图G 的面。
其中面积无限的面称为无限面或外部面，面积有限的面称为有限面或内部面。
包围一个面的所有边称为该面的边界。
一个面边界上的边数称为该面的次数 (割边按两次计)，面R 的次数记为deg (R )。
定理7.1.4 平面图G 中所有面的次数之和等于G 的边数的两倍，即其中R 1, R 2, … , R r 是G 的所有面。
证明： 对G 的任何一条边e ，若e 是两个面 R i 和 R j 的公共边界，则在计算R i 和 R j 的次数时，e 各提供了1；若e 只是某一个面的边界，则在计算该面的次数时，e 提供了2。
可见每条边在计算总次数时，都提供2。
因而结论成立。
1deg()2().r ii R G ε==∑定义7.1.3设G为简单平面图，若在G的任意不相邻的顶点u, v之间加边uv 后，所得之图成为非平面图，则称G是极大平面图。
易见K1, K2, K3, K4, K5– e 都是极大平面图。
定义7.1.4 若非平面图G任意删除一条边后，所得之图都是平面图，则称G为极小非平面图。
图论第6章-平面图
若G不是树，则G中含有回路。设边e在G的 某个回路上。令G′=G-e(从G中删除边e，而得 到G′)，则G′仍然是连通图。设n′，m′和r′分别是 的结点数、边数和面数。则n′=n，m′=m-1=k， r′=r–1 。 于 是 n=n′ ， m=m′+1 ， r=r′+1 。 因 为 G′ 是连通图且m′=k，所以G′满足归纳假设的条件。 由归纳假设知：n′–m′＋r′=2，所以 n–m+r= n′–(m′+1)+(r′+1)= n′-m′+r′=2。
v1
v4
R0 R2 R1 v2
v3 v5
v6
又例：下图为非连通的平面图，有两个连
通分支， deg(R1)=3， deg(R2)=4， R0的 边界由两个初级回路v1 v2 v3v1 和v4 v5 v6 v7 v4围成， deg(R0)=7 。
v1
v4
v7
v2
R1 v3R0 v5
R2
v6
定理：设G=V,E是有限平面图，有r个面，
如下图G1,G2,G3是同胚的。
G1
G2
G3
定理 (库拉斯基定理) 一个图G是非平面的，当 且仅当它包含一个同胚于K3.3或K5的子图。
例 说明彼得森图不是平面图。
解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图
(b)H。a 而H胚于Kf 3,3,所以皮c 得森不是平f面图。d
j
f ejg baFra bibliotekd g
6
36
4
54 12
7
8
离散数学-图论-平面图
1975年4月1日,他发表 了声称只能用五色完成 的地图.
试试用四色?
18
作业
作业
P293: 2，5，6 P296: 2，5 b)，7, 5 a) c)
19
内部面.
例:面,边界,度,周线,相邻
边界为何不一定是圈?
因为割边的存在
面的度与边数
定理:平面图中面的度与图的边数m满足 fF(G) d(f ) = 2m
计算面的度时, 割边要算2次.
推论:平面图中奇度面数必为偶数.
欧拉公式
定理(欧拉1852):设G是连通平面图,它的顶点 数n, 边数m, 面数r 之间有 n–m+r=2
等号成立G是极大平面图 推论:简单平面图G中存在度小于6的顶点.
12
对偶图
定义:给定图G,如下构造的图G*,称为G的对偶 图(dual graph). 1.G中每个面Ri内放一个G*顶点v*i ; 2.对应面Ri和Rj的公共边e,作一条仅与e相交一 次的边e* (v*i,v*j) E(G*); 3.若割边e在面Ri的边界上,则作v*i上仅与e相交 一次的环e*.
例: K5是不可平面图.
K5是结点数最少的不可平面图.
例: K3,3是不可平面图.
K3,3是n6时边数最少的不可平面图.
8
Kuratowski定理
加细:在图的边上任意增加一些度为2的顶点.
原图与加细图称为同胚.
定理(Kuratowski):G是可平面图 G没有同胚 于K5和K3,3的子图.
平面图
1
平面图
定义:图G若能画在平面上,使任何两条边在顶 点之外都不相交, 就称G可嵌入平面,或称G是 可平面图.否则称不可平面图.
平面图
，所以2m 3r, 由Euler公式n-m+r=2，得 m≤3n-6。 用此推论可以判定一个图不是平面图, 例如证明K5不是 平面图: K5中有n=5 m=10 3n-6=3×5-6=9 不满足 m≤3n-6,所以K5不是平面图.
d(f ) 2m 又由于
f F
f F
推论2. 若G是简单连通平面图, 则≤5.
f4 : 边界: v5 v6 v5 f5 : 边界: v6 v5 v8 v8 v5 v7 v6 f6 : 边界: v8 v8 注1：在计算面的度时，割边被计算两次。 注2：每个平面恰有一个无界的面----外部分. F(G): 平面G中面的集合 . r(G)=|F(G)|----面的个数.
f3 : 边界: v1 v3 v2 v1 d(f3)=3
v3*
v5
F3
F1 v1* F2 v2*
对偶图的性质
1. G*是唯一的, 且G*是连通的(∵ 任何两个面都存 在相邻边.) 2. G*是平面图. 3. 若G是平面连通图, 则(G*)*=G. 4. m(G*)=m(G), n(G*)=r(G), d(v*)=d(f). 5. 设C是平面图G的一个圈, S*是G*中与C的各边ei 对应的G*的边集合 , 则S*是G*的一个割集. 证明: ∵ C把G的域分成两部分, ∴ E(G*)-S*把G* 的点分成不连通的两部分.
1976年,美国伊利诺斯(Illinois)大学的阿佩尔 (K.Appel) 和黑肯(W.Haken)把四色问题归结 为2000个不同的组合结构图形,利用三台高速 IBM360计算机对这些图形进行分析，用了 1200机时,近百亿次逻辑判断, 证明了“四色定 理”. 1977年, 证明的细节发在文章上, 争议也从此开 始. 争议的中心是我们能不能、该不该接受这个 证明. 1996年, Robertson, Samders, Seymour, Thomas给出另一个机器证明. 他们利用了更有 效的方法, 使机时减到633小时. 值得一提的是这两个依赖计算机给出的证明中所 使用的方法的核心部分依然的1879年,肯普 (Kempe)给出的证明方法。
图论在计算机科学中的应用
图论在计算机科学中的应用1. 简介图论是研究图及其在数学中的性质和应用的分支学科。
它研究的对象是由节点和边组成的图模型，图模型可以用来描述各种实际问题。
在计算机科学中，图论有着广泛的应用。
本文将介绍图论在计算机科学中的几个重要应用领域。
2. 网络分析在计算机网络中，图论被广泛用于网络拓扑分析、路由算法设计、网络优化等领域。
例如，通过建立网络拓扑图，可以分析网络结构的特征，如节点的度、连通性等。
基于这些信息，可以设计出高效的路由算法，优化网络带宽分配，提高网络的性能和稳定性。
3. 社交网络分析社交网络分析是通过图论方法来研究社交网络中的人际关系和信息传播模式。
通过构建社交网络图，可以分析人际关系的密切程度、信息传播的路径和影响力等。
这些信息对于社交网络的营销、推荐系统和舆情分析等都有重要意义。
4. 图像处理在图像处理领域，图论被广泛应用于图像分割、图像匹配和图像压缩等任务。
通过构建图像的区域图和像素图，可以将图像分割为不同的区域，实现图像的自动识别和分析。
同时，图论的最短路径算法也被用于图像匹配和图像检索等应用中。
5. 数据库设计图论在数据库设计中也有重要的应用。
例如，在关系型数据库中，可以使用图论的概念来解决复杂查询问题，通过图的遍历和连接操作，可以高效地实现多表查询和关系推理。
而在非关系型数据库中，如图数据库，图论更是被广泛应用于数据存储和查询。
6. 流程优化图论可以用于流程的优化和调度问题。
例如，在生产流程中，可以构建生产流程图，通过最短路径算法和调度算法，实现生产流程的优化和资源的合理调度。
类似地，在物流领域也可以利用图论来优化配送路线，降低成本和提高效率。
7. 算法设计许多算法和数据结构都依赖于图论的基本概念和算法。
例如，最短路径算法、最小生成树算法、拓扑排序算法等都是图论中的经典算法。
这些算法在计算机科学中有着广泛的应用，如路由算法、最优化问题求解、任务调度等领域。
8. 人工智能图论在人工智能领域也有重要的应用。
图论中的图的平面性质及其应用
图论中的图的平面性质及其应用图论是一门研究图与其性质的学科，它在计算机科学、数学、物理学等领域均有广泛应用。
而其中一项重要的研究就是图的平面性质。
所谓图的平面性质，指的是一个图是否能够被画在平面上而不发生任何两条边相交的情况。
如果一个图的平面性质成立，那么我们就称其为平面图。
平面图是一种特殊的图，它没有任何交叉的边，这使得它在实际应用中具备了很多方便的特性。
那么如何判断一个图是否为平面图呢？其中一个著名的方法就是埃及学家的“三颗岛屿”问题（Königsberg问题）。
在这个问题中，我们需要判断一个城市中的四个陆地区域和两条河流是否能够被一条路径顺次地穿过。
经过一定的推理和证明，发现这个问题的关键在于它所对应的图是否为平面图。
目前，已经有很多算法和理论可以用来判断一个图是否为平面图。
其中最常用的是Kuratowski定理，它指出一个图是平面图，当且仅当它不含有K5和K3,3两种子图。
通过这个定理，我们可以较为简单地判断一个图是否为平面图。
除了判断一个图是否为平面图，平面图在实际应用中还有很多特殊的应用。
其中最广泛的莫过于地图着色问题。
在地图着色问题中，我们需要为每一个国家或地区分配一种独立的颜色，使得相邻的国家或地区颜色不同。
如果我们将每一个国家或地区看作图的节点，国界看作图的边，那么这个问题就可以被简化为对一个平面图进行着色。
为了解决地图着色问题，我们需要考虑到平面图的特殊性质。
其中最重要的就是欧拉公式。
欧拉公式给出了平面图中节点数、边数和面数之间的关系式：V-E+F=2。
其中V表示节点数，E表示边数，F表示面数。
这个公式可以帮助我们解决一些与平面图相关的问题。
在地图着色问题中，我们可以使用带权区间图的贪心算法进行求解。
首先，我们可以将每一个国家或地区看作是一个节点，然后按照欧拉公式计算出平面图的面数F。
然后，我们可以将所有边按照长度排序，然后从前往后依次添加边，如果两个节点之间的边跨越了一个已经着色的区域，那么我们就需要给这个新的区域分配一个新的颜色。
图论的应用
◎惋注幷克天粵信计专业(61 数理与信息工程学院图论的应用摘要:图论从诞生至今已近300年，但很多问题一直没有很好地解决。
随着计算机科学的发展，图论又重新成为了人们研究讨论的热点，图形是一种描述和解决问题直观有效的手段，这里给出图论在现实生活中的一些应用。
引言：虽然最早的图论间题追溯1736年（哥尼斯堡七桥间题），而且在佃世纪关于图论的许多重要结论已得出。
但是直到20世纪20年代图论才引起广大学者的注意并得以广泛接受和传播。
图论即形象地用一些点以及点与点之间的连线构成的图或网络来表示具体问题。
利用图与网络的特点来解决系统中的问题，比用线性规划等其他模型来求解往往要简单、有效得多。
图论就是研究图和网络模型特点、性质和方法的理论。
图论在许多领域，诸如物理、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学以及经济管理等各方面都有广泛的应用，它已经广泛地应用于实际生活、生产和科学研究中。
1首先：图论可以解决一些看似很难实际上却很简单的问题:例一：一个部门中有25人,小吴由于纠纷而使得关系十分紧张，是否可便每个人与5个人相处融洽？则可以建立一个图的模型，最基本的问题是如何描述它一什么是结点，什么是边？在本问题中，没有太多的选择，只有人和纠纷。
我们可试着用结点来代表人。
用边来代表图中结点之间的关系，这是很常见的。
在这里结点之间的关系是“关系是否融洽”，因此，若两个结点（人）关系融洽，那么就在它们之间加上一条边。
现在假设每个人与其他5个人关系融洽。
在图一上显示出我们所描述的图的一部分，小张与小王、小李、小赵、小黄和小吴关系融洽，再没有其他人。
25个人均是这种情况。
这是否可能？在图论中，一个重要的推论：在任意图中，具有奇数度的结点个数必为偶数。
现在出现了矛盾：有25（奇数）个具有5（奇数）度的结点。
因此，该间题是不可能实现的。
例二、一个国际会议，有a，b, c, d, e，f，g等7个人•已知下列事实：a会讲英语；b会讲英语和汉语；c会讲英语、意大利语和俄语；图二d会讲日语和汉语；e会讲德语和意大利语；f会讲法语、日语和俄语；g会讲法语和德语。
图论算法在信息科学中的应用与研究
图论算法在信息科学中的应用与研究图论是一门研究图的性质和优化问题的数学分支，其在信息科学中的应用和研究具有广泛的领域和深远的影响。
本文将探讨图论算法在信息科学中的应用与研究，并从网络分析、社交媒体分析、交通运输规划等方面阐述其重要性与意义。
首先，图论在网络分析领域具有重要的应用。
如今，网络已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分，而网络结构往往可以用图来表示。
图论的一些算法和方法能够帮助我们深入了解网络的特性和行为，进而对网络进行优化和改进。
例如，最短路径算法能够帮助我们找到两点之间的最短路径，这在导航系统和物流规划中有着广泛的应用。
另外，最大流算法可以用于处理网络中的数据传输问题，如电信网络中的数据分发与传输等。
图论的应用使得网络分析能够更加深入和系统化，为网络优化提供了理论基础和实践指导。
其次，图论算法在社交媒体分析中发挥着关键作用。
随着社交媒体的快速发展，人们之间的互动和信息传递逐渐从传统的线下转向了线上。
而社交媒体平台中的关系网络即可用图表示。
图论的算法能够帮助我们发现社交媒体中的核心用户、关键节点以及信息传播的热点和影响力。
例如，通过节点中心性算法，我们可以计算每个用户的中心度，从而找到潜在的意见领袖和核心群体。
此外，社交网络的聚类算法可以用于发现用户间的社群和兴趣群体。
这些应用使得社交媒体分析更加深入和全面，为社交媒体运营和有效传播提供了重要依据。
此外，图论算法在交通运输规划中也具有重要意义。
随着城市化进程的加快和出行需求的增加，交通运输规划已经成为城市发展的重要方面。
而交通网络可以用图论来表示，通过图论算法可以优化交通网络的设计和运行，提高交通流量的效率和安全性。
例如，最短路径算法可以应用于交通导航系统中，帮助司机找到最佳的行驶路径。
此外，最小生成树算法可以应用于交通网络的建设和优化，从而降低交通拥堵和能源消耗。
通过图论算法，我们能够深入理解交通网络的结构和行为，为交通规划和管理提供科学的依据和决策支持。
图的平面图与欧拉公式
图的平面图与欧拉公式图论是数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和关系。
在图论中，平面图是一种特殊的图，它可以在平面上进行绘制而无需交叉边的重叠。
欧拉公式是描述平面图性质的一个基本公式，它关联了图中的顶点、边和面的数量，为图论的深入研究提供了重要的理论基础。
1. 平面图的定义平面图是指可以在平面上进行绘制的图，其中边不相交且不重叠。
在绘制平面图时，可以将图中的每个顶点用点表示，每条边用线段表示。
在平面图中，任意两条边之间不会相交，也不会重叠。
2. 平面图的性质平面图有一些独特的性质，其中最为重要的性质是欧拉公式。
除了欧拉公式外，平面图还有以下一些性质：- 每个平面图都可以通过连续切割平面来构造出来。
- 在平面图中，每个面都可以被边所包围，且每个面的边的数量都大于等于3。
- 在平面图中，每个顶点的度数（即与之相连的边的数量）都大于等于3。
- 在平面图中，顶点数、边数和面数的关系可以由欧拉公式进行描述。
3. 欧拉公式的表述欧拉公式是图论中的一个重要定理，它描述了平面图中顶点数（V）、边数（E）和面数（F）之间的关系，其表述如下：V - E + F = 2这个公式是由瑞士数学家欧拉于18世纪提出的。
欧拉公式的意义在于，通过已知的顶点数和边数可以计算出平面图中的面数。
同时，欧拉公式也可以反推，即通过已知的顶点数和面数可以计算出边数。
4. 欧拉公式的推导欧拉公式的推导可以通过对平面图的切割来进行，假设将平面图切割成一系列连通的图形，将每个图形中的边数相加得到总边数。
同时，将每个图形中的顶点数相加得到总顶点数，每个图形中的面数相加得到总面数。
根据欧拉公式的定义，可以得到以下关系式：V = 总顶点数E = 总边数F = 总面数 + 1将上述的关系式代入欧拉公式中可得：总顶点数 - 总边数 + （总面数 + 1） = 2化简后可得欧拉公式：V - E + F = 25. 欧拉公式的应用欧拉公式在图论中具有广泛的应用。
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在同一水平面上有N(N<=500)个洞穴，洞 穴之间有通道相连，且每个洞穴恰好连着三个 通道。通道与通道不相交，每个通道都有一个 难度值，现从1号洞穴开始遍历所有的洞穴刚 好一次并回到洞穴1，求通过通道难度值之和 的最小值。(给定所有通道的信息和在外圈上 的洞穴)
应用-例2:洞穴(CEOI97)
1
2
1,…,a2,…,a3,…,…,…,ak,…,1.
应用-例3:地图着色(ACM Shanghai 2000)
给定一地图，要求用不超过5种颜色涂每 一个区域，使得相邻区域的颜色不同。（区域 数<=500）
分析： 把每个区域看成点，相邻区域之间连一条边，则
问题转化为对每个点着色并使得相邻点颜色不同。 根据地图的平面性可知：转化后的图是平面图。
故对任何连通简单平面图G，G是五着色的.
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应用-例3:地图着色(ACM Shanghai 2000)
算法：
procedure Paint(G:Graph); 找出度最小的点v0 Paint(G-v0) 考虑图G，若无法对v0着色，则对v0的相邻点，枚举
相关定义、定理及推论
平面图
– 一个无向图G=<V，E>，如果能把它画在平面上， 且除V中的节点外，任意两条边均不相交，则称该 图G为平面图。
例如：图(a)经变动后成为(b)，故图(a)为平面图。而图(c)无论 如何变动，总出现边相交，图(c)为非平面图。
(a)
(b)
(c)
相关定义、定理及推论
面
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
如何建立图G？
算法二
– 定义线段树T：
时间性能分析
• 设节点N描述区间[a,b]的覆盖情况
排序：O(NlogN)
0
(无线段覆盖[a,b])
检索：O(NlogYmax)
• 则N.Cover= L
(线段L完全覆盖[a,b]) 插入：O(NlogYmax)
-1
应用-例3:地图着色(ACM Shanghai 2000)
若d(v0)=5且各邻接点分别着不同的颜色，则设与之相 邻的点的按顺时针排列为v1,v2,v3,v4,v5.它们分别着不同的颜 色c1,c2,c3,c4,c5.
考 虑 点 集 Vc1,c3={v|v∈V(G1-v0)∧a(v)=c1 或 c3} 所 诱 导 的 G1-v0的子图<Vc1,c3>.若v1,v3属于<Vc1,c3>的不同的分图，则在 v1所在的分图中，调换颜色c1与c3后，v1,v2,v3,v4,v5五个点是 四着色的，再令v0着c1色，得到G1的一种五着色.
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应用-例3:地图着色(ACM Shanghai 2000)
若v1,v3属于<Vc1,c3>的同一的分图，则点集Vc1,c3∪{v0} 所诱导的G1的子图中含有一个圈C，而v2,v4不能同时在圈的 内 部 或 外 部 ， 即 v2,v4 不 是 邻 接 点 ， 于 是 考 虑 Vc2,c4={v|v∈V(G1-v0)∧a(v)=c2或c4}所诱导的子图<Vc2,c4>， v2,v4必属于<Vc2,c4>的不同的分图.做与上面类似的调整，又 可得到G1的一种五着色.
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
有没有更好的办法？
算法三—换个角度，从点出发 每次选取度最小的点v，由推论2知d(v)≤5，只需花常数时间就可 以计算含点v的三角形的数目. 应用二叉堆可以提高寻找和删除点v的效率，总的时间复杂度仅为 O(NlogN)
算法二与算法三的比较 算法二是以边作为出发点的，从整体上看，平面图中三角形的个 数只是O(N)级的，而算法二的复杂度却是O(N2)，这种浪费是判断 条件过于复杂造成的。算法三从点出发，则只需要判断某两点是 否相邻即可。
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
分析 把线段看成点 若两条线段水平可见，则在
对应两点之间连一条边，建 立无向图G 统计G中的三角形的数目
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
如何建立图G？ 算法一
– 设数组C[I]（I=0..2Ymax），C[2y]表示覆 盖y点的最后一条线段，C[2y+1]表示覆 盖区间(y,y+1)的最后一条线段
1
2
的最后一个除外）的个数小于等于1。
应用-例2:洞穴(CEOI97)
情形二
路径1-3-7-9-10-8-4把图分成两部分，
5
6
而且两部分中都有未访问过的点。由
于图是平面图，其中必有一部分点不
11 12
能被访问到。
3
4
9 10
剪枝条件二
7
8
设外圈上的点按连接顺序为1,a2,…,ak，
则访问的顺序只能为：
(其他情形)
– 线段树的存储：
使用完全二叉树的数组结构，可以免去复
杂的指针运算和不必要的空间浪费。
总计：O(NlogYmax)
空间性能分析
线段：O(N)
线段树：O(Ymax) 边表：O(N)
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
统计图G中三角形的数目
算法一 枚举所有的三元组，判断三个顶点是否两两相邻。由于总共有Cn3个三元 组，因此时间复杂度为O(N3)
– 设G为一平面图，若由G的一条或多条边所界定的 区域内不含图G的节点和边，这样的区域称为G的 一个面，记为f。包围这个区域的各条边所构成的圈， 称为该面f的边界，其圈的长度，称为该面f的度， 记为d(f)。为强调平面图G中含有面这个元素，把平 面图表示为G=<V，E，F>，其中F是G中所有面的 集合。
相关定义、定理及推论
定理1：若G=<V，E，F>是连通平面图，则∑f∈Fd(f)=2|E|. 定理2：若G=<V，E，F>是连通平面图，则|V|-|E|+|F|=2.
证明：
首先假定G是树，则|E|=|V|-1，G只有一个无限面， 因此|V|-|E|+|F|=|V|-(|V|-1)+1=2. 现在假设G不是树，由于G是连通的，故G中至少存在一个基本 圈C，于是G必有一个有限面f，而f的边界是由基本圈C及可能 连同计算两次的一些边组成.如果从G中删去基本圈C上的一条 边后得到的平面图G1=<V1，E1，F1>，则|V1|=|V|，|E1|=|E|-1， |F1|=|F|-1，故|V1|-|E1|+|F1|=|V|-|E|+|F|，仿此做下去，最终得到G 的一棵生成树T0=<V0，E0，F0>，于是|V|-|E|+|F|=|V0|-|E0|+|F0|=2.
对于任意平面图G，是否都能用不超过5种颜色着色？
应用-例3:地图着色(ACM Shanghai 2000)
定理：对于任意平面图G，都能用不超过5种颜色着色. 证明：只需考虑G是连通简单平面图的情形.
若|V|≤5，则命题显然成立. 假设对所有的平面图G=<V，E>，当|V|≤k时命题成 立.现在考虑图G1=<V1，E>，|V1|=k+1的情形.由推论2 可知：存在v0∈V1，使得d(v0)≤5.在图G1中删去v0，得 图G1-v0.由归纳，图G1-v0可用5种颜色着色. 若邻接结点使用颜色数不超过4，则可对v0着色， 得到一个最多是五色的图G1.
相关定义、定理及推论
推论1：给定连通简单平面图G=<V，E，F>，若|V|≥3， 则|E|≤3|V|-6且|F|≤2|V|-4.
推论2：设G=<V，E，F>是连通简单平面图，若|V|≥3， 则存在v∈V，使得d(v)≤5.
推论1：|E|=O(|V|)
邻接表、散列表结构O(|V|) VS
邻接矩阵结构O(|V|2)
谢谢!
应用-例1:水平可见线段(CEPC2001)
平面上有N(N<=8000)条互不相连的竖直线 段。如果两条线段可以被一条不经过第三条竖 直线段的水平线段连接，则这两条竖直线段被 称为“水平可见”的。三条两两“水平可见” 的线段构成一个“三元组”。求给定输入中 “三元组”的数目。（坐标值为0到8000的整 数）
分析 本题求的是最优路径，但最优路径具备什么性质并不
明显，故考虑深度优先搜索。 N最大达到500，考虑剪枝以提高效率。 基本剪枝条件：若当前路径的难度值的总和比当前最
优值大则放弃当前路径。 为了找到强剪枝条件，考虑问题所具有的特性
– 所有点的度数为3 – 所给的图是平面图 – 外圈上的点已知
所有点对,直到找到属于不同分图的点对，对其进行 调整. 任选剩下的一种颜色，对v0着色 时间复杂度：O(N2) 空间复杂度：O(N)
总结
以上例子分别论述了平面图理论在几类信 息学问题中的应用。我们研究平面图就是为了 更深刻地认识平面图，提高算法效率，但有时 候单独应用平面图理论还不够，还需要和其它 理论知识综合起来应用。然而要达到理想的效 果并非一朝一夕的事情，它还需要我们平时多 积累、多思考，遇到问题时才能运用自如。相 信随着对平面图的研究不断深入，平面图的应 用一定会更加广阔。
算法二 枚举一条边，再枚举第三个顶点，判断是否与边上的两个端点相邻。根 据水平可见的定义可知G为平面图，G中的边数为O(N)，故算法二的复 杂度为O(N2)
算法一与算法二的比较 算法一只是单纯的枚举，没有注意到问题的实际情况，而实际上三角形 的数目是很少的，算法一作了许多无用的枚举，因此效率很低。 算法二从边出发，枚举第三个顶点，这正好符合了问题的实际情况，避 免了许多不必要的枚举，所以算法二比算法一更加高效。