简单三角方程
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中最常见的一类方程，它包括一些最简三角方程，其中包含圆形、正弦、余弦和正切函数。
本文就是要介绍最简三角方程，它可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
一、最简三角方程最简三角方程是指一类特殊的方程，它们都是用圆形、正弦、余弦和正切函数组成的。
1）圆形函数圆形函数可以用来描述圆的参数，包括半径、x轴坐标和y轴坐标等参数。
其最终形式可以表示为：x2 + y2 = a2其中a为圆的半径，(x, y)为圆上的点的坐标。
2）正弦函数正弦函数用来描述一个三角形的角度和边长，其最终形式如下： cosx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
3）余弦函数余弦函数和正弦函数对比，最终形式如下：sinx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
4）正切函数正切函数可以用来表示三角形中角度与斜边长度之间的关系，最终形式如下：tanx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
二、求解最简三角方程的方法对三角形的角度与边长之间的关系用圆形、正弦、余弦和正切函数表示出来后，要求出它们的解需要用到几个方法。
1）反三角函数方法这种方法根据三角形方程已知的边长关系，解出等式左边的反三角函数，从而解决三角形的角度问题。
2）相似三角形的方法如果给定两个相似的三角形，则可以借助其中一个的边长关系求出另一个三角形的边长关系，从而求出它们的角度。
3）勾股定理的方法如果给定三角形的两条直角边，则可以用勾股定理求出其第三条边，从而解出三角形的角度。
三、最简三角方程的应用最简三角方程有着广泛的应用，可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
1）求解三角形的角度由最简三角方程可以很容易地求出三角形的角度，从而求出它们的边长关系。
2）用于测量最简三角方程也可以用来处理测量中的一些问题，比如利用勾股定理等方法求出一个夹角的弧长，从而求出它的面积。
3）用于图像处理由于最简三角方程可以简单地求出三角形的边长，所以在图像处理任务中也可以使用它们来处理图像的一些参数，比如求出图像中三角形的面积，以及某一点和其他点之间的角度等。
反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数:概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx.IL 2 2y = Sin X（X二R）,不存在反函数含义：arcsinx表示一个角：•；角• _一，一；sin〉=x.1 2 2J反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1 ）•符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数；(2) •y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3) •恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1],arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2(4) • 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。
2 2方程方程的解集Sin X = aa ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z }a <1{χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= aa ∣ = 1{χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z }a <1{χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a{χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z}(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
第五章 反三角函数与简单的三角方程第一节 反三角函数
由例7可知,等式
cos
6
3 2
6
arccos
3 2
所以
cos arccos
3 2
23.
一般地,如果x-1,1,那么 cosarccos x x
(53)
例8 求下列各式的值.
(1) cosarccos1;
(2)
cos
arccos
-
1 2
.
解 (1)因为1-1,1,根据公式(53),所以cosarccos1 1;
arctanx arctan x
arccotx arccot x
(57) (58)
例13 求下列各式的值. (1) arctan 33; (2) arccot0; (3) arctan(-1); (4) arccot(- 3).
解
(1)
因为tan6
3 3
,且6
2
,2
,所以arctan
3 3
6
;
(2) 因为cot 0,且 (0, ),所以arccot0 ;
22
2
(3) 根据公式(5-7),可知:arctan-1 arctan14;
(4)
根据公式(5-8),可知:arccot
-
3
=
-arccot
3 6 56.
例14 求下列各式的值.
(1)
arctan
tan
4
;
(2)
arctan
正切函数y=
tan
x在
-
2
,2
上的反函数称为反正切
函数,记作x=arctan y(或x=tan-1 y),如图5-6所示.
y
2
y arctan x
三角方程公式
三角方程公式三角方程公式1. 弧度与角度的转换公式•弧度转角度：角度=弧度×180π例如：将π3弧度转换成角度，则角度=π3×180π=60°•角度转弧度：弧度=角度×π180例如：将45° 角度转换成弧度，则弧度=45×π180=π42. 正弦定理•对于任意三角形 ABC，边长分别为 a, b, c，对应的角度为 A,B, C，则有：asin(A)=bsin(B)=csin(C)3. 余弦定理•对于任意三角形 ABC，边长分别为 a, b, c，对应的角度为 A, B, C，则有：c2=a2+b2−2abcos(C)4. 正切定理•对于任意三角形 ABC，边长分别为 a, b, c，对应的角度为 A,B, C，则有：sin(A)a =sin(B)b=sin(C)c5. 余切公式•对于任意三角形 ABC，有以下关系：cot(A)=1tan(A)=cos(A)sin(A)6. 欧拉公式•欧拉公式描述了指数函数与三角函数之间的关系，表达式如下：e ix=cos(x)+isin(x)以上是针对三角方程常用的一些公式。
在解决三角方程问题时，可以借助这些公式来简化计算，并且根据具体问题选择合适的公式进行使用。
7. 二倍角公式•正弦函数的二倍角公式：sin(2x)=2sin(x)cos(x)•余弦函数的二倍角公式：cos(2x)=cos2(x)−sin2(x)•正切函数的二倍角公式：tan(2x)=2tan(x)1−tan2(x)8. 和差角公式•正弦函数的和差角公式：sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)sin(A−B)=sin(A)cos(B)−cos(A)sin(B)•余弦函数的和差角公式：cos(A+B)=cos(A)cos(B)−sin(A)sin(B)cos(A−B)=cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)•正切函数的和差角公式：tan(A+B)=tan(A)+tan(B)1−tan(A)tan(B)tan(A−B)=tan(A)−tan(B)1+tan(A)tan(B)9. 其他常用公式•sin2(x)+cos2(x)=1：三角函数的平方和公式，对于任意角度 x，其正弦的平方与余弦的平方和等于1。
应用数学基础(上册)第05章 反三角函数与简单的三角方程
图5-3 y= cos x的图像
定义2 余弦函数y= cos x在 0,π 上的反函数称为反余弦函 数,记作x= arccos y(或x= cos-1 y).
以x作自变量,y作函数,则反余弦函数可表示成:y=arccos x (或y=cos-1 x).其中y(即arccos x)是角,而x是这个角的余弦值.这 样反余弦函数y= arccos x的定义域是x∈-1,1 ,值域是y∈0,π .
由例6两小题可以看出:
(1) 如果α ∈ −π ,π ,那么 2 2
arcsin ( sinα ) = α
(2) 如果α ∉ −π ,π ,那么 2 2 arcsin (sinα ) ≠ α
这时arcsin sinα 等于在 −π ,π 上且与α 角有相同正弦值 2 2 的另一个角.
π ,π . y = 3arcsin3x的定义域,值域分别为-1,1 , −π ,π 吗? 域是 −
2 2
2 2
例1 将下列各等式写成反正弦形式的等式. (1)sin π = 3 ; (2)sin π =1; (3)sin -π = − 2 ; (4)sin 0=0. 2 3 2 2 4
*第五章 反三角函数与简单 的三角方程
本章学习反三角函数的概念，讨论最简三角方程的解， 介绍正弦定理、余弦定理和它们在解斜三角形中的应用. 介绍正弦定理、余弦定理和它们在解斜三角形中的应用.
第一节 反三角函数 第二节 第三节 简单三角方程 解斜三角形
*第四节 数学实验一 Mathematica入门及 简单应用
而由上小题(1)可知sinα = 3,cosα = 4 , 5 5 3 所以 tanα = 5 = 3. 4 4 5 代入上式有:
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中重要的一种方程，它在日常生活中也有着广泛的应用。
最简三角方程是指通过三角函数表示的三角方程，它以角给定的情况下，用来求解相应的边长及角度大小。
本文将详细讨论最简三角方程，以及它在日常生活中的应用。
什么是最简三角方程最简三角方程是一种使用三角函数来求解三角形的边长和角度的方程。
它的原理是，对于一个三角形的两个角，可以求出其中一个角的正弦、余弦和正切函数值，然后使用最简三角方程，将这些函数值代入方程式进行计算，即可求出相应的边长和另一个角的值。
最简三角方程是：a=sinA*sinB/sin(A+B)b=cosA*cosB/sin(A+B)c=1/sin(A+B)式中A、B表示已给定的两个角，a、b、c分别为对应边的长度。
最简三角方程的应用最简三角方程在日常生活中有着广泛的应用，如：1）在渔民的航海活动中，需要经常使用最简三角方程来求算不同的大海位置，以便及时安全的到达目的地。
2）在调查动物原产地时，也会用到最简三角方程，根据捕获动物所在位置和动物发出叫声的方向，计算出动物原产地的方位。
3）在解决日常及工作中的一些复杂问题时，有时也会使用最简三角方程。
特别是与地图相关的问题，比如求解两个地点之间的距离，可以通过最简三角方程来求解。
4）在建筑工程中，建筑物的角度和大小一般都是由最简三角方程来推算出来的。
总结最简三角方程是一种重要的数学方程，它用来求解已给定的两个角的边长及另一个角的大小。
它的原理是，通过三角函数的值进行推算，最终求出三角形的边长及角度大小。
在实际生活中，最简三角方程还有着广泛的应用，如航海事业、捕获动物等。
解简单的三角函数方程
解简单的三角函数方程三角函数方程是初中数学中的一个重要内容，它涉及到三角函数的性质和运算。
本文将介绍如何解简单的三角函数方程，希望能够帮助中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、正弦函数方程的解法正弦函数方程的一般形式为sin(x) = a，其中a为已知常数。
要解这样的方程，可以通过求解对应的角度来得到解。
举个例子，如果要解方程sin(x) = 0.5，可以通过查找正弦函数值表或者使用计算器来得到一个角度的近似值。
在正弦函数值表中，我们可以找到sin(30°) = 0.5，因此x = 30°是这个方程的一个解。
但是，正弦函数是周期函数，它的周期是360°（或2π），所以除了30°，还有无数个解。
根据正弦函数的对称性，我们可以得到sin(150°) = 0.5，sin(210°) = 0.5，sin(390°) = 0.5，等等。
所以，x = 150°，x = 210°，x = 390°等也都是这个方程的解。
综上所述，sin(x) = 0.5的解是x = 30° + k × 180°，其中k为整数。
二、余弦函数方程的解法余弦函数方程的一般形式为cos(x) = a，其中a为已知常数。
要解这样的方程，可以通过求解对应的角度来得到解。
举个例子，如果要解方程cos(x) = 0.8，可以通过查找余弦函数值表或者使用计算器来得到一个角度的近似值。
在余弦函数值表中，我们可以找到cos(36.87°) ≈0.8，因此x ≈ 36.87°是这个方程的一个解。
同样地，余弦函数也是周期函数，它的周期也是360°（或2π），所以除了36.87°，还有无数个解。
根据余弦函数的对称性，我们可以得到cos(323.13°) ≈ 0.8，cos(683.13°) ≈ 0.8，cos(1003.13°) ≈ 0.8，等等。
简单三角方程
简单三角方程一：主要三角函数类型：（1） a sin 2x+b sinx+c=0 (a 0≠)型（2） a sinx+b cosx+c=0 (a 2+b 2≠0,c 0≠)(3) a sinx+bcosx=0 asin 2x+ b sinxcosx+c cos 2x=0(4) 同名三角函数相等模型：sinf(x)= sin )(x ϕ cos f(x)=cos )(x ϕtan f(x)=tan )(x ϕ cot f(x)=cot )(x ϕ(5) 含sin x ±cos x, sin x cosx 的三角方程典型例题：1：（1) 解方程 2sin 2x+3sinx-2=0(2) 2sinx-cosx=1(3) sin 2x-3sinx cosx+1=08sin 2x=3sin2x-1(sinx+cosx)2=2cos2x(4) 解方程 :a: tan5x=tan 4x ;b: 满足cos(2x+4π）=sin(6π-x)的最小正角:___________ c: 方程sin 2x=cos 2x 的解集是：_____________(5) 解方程:a : sin2x-12(sinx-cosx)+12=0;2(sinx+cosx)=tanx +cotx:Sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx+2=0b: sin 2x +sin 22x=sin 23xSin3x-sin2x+sinx=0Cos2x cos3x= cosx cos4xSin4x cos3x= sin6x cosxSin5x-sin3x=2cos4xSinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x二：方程有解的讨论：1：若关于x 的方程 sinx=2a-1,有解，则a 的取值范围是：_____________2: 若方程 2cosx=a )21(无解，则实数a 的取值范围：__________________3:若方程sinx=a 在[32π,35π]中恰有两个不同的实数解，则a 的取值范 _____4：（1）已知方程 2x 2-4xsin θ+3cos θ=0 (0πθ≤≤）有相等的实根，求θ值（2) 已知方程 x 2-(sin α+cos α)x+sin 2α-sin 01cos =-αα有两个相等的实数根求实数a 的取值范围和相应x 的值。
最简三角方程
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5) A= 或
以上问题中的四个等式，实质上 是关于A的方程。
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例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2）， 所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
象这样含有未知数的三角函数方程 叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
Байду номын сангаас
怪的花灯天憨味在奇妙的空气中飘忽……接着扁圆的蒜瓣鼻子闪眼间转化颤动起来……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出亮青色的缕缕美云……浓密微弯、活 像蝌蚪般的粗眉毛跃出深橙色的隐约幽热！紧接着像紫红色的金毛雪原狮一样长嘘了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了八十只犹如狮子似的 亮红色手掌。最后扭起奇如熨斗的手掌一叫，狂傲地从里面涌出一道怪影，她抓住怪影变态地一颤，一样黄澄澄、绿莹莹的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这 个这件奇物儿，一边蜕变，一边发出“啾啾”的疑声……突然间壮扭公主发疯般地让自己结实丰满、有着无穷青春热情的胸部萦绕出青兰花色的布条声，只见她睡意 朦胧的眼睛中，飘然射出二十组抖舞着¤飞轮切月斧→的牙齿状的豆包，随着壮扭公主的甩动，牙齿状的豆包像牛屎一样在双肩上怪异地安排出缕缕光幕……紧接着 壮扭公主又连续使出八百七十六派荡驴帆船望，只见她浑圆饱满、力如河马般的 霸蛮屁股中，突 然弹出四十簇颤舞着¤飞轮切月斧→的铜钱状的脸皮，随着壮扭公主 的颤动，铜钱状的脸皮像炸鸡一样，朝着Ｌ．崴敕柯忍者奇特的灰蓝色闪电般的手指神扫过去！紧跟着壮扭公主也滚耍着法宝像吹筒般的怪影一样朝Ｌ．崴敕柯忍者 神砸过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道墨紫色的闪光，地面变成了暗黄色、景物变成了紫红色、天空变成了墨蓝色、四周发出了虚幻的巨响…… 壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｌ．崴敕柯忍者笨拙的纯红色马鞍般的眼睛，此时正惨碎成钉子样的深绿色飞灰，高速射 向远方Ｌ．崴敕柯忍者狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将笨拙的纯红色马鞍般的眼睛复原，但元气已受损伤劈壮扭公主：“哈哈！这位干部的想法很是典雅哦！稍有 复杂性呢！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我要让你们知道什么是奇妙派！什么是迷离流！什么是新奇恶搞风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么剧本都弄出来 瞧瞧！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我让你享受一下『蓝光彩神地灯仙诀』的厉害！”Ｌ．搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！接着丰盈的浅橙色犀牛一样的眼罩立刻弹出凹彩地狱色的杨露牛舞味……怪异的 舌头喷出死鬼影摇声和哈呵声……有根羽毛的外套朦朦胧胧窜出明隐星光般的闪动。紧接着旋动粗犷的土黄色菜叶般的鼻子一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动短 小的火橙色彩蛋造型的脖子，像纯蓝色的千舌沙
反三角函数与简单三角方程
1 、反三角函数：
概念： 把正弦函数 y sin x ， x
, 时的反函数，成为反正弦函数，记作 22
y arcsin x .
y sin x(x R) ，不存在反函数 .
含义 ： arcsin x 表示一个角 ；角
, ； sin x . 22
反余弦、反正切函数同理，性质如下表 .
名称
函数式
1x x1
∴1 x2
4x2 1 4
x 4x2
1 解不等式组得
1 4
1
1
x
2
6
11 ∴不等式的解集为 ( , )
26
例 1. 写出下列三角方程的解集
简单的三角方程
(1) sin( x
)
2
;
(2) 2cos3x 1 0 ;
82
(3) cot x 3
文案大全
实用标准文档
解集 {x|x=(k π+arctg3) 2， k ∈Z}
（ 2 ）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简
单的三角方程的解；
（ 3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；
如：若 sin
sin ，则 sin
k ( 1)k ；若 cos
cos ，则
2k
；
若 tan tan ，则 a k
；若 cot cot ，则 a k
（ 4 ）． 恒等式 arcsin x＋ arccos x＝ , arctan x＋arccot x＝ 的应用。
2
2
文案大全
2 、最简单的三角方程
方程
实用标准文档
方程的解集
三角函数的三角方程与解法
三角函数的三角方程与解法三角方程是指含有三角函数的方程，其中未知数是角度。
解决三角方程的过程需要利用三角函数的性质和恒等式，以及代数的运算规则。
以下是一些常见的三角方程及其解法。
一、正弦方程正弦方程的一般形式为sin(x) = k，其中k为实数。
解决正弦方程的关键是根据sin函数的周期性和对称性，以及正弦函数的值域[-1,1]来确定解集。
1. 当k在闭区间[-1,1]内时，解集为{x | x = arcsin(k) + 2nπ, n为整数}。
2. 当k超出闭区间[-1,1]时，解集为空集。
例如，解方程sin(x) = 0.5，首先观察0.5在闭区间[-1,1]内，因此解集为{x | x = arcsin(0.5) + 2nπ, n为整数}。
二、余弦方程余弦方程的一般形式为cos(x) = k，其中k为实数。
解决余弦方程的方法与正弦方程类似，根据cos函数的周期性和对称性，以及余弦函数的值域[-1,1]来确定解集。
1. 当k在闭区间[-1,1]内时，解集为{x | x = arccos(k) + 2nπ, n为整数}。
2. 当k超出闭区间[-1,1]时，解集为空集。
例如，解方程cos(x) = -0.8，观察-0.8在闭区间[-1,1]内，因此解集为{x | x = arccos(-0.8) + 2nπ, n为整数}。
三、正切方程正切方程的一般形式为tan(x) = k，其中k为实数。
解决正切方程的方法也是根据正切函数的周期性来确定解集。
1. 解集为{x | x = arctan(k) + nπ, n为整数}。
例如，解方程tan(x) = 1，解集为{x | x = arctan(1) + nπ, n为整数}。
四、其他三角方程除了上述的常见三角函数方程，还有其他一些三角函数方程，例如割函数、余割函数、正割函数等。
解决这些方程的方法也是根据各个三角函数的性质和恒等式，以及代数运算规则。
综上所述，解决三角函数的三角方程需要根据不同的三角函数以及方程的形式来确定解集。
三角形方程式
三角形方程式三角形方程式是用来描述三角形内角和三边之间关系的一类数学方程。
在三角形中，内角和和三边之间存在着一定的关系，可以通过方程式来表示。
这些方程式可以用来解决与三角形相关的问题，如求解三角形的边长、角度等。
在三角形中，我们知道三个内角的和总是等于180度。
根据这个性质，我们可以得到三角形内角和的方程式。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有以下方程式成立：A +B +C = 180度这个方程式表达了三角形内角和等于180度的关系。
通过这个方程式，我们可以解决一些与三角形内角和相关的问题。
除了内角和的方程式，还有一些与三边长度相关的方程式。
其中最著名的是三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边。
假设三角形的三边分别为a、b、c，则有以下方程式成立：a +b > ca + c > bb +c > a这些方程式表达了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边。
通过这些方程式，我们可以判断一个三边长度组成的三角形是否存在。
除了上述基本的三角形方程式，还有一些与三角函数相关的方程式。
例如，正弦定理和余弦定理就是描述三角形内角和三边之间关系的方程式。
正弦定理是描述三角形内角和三边之间正弦关系的方程式。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，对应的三边长度分别为a、b、c，则有以下方程式成立：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)这个方程式表达了三角形内角和三边之间的正弦关系。
通过这个方程式，我们可以求解三角形的边长或角度。
余弦定理是描述三角形内角和三边之间余弦关系的方程式。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，对应的三边长度分别为a、b、c，则有以下方程式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)这个方程式表达了三角形内角和三边之间的余弦关系。
通过这个方程式，我们可以求解三角形的边长或角度。
以上是一些常见的三角形方程式，它们可以用来解决与三角形相关的各种问题。
最简三角方程
➢若
a 1 ，则解集为
{x | x 2k , k } 2
➢ 若 a 1 ，则解集为
x | x 2k arcsin a或x 2k arcsin a,k Z
{x | x k (1)k arcsin a, k }
一般地 ，方程 sinx=a, |a|<1 的解集是：
x | x 2k arcsin a或x 2k arcsin a,k Z
1 cos2x sin 2x 21 cos2x
2
2
sin 2x 3cos2x 1 22
13 sin(2x ) 1 ,其中tan 3
2
2
2
m [ 13 1, 13 1]
2
2
例12：方程sin x 3 cos x a 0 在 (0, 2) 有两个不 同的实数解 ，
（1）求a的范围（2）求 + 的值
解：原方程化为 2sin(x ) a
令y1
sin(x
3
),
y2
3
a 2
36
7 6 5 2
3
1
a 2
1,
a 2
3 2
即 2 a 2, a 3
利用中点知识，得到
2 或 2 7
6
6
sin x cosx 1 即sin(x ) 2 42
{x | x k (1)k , k }
44
（5）同名三角函数相等型
① sin f (x) sin (x) ② cos f (x) cos (x) ③ tan f (x) tan (x) ④ cot f (x) cot (x) 在这四种类型的方程中， ①可化为 f (x) 2k (x) 或 f (x) 2k (x) ②可化为 f (x) 2k (x) ③，④可化为 f (x) k (x)
高考数学复习重要知识点：反三角函数与简单的三角方程
2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程反三角函数是一种基本初等函数。
它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。
下面是2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程，希望对考生有帮助。
它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。
三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满意一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
欧拉提出反三角函数的概念，并且首先运用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x;相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2反正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]。
反正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。
定义域R，值域(-π/2，π/2)。
反余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。
定义域R，值域(0，π)。
小编为大家供应的2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程大家细致阅读了吗?最终祝大家可以考上志向的高校。
反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数：概念：把正弦函数y sinx , x 一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y arcsinx.2 2y sin x(x R)，不存在反函数.含义：arcs in x表示一个角；角，一；sin x.2 2(1).符号arcsi nx可以理解为[—一，一]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[—一，一]上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为[0 ,n ]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0 ,n ]上的一个实数；(2) . y= arcsi nx 等价于si ny= x, y€ [ —, — ], y= arccosx 等价于cosy= x, x€ [0, n ],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3).恒等式sin(arcsinx)= x, x€ [ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x€ [—1, 1],arcsin(sinx) = x, x€ [ —, — ], arccos(cosx) = x, x€ [0, n ]的运用的条件；2 2(4) . 恒等式arcsinx+ arccosx= , arctanx+ arccotx= 的应用。
2 2(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；(2)•解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；(3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；k女口：若sin sin ，贝U sin k ( 1) ;若cos cos ，贝U 2k ;若tan tan ，贝y a k ；若cot cot ，贝y a k ；(4).会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
【例题精讲】例1.分析与解:精品文档例4.分析与解: 例5.分析与解:例6•使arcsinx arccosx成立的x的取值范围是（分析与解：x从反三角函该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值范围，故需把数式中分离出来，为此只需对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。
反三角函数和最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
第35讲-简单的三角方程-基础
简单的三角方程教学目标1．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsina 、arccosa 、arctana 表示2.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题3.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程知识梳理（一）最简三角方程 1．正弦方程：（1）概念：sinx a =，称为最简正弦方程． （2）解集：>1a 时，无解（解集是∅）； =1a 时，=2+2x k ππ，k Z ∈；=1a -时，=22x k ππ-，k Z ∈；<1a 时，()=+1kx k arcsina π-，k Z ∈．2．余弦方程（1）概念：cos x a =，称为最简余弦方程。
（2）解集>1a 时，无解；=1a 时，=2x k π，k Z ∈；=1a -时，=2+x k ππ，k Z ∈；<1a 时，=2x k arccosa π±，k Z ∈．3．正切方程（1）概念：tan x a =称为最简正切方程。
（2）解集=+x k arctana πk Z ∈． （二）简单三角方程 类型1：sin()A x a ωϕ+=； 类型2：asinx bcosx c += ()22+0a b ≠；类型3：2asinx bsinx c += ()0a ≠；类型4：2+=0asin x bsinxcosx c +．典例精讲例1求下列方程的解集： （1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭； （2）tan(50)1x +=； （3）32sin 342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭； （4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭； （5）2cos 316x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,2]x π∈. 解：（1）原方程即cos 20.6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以262x k πππ-=+，得()23k x k Z ππ=+∈.所以方程的解集为{|,}23k x x k Z ππ=+∈. （2）由方程得5018045.x k +=⋅+ 所以1805()x k k Z =⋅-∈.所以方程的解集为{|1805,}x x k k Z =⋅-∈. （3）原方程即3sin 31422x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭. 所以方程的解集为∅. （4）原方程可化为1sin 2.43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以12(1)arcsin ()43kx k k Z ππ+=+-∈. 即(1)1arcsin ,2238k k x k Z ππ-=+-∈. 所以原方程得解集为(1)1{|arcsin ,}2238k k x x k Z ππ-=+-∈. （5）原方程可化为2cos 362x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32,64x k k Z πππ+=±∈. 当k Z -∈时，0x <，不合题意； 取0k =时，36x π=；取1k =时，1936x π=或2536x π=； 取2k =时，4336x π=或4936x π=； 取3k =时，6736x π=； 当3k >时，2x π>，不合题意.例2解下列三角方程： （1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-．解：（1）由积化和差公式将原方程化为121cos cos 20232x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1cos 22x =-． 所以2223x k ππ=±，即,3x k k Z ππ=±∈． 因此原方程的解集为{|,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为222sin cos 122x x ⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭，即2sin coscos sin442x x ππ-=，2sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 所以，(1),44kx k k Z πππ=+-+∈．因此原方程的解集为{|(1),}44kx x k k Z πππ=+-+∈．例3解下列三角方程：（1）22sin 5cos 10x x -+=； （2）3sincos 102xx ++=． 解：（1）原方程可化为22(1cos )5cos 10x --+=．整理，得22cos 5cos 30x x +-=． 解得1cos cos 32x x ==-或（无解）． 因此原方程得解集为{|2,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为23sin12sin 1022x x+-+=．整理，得22sin3sin 2022x x --=．解得1sin sin 2222x x=-=或（无解）． 因此原方程得解集为{|2(1),}3kx x k k Z ππ=--∈．例4解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=．解：把原方程左边分解因式，得(sin 1)(cos 1)0x x ++=． 所以sin 1cos 1x x =-=-或．由sin 1x =-，得32,2x k k Z ππ=+∈． 由cos 1x =-，得2,x k k Z ππ=+∈． 所以原方程的解集为3{|22,}2x x k x k k Z ππππ=+=+∈或．例5解下列三角方程：（1）3sin 2cos 0x x -=；（2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=； （3）26sin 4sin 21x x -=-．解：（1）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以cos x ，得3tan 20x -=，即2tan .3x =所以2arctan ,3x k k Z π=+∈． 所以原方程的解集为2{|arctan ,}3x x k k Z π=+∈．（2）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以2cos x ， 得22tan 3tan 20x x --=，解得1tan 2x =-或tan 2x =． 所以原方程的解集为1{|arctanarctan 2,}2x x k x k k Z ππ=-=+∈或． （3）原方程可化为2226sin 4sin 2(sin cos )x x x x -=-+． 即227sin 8sin cos cos 0x x x x -+=．将方程两边同除以2cos x ，得27tan 8tan 10x x -+=，解得1tan 1tan 7x x ==或． 所以原方程的解集为1{|arctan ,}47x x k x k k Z πππ=+=+∈或． 课堂小练1．（1）方程2cos 303x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的解集是___________． （2）方程2tan 210x +=的解集是___________．（3）2sin 31,[0,]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的解集是___________． 2．方程3sin cos 0x +=的解集是（ ）A .{|,}x x k k Z π=∈；B .{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C .{|,}6x x k k Z ππ=-∈； D .{|,}6x x k k Z ππ=+∈3．方程24cos 43cos 30x x -+=的解集是（ ）A .{|(1),}6kx x k k Z ππ=+-∈； B .{|(1),}3kx x k k Z ππ=+-∈；C .{|2,}6x x k k Z ππ=±∈； D .{|2,}3x x k k Z ππ=±∈.4．解方程：3sin 2cos21x x +=. 5．（1）方程2sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]π上的解是x =___________． （2）方程1sin23x =在[,2]ππ上的解是x =___________． （3）方程1sin 22x =在[2,2]ππ-内解的个数是___________．（4）方程sin 2sin 7x π=的解集是___________．6．方程21sin 2x =的解集是（ ） A .{|,}4x x k k Z ππ=+∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=-∈ C .{|2,}4x x k k Z ππ=+∈； D .{|,}4x x k k Z ππ=±∈7．方程21cos cos x x -=的解集是（ ）A .{|,}4x x k k Z ππ=±∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=+∈ C .{|,}4x x k k Z ππ=-∈； D .{|2,}4x x k k Z ππ=±∈8．方程cos3cos 2x x =的解集是（ ）A .{|2,}x x k k Z π=∈；B .2{|,}5k x x k Z π=∈ C .2{|2,}5k x x k x k Z ππ==∈或； D .(21){|2,}5k x x k x k Z ππ+==∈或9．设全集U 为R ，()sin f x x =，()cos g x x =，{|()0}M x f x =≠，{|()0}N x g x =≠ 那么集合{|()()0}x f x g x ⋅=等于（ ）A .U UMN 痧； B .U MN ð； C .U MN ð； D .U UMN 痧10．方程22sin sin 20a x a x +-=有非空解集的条件是（ ）A .||1a ≤；B .||1a ≥；C .||2a ≥；D .a R ∈参考答案1．（1）7{|22,}26x x k x k k Z ππππ=+=-∈或 （2）111{|arctan ,}222x x k k Z π=-∈（3）72531,,,36363636ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 2．C . 3．C . 4．1{|(1),}21212k x x k k Z πππ=+--∈ 5．（1）712π （2）122arcsin 3π- （3）8个（4）1{|(1),}214k x x k k Z ππ=+-∈ 6．D .7．D . 8．C . 9．D . 10．B .回顾总结熟练掌握各个类型的三角方程； 对于无范围的要注意周期讨论K .。
小学数学点知识归纳解简单的三角方程组
小学数学点知识归纳解简单的三角方程组三角方程组是由三个三角函数组成的方程组。
在解简单的三角方程组之前，我们首先需要了解一些关于三角函数和三角恒等式的基本知识。
本文将对小学数学中涉及到的一些简单的三角方程组进行归纳解析。
一、正弦方程组正弦方程组是指方程中包含正弦函数的方程组。
下面以一个简单的正弦方程组为例进行讲解：\[ \begin{cases} \sin x+\sin y=a \\ \sin x-\sin y=b \end{cases} \]解法：首先，我们可以利用三角恒等式将上述方程组进行化简。
根据三角恒等式$\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，将第一个方程中的$\sin x+\sin y$ 转化为 $\sin (x+y)$，同理，将第二个方程中的$\sin x-\siny$转化为$\sin (x-y)$，则方程组可以化简为：\[ \begin{cases} \sin (x+y)=a \\ \sin (x-y)=b \end{cases} \]接下来，我们可以利用反正弦函数的性质，求解上述方程组。
由于反正弦函数的定义域为$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，我们需要对方程组中的结果进行判断。
首先，根据第一个方程$\sin (x+y)=a$，我们可以得到$x+y=\sin^{-1}a$。
然后，根据第二个方程$\sin (x-y)=b$，我们可以得到$x-y=\sin^{-1}b$。
接下来，我们可以通过将这两个方程相加和相减，求解$x$和$y$的值。
相加：$(x+y)+(x-y)=\sin^{-1}a+\sin^{-1}b$解得：$2x=\sin^{-1}a+\sin^{-1}b \quad (1)$相减：$(x+y)-(x-y)=\sin^{-1}a-\sin^{-1}b$解得：$2y=\sin^{-1}a-\sin^{-1}b \quad (2)$通过式$(1)$和$(2)$，我们可以得到$x$和$y$的具体值。
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C． D．
8．方程 有非空解集的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．方程 ，在 上有2个解，则 的取值围是（ ）
A． B． C． D．
10．方程 的解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（三）解答题
11.解下列方程
（1） （2）
（3）
（4）
（5） (sinx+cosx)=tanx +cotx
（3）例题
例3．解下列方程
（1） （2）
（二）简单三角方程
类型1：
例4．解下列方程
（1） （2）
类型2： (a2+b2 0)
例5．解下列方程
（1） （2）
类型3： (a )
例6．解下列方程
（1）2sin2x+3sinx-2=0（2）
类型4：asin2x+ b sinxcosx+c cos2x=0
例7．解下列方程
高一数学学生辅导讲义
学生
教师
华
课程名称
简单三角方程
教学目标
1．会由已知三角函数值求角，并。
2.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。
3.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程。
类型5：同名三角函数相等模型：
sinf(x)= sin cos f(x)=cos
tan f(x)=tan cot f(x)=cot
例8．解下列方程
（1）tan5x=tan 4x
（2）求满足cos(2x+ ）=sin( -x)的最小正角。
类型6：含sin x cos x, sin x cosx的三角方程
（6）sin5x-sin3x= cos4x（7）sin4x cos3x= sin6x cosx
。
教学过程
一、知识要点
（一）最简三角方程
1、正弦方程
（1）概念： ，称为最简正弦方程。
（2）解集
|a|＞1时，无解（解集是 ）；
a=1时，x=2kπ＋ ，k∈Z；
a=－1时，x=2kπ－ ，k∈Z；
|a|＜1时，x=kπ＋（－1）karcsina，k∈Z；
（3）例题
例1．解下列方程
（1） （2）
2、余弦方程
（1）概念： ，称为最简余弦方程。
（2）解集
|a|＞1时，无解；
a=1时，x=2kπ，k∈Z；
a=－1时，x=2kπ＋π，k∈Z；
|a|＜1时，x=2kπ±arccos a，k∈Z；
（3）例题
例2．解下列方程
（1） （2）
3、正切方程
（1）概念： 称为最简正切方程。
（2）解集
x=kπ＋arctan a，k∈Z
（3）方程 在 解的个数是 _______________
（4）方程 的解集是 _______________
（二）选择题
3．方程 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4.方程 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．方程 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．方程 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．方程 的解集是（ ）
例9．解下列方程
（1） （2）
二、巩固练习
（一）填空题
1．（1）方程 的解集是 _______________
（2）方程 的解集是 _______________
（3） 的解集是 _______________
2．（1）方程 在 上的解是 _______________
（2）方程 在 上的解是 _______________