北师大版七年级上《制成一个尽可能大的无盖长方体》研究性课题学习二课时教学设计

制成一个尽可能大的无盖长方体

本节课是研究性课题学习，共计2课时。

叶爱春朱建燕林惠萌肖斌郑莹莹

教学目标：

（一）知识目标

1、经历从实际问题抽象出数学问题——建立数学模型——综合应用已有知识解决问

题的过程。

2、体会数学知识之间的联系，初步体会数学是一个整体。

3、获得研究问题的方法和经验。

（二）能力目标

1、在解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念和符号感。

2、通过借助已有的信息去推断事物变化趋势的活动，发展学生的推理能力。

3、获得研究问题的方法和经验，发展学生的创新能力。

（三）情感与价值观目标

通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的信心和应用意识。

教学重点：

1、经历从实际问题抽象出数学问题——建立数学模型——综合应用已有知识解决问

题的过程。

2、进一步丰富学生的空间观念和符号感。

3、借助已有的信息去推断事物变化趋势的活动，发展学生的推理能力。

4、体验知识之间的联系，初步体会数学是一个整体。

5、获得研究问题的方法和经验。

教学难点：

1、经历从实际问题抽象出数学问题——建立数学模型——综合应用已有知识解决问

题的过程。

2、助已有的信息去推断事物变化趋势的活动，发展学生的推理能力。

教具准备：若干张边长为20cm的正方形纸，80×30的长方形纸，剪刀，刻度尺，计算器，多媒体课件。

课前准备：每人寻找生活中的一个无盖长方体纸盒，探索它是如何制作而成的。

教学过程：

一、认知介绍

1、认识无盖长方体

同学们你们知道长方体共有几个面吗？（6个）那么无盖长方体呢？（5个），那你见过生活中的无盖长方体吗？请你举例说明。（学生举例后，多媒体展示）其实，生活中无处不存在无盖长方体模型，而且各有各的用途。

2、展开（从学生的认知结构出发，进行立体图形与平面图形的相互转化）

让学生先想象，再剪一剪，画一画（学生展示）

二、实际操作

刚才我们把无盖长方体纸盒这个立体图形把它展开成平面图形，下面我们一起来探索、研究一下如何用一张正方形纸制成一个尽可能大的无盖长方体。

首先请同学们议一议，做一做如下问题：

（1）如果要用一张正方形的纸制成一个无盖的长方体，你觉得应当怎样剪？怎样折？

与同伴进行交流。

（2）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体的高有什么关系？

（以四人为一小组，亲自动手实践做一做，看哪一组首先有制作方案。教师在学生思考和操作时巡视，鼓励学生全体参与，对有困难的小组给予帮助。）

学生展示活动成果，然后教师在小组讨论的基础上，师生合作、归纳、总结。

（1）只要在四个角上同时剪去一样大小的四个小正方形，然后沿着实线折叠便可得到一个无盖长方体。（如下图）

（2）由上图可知，剪去的小正方形的边长与折成的无盖的长方体的高相等。

（3）请你计算你所得的无盖长方体体积，V长方体=长×宽×高。

（4）为什么得到的容积大小各不相同呢？请你猜测一下无盖长方体容积与哪些量有关？

（纸张大小，截去的小正方形边长大小）

（5）如果设这张正方形纸的边长为a,所折无盖长方体的高为h，你能用a与h来表示这个无盖长方体的容积吗？

如果设正方形纸的边长为a，小正方形的边长为h,即无盖长方体的高为h,这无盖长方体的底面是以（a-2h）为边长的一个正方形，记无盖长方体的容积为V，则

用a和h表示V，即V=（a-2h）2h。

（6）请同学们反思一下刚才的议一议，做一做中用了前面学过的哪些知识？

（展开与折叠，用字母表示数，列代数式，最关键的还是将这个实际问题转化成了数学问题。）

（7）若给定正方形边长a=20cm时，我们再来想一想随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体的容积如何变化？

学生一起猜想。

三、实践探究

1、算一算

用边长为20cm的正方形纸按以上方式制作无盖长方体。

(1)如果剪去的小正方形边长按整数值依次变化，即分别取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？请你制作一个统计表，表示这个变化状况。

（2）观察自己所做的表格，你发现了什么？与同伴进行交流。

（3）观察统计表，当小正方形边长取什么值时，所得的无盖长方体的容积最大？此时，无盖长方体的容积是多少？

小组讨论交流得出：

当小正方形的边长即h开始增大时，无盖长方体的容积也在增大；当h增大到3以后开始，h继续增长，无盖长方体的体积却在变小。当小正方形的边长h=3cm时，所得的无盖长方体的容积最大，最大容积为V=588cm3。

思考：1.是否截去边长为3cm的小正方形后，使所制作的无盖长方体的体积最大呢？

2.你能否用边长为20cm的正方形纸制作出容积尽可能大的无盖长方体吗？请大家一

起来试一试。

2、试一试

（1）如果剪去的小正方形边长按0.5cm的间隔取值，即分别取0.5cm,1.0cm,1.5cm,2.0cm,2.5cm,3.0cm,3.5cm,4.0cm,4.5cm,5.0cm,5.5cm,6.0cm,…时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？请你制作一个统计表，表示这个变化状况。（可以使用计算器）（2）观察这些数据的变化，你发现了什么？与同伴进行交流。

（3）从统计表中可以看出，当小正方形的边长取什么值时，所得的无盖长方体的容积最大？此时，无盖长方体的容积是多少？

因为要求的是无盖长方体的容积尽可能大，是不是这个题目还可以继续做下去？如果剪去的小正方形边长按0.25cm的间隔取值，你能发现什么？

学生通过计算机演算得出当h=3.25时，所得的无盖长方体的容积最大。

由上面的探究过程不难发现在h取3到3.5之间的某一个数时可能得到容积最大的无盖长方体纸盒。（借助excel完成探究过程，运用无限逼近的思想方法。）

最终发现：当h接近3.3cm时，容积最大。

四、拓展与延伸

用长是80cm，宽是50cm的长方形的纸做一个无盖长方体纸盒，问做出的纸盒的最大容积是多少？

[过程]先要探索用一张长方形的纸怎样制成一个无盖的长方体，在小组内合作交流；