离散数学习题解答-第3章谓词逻辑

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3. 将偶数的定义符号化。 能被 2 整除的整数，称为偶数。 解： x(Z ( x) P( x) D( x)) .其中，Z ( x) 表示：x 是整数；P( x) 表示：x 被 2 整除；D( x) 表示： x 是偶数。 4. 在谓词逻辑系统中将下列命题符号化。 (1) 凡是登山运动员都能适应高原气候，周兵不适应高原气候，所以周兵不是登山运动 员。 (2) 有理数都可以表示成分数，有些实数不能表示成分数，所以，有些实数不是有理数。 (3) 每个理科学生都要学高等数学，每个学高等数学而又勤奋的学生都能掌握微积分知 识，王磊是理科生并且勤奋学习，所以王磊能掌握微积分知识。 (4) 命题公式 A 是可满足式当且仅当存在 A 的一组赋值使得 A 的真值为 1 . 解：(1) x(M ( x) H ( x)) H (a) M (a) . 其中， M ( x) 表示： x 是登山运动员；
的辖域是 P( x, y, z ) ；公式右边的 x 的辖域是 H ( x, y) . (6) F ( x) 中的 x 是约束变元；G( x, y) 中的 x 是自由变元， y 是约束变元；Q( x, y, z ) 中 的中的 x 和 y 是自由变元， z 是约束变元； x 的辖域是 F ( x) ； y 的辖域是 G( x, y) ； z 的辖域是 Q( x, y, z ) .
H ( x) 表示： x 能适应高原气候； a 表示：周兵。
(2) x(Q( x) P( x)) y( R( y) P( y)) z( R( z) Q( z)) . 其中， Q( x) 表示：
x 是有理数； P( x) 表示： x 是分数； R( x) 表示： x 是实数。
习 题 3.1
1. 指出下列命题中哪些是简单命题？哪些是复合命题？ (1) 偶数和奇数都是整数。 (2) 今天是星期天。 (3) 朱方方与朱园园是姐妹。 (4) x 0 ，则 x 有平方根。 (5) 每个人都需要食物，电脑不需要食物，所以电脑不是人。 (ห้องสมุดไป่ตู้) 每个与会者都会说英语。每个既会说英语又会说德语的人都将在大会上发言，唐甜 甜是会员并且会说德语，所以唐宁宁将在大会上发言。 (7) 无理数都不是循环小数。 (8)
3. 判定下列公式是否为封闭公式。 (1) yx(G( x, y) zH ( x, y, z)) xM ( x) (2) x( F ( x) G( x, y)) yH ( x, y) (3) xy( R( x, y) zL( y, z )) xH ( x, y) (4) x( F ( x) yG( x, y)) xzM ( x, z) (5) xy( R( x, y) zL( y, z )) xyH ( x, y) (6) x( L( x, a) yG( x, y)) xzM ( x, z) H (a, b) 解：(1)、(4)、(5)和(6)是闭公式； (2)不是闭公式， G( x, y) 中的 y 是自由变元；
H ( x, y) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元； x 的辖域是 y( R( x, y) L( y, z)) ； y 的
辖域是 R( x, y) L( y, z) ； x 的辖域是 H ( x, y) . (4) F ( x) 中的 x 是约束变元；G( x, y) 中的 x 是自由变元， y 是约束变元；x 的辖堿是
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(3)不是闭公式， H ( x, y) 中的 y 是自由变元。
习 题 3.3
1. 在谓词逻辑系统中将下列命题符号化。 (1) 没有不需要吃饭的人。 (2) 所有无理数都是实数。 (3) 大牛与小马是同学。 (4) 高山和刘水都是大学生。 (5) 并不是所有的人都喜欢跳舞。 (6) 所有火车都比某些汽车跑得快。 解：(1) x(M ( x) P( x)) . 其中， P( x) 表示： x 需要吃饭； M ( x) 表示： x 是人。 (2) x( P( x) R( x)) . 其中， P( x) 表示： x 是无理数； R( x) 表示： x 是实数。 (3) P(a, b) . 其中， P( x, y ) 表示： x 与 y 是同学； a 表示：大牛； b 表示：小马。 (4) S (a) S (b) . 其中， S ( x) 表示： x 是大学生； a 表示：高山； b 表示：刘水。 (5) x(M ( x) D( x)) . 其中， M ( x) 表示： x 是人； D( x) 表示： x 喜欢跳舞。 (6) x(T ( x) y(C ( y) F ( x, y))) . 其中，T ( x) 表示：x 是火车；C ( y ) 表示： y 是 汽车； F ( x, y ) 表示： x 比 y 跑得快。
3 是无理数。
解：(2)、(3)和(8)是简单命题；(1)、(4)、(5)、(6)和(7)是复合命题。 2. 找出下列各复合命题中所包含的互不相同的简单命题。 (1) 有理数和无理数都是实数。 (2) 李丽媛既喜欢学习又喜欢锻炼身体。 (3) 乌鸦都是黑色的，天鹅不是黑色的，所以天鹅不是乌鸦。 (4) 有理数和无理数都是实数。虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理 数。 (5) 每个理科学生都要学高等数学，每个学高等数学而又勤奋的学生都能掌握微积分知 识，王磊是理科生并且勤奋学习，所以王磊能掌握微积分知识。 (6) 命题公式 A 是重言式当且仅当 A 的每一组赋值都使 A 的真值为 1 . (7) 2009 年 6 月 6 日是星期一或星期三，如果是星期三，那么我有英语课，我就不能去 开会。如果是星期一，我就可以去开会。 解：(1) 包含 2 个简单命题：有理数是实数；无理数是实数。 (2) 包含 2 个简单命题：李丽媛既喜欢学习；李丽媛喜欢锻炼身体。 (3) 包含 3 个简单命题：乌鸦都是黑色的，天鹅不是黑色的，天鹅不是乌鸦。 (4) 包含 5 个简单命题：有理数是实数；无理数是实数；虚数不是实数；虚数不是有理 数，虚数不是无理数。 (5) 包含 7 个简单命题：每个理科学生都要学高等数学；学高等数学的学生；勤奋的学 生；能掌握微积分知识的学生；王磊是理科生；王磊勤奋学习，王磊能掌握微积分知识。 (6) 包含 2 个简单命题：命题公式 A 是重言式； A 的每一组赋值都使 A 的真值为 1 . (7) 包含 4 个简单命题： 2009 年 6 月 6 日是星期一； 2009 年 6 月 6 日是星期三；我有 英语课；我去开会。 3. 下列各命题中是否包含量词，如果包含，请指出是全称量词还是存在量词。 (1) 有理数是实数。 (2) 刘鸣是三好学生。 (3) 有人喜欢锻炼身体。 (4) 发光的东西不一定是金子。 (5) 星期一我去出差。
F ( x) ； y 的辖域是 G( x, y) .
(5) P( x, y, z ) 中的 x 和 y 是约束变元， z 是自由变元； L( y, z ) 中的 y 和 z 是自由变元；
H ( x, y) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元；公式最左边的 x 的辖域是 yP( x, y, z ) ； y
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(6) 不能被 2 整除的整数称为奇数。 (7) 北京有外国人。 (8) 有些实数能表示成分数。 解：(1)包含全称量词；(3)包含存在量词；(4)包含全称量词；(6)包含全称量词；(7)包含存在 量词；(8)包含存在量词；(2)和(5)不包含量词。 4. 指出下列命题中的个体词和谓词。 (1) 2 是素数。 (2) 张丽丽与赵明辉是中学同学。 (3) 并不是所有汽车都比火车跑得慢。 (4) 8 3 . 解：(1) 2 是个体词， “„是素数”是谓词； (2) 张丽丽、赵明辉是个体词， “„与„是中学同学”是谓词； (3) 汽车、火车是个体词， “„比„跑得快”是谓词； (4) 8、3 是个体词， “„大于„”是谓词。
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解：(1) F ( x, y ) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元； H ( x, y, z ) 中的 x 和 y 是约束变元， z 是自由变元； x 的辖堿是 F ( x, y) yH ( x, y, z) ； y 的辖堿是 H ( x, y, z ) . (2) F ( x) 中的 x 是约束变元； G( x, c) 中的 x 是自由变元； x 的辖堿是 F ( x) . (3) R( x, y) 中的 x 和 y 是约束变元； L( y, z ) 中的 y 是约束变元， z 是自由变元；
(3) x(S ( x) H ( x)) y( H ( y) D( y) C ( y)) S (a) D(a) C (a) . 其 中 ，
S ( x) 表示：x 是理科生；H ( x) 表示：x 要学高等数学；D( x) 表示：x 是勤奋的学生；C ( x)
表示： x 能掌握微积分知识； a 表示：王磊 (4) x( P( x) S ( x) y(Q( y) H ( x, y))) .其中， P( x) 表示： x 是命题公式； S ( x) 表示： x 是可满足的； Q( y ) 表示： y 是公式的一组赋值； H ( x, y) 表示：在赋值 y 下 x 的 真值为 1. 5. 将习题 3.1 第 2 题中的命题符号化。 解：(1) 有理数和无理数都是实数。 令 P( x) 表示： x 是有理数； Q( x) 表示： x 是无理数； R( x) 表示： x 是实数；则原命题 可表示为： x( P( x) R( x)) x(Q( x) R( x)) .
习 题 3.2
1. 在下列符号串中，哪些是谓词公式，哪些不是谓词公式？ (1) p q r (2) F ( x, y) zG( y, z ) (3) x( p q) yF ( y) (4) xF ( y, z ) yG( z ) (5) xG( x) yzF ( y, z ) p( p q) 解：(2)和(4)是谓词公式；(1)、(3)和(5)不是谓词公式。 2. 指出下列公式的约束变元、自由变元及量词的辖域。 (1) x( F ( x, y) yH ( x, y, z )) (2) xF ( x) G( x, c) (3) xy( R( x, y) L( y, z )) xH ( x, y) (4) xF ( x) yG ( x, y) (5) xyP( x, y, z) ( L( y, z ) xH ( x, y)) (6) xF ( x) yG( x, y) zQ( x, y, z )
P( x) 表示： x 是质数； D( x) 表示： x 是偶数； G( x, y) 表示： x 整除 y .
(3) xy( R( x) R( y) (G( f ( x, y), g ( x, y)))) .其中，R( x) 表示：x 是实数；G(u, v) 表示： u v ； f ( x, y) ( x y) ； g ( x, y) x 2 xy y .
2. 用谓词公式表示下列命题。 (1 )对所有实数 x ，若 x 不是偶数，则 x 不能被 2 整除。 (2) 对所有实数 x ，若 x 是质数，则存在实数 y ， y 是偶数且 x 整除 y 。 (3) 对任意实数 x , y ，有 ( x y) x 2 xy y .
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解：(1) x( R( x) (P( x) G( x))) . 其中， R( x) 表示： x 是实数； P( x) 表示： x 是 偶数； G( x) 表示： x 被 2 整除。 (2) x( R( x) (P( x) y( R( y) D( x) G( x, y)))) . 其中，R( x) 表示：x 是实数；