离散数学习题解答-第3章谓词逻辑
离散数学习题课-谓词逻辑
求下述在I下的解释及其真值 求下述在 下的解释及其真值: 下的解释及其真值 ∀x∃y(F(f(x))∧G(y,f(a))) ∃ ∧ ⇔∀xF(f(x))∧∃ ∧∃yG(y,f(a)) 解 ⇔∀ ∧∃ ⇔F(f(2))∧F(f(3))∧(G(2,f(2))∨G(3,f(2))) ∧ ∧ ∨ ⇔1∧0∧(1∨0)⇔0 ∧ ∧ ∨ ⇔
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练习3 练习
(1)∀xF(g(x,a),x) ∀ ∀x(2x=x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → ∀x∀y(x+2=y→y+2=x) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ ∀x∀y∃z(x+y=z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ ∃x∀y∀z(y+z=x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x)) ∃x(x+x=x⋅x) ⋅ 假 假 真 假 真
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
主要内容 个体词、谓词、 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L： 原子公式、 一阶语言 ：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、 量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、 束出现、闭式、解释
公式的类型
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练习4（ 练习 （续）
证明： 证明：用归谬法 (1) ¬∃ ¬∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ∧ ∧¬ (2) ∀x¬(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ¬ ∧ ∧¬ (3) ¬(F(y)∧G(y)∧¬ ∧ ∧¬H(y)) ∧¬ (4) G(y)→ ¬F(y)∨H(y) → ∨ (5) ∀x(F(x)→G(x)) → (6) F(y)→G(y) → (7) F(y) → ¬F(y)∨H(y) ∨ 论 结论否定引入 (1)置换 置换 (2)∀− ∀− (3)置换 置换 前提引入 (5)∀− ∀− (4)(6)假言三段 假言三段
(完整版)离散数学课后习题答案(第三章)
a t a t i m e an dA l lt h i ng si nt h ei r be i ng ar eg oo df o r so me t hi n 3-5.1 列出所有从X={a,b,c}到Y={s}的关系。
解：Z 1={<a,s>}Z 2={<b,s>} Z 3={<c,s>}Z 4={<a,s>,<b,s>} Z 5={<a,s>,<c,s>} Z 6={<b,s>,<c,s>}Z 7={<a,s>,<b,s>,<c,s>}3-5.2 在一个有n 个元素的集合上，可以有多少种不同的关系。
解 因为在X 中的任何二元关系都是X ×X 的子集，而X ×X=X 2中共有n 2个元素，取0个到n 2个元素，共可组成22n 个子集，即22|)(|n X X =⨯℘。
3-5.3 设A ＝{6：00，6：30,7：30，…, 9：30,10：30}表示在晚上每隔半小时的九个时刻的集合，设B={3,12,15,17}表示本地四个电视频道的集合,设R 1和R 2是从A 到B 的两个二元关系，对于二无关系R 1，R 2，R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1⊕R 2和R 1-R 2可分别得出怎样的解释。
解：A ×B 表示在晚上九个时刻和四个电视频道所组成的电视节目表。
R 1和R 2分别是A ×B 的两个子集，例如R 1表示音乐节目播出的时间表，R 2是戏曲节日的播出时间表，则R 1∪R 2表示音乐或戏曲节目的播出时间表，R 1∩R 2表示音乐和戏曲一起播出的时间表，R 1⊕R 2表示音乐节目表以及戏曲节目表，但不是音乐和戏曲一起的节日表，R 1-R 2表示不是戏曲时间的音乐节目时间麦。
3-5.4 设L 表示关系“小于或等于”，D 表示‘整除”关系,L 和D 刀均定义于解：L={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L ∩D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}3-5.5对下列每一式，给出A 上的二元关系，试给出关系图：a){<x,y>|0≤x ∧y ≤3}，这里A={1,2,3,4}；b){<x,y>|2≤x,y ≤7且x 除尽y ,这里A ＝{n|n ∈N ∧n ≤10}c) {<x,y>|0≤x-y<3}，这里A={0,1,2,3,4}；d){<x,y>|x,y 是互质的}，这里A={2,3,4,5,6}解：a) R={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>, <1,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>, <2,0>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,0>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,} 其关系图b) R={<2,0>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,0>,<3,3>,<3,6>, <4,0>,<4,4>, <5,0>,<5,5>,i m e an dA l lt h in gs in th ei r be i ng ar eg oo df o rsa）若R1和R2是自反的，则R1○R2也是自反的；b）若R1和R2是反自反的，则R1○R2也是反自反的；c）若R1和R2是对称的，则R1○R2也是对称的；d）若R1和R2是传递的，则R1○R2也是传递的。
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
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谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
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谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
离散数学概论习题答案第3章
第二部分集合、矩阵、关系和函数集合论是处理集合，函数和关系的数学理论。
集合包括最基本的数学概念，例如集合，元素和成员关系。
在大多数现代数学公式中，集合论提供了一种描述数学对象的语言。
集合可用来表示数及其运算，还可表示和处理非数值计算，如数据间关系的描述等。
集合论，逻辑和一阶逻辑构成了数学公理化的基础。
同时，函数和关系是基于集合的映射，它们是满足某些属性的特殊集合。
接下来，我们将在两个单独的章节中介绍它们。
集和矩阵将在第3章中介绍，而关系和函数将在第4章中介绍。
第三章集合和矩阵3.1 集合3.1.1 集合概念集合没有确定的概念。
一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集。
通常用大写英文字母表示集合。
例如，N代表是自然数集合，Z代表是整数集合，R代表是实数集合。
用小写英文字母表示集合内元素。
若元素a是集合A的一个元素，则表示为a A∈，读作元素a属于集合A；若元素a不是集合A的一个元素，则表示为a A∉，读作a不属于集合A。
集合分为有限集合和无限集合两种，下面给出定义。
表示集合方法有列举法和描述法两种方式，下面分别介绍。
1. 列举法当集合是有限集合时，可以列出集合的所有元素，用逗号隔开各元素，并用花括号把所有元素括起来。
这种表述方式为列举法。
例如：S1={a, b, c, d, e, f}，S2={a, b, b, c, d, e, f}，S3={ d, e, a, b, c, f}上述三个集合S1、S2和S3是相同集合，尽管有重复元素。
且集合元素之间没有次序关系。
一个集合可以作为另个集合的元素。
例如，S1={a, b,{ c, d, e, f }}集合S1包含元素a, b和{ c, d, e, f }。
因为{ c, d, e, f }是集合S1中的元素，故可记为：{}∈。
,,,c d e f A以上给出的集合实例都是有限集合。
当集合是无限集合时，无法列出集合的所有元素，可先列出一部分元素，若剩余元素与已给出元素存在一定规律，那剩余元素的一般形式很明显可用省略号表示。
离散数学讲义第三章谓词逻辑.ppt
题函数。 例如 H（x），L（x,y,z）均是简单命题函数。
（P(x,y)∨L(x,y,z)） P（y, x）是一复合命题函数
在命题函数中，个体变元的取值范围称为个体域。
例4 P（x,y）表示“2 x+y=1”，若x,y的个体域为正整数集，
则总是假；
若x,y的个体域为有理数集，则y=1―2x，对任意的有理数k ， 在x= k，y =1―2k时，P（ k，1―2k）为真。
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三、量词和全总个体域
1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x” x D（x），
7
如“所有人都是要死的。”可表示为 x的个体域为全体人的集合。
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3.4 变元的约束
例1 令 P（x, y）：“ x<y ”，Q（x）：x是有理数；F（x）：
x可以表示为分数。判断下列式子那些是命题函数，那些 是命题？ P（x, y） P（x, y）∧ Q（x） Q（x） → F（x）
x(Q( x) F ( x))
例2 令H(x)：x是人;M(y):y是药;S(x，y)：x对y过敏。判断：
3.1、 3.2 谓词的概念与表示; 命题函数和量词 3.3 ~ 3.5 谓词演算的合适公式; 变元的约束 ; 谓词公式的解释 3.6 谓词演算的永真式 3.7 谓词演算的推理理论
1
3.1、3.2 谓词、命题函数和量词 例 判断下述论断的正确性
“苏格拉底三段论” ： 凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 类似的例子 还有许多。 例如：
离散数学-谓词逻辑-3
2-7 谓词逻辑的推理理论
⑵ 全称推广规则(UG规则) A(y)⇒(∀x)A(x) 此式成立的条件是： ① y是个体域中任一个体且对y，A(y)为真。 ② x是不出现在A(y)中的个体变元。 例 个体域为实数集合R，G(x,y)表示x>y，设A(y)⇔(∃x)G(x,y)，显然 A(y)满足条件①，一定能推出: (∀z)A(z)⇔(∀z)(∃x)G(x,z)⇔(∀z)(∃x)(x>z)， 这是一个真命题。若推成 (∀x)A(x)⇔(∀x)(∃x)G(x,x)⇔(∀x)(∃x)(x>x)， 就产生了错误，因为这是一个假命题。错误的原因是违背了条件②。
2-5 谓词演算的等价式与蕴含式
7 多个量词的使用 ⑴ 约定：(∀x)(∀y)A(x,y)表示(∀x)((∀y)A(x,y)) ⑵ 一般地说，多个量词相连时，同名量词是无序的，即改变它们 的次序，命题真值不变。异名量词是有序的，即改变它们的次序，命 题真值发生变化。对后者作如下的说明： 令 A(x,y)表示x+y=10，个体域为整数集合I。 (∀x)(∃y)A(x,y)表示对任一整数x，存在整数y，使x+y=10。 这是一个真命题。 (∃y)(∀x)A(x,y)表示存在整数y，对任一整数x，有x+y=10。 这是一个假命题。
2-6 前束范式
定义2-6.1一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到 整个公式的末尾，则称为前束范式。 根据这个定义前束范式可表示成如下形式： (□v1)(□v2) …(□vn)A 其中:□是∃或∀,vi是个体变元,i=1,…,n,A是不含量词的谓词公式。 例 (∀x)(∀y)(F(x)∨G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(∃z)(¬H(x,y)∧F(x)→L(x,z)) (∀x)F(x)∨(∀y)(G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(¬H(x,y)∧F(x))→(∃z)L(x,z) 都不是前束范式。
离散数学第四版课后答案(第3章)
( A B C) ( A B) ((A B) ( A B)) (C ( A B))
= (C ( A B)) C ( A B). 易 见 ， C (A B) C, 但 不 一 定 有 C (A B) C.如 令 A B C {1}.时，等式（4）不为真。类假地，等式（5）的左 边经化简后得 (A C) B ，而 (A C) B 不一定恒等于 A-C。 3．17 （1）不为真。（2），（3）和（4）都为真。对于题 （1）举反例如下：令 A {1}, A {1}, B {1,4},C {2}, D {2,3}, 则 A B 且 C B ，但 A C B D ，
这是 S T 的充公必要条件,从而结论为真. 对 于 假 命 题 都 可 以 找 到 反 例 , 如 题 (2) 中 令 S {1,2},T z{1}, M {2}即可;而对于题(5),只要 S 即可. 3.9 (2),(3)和(4)为真,其余为假. 3.10 (1) A {0,1,2}. (2) A {1,2,3,4,5} (3) A {1} (4) A { 0,0 , 0,1 1,0 , 0,2 , 1,1 , 2,0 , 0,3 ,
A B .
（4）易见，当 A=B 成立时，必有 A-B=B-A。反之，由 A-B=B-A 得
( A B) B (B A) B
化简后得 B A ，即 B A，同理，可证出 A B ，从而 得到 A=B。
3．18 由| P(B) | 64 可知|B|=6。又由| P(A B) | 256 知| A B | 8 ， 代入包含排斥原理得
{,{1},{2},{1,2}}}.
(4) P( A) {,{{1}},{{1,2}},{{1}},{{1,2}} (5) P( A) {,{1},{1},{2},{1,1},{1,2}{1,2}{1,1,2}. 分析 在做集合运算前先要化简集合,然后再根据题目 要求进行计算.这里的化简指的是元素,谓词表示和集合公 式三种化简. 元素的化简——相同的元素只保留一个，去掉所有冗余 的元素。 谓词表示的化简——去掉冗余的谓词，这在前边的题解 中已经用到。 集合公工的化简——利用简单的集合公式代替相等的 复杂公式。这种化简常涉及到集合间包含或相等关系的判别。 例如，题（4）中的 A {{1,1},{2,1},{1,2,1}}化简后得 A {{1},{1,2}}， 而题（5）中的 A {x | x R x3 2x2 x 2 0} 化 简为 A {1,1,2}。 3．15
计算机科学与技术 离散数学 第3章 谓词逻辑
例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合，(b) D为全总个体域。
解：(a) (1) 设G(x): x爱美，符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字，符号化为 x G(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中
如 F(x,y)：x与y有关系F P(x,y,z)：xy<z；…
0元谓词：不含个体变项的谓词 如 L(a,b)，0元谓词常项都是命题
注：单独的个体或谓词不能构成命题。
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例 ①“苏格拉底是人”
个体a“苏格拉底”，谓词F“是人” F(x)，x=a
②“北京是中国的首都”
个体a“北京”、b“中国” 谓词F“…是…的首都”
及相应的指导变项，替换成公式中没有出现过的个体 变项符号，其余部分不变，所得公式与原来的公式等值。 3.代替规则：
将公式中某个自由出现的个体变项的所有出现用 公式中未出现过的个体变项符号代替，其余部分不变， 所得公式与原来的公式等值。
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例 将xF ( x, y, z) yG( x, y, z) 化成与之等值的公式， 使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项。
解：个体变项x,y,z中，x,y都是既约束出现又自由出现 的个体变项，只有z仅自由出现。 原式 tF (t, y, z) yG( x, y, z) (换名规则) tF (t, y, z) wG( x, w, z) (换名规则)
还可以如下演算，也可以达到要求。 原式 xF ( x,t, z) yG( x, y, z) (代替规则)
(3) x F(f (x,y),g(x,z)) x(x+1=2x) (真命题)
22
《离散数学》谓词逻辑
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
7
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
3.1 自然语言的谓词符号化
第 3章 谓词逻辑
8
命题是具有真假意义的陈述句，从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。
学习要求
重点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词公式的解释 3 特性谓词识别与翻译 4 基本等价规律 5 量词去掉/添加规则 6 谓词逻辑的推理
第 3章 谓词逻辑
6
难点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词逻辑与命题逻辑的联系与区别 3 谓词翻译的两条原则 4 合式公式的解释 5 量词去掉/添加规则的正确使用
历史人物
第 3章 谓词逻辑
4
1848-1923，德国数学家、 逻辑学家和哲学家
1906-1978，美籍奥地利数学家、逻 辑学家和哲学家，二十世纪最伟大的 逻辑学家之一
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
5
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
(x)(P(x)∧C(x))
谓词符号
变量符号
提出问题
第 3章 谓词逻辑
22
符号化“李兰的母亲是高级工程师”
设M(x,y)：x是y的母亲，
设g(x)：x的母亲；
P(x)：x是高级工程师；
P(x)：x是高级工程师；
离散数学CH03_谓词逻辑(1)
3.1 个体、谓词和量词
实例
• 符号化下列命题： 1）所有的人都是要呼吸的。 2）每个学生都要参加考试。 3）所有的人都要呼吸，并且每个学生都要考试。
解
(2) (1) (3) P(x): M(x):x x 是学生， 是人， x(M(x) →H(x)) Q(x): H(x):x x要呼吸， 要参加考试， x(P(x) →Q(x)) ( ( x) x) (P(x) (M(x) → →Q(x)). H(x)).
3.1 个体、谓词和量词
个体词
• 设 R(x) ：“ x 是大学生”， • 如果 x 的个体域为： – “某大学里的学生”，则 R(x) 是永真式。 – “某单位里的职工”，则 R(x) 对一些人为 真，对另一些人为假。
3.1 个体、谓词和量词
谓词
• 谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词。 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词，如 F(a) ：a是人。 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词 ，如 F(x)：x具有性质F。
为止，认为原子命题是不能再分解的，仅仅研
究以原子命题为基本单位的复合命题之间的逻 辑关系和推理。这样，有些推理用命题逻辑就 难以确切地表示出来。
谓词逻辑研究内容
• 在命题逻辑中, 命题演算的基本单位是命题, 不再对原子命题进行分解, 故无法研究命题的 语法结构、成分和内在的逻辑特性。
例： p：人总是要死的 q：苏格拉底是人 r：苏格拉底是要死的 p q → r不是重言式
3.1 个体、谓词和量词
对于给定的命题，当用表示其个体的小写字母和表示其 谓词的大写字母来表示时，规定把小写字母写在大写字 母右侧的圆括号( )内。 例如，在命题“张明是位大学生”中，“张明”是个体 ，“是位大学生”是谓词，它刻划了“张明”的性质。 设S：是位大学生，c：张明，则“张明是位大学生”可 表示为S(c)，或者写成S(c)：张明是位大学生。又如， 在命题“武汉位于北京和广州之间”中，武汉、北京和 广州是三个个体，而“„位于„和„之间”是谓词，它 刻划了武汉、北京和广州之间的关系。设P：„位于„ 和„之间，a：武汉，b：北京，c：广州，则P(a，b， c)：武汉位于北京和广州之间。
谓词逻辑复习题答案
证明：⑴
⑵
⑴（）
⑶
⑷
⑵，⑶（拒取式）
⑸
⑹
⑸（）
⑺
⑻
⑹，⑺（假言推理）
⑼
⑷，⑻（合取式）．
4、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑷（逆反律）
⑹ ⑵，⑸（假言三段论）
⑺ ⑹（）．
5、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑵，⑷（拒取式）
⑹
⑺ ⑹（）
⑻ ⑸，⑺（析取三段论）
8、用逻辑推理规则证明：． 证明：⑴
⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑴，⑶（假言推理） ⑸ ⑷（） ⑹ ⑵（加法式） ⑺ ⑸，⑹（假言推理） ⑻ ⑺（）． 9、用逻辑推理规则证明： . 证明：⑴ （附加前提） ⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑶（） ⑸ ⑵，⑷（假言推理）
⑹ ⑸（）
⑺．
10、用逻辑推理规则证明：
.
证明：⑴ （附加前提）
. 4、若个体域，：，：,：，:， 则谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真；
. 5、谓词公式为真吗？为什么？ 答：不为真；设个体域：实数域，：， 则. 6、谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真； . .
四、证明题（每题10分）
1、求证：．
证明：左
右．
2、设个体域，求证：．
证明：左
右．
3、用逻辑推理规则证明：
⑼ ⑻（）．
6、用逻辑推理规则证明：
．
证明：⑴
⑵ ⑴(德.摩根律) ⑶ ⑵(蕴含表达式) ⑷ ⑶(量词否定) ⑸ ⑹ ⑷，⑸（拒取式） ⑺ ⑹(量词否定) ⑻ ⑺(德.摩根律) ⑼ ⑻(蕴含表达式) ． 7、用逻辑推理规则证明： ． 证明：⑴ ⑵ ⑶ ⑴，⑵（假言推理） ⑷ ⑴（） ⑸ ⑹ ⑸（） ⑺ ⑶（） ⑻ ⑹（加法式） ⑼ ⑺，⑻（假言推理） ⑽ ⑷，⑼（合取式） ⑾ ⑽（） ⑿ ⑾（）．
离散数学第三章习题详细答案
离散数学第三章习题详细答案3.9解：符号化：p：a是奇数.q：a是偶数.r：a能被2整除前提：(p→¬r),(q→r)结论：(q→¬p)证明：方法2（等值演算法）(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r)→(¬q∨¬p)⇔(p∧r)∨(q∧¬r)∨¬q∨¬p⇔((p∧r)∨¬p)∨((q∧¬r)∨¬q)⇔(r∨¬p)∨(¬r∨¬q)⇔¬p∨(r∨¬r)∨¬q⇔1即为成佛该式为重言式，则原结论恰当。
方法3（主析取范式法）(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r)→(¬q∨¬p)⇔(p∧r)∨(q∧¬r)∨¬q∨¬p⇔m0+m1+m2+m3+m4+m5+m6+m7所述该式为重言式，则结论推理小说恰当。
3.10.解：符号化：p：a就是负数.q：b就是负数.r：a、b之四维负前提：r→(p∧¬q)∨(¬p∧q)结论：¬r→(¬p∧¬q)方法1（真值法）证明：方法2（主析取范式法）证明：(r→(p∧¬q)∨(¬p∧q))→(¬r→(¬p∧¬q))⇔¬(¬r∨(p∧¬q)∨(¬p∧q))∨(r∨(¬p∧¬q))⇔r∨(¬p∧¬q)⇔m0+m2+m4+m6+m7只不含5个极小项，课件完整不是重言式，因此推理小说不恰当3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
解：③：①②谓词三段论⑤：③④谓词三段论⑦：⑤⑥假言推理小说3.12.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
离散数学测验题——谓词逻辑答案
离散数学测验题(谓词逻辑部分)一、符号化下列命题。
(20分，每题10分)1. 任何两个不同的人都性格不相同。
解：设F(x):x是人,H(x,y), x与y相同丄(x,y): x与y性格相同则原命题对应的谓词公式为：-x(F(x)厂y(F(y) -H(x,yH 1L(x,y)))或-x-y(F(x) F(y) ~H(x,y) ‘-L(x,y))2. 尽管有些人爱吃西瓜，但并不是所有人都爱吃西瓜。
解：设M(x): x是人，C(x): x爱吃西瓜，则原命题可以表示为前后两个原子命题之间的合取,有些人爱吃西瓜”可以表示为：x M (x) C(x)；不是所有人都爱吃西瓜”可以表示为--X M (x) 、C(x)，或者x M(x) -C(x)则原命题对应的谓词公式为：x M (x) C(x) x M (x)-； C(x)，或者x M(x) C(x) x M (x) -C(x)二、说明下列推理的有效性。
(45分，每题15分)1. 乌鸦是黑色的，天鹅不是黑色的；所以，天鹅不是乌鸦。
解：设B(x): x是乌鸦，M(x): x是天鹅，F(x): x黑色的。
则此推理可以表示为：-x B(x)—；F(x) , -x M (x) —；| F(x) = - x M(x)—；「B(x).证明：(1) -x ( M ( x ) —? F ( x )) P规则⑵ M ( y ) —? F ( y ) US(1)⑶-x ( B( x ) — F ( x )) P规则WB( y ) —F ( y US(3)(5)? F ( y ) —?y ) (4)假言易位⑹ M ( y ) -B?( y ) (2)(5)假言三段论⑺—x( M( x ) -B?( x )) UG(6)，证毕。
利用反证法证明:12(I) 一- x M (x) ，—B(x),⑵ x M(x) B(x), (3)M(c)B(c),⑷ M(c),(5)B(c),⑹-x M (x) ‘ —F (x), ⑺M(c)》-F(c), (8) -F(c), (9) -x B(x) > F(x), (10) B(c) > F(c), (II) F(c), 与(8)矛盾，所以假设错误。
离散数学答案 第三章 谓词逻辑
第三章 谓词逻辑习题3.11．解 ⑪个体：离散数学；谓词：…是一门计算机基础课程。
⑫个体：田亮；谓词：…是一名优秀的跳水运动员。
⑬个体：大学生；谓词：…要好好学习计算机课程；量词：所有。
⑭个体：推理；谓词：…是能够由计算机来完成的；量词：一切。
2． 解 ⑪设)(x F ：x 是舞蹈演员；a ：小芳。
命题符号化：)(a F 。
⑫设)(x F ：x 是一位有名的哲学家；a ：苏格拉底。
命题符号化：)(a F 。
⑬设)(x F ：x 作完了他的作业家；a ：张三。
命题符号化：)(a F 。
⑭设)(x F ：x 身体很好；a ：我。
命题符号化：)(a F 。
3．解 ⑪选取个体域为整数集合。
设)(x F ：x 的平方是奇数；)(x G ：x 是奇数。
命题符号化：)()(x G x F →。
⑫选取个体域为所有国家的集合。
设)(x F ：x 在南半球；)(x G ：x 在北半球。
命题符号化：)()(x xG x xF ∃∧∃。
⑬选取个体域为所有人的集合。
设)(x F ：x 在中国居住；)(x G ：x 是中国人。
命题符号化：))()((x G x F x ⌝→⌝⌝∀⑭选取个体域为所有人的集合。
设)(x M ：x 是艺术家；)(x F ：x 是导演；)(x G ：x 是演员。
命题符号化：∃x (M (x )∧F (x )∧G (x ))。
⑮选取个体域为所有猫的集合。
设M (x )：x 是好猫；F (x )：x 捉耗子。
命题符号化：∃x ⌝M (x )∧∀x (F (x )→M (x ))。
4．解 ⑪①设)(x F ：x 喜欢开汽车；)(x G ：x 喜欢骑自行车。
命题符号化：)()(x xG x xF ∃∧∃。
②设)(x F ：x 喜欢开汽车；)(x G ：x 喜欢骑自行车；)(x M ：x 是人。
命题符号化：))()(())()((x G x M x x F x M x ∧∃∧∧∃。
⑫①设)(x F ：x 必须学好数学。
离散数学第三章谓词逻辑习题答案
A
C
习题三
14.
下面证明有效吗？ (x)[x A B] (x)[x A x B] (x)[x A x B] (x)[x A B] (x)[x A B] 答: 原证明无效. 因为(x)[x A x B] (x)[x A B]. 实际上 (x)[x A x B] (x)[~(x A x B)] (x)[x A B] (x)[x A B]
X 2 AB
等号成立的条件: A B或B A (因为若A和B没有子集关系, 必有a A– B和 b B– A， 使{a, b} 2 A B ，但{a, b} 2A B = 2 A B. 证明：X 2A 2B X 2A X 2B XAXB XAB X2A
习题三 4. 仔细区别集合中的关系符和，并 判断下列各蕴含关系的真假：
(1)Y, (2)~(5)N, (6)Y
习题三
9.证明下列各式：
(3) (A-B)-C = A –(B C) = (A –C)-B 证明: (A-B)-C = (A B) C = A B C = A –(B C) =(A C )B)= (A –C)-B (5) A (B C) = (A B ) (A C) 证明: A (B C) = A ((B-C) (C-B)) = (A B C) (A C B) = (A B C) (A B A) (A C B) (A C A) = (A B A C) (A C A B ) = (A B -A C) (A C - A B ) = (A B ) (A C)
习题三 集
16. 求A={, a, {b}}的幂
解: A={, a, {b}} 2A = {, {} , {a} , {{b}} , {,a} , {,b} , {a, {b}} , {, a, {b}}}
离散数学习题解答-第3章谓词逻辑
3
(3)不是闭公式， H ( x, y) 中的 y 是自由变元。
习 题 3.3
1. 在谓词逻辑系统中将下列命题符号化。 (1) 没有不需要吃饭的人。 (2) 所有无理数都是实数。 (3) 大牛与小马是同学。 (4) 高山和刘水都是大学生。 (5) 并不是所有的人都喜欢跳舞。 (6) 所有火车都比某些汽车跑得快。 解：(1) x(M ( x) P( x)) . 其中， P( x) 表示： x 需要吃饭； M ( x) 表示： x 是人。 (2) x( P( x) R( x)) . 其中， P( x) 表示： x 是无理数； R( x) 表示： x 是实数。 (3) P(a, b) . 其中， P( x, y ) 表示： x 与 y 是同学； a 表示：大牛； b 表示：小马。 (4) S (a) S (b) . 其中， S ( x) 表示： x 是大学生； a 表示：高山； b 表示：刘水。 (5) x(M ( x) D( x)) . 其中， M ( x) 表示： x 是人； D( x) 表示： x 喜欢跳舞。 (6) x(T ( x) y(C ( y) F ( x, y))) . 其中，T ( x) 表示：x 是火车；C ( y ) 表示： y 是 汽车； F ( x, y ) 表示： x 比 y 跑得快。
P( x) 表示： x 是质数； D( x) 表示： x 是偶数； G( x, y) 表示： x 整除 y .
离散数学形考任务3数理逻辑部分概念及性质
离散数学形成性考核作业3数理逻辑部分的概念及性质判断题●含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是(P∧Q∧R)∨(P Q∧┐R)．( ) 对●命题公式┐(P→Q)的主析取范式是P∨┐Q．( ) 错●命题公式┐P∧(P→┐Q)∨P为永真式．( ) 对●命题公式┐P∧(P∨Q)⇒Q成立．( ) 对●命题公式┐P∧P的真值是T．( ) 错●命题公式P→(Q∨P)的真值是T．( ) 对●设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，那么命题“有人去上课．”为∃x(P(x)→Q(x))．( ) 错●设P(x)：x是人，Q(x)：x学习努力，那么命题““所有的人都学习努力．”为(∀x)(P(x)∧Q(x))．( ) 错●设P：他生病了，Q：他出差了，R：我同意他不参加学习．那么命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P∨Q) →┐R．( ) 错●设P：我们下午2点去礼堂看电影，Q：我们下午2点去教室看书．那么命题“我们下午2点或者去礼堂看电影或者去教室看书”符号化的结果为P∨Q．( ) 错●设P：小王来学校，Q：他会参加比赛．那么命题“如果小王来学校，则他会参加比赛”符号化的结果为P→ Q．( ) 对●设P：昨天下雨，Q：今天下雨．那么命题“昨天下雨，今天仍然下雨”符号化的结果为P∧Q．( ) 对●设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为T．( ) 对●设个体域D＝{1,2, 3, 4}，A(x)为“x大于5”，则谓词公式(∀x)A(x)的真值为T．( ) 错●设个体域D＝{a, b},那么谓词公式∃xA(x)∨∀yB(y)消去量词后的等值式为A(a)∨B(b)．( ) 错●设个体域D＝{a, b}，则谓词公式(∀x)(A(x)∧B(x))消去量词后的等值式为(A(a)∧B(a))∧(A(b)∧B(b))．( ) 对●谓词公式┐(∀x)P(x) ⇔(∃x) ┐P(x)成立．( ) 对●谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x))∨C(y))中的自由变元为x．( ) 错●谓词命题公式(∀x)(P(x)→Q(x)∨R(x，y))中的约束变元为x．( ) 对●下面的推理是否正确．( )(1) (∀x)A(x)→B(x)前提引入(2) A(y)→B(y) US (1) 错单选∀的辖域是( )．B．P(x, ●表达式(∀x)(P(x，y)∨Q(z))∧∃y (R(x, y) →∀z Q(z))中x。
离散数学 谓词逻辑 三段论 逻辑推理 例题 证明
(4)xyF(x，y)xyF(x，y)。
2.5 谓词演算的等价式与蕴涵式
2.5.1 等价式 2.5.2 蕴涵式
2.5.1 等价式
定义2.13 设A和B是谓词公式，若AB为 逻辑有效式，则称A和B是等价的，记为AB。
下面给出一些常见的基本谓词公式等价式。
2.4.2 谓词公式的分类
定义2.11 设A是一谓词公式， 如A在任何解释下都是真的，称A为永真式或 逻辑有效式； 如A在任何解释下都是假的，称A为矛盾式； 若至少存在一个解释使A为真，称A是可满足 式。
例2 判断下列公式的类型(永真式、矛盾式、可满足式)：
(1)xF(x)xF(x)。
(2)xF(x)(xyG(x，y)xF(x))。
定理2.8 任何谓词公式的前束范式都存在。
例1 求下列公式的前束范式： (1)xF(x)∧xG(x)。 (2)xF(x)yG(x，y)。 (3)xF(x)xG(x)。 (4)xF(x)xG(x)。 (5)(xP(x)∨yQ(y))xR(x)。
1、全称量词消去规则(US)
若个体域为{a1，a2，…，an}，则有下式成立： (1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)； (2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)。
若个体域为{a1，a2，…，an}，则有下式成立： (1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)； (2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)。
例4 证明x(P(x)∨Q(x))，xP(x) ├ xQ(x)。
例5 (1)只要今天天气不好，就一定有考生不能提 前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试 才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气 就好。
应用离散数学谓词逻辑谓词公式及其解释题库试卷习题及答案
§2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀（2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀ （3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →，其中x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；其中)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是约束变元。
（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；其中)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。
2. 设个体域}21{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。
（1）))()((x Q x P x →∀ （2）))()((x Q x P x ∧∃解（1）解释1I ：个体域}21{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
（2）解释2I ：个体域}21{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。
（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀（2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。
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(6) 不能被 2 整除的整数称为奇数。 (7) 北京有外国人。 (8) 有些实数能表示成分数。 解：(1)包含全称量词；(3)包含存在量词；(4)包含全称量词；(6)包含全称量词；(7)包含存在 量词；(8)包含存在量词；(2)和(5)不包含量词。 4. 指出下列命题中的个体词和谓词。 (1) 2 是素数。 (2) 张丽丽与赵明辉是中学同学。 (3) 并不是所有汽车都比火车跑得慢。 (4) 8 3 . 解：(1) 2 是个体词， “„是素数”是谓词； (2) 张丽丽、赵明辉是个体词， “„与„是中学同学”是谓词； (3) 汽车、火车是个体词， “„比„跑得快”是谓词； (4) 8、3 是个体词， “„大于„”是谓词。
F ( x) ； y 的辖域是 G( x, y) .
(5) P( x, y, z ) 中的 x 和 y 是约束变元， z 是自由变元； L( y, z ) 中的 y 和 z 是自由变元；
H ( x, y) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元；公式最左边的 x 的辖域是 yP( x, y, z ) ； y
2
解：(1) F ( x, y ) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元； H ( x, y, z ) 中的 x 和 y 是约束变元， z 是自由变元； x 的辖堿是 F ( x, y) yH ( x, y, z) ； y 的辖堿是 H ( x, y, z ) . (2) F ( x) 中的 x 是约束变元； G( x, c) 中的 x 是自由变元； x 的辖堿是 F ( x) . (3) R( x, y) 中的 x 和 y 是约束变元； L( y, z ) 中的 y 是约束变元， z 是自由变元；
的辖域是 P( x, y, z ) ；公式右边的 x 的辖域是 H ( x, y) . (6) F ( x) 中的 x 是约束变元；G( x, y) 中的 x 是自由变元， y 是约束变元；Q( x, y, z ) 中 的中的 x 和 y 是自由变元， z 是约束变元； x 的辖域是 F ( x) ； y 的辖域是 G( x, y) ； z 的辖域是 Q( x, y, z ) .
3
(3)不是闭公式， H ( x, y) 中的 y 是自由变元。
习 题 3.3
1. 在谓词逻辑系统中将下列命题符号化。 (1) 没有不需要吃饭的人。 (2) 所有无理数都是实数。 (3) 大牛与小马是同学。 (4) 高山和刘水都是大学生。 (5) 并不是所有的人都喜欢跳舞。 (6) 所有火车都比某些汽车跑得快。 解：(1) x(M ( x) P( x)) . 其中， P( x) 表示： x 需要吃饭； M ( x) 表示： x 是人。 (2) x( P( x) R( x)) . 其中， P( x) 表示： x 是无理数； R( x) 表示： x 是实数。 (3) P(a, b) . 其中， P( x, y ) 表示： x 与 y 是同学； a 表示：大牛； b 表示：小马。 (4) S (a) S (b) . 其中， S ( x) 表示： x 是大学生； a 表示：高山； b 表示：刘水。 (5) x(M ( x) D( x)) . 其中， M ( x) 表示： x 是人； D( x) 表示： x 喜欢跳舞。 (6) x(T ( x) y(C ( y) F ( x, y))) . 其中，T ( x) 表示：x 是火车；C ( y ) 表示： y 是 汽车； F ( x, y ) 表示： x 比 y 跑得快。
H ( x, y) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元； x 的辖域是 y( R( x, y) L( y, z)) ； y 的
辖域是 R( x, y) L( y, z) ； x 的辖域是 H ( x, y) . (4) F ( x) 中的 x 是约束变元；G( x, y) 中的 x 是自由变元， y 是约束变元；x 的辖堿是
习 题 3.2
1. 在下列符号串中，哪些是谓词公式，哪些不是谓词公式？ (1) p q r (2) F ( x, y) zG( y, z ) (3) x( p q) yF ( y) (4) xF ( y, z ) yG( z ) (5) xG( x) yzF ( y, z ) p( p q) 解：(2)和(4)是谓词公式；(1)、(3)和(5)不是谓词公式。 2. 指出下列公式的约束变元、自由变元及量词的辖域。 (1) x( F ( x, y) yH ( x, y, z )) (2) xF ( x) G( x, c) (3) xy( R( x, y) L( y, z )) xH ( x, y) (4) xF ( x) yG ( x, y) (5) xyP( x, y, z) ( L( y, z ) xH ( x, y)) (6) xF ( x) yG( x, y) zQ( x, y, z )
H ( x) 表示： x 能适应高原气候； a 表示：周兵。
(2) x(Q( x) P( x)) y( R( y) P( y)) z( R( z) Q( z)) . 其中， Q( x) 表示：
x 是有理数； P( x) 表示： x 是分数； R( x) 表示： x、(3)和(8)是简单命题；(1)、(4)、(5)、(6)和(7)是复合命题。 2. 找出下列各复合命题中所包含的互不相同的简单命题。 (1) 有理数和无理数都是实数。 (2) 李丽媛既喜欢学习又喜欢锻炼身体。 (3) 乌鸦都是黑色的，天鹅不是黑色的，所以天鹅不是乌鸦。 (4) 有理数和无理数都是实数。虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理 数。 (5) 每个理科学生都要学高等数学，每个学高等数学而又勤奋的学生都能掌握微积分知 识，王磊是理科生并且勤奋学习，所以王磊能掌握微积分知识。 (6) 命题公式 A 是重言式当且仅当 A 的每一组赋值都使 A 的真值为 1 . (7) 2009 年 6 月 6 日是星期一或星期三，如果是星期三，那么我有英语课，我就不能去 开会。如果是星期一，我就可以去开会。 解：(1) 包含 2 个简单命题：有理数是实数；无理数是实数。 (2) 包含 2 个简单命题：李丽媛既喜欢学习；李丽媛喜欢锻炼身体。 (3) 包含 3 个简单命题：乌鸦都是黑色的，天鹅不是黑色的，天鹅不是乌鸦。 (4) 包含 5 个简单命题：有理数是实数；无理数是实数；虚数不是实数；虚数不是有理 数，虚数不是无理数。 (5) 包含 7 个简单命题：每个理科学生都要学高等数学；学高等数学的学生；勤奋的学 生；能掌握微积分知识的学生；王磊是理科生；王磊勤奋学习，王磊能掌握微积分知识。 (6) 包含 2 个简单命题：命题公式 A 是重言式； A 的每一组赋值都使 A 的真值为 1 . (7) 包含 4 个简单命题： 2009 年 6 月 6 日是星期一； 2009 年 6 月 6 日是星期三；我有 英语课；我去开会。 3. 下列各命题中是否包含量词，如果包含，请指出是全称量词还是存在量词。 (1) 有理数是实数。 (2) 刘鸣是三好学生。 (3) 有人喜欢锻炼身体。 (4) 发光的东西不一定是金子。 (5) 星期一我去出差。
2. 用谓词公式表示下列命题。 (1 )对所有实数 x ，若 x 不是偶数，则 x 不能被 2 整除。 (2) 对所有实数 x ，若 x 是质数，则存在实数 y ， y 是偶数且 x 整除 y 。 (3) 对任意实数 x , y ，有 ( x y) x 2 xy y .
2 2 2
解：(1) x( R( x) (P( x) G( x))) . 其中， R( x) 表示： x 是实数； P( x) 表示： x 是 偶数； G( x) 表示： x 被 2 整除。 (2) x( R( x) (P( x) y( R( y) D( x) G( x, y)))) . 其中，R( x) 表示：x 是实数；
P( x) 表示： x 是质数； D( x) 表示： x 是偶数； G( x, y) 表示： x 整除 y .
(3) xy( R( x) R( y) (G( f ( x, y), g ( x, y)))) .其中，R( x) 表示：x 是实数；G(u, v) 表示： u v ； f ( x, y) ( x y) ； g ( x, y) x 2 xy y .
3. 判定下列公式是否为封闭公式。 (1) yx(G( x, y) zH ( x, y, z)) xM ( x) (2) x( F ( x) G( x, y)) yH ( x, y) (3) xy( R( x, y) zL( y, z )) xH ( x, y) (4) x( F ( x) yG( x, y)) xzM ( x, z) (5) xy( R( x, y) zL( y, z )) xyH ( x, y) (6) x( L( x, a) yG( x, y)) xzM ( x, z) H (a, b) 解：(1)、(4)、(5)和(6)是闭公式； (2)不是闭公式， G( x, y) 中的 y 是自由变元；
(3) x(S ( x) H ( x)) y( H ( y) D( y) C ( y)) S (a) D(a) C (a) . 其 中 ，
S ( x) 表示：x 是理科生；H ( x) 表示：x 要学高等数学；D( x) 表示：x 是勤奋的学生；C ( x)
表示： x 能掌握微积分知识； a 表示：王磊 (4) x( P( x) S ( x) y(Q( y) H ( x, y))) .其中， P( x) 表示： x 是命题公式； S ( x) 表示： x 是可满足的； Q( y ) 表示： y 是公式的一组赋值； H ( x, y) 表示：在赋值 y 下 x 的 真值为 1. 5. 将习题 3.1 第 2 题中的命题符号化。 解：(1) 有理数和无理数都是实数。 令 P( x) 表示： x 是有理数； Q( x) 表示： x 是无理数； R( x) 表示： x 是实数；则原命题 可表示为： x( P( x) R( x)) x(Q( x) R( x)) .