高中数学公式双曲线
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
高中数学知识点精讲精析 双曲线及其标准方程
3.1双曲线及其标准方程1.双曲线的第一定义数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F1和F2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。
两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
c^2=a^2+b^2 (a=半长轴，b=半短轴）2.双曲线的第二定义(1)文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率。
(2)集合语言定义:设 双曲线上有一动点M,定点F,点M 到定直线距离为d,这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.注意:定点F 要在定直线外 且 比值大于1.(3)标准方程设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M 到定直线l:x=a^2/c 的距离为d, 则由 |MF|/d=e>1.推导出的双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.这是中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线标准方程.而中心在原点,焦点在y 轴上的双曲线标准方程为:1． 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹． 分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？【解析】以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得： 121==-BC AC AB ∵2=BC ∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分2． 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切． （3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．【解析】设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．3． 在周长为48的直角三角形MPN中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程． 分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．【解析】∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=．由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ． 由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．。
数学高中双曲线轨迹方程
在高中数学中，双曲线是一种常见的曲线形式。
它的轨迹方程可以表示为：
1.水平轴的双曲线：(a^2)(x^2) - (b^2)(y^2) = c^2
其中，a、b和c是正实数，并且a > b > 0。
这个方程描述了一个在x轴上开口的双曲线。
2.垂直轴的双曲线：(a^2)(y^2) - (b^2)(x^2) = c^2
同样地，a、b和c是正实数，并且a > b > 0。
这个方程描述了一个在y轴上开口的双曲线。
在这些方程中，a控制着双曲线的扁平度，b决定了双曲线的开口大小，c是双曲线的焦距。
需要注意的是，这里给出的是标准形式的双曲线轨迹方程。
在实际问题中，可能会遇到其他形式的双曲线方程，例如顶点形式或极坐标形式，具体的表达式取决于问题的背景和要求。
双曲线的知识点归纳总结高中
双曲线的知识点归纳总结高中双曲线是一种重要的数学函数，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将对双曲线的基本定义、性质、图像以及常用的求解方法进行归纳总结，以帮助高中学生更好地理解和应用双曲函数。
一、基本定义双曲线是指形如y=a cosh(x/b)或y=a sinh(x/b)的函数，其中a、b均为实数，并且b≠0。
其中cosh(x)和sinh(x)分别称为双曲余弦函数和双曲正弦函数，是指数函数的一种。
二、性质1. 双曲余弦函数cosh(x)为偶函数，满足cosh(x)=cosh(-x)。
2. 双曲正弦函数sinh(x)为奇函数，满足sinh(x)=-sinh(-x)。
3. 双曲余弦函数与双曲正弦函数的图像分别为关于x轴对称和关于原点对称的开口向上的曲线。
4. 双曲余弦函数的导数为双曲正弦函数，即cosh'(x)=sinh(x)，而双曲正弦函数的导数为双曲余弦函数，即sinh'(x)=cosh(x)。
三、图像1. y=cosh(x)的图像是一条开口向上的曲线，它在x=0处取最小值1，随着x的增大而不断逼近直线y=1，即y=cosh(0)=1。
2. y=sinh(x)的图像是一条对称的曲线，它在x=0处取最小值0，随着x的增大而不断逼近直线y=x。
四、常用求解方法1. 双曲正弦函数和双曲余弦函数的加减法公式：cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)2. 双曲函数的导数和积分公式：(cosh(x))'=sinh(x)(sinh(x))'=cosh(x)∫cosh(x)dx=sinh(x)+C∫sinh(x)dx=cosh(x)+C综上所述，双曲线是一种重要的数学函数，在高中数学学习中有广泛的应用。
高中数学——双曲线二级结论大全
A( x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
B,C 两点，则
直线
BC
有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）.
x2 20．双曲线 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 F1PF2
，则双曲
线的焦点角形的面积为 SF1PF2
为二焦点，A
为双曲线左支内一定点，则
| AF2 | 2a | PA | | PF1 | ,当且仅当 A, F2, P 三点共线且 P 在左支时，等号成立.
25．双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线 l ：
y
k(x x0)
对称的充要条件是
x02
(a2 b2)2 a2 b2k2
,
则
x0
a2
b2 a
或
x0
a2
b2 a.50来自设P点是双曲线
x2 a2
y2 b2
1 （a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 F1PF2
，则
(1) |
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
.(2)
SPF1F2
b2
cot
.
2
51．设过双曲线的实轴上一点 B（m,o）作直线与双曲线相交于 P、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结 AP 和
6．以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设 P 为双曲线上一点，则△PF1F2 的内切圆必切于与 P 在同侧的顶点.
高中数学双曲线知识点归纳总结
，
，
对称轴
轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上， ；焦距：
顶点坐标
（ ,0） ( ,0)
(0, ,) (0， )
离心率
1)
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点到准线的距离
8.
(
（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
9. 直线与双曲线的位置关系
直线 ： 双曲线C： （ ＞0， ＞0）
1)当 ，即 时，直线 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；
2)当b2-a2k2≠0，即 时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
工作好，才有好的生活！）
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~~~专业文档，VIP专享。更多精彩文档，尽在~~~3.双曲线的内外部
(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
4. 形如 的方程可化为
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6.离心率与渐近线之间的关系
1） 2）
若2a=2 时，即 ,当 ，动点轨迹是以 为端点向右延伸的一条射线；当 时，动点轨迹是以 为端点向左延伸的一条射线；
高中数学第八章第6讲双曲线
第6讲双曲线,[学生用书P158])1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a|F1F2|为双曲线的焦距2a<|F1F2|2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)1．辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)． 2．求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．(2)待定系数法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)．3．双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．1.教材习题改编 双曲线y 264－x 216＝1上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．20B ．16C ．12D ．8A [解析] 设P 到另一个焦点的距离为d ， 则|d －4|＝2×8＝16， 所以d ＝20，故选A.2.教材习题改编 双曲线C 的焦点为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 220－y 24＝1B ．x 220－y 216＝1C ．y 220－x 216＝1D ．y 220－x 24＝1B [解析] 2a ＝|（－5＋6）2＋22－|（－5－6）2＋22＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6， 所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.。
高中数学双曲线
双曲线一、知识梳理1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a题型一双曲线的定义及标准方程例1△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 例2 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.引申探究：本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？跟踪训练 (1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________.(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B.210 C. 5 D.25题型二 求双曲线方程例3 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1) 虚轴长为12，离心率为54； (2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)过两点P (－3,27)和Q (－62，－7).(4)过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线,题型三 双曲线的几何性质例4 (1)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B.x ±2y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0(2) 已知O ，F 分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的中心和右焦点，点G ，M 分别在E 的渐近线和右支上，FG ⊥OG ，GM ∥x 轴，且|OM |＝|OF |，则E 的离心率为( )(3) A.52 B.62 C.72D.2 跟踪训练 已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32C. 3D.2三、课时作业1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n＝0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )2已知双曲线x 2a 2－y 2＝1的一条渐近线方程是y ＝33x ，则双曲线的离心率为( ) A.33 B.63 C.32 D.2333.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63 D.624.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1D.x 24－y 26＝1 5.已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1,3) B.(－1，3) C.(0,3) D.(0，3) 6.已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A.32B.16C.84D.47. 已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( ) A.233 B. 2 C. 2 D.2638.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc 3，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.53 C.132 D.1339.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在曲线C 的右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，又△PF 1F 2的重心为G ，满足MG 平行于x 轴，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B.3C.2D.58.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤1，52B.⎝⎛⎦⎤1，72C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞D.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ 10.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.11.设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为____________. 12.设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 13.已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( ) A.3 B.2 C.－3 D.－2 14.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠P AQ ＝π3且OQ →＝5OP →，则双曲线C 的离心率为( ) A.213 B.2 C.72D.3 15.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.。
高中数学高二知识点双曲线和圆
高中数学高二知识点双曲线和圆高中数学高二知识点：双曲线和圆在高中数学的学习过程中，双曲线和圆是高二学生需要重点掌握的两个重要知识点。
本文将从定义、性质以及相关公式等方面进行详细的介绍。
一、双曲线双曲线是二次函数图象的一种，其定义可以通过以下方程得到：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>0, b>0)$。
其中，$a$和$b$分别表示双曲线的横坐标半轴和纵坐标半轴的长度。
通过调整$a$和$b$的值，可以得到不同形状和方向的双曲线。
双曲线的性质：1. 双曲线的中心点位于坐标原点$(0,0)$。
2. 双曲线关于$x$轴和$y$轴对称。
3. 双曲线有两条渐近线，即$x=a$和$x=-a$。
当$x$趋近于无穷大时，双曲线的图像将无限接近于这两条直线。
4. 双曲线分为两支，分别位于$x$轴的两侧。
两支之间的间距为$2a$。
双曲线的常见公式：1. 离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，用字母$e$表示。
其计算公式为：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$。
2. 焦点坐标：双曲线的焦点分别位于$(\pm ae, 0)$。
3. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}$。
4. 弦长公式：双曲线上一条弦的长度可以通过如下公式计算：$l=2a\sqrt{1+\left(\frac{d}{2a}\right)^2}$，其中$d$表示弦与中心点的距离。
二、圆圆是我们生活中常见的几何图形之一，其定义可以通过以下方程得到：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
其中，$(a,b)$表示圆心的坐标，$r$表示圆的半径。
圆的性质：1. 圆的中心点位于$(a,b)$。
2. 圆对称于其中心点。
3. 圆的半径相等，即任意点到圆心的距离都相等。
4. 圆的直径等于半径的两倍，即直径$d=2r$。
5. 圆的周长可以通过公式$C=2\pi r$计算，其中$\pi$为圆周率。
【解析几何】谈谈反比例函数与双曲线
【解析几何】谈谈反比例函数与双曲线在初中的数学课上，我们都学过一个东西：反比例函数。
初中数学老师告诉我们，反比例函数的解析式为 y=\frac{k}{x}反比例函数的图像其中k为常数，其图像叫做双曲线。
而到了高中后，数学中有个专题叫做圆锥曲线，里面也有一种曲线叫做双曲线。
双曲线（焦点在x轴上）的标准方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1F_{1}(-c,0) 和 F_{2}(c,0) 称为双曲线的两个焦点，其中c^{2}=a^{2}+b^{2}双曲线满足如下性质：双曲线上任一点P到两个焦点的距离之差为定值，即\left| \left| PF_{1} \right| - \left| PF_{2}\right|\right|=2a（在此处不给出双曲线标准方程的推导，具体可参考高中数学选修2-1课本）反比例函数的像实际上是一种特殊的双曲线，两个坐标轴就是它的渐近线。
我们先来看下面几个话题。
例1 在平面直角坐标系中，两定点坐标分别为 F(2,2) ，F'(-2,-2) ，平面内一点 P 满足 \left| \left| PF_{1}\right| - \left| PF_{2} \right|\right|=4 ，当 P 运动时，求点 P 的轨迹方程。
解由条件与两点间距离公式可得 \left| \sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}-\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}} \right|=4上式两边平方得 (x-2)^2+(y-2)^2-2\sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}+(x+2)^2+(y+2)^2=16移项后得到 2x^2+2y^2=2\sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}即 x^2+y^2=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}上式两边平方得 x^4+2x^2y^2+y^4=\left[ (x-2)^{2}+(y-2)^{2} \right]\left[ (x+2)^{2}+(y+2)^{2} \right]=[(x^2+y^2+8)-(4x+4y)]\cdot[(x^2+y^2+8)+(4x+4y)]=x^4+2x^2y^2+y^4-32xy+64即 x^4+2x^2y^2+y^4=x^4+2x^2y^2+y^4-32xy+64移项后得到 xy=2两边同时除以 x 可以得到 y=\frac{2}{x}这便是刚刚所提到的反比例函数，在这里 k=2 。
(完整)高中数学解析几何双曲线性质与定义
双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。
取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。
设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。
将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
【高中数学】双曲线
则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] 由双曲线的方程得 a＝1，c＝ 2，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2. 在△PF1F2 中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2| ＝22＋|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝4. [答案] B
5，＋∞ D. 3
[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝2a，由双曲 3
线上的点到焦点的最短距离为 c－a，可得2a≥c－a，解得c≤5， 即 e≤5，又双曲线的离心
3
a3
3
1，5 率 e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为 3 ，故选 B.
[答案] B
[解题技法]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
高中数学学科
(1)求 a，b，c 的值，由ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化成关 于 e 的方程(或不等式)求解． 2．求离心率的口诀归纳 离心率，不用愁，寻找等式消 b 求； 几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
＝0，则轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的 标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的 标准方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)．
高中数学双曲线公式大全
高中数学双曲线公式大全1.双曲线的标准方程：双曲线的标准方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a和b是正实数，分别称为双曲线的半轴。
2.双曲线的顶点坐标：双曲线的顶点坐标是(0,0)。
3.双曲线的对称轴：双曲线的对称轴是y=0。
4.双曲线的焦点坐标：双曲线的焦点坐标是(-c,0)和(c,0)，其中c^2=a^2+b^25. 双曲线的准线坐标：双曲线的准线坐标是(-ae,0)和(ae,0)，其中e = √(1 + b^2/a^2)。
6.双曲线的离心率：双曲线的离心率是e=c/a。
7. 双曲线的焦距：双曲线的焦距是2ae。
8.双曲线的直径：双曲线的直径是2b。
9.双曲线的直线渐近线：双曲线的直线渐近线方程是y=±b/a*x+0。
10.双曲线的离心率与准线之间的关系：离心率e=√(1+1/b^2)。
11.双曲线的离心率与焦距之间的关系：离心率e=c/a。
12.双曲线的离心率与半轴之间的关系：离心率e=√(1+a^2/b^2)。
13.双曲线的离心率与半焦距之间的关系：离心率e=√(1+d^2/4b^2)，其中d是焦点到直线渐近线的垂直距离。
14.双曲线的离心率与半准距之间的关系：离心率e=√(1+c^2/a^2)。
15.双曲线的离心率和焦距与准线之间的关系：e^2=c^2-a^216.双曲线的离心率和焦距与半焦距之间的关系：e^2=c^2-d^217.双曲线的离心率和焦距与半准线之间的关系：e^2=c^2+a^218.双曲线的引弧长度公式：双曲线的引弧长度公式是s=aθ，其中θ是弧度数。
19. 双曲线的二边切线斜率公式：双曲线的二边切线的斜率公式是dy/dx = ± b^2x/y。
20. 双曲线的极坐标方程：双曲线的极坐标方程是r^2 =a^2sec^2θ - b^2tan^2θ。
以上是双曲线的一些重要公式，希望对你的学习有所帮助。
双曲线的研究是数学的重要分支之一，了解这些公式可以让我们更好地理解和应用双曲线的知识。
高中数学双曲线公式总结大全
高中数学双曲线公式总结大全圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中ab0,c ²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中ab0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a ≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(ab0) x²/a²-y²/b²=1(a0,b0) y²=2px(p0)范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞)y∈[-b,b] y∈R y∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x —————离心率e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣焦准距p=b²/c p=b²/c p通径2b²/a 2b²/a 2p参数方程x=a·cosθx=a·secθx=2pt²y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=p(x+x0) (x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx±√(a²·k²+b²) y=kx±√(a²·k²-b²) y=kx+p/2k 寒窗苦读十余载，今朝考试展锋芒;思维冷静不慌乱，下笔如神才华展;心平气和信心足，过关斩将如流水;细心用心加耐心，努力备考，定会考入理想院校。
高中数学选修2-1-双曲线的方程及其性质
双曲线的方程及其性质知识集结知识元双曲线的定义知识讲解1．双曲线的定义【定义】双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．【标准方程】①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．【性质】这里的性质以（a，b＞0）为例讲解：①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．【实例解析】例1：双曲线﹣＝1的渐近线方程为解：由﹣＝0可得y＝±2x，即双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±2x．故答案为：y＝±2x．这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的1看成是0，然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线．例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），∵双曲线过点P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求双曲线方程为﹣y2＝﹣5，即：﹣＝1．一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到a、b、c三者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了．【考点点评】这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写．例题精讲双曲线的定义例1.'已知点A（-，0），B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的中点坐标及其弦长DE．'例2.'若动点P到两个定点F1（-1，0）、F2（1，0）的距离之差的绝对值为定值a（0≤a≤2），试求动点P的轨迹．'例3.'已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4）2+y2=2．动圆M与两圆都相切，求动圆圆心M的轨迹方程．'双曲线的标准方程知识讲解1．双曲线的标准方程【知识点的认识】双曲线标准方程的两种形式：（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a ＞0，b ＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，±c ），焦距|F 1F 2|＝2c ．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a ＞0，b ＞0；c 2＝b 2+a 2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a ＞0，b ＞0）中心在原点，焦点在x 轴上（a ＞0，b ＞0）中心在原点，焦点在y 轴上图形顶点（a ，0）和（﹣a ，0）（0，a ）和（0，﹣a ）对称轴x 轴、y 轴，实轴长2a ，虚轴长2b焦点在实轴上x 轴、y 轴，实轴长2a ，虚轴长2b焦点在实轴上焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2+b 2|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2+b 2离心率e ＝（e ＞1）e ＝（e ＞1）渐近线即y ＝±x即y ＝±x准线x ＝±y ＝±例题精讲双曲线的标准方程例1.'求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率：（1）x 2-8y 2=32；（2）9x 2-y 2=81；（3）x 2-y 2=-4；（4）-=-1．'例2.'已知双曲线=1的离心率e =3，直线y =x +2与双曲线交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，求双曲线的方程．'例3.'双曲线=1（a >0，b >0）过点P （-3，2），过双曲线的右焦点且斜率为的直线与直线x =和x=-（c 2=a 2+b 2）分别相交与点M ，N ，若以|MN |为直径的圆过原点，求此双曲线的方程．'双曲线的性质知识讲解1．双曲线的性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a ＞0，b ＞0）（a ＞0，b ＞0）图形性焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c |F 1F 2|＝2c 范围|x |≥a ，y ∈R|y |≥a ，x ∈R对称关于x 轴，y 轴和原点对称顶点（﹣a ，0）．（a ，0）（0，﹣a ）（0，a ）轴实轴长2a ，虚轴长2b质离心率e ＝（e＞1）准线x ＝±y ＝±渐近线±＝0±＝例题精讲双曲线的性质例1.下列曲线中实轴长为的是（）A ．B ．C ．D ．例2.双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形．则双曲线C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．2例3.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A ．B ．C ．或D ．或当堂练习单选题练习1.已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，AB是右支上过F2的一条弦，且|AF1|：|AB|=3：4，则C的离心率是（）A．B．5C．D．练习2.已知F1为双曲线C：=1（b>a>0）的左焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B．若AB的中点为M（1，8），则此双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．练习3.双曲线C：=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，C的右支上一点P满足∠F1PF2=60°，若坐标原点O到直线PF1距离是，则C的离心率为（）A．B．C．2D．3练习4.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于两点A，B，若|AF1|：|AB|=3：4，|BF2|=3|AF2|，则双曲线C的离心率是（）D．5 A．B．C．练习5.已知双曲线的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l1，l2于A，B两点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．练习6.F1，F2是双曲线-=1（a>0，b>0）的左右焦点，若双曲线上存在点P满足=-a2，则双曲线离心率的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]填空题练习1.已知P为双曲线C：-=1（a>0，b>0）右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当=时，△AOB的面积为2b，则双曲线C的实轴长为__。
高中数学曲线公式大全
高中数学曲线公式大全圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0) 离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
高中数学双曲线知识点及题型总结(学生版)
，两准线之距为 K 1K 2 21 双曲线定义：① 到 两 个 定 点 F 1 与 F 2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ < |F 1F 2| ） 的 点 的 轨 迹PF 1 PF 2 2a F 1F 2 （ a 为常数）） 这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点： （1）距离之差的绝对值 .（ 2）2a < |F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同 . 当|MF1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点 F 1所对应的一支； 当 2a=|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以 F 1、F 2 为端点向外的两条射线； 当 2a > | F 1F 2| 时，动点轨迹不存在 .②动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e （e > 1）时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线2 2 2 22.双曲线的标准方程： x2 y2 1和 y 2 x 2 1（a >0，b >0）.这里 b 2 c 2 a 2，其中| F 1 F 2 |=2c. a 2 b 2 a 2 b 2 要注意这里的 a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 .223.双曲线的标准方程判别方法是： 如果x 2项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 y 2 项的系数是正数， 则焦点在 y 轴上 .对于双曲线， a 不一定大于 b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在 哪一条坐标轴上4. 求双曲线的标准方程 ，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数 法求解 .5. 曲线的简单几何性质在 y 轴上）双曲线知识点及题型总结④特别地当 b时可设为 x 2 离心率 eb y= x ， a 2 b y= － x a 两渐近线互相垂直，分别为 （什么是共轭双曲线 ?）⑸准线： l 1：x=－y= x ，此时双曲线为等轴双曲线，a 2 a 2，l 2：x=ca 2c22xy2 － 2 =1（a >0，b >0）a2 b 2⑴范围： |x|≥a ， y ∈R⑵对称性：关于 x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点 A 1（－ a ，0），A 2 ⑷渐近线： a ，0）yM1M 2PF 1 A 1 K 1 o K 2 A 2 F 2①若双曲线方程为 2x 2a 2y b2 2x渐近线方程 2ay b 2②若渐近线方程为 b y0 双曲线可设为2x2 a2y b2 ③若双曲线与 2x 2 a2 y b2 1有公共渐近线，可设为 2x 2a2 y b 20 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点y1 k 12 y 2 y 1⑹焦半径： PF 1PF 2 a 2e(x )c2 e(a x) cex ex a ，(点 P 在双曲线的右支上a ，(点 P 在双曲线的右支上 当焦点在 y 轴上时，标准方程及相应性质(略) 2 ⑺与双曲线 x 2 a 2 x 2 ⑻与双曲线 x 2 a 2 2 yb 2 2 y b 2 1共渐近线的双曲线系方程是 1共焦点的双曲线系方程是2 x a 2x 2a 2k2 y b 2 2 y b 2 6 曲线的内外部 (1) 点 P(x 0,y 0) 在双曲线 (2) 点 P(x 0,y 0) 在双曲线 2 x2 a2 x 2 a2y b2 2 y b2 1(a 1(a 7 曲线的方程与渐近线方程的关系 (1 )若双曲线方程为 2 x 2 a 2 y b 2 0,b 0,b (2) 若渐近线方程为 bx a x a )； x a )；0)0) 的内部0) 的外部 渐近线方程： b y 0 2 x 2a 2 yb 2双曲线可设为2 (3) 若双曲线与 x 2 a 2 在 y 轴上) . 2 y b 2 1有公共渐近线，可设为2 x 2a 2y b 2 8 双曲线的切线方程 2 x (1) 双曲线 x 2 a 2 yb 2 1(a 2 x0 2a2 x 0y 02b 22 y 0 b 21. 1.bx .a2x 2 a2 y b2 0 ，焦点在 x 轴上，0,b 0) 上一点 P(x 0,y 0 )处的切线方程是 02 02 1. ab 0 ，焦点2 x 2 a 2x 3)双曲线 x 2 a 2 2)过双曲线 b 2 2 b y 2 1(a b1(a 0,b 0)外一点 P(x 0,y 0)所引两条切线的切点弦方程是 22 0,b 0)与直线 Ax By C 0 相切的条件是 A 2a 2 x 0x2 a22B 2b2y 0y1 b 02 1.2c .AB (x 1 x 2) 2 (y 1 y 2)2 若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB ， A 、B 两点分别为 A(x 1，y 1)、 AB 9 线与椭圆相交的弦长公式 B(x 2,y 2)，则弦长x 2 x 122 k 2)[( x 1 x 2)24x 1x 2] 1(1 12) [(y 1 y 2)2 4y 1y 2] ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； k 2(1A. 10B. 5C. 3x 2y 21 已知双曲线 x a2 － y b 2 = 1 (a > 0,b > 0)的左右焦点分别为∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 45 A ．3 B ．3 2y22.已知 F 1,F 2 是双曲线 于 A 、B 两点 ,若A. 2x 23.过双曲线 M: C,且|AB|=|BC|, 则双曲线F 1、 F 2，点 P 在双曲线的右支上，且) 7D ．7322 x2 y21,(a b 0 )的左、右焦点,过 F 1且垂直于 x 轴的直线与双曲线的左支交 a2b 2ABF 2 是正三角形 ,那么双曲线的离心率为 ( )B. 32 y b 2C ．２ C. 2 D. 31 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于M 的离心率是 ( )105D. 2B 、题型一：双曲线定义问题A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件222. 若 k R ，则“ k 3”是“方程 x y 1表示双曲线”的 ( )k3k3A.充分不必要条件 .B.必要不充分条件 .C.充要条件 .D. 既不充分也不必要条件 .22 3. 给出问题： F 1、F 2是双曲线 x－ y =1 的焦点，点 P 在双曲线上 .若点 P 到焦点 F 1的距离等于 16 20P 到焦点 F 2的距离 .某学生的解答如下： 双曲线的实轴长为 8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1 或 17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面 横线上 . _____ .4. 过双曲线 x 2-y 2=8的左焦点 F 1有一条弦 PQ 在左支上，若 | PQ|=7 ，F 2是双曲线的右焦点，则△ PF 2Q 的周长 是 .题型二：双曲线的渐近线问题题型三：双曲线的离心率问题高考题型解析1.“ ab<0”是“曲线ax 2+by 2=1 为双曲线”的 ( 9，求点x 21.双曲线43 A. y=± x22 y=1 的渐近线方程是92.过点( 2，－ 2) 22yx A. － =1 242B.y=± x3x 22 2y 2=12 C.y=±9x 4D.y= ± 4 x9且与双曲线2 xB. － 4－y 2=1 有公共渐近线的双曲线方程是22yx C. － =1 422 x D. － 22 y 2=1414.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 2，焦点到相应准线的距离为 2，则该双曲线的离心率为 ( ) A. 22题型四：双曲线的距离问题2x－ 1y6 =1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 题型五：轨迹问题1.已知椭圆 x 2+2y 2 =8 的两焦点分别为 F 1、 F 2， A 为椭圆上任一点。
高考数学复习之双曲线二级结论大全
双曲线1. 122PF PF a 2.标准方程22221x y a b3.111PF e d4P PT PF ．点处的切线平分△1F 2 在点处的内角P .5PT PF ．平分△1F 2 在点处的内角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以实轴为直P PT H 径的圆，除去实轴的两个端点. 6PQ .．以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交 7PF ．以焦点半径1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8P PF ．设为双曲线上一点，则△1F 2 的内切圆必切于与在同侧的顶点P .9．双曲线22221 x y a b（＞＞）的两个顶点为a 0,b 01 (,0)A a ,2 ( ,0)A a ，与轴平行的直线y 交双曲线于P 1、P 2 时A 1P 1 与A 2P 2交点的轨迹方程是 22221 x y a b.10．若000 (,)P x y 在双曲线 22221 x y a b（＞＞）上，则过a 0,b 00P 的双曲线的切线方程是00 221 x x y y a b.11．若000 (,)P x y 在双曲线 22221 x y a b（＞＞）外，则过作双曲线的两条切线切a 0,b 0Po 点为P 1、P 2 ，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00 221 x x y ya b . 12AB ．是双曲线 22221 x y a b （＞＞）的不平行于对称轴且过原点的弦，为的a 0,b 0M AB 中点，则22 OM AB b k k a.13．若000 (,)P x y 在双曲线 22221 x y a b（＞＞）内，则被所平分的中点弦的方程是a 0,b 0Po2200002222 x x y y x y a b a b.14．若000 (,)P x y 在双曲线 22221 x y a b（＞＞）内，则过的弦中点的轨迹方程是a 0,b 0Po 2200 2222x x y y x y a b a b . 15PQ ．若是双曲线 22221 x y a b（＞＞）上对中心张直角的弦，则b a 0 122222 12 1111(||,||)r OP r OQ r r a b . 16．若双曲线22221 x y a b （＞＞）上中心张直角的弦所在直线方程为b a 0L 1Ax By (0)AB ,(1)则 2222 11 A B a b ;(2) 424222222 || a A b B La Ab B .17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b （＞＞）a b 0,2C ： 2222222 22 () a b b x a y ab a b,则对(i)1C 上任意给定的点 00 (,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M222200 2222 (,) a b a b x ya b a b .(ii)对2C 上任一点 ''' 00 (,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设 00 (,)P x y 为双曲线22221 x y a b（＞＞）上一点，a 0,b 0P 1P 2 为曲线的动弦且弦C ,PP 1,PP 2 斜率存在，记为k 1 ,k 2 ,P 则直线1P 2通过定点00 (,)M mx my (1)m 的充要条件是212211 m b k k m a.19．过双曲线 22221 x y a b（＞＞）上任一点a 0,b o 00 (,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点，则直线有定向且B,C BC 2020BC b xk a y （常数）.20．双曲线22221 x y a b（＞＞）的左右焦点分别为a 0,b o F 1，F 2 ，点为双曲线上任意一点P 12 F PF，则双曲线的焦点角形的面积为 122cot 2F PF S b，2222 (cot ,cot ) 22 a b P c bc c .21P ．若为双曲线 22221 x y a b（＞＞）右（或左）支上除顶点外的任一点a 0,b 0,F 1 ,F 2是焦点, 12 PF F , 21PF F ，则 tan t 22 c a co c a （或 tan t 22 c aco c a）.22．双曲线 22221 x y a b（＞＞）的焦半径公式：a 0,b o 1 (,0)F c ,2(,0)F c 当 00 (,)M x y 在右支上时， 10 ||MF ex a , 20 ||MF ex a .当 00 (,)M x y 在左支上时， 10 ||MF ex a , 20||MF ex a .23．若双曲线22221 x y a b （＞＞）的左、右焦点分别为a 0,b 0F 1、F 2 ，左准线为，则当L 1＜e≤ 21 时，可在双曲线上求一点，使得P PF 1 是到对应准线距离P d 1 与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线 22221 x y a b（＞＞）上任一点a 0,b 0,F 1,F 2 为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则 21 ||2||||AF a PA PF ,当且仅当2 ,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立.25．双曲线22221 x y a b （＞＞）上存在两点关于直线a 0,b 0l ：0()y k x x 对称的充要条件是 22220 222 ()0 a b a x k k a b k b且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28P ．是双曲线sec tanx a y b（＞，＞）上一点，则点对双曲线两焦点张直角的充要a 0b 0P 条件是2211tan e . 29A,B ．设为双曲线2222 x y k a b（＞＞，a 0,b 0 0,1k k ）上两点，其直线与双曲AB 线 22221 x y a b相交于 ,P Q ,则 AP BQ .30．在双曲线 22221 x y a b 中，定长为（2m0m ）的弦中点轨迹方程为 22 222222222 222222 1cosh sinh ,coth ,00 1sinh cosh coth ,00 x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay时，弦两端点在两支上 ，时，弦两端点在同支上 31．设为双曲线S 22221 x y a b（＞＞）的通径，定长线段的两端点在双曲线右a 0,b 0L A,B 支上移 动，记 |AB|=l ， 00 (,)M x y 是中点， 则当AB l S 时，有20min ()2 a l x c e 222 (c a b ,c e a);当 l S 时，有22 0min()42a x b l b .32．双曲线 22221 x y a b（＞＞）与直线a 0,b 00Ax By C 有公共点的充要条件是 22222 A a B b C .33．双曲线220022 ()()1 x x y y a b （＞＞）与直线a 0,b 0 0Ax By C 有公共点的充要条件是 22222 00 ()A a B b Ax By C .34．设双曲线 22221 x y a b（＞＞）的两个焦点为a 0,b 0F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2 中，记 12 F PF , 12 PF F ,12 F F P ，则有sin(sin sin )ce a .35．经过双曲线22221 x y a b（＞＞）的实轴的两端点a 0,b 0A 1 和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1 和P 2，则2 1122 ||||P A P A b .36．已知双曲线22221 x y a b（＞＞），b a 0O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ .（）1 2222 1111 ||||OP OQ a b ;2|OP|（）2+|OQ|2的最小值为 22224a b b a ;3（）OPQ S 的最小值是 22 22 a b b a.37．MN 是经过双曲线 22221 x y a b（＞＞）过焦点的任一弦交于两支，若是经过a 0,b 0()AB 双曲线中心且平行于的弦，则O MN 2 ||2||AB a MN . 38MN ．是经过双曲线22221 x y a b（＞＞）焦点的任一弦交于同支，若过双曲线中心a b 0() O 的半弦 OP MN ，则222 2111||||a MN OP b a .39．设双曲线22221 x y a b（＞＞）a 0,b 0,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过引一条直线与双曲线相交于、两点，则直线M P Q A 1P A 、2Q(A 1,A 2 为两顶点的交点)N在直线l ：2a x m上.40F P Q A ．设过双曲线焦点作直线与双曲线相交、两点，为双曲线长轴上一个顶点，连 结和分别交相应于焦点的双曲线准线于、两点，则⊥AP AQ F M N MF NF. 41F P Q,A ．过双曲线一个焦点的直线与双曲线交于两点、1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1 P A 和2 Q M A 交于点，2 P A 和1 Q N MF NF.交于点，则⊥42．设双曲线方程22221 x y a b,k(k≠0)则斜率为的平行弦的中点必在直线l ：y kx 的共轭直线'y k x 上而且,2'2b kk a. 43A B C D ．设、、、为双曲线 22221 x y a b（＞＞）上四点、所在直线的倾斜a 0,b o ,AB CD 角 分别 为, ， 直线与相 交 于AB CD P,P ,且不 在 双曲 线上则 2222 2222||||cos sin ||||cos sinPA PB b a PC PD b a.44．已知双曲线22221 x y a b（＞＞）a 0,b 0,P F 点为其上一点1 ,F 2为双曲线的焦点，12 F PF 的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于、，当跑遍整个双曲线时，、形R S P R S 成的轨迹方程是 222 x y a (2222222 222a yb x xc c y a y b x c ). 45．设△三顶点分别在双曲线ABC 上，且为AB 的直径，l 为的共轭直径所在的直AB 线，l 分别交直线、于和，又为AC BC E F D l 上一点，则与双曲线CD 相切的充要条件是为的中点D EF .46．过双曲线22221 x y a b（＞＞）的右焦点作直线交该双曲线的右支于两点，a 0,b 0F M,N 弦的垂直平分线交轴于，则MN x P || ||2PF e MN . 47．设A （x 1,y 1）是双曲线 22 221 x y a b （＞＞）上任一点，过作一条斜率为a 0,b 0A 2121b xa y 的直线，又设是原点到直线的距离L d L ,12 ,r r 分别是到双曲线两焦点的距离，则A12rr d ab .48．已知双曲线 22 221 x y a b （＞＞）和a 0,b 02222 x y a b（01 ），一条直线顺次与 它们相交于、、、四点，则A B C D │AB│=|CD│.49．已知双曲线 22221 x y a b（＞＞）、是双曲线上的两点，线段的垂直平分a 0,b 0,A B AB 线与轴相交于点x 0 (,0)P x ,则 220 a b x a 或 220a b x a.50．设点是双曲线P 22221 x y a b（＞＞）上异于实轴端点的任一点a 0,b 0,F 1、F 2为其焦点记12 F PF ，则(1)2 122 |||| 1cos b PF PF.(2) 122cot 2 PF F S b . 51B m,o P Q A ．设过双曲线的实轴上一点（）作直线与双曲线相交于、两点，为双曲线实轴的左顶点，连结和分别交相应于过点的直线：AP AQ B MN x n于，两点则M N , 90MBN2222() a n m a ma mb n a . 52L ．是经过双曲线 22221 x y a b（＞＞）焦点且与实轴垂直的直线，、是双曲a 0,b 0F A B 线的两个顶点，是离心率点e , P L ，若APB，则 是锐角且1sin e或1sin arc e（当且仅当 ||PF b 时取等号）.53L ．是经过双曲线 22221 x y a b（＞＞）的实轴顶点且与轴垂直的直线，、a 0,b 0A x E F是双曲线的准线与轴交点点x , P L，是离心率，e EPF ，是与轴的交点H L X c 是半焦距，则 是锐角且1sin e 或1sin arc e （当且仅当 ||abPA c时取等号）. 54L ．是双曲线 22221 x y a b（＞＞）焦点a 0,b 0F 1 且与轴垂直的直线，、是双曲线准x E F 线与轴交点，x H L x 是与轴的交点，点 P L ，EPF,e 离心率为，半焦距为，则c 为锐角且21sin e 或21sin arc e （当且仅当 221 ||b PF a c c 时取等号）.55．已知双曲线 22221 x y a b（＞＞），直线通过其右焦点a 0,b 0L F 2 ,A 且与双曲线右支交于、B A B F 两点，将、与双曲线左焦点1连结起来，则222 112(2) ||||a b F A F B a（当且仅当 AB x .⊥轴时取等号） 56A B ．设、是双曲线22221 x y a b（＞＞）的长轴两端点，是双曲线上的一点，a 0,b 0P PAB,PBA ,BPA ，、分别是双曲线的半焦距离心率，则有c e (1)2 222 2|cos | || |s |ab PAa c co .(2)2tan tan 1e .(3) 22222cot PAB a b S b a .57A B ．设、是双曲线 22221 x y a b（＞＞）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的a 0,b 0区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ，（）若过点引直线与双曲线这一1A 支相交于、P Q 两点，则 PBA QBA ；（）若过引直线与双曲线这一支相交于、2B P Q 两点，则180PBA QBA . 58A B ．设、是双曲线22221 x y a b（＞＞）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的a 0,b 0 区域），外部的两点，（）若过点引直线与双曲线这一支相交于、1A P Q 两点，（若交双B P 曲线这一支于两点，则、不关于轴对称），且P Q x PBA QBA ，则点、的横坐标A B A x 、B x 满足2 A B x x a ；（）若过点引直线与双曲线这一支相交于、两点，且2B P Q 180PBA QBA ,A B 则点、的横坐标满足2A B x x a .59．设',A A 是双曲线22221 x y a b的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与 ''AQ 的交点的轨迹是双曲线P 22 221 x y a b.60．过双曲线 22221 x y a b （＞＞）的右焦点a 0,b 0F 作互相垂直的两条弦、则AB CD, 2228 |||| ||abAB CD a ba b ； 22 ||||4cAB CD a a b a 61．到双曲线22 221 x y a b （＞＞）两焦点的距离之比等于a 0,b 0c a b（为半焦距）的动点c M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb .62．到双曲线22221 x y a b（＞＞）的实轴两端点的距离之比等于a 0,b 0 c a b （为半焦距）c 的动点的轨迹是姊妹圆M222 ()x c y b .63．到双曲线22 221 x y a b （＞＞）的两准线和轴的交点的距离之比为a 0,b 0xc a b（为半c 焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222 ()()b x a y e（为离心率）e . 64P ．已知是双曲线 22 221 x y a b（＞＞）上一个动点，a 0,b 0',A A 是它实轴的两个端点且, AQ AP , ''AQ A P ，则点的轨迹方程是Q 222 241 x b y a a.65．双曲线的一条直径过中心的弦的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之()长的比例中项.66．设双曲线 22221 x y a b （＞＞）实轴的端点为a 0,b 0' ,A A , 11 (,)P x y是双曲线上的点过P 作斜率为2121b xa y 的直线l ，过' ,A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于' ,M M,1则（）''2 ||||AM A M b .2（）四边形 ''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221 x y a b（＞＞）的右准线a 0,b 0l 与轴相交于点x E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于、A B ,两点点C 在右准线l 上，且 BC x 轴，则直线经过线段AC EF .的中点 68．OA 、OB 是双曲线2222 ()1 x a y a b（＞＞且a 0,b 0, a b ）的两条互相垂直的弦，O 为 坐标原点，则（）直线必经过一个定点1AB 2222 (,0)ab b a.(2)O A O B 以、为直径的两圆的另一个交点的轨迹方程是Q 22 2222222 ()() a b a b x y b a b a （除原点）。
高中数学双曲线知识点
高中数学双曲线知识点
1. 定义：双曲线是平面上到两个不相交定点F1、F2的距离差
等于常数2a的点P的轨迹。
2. 方程：双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1或
(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1。
3. 对称性：双曲线具有中心对称和轴对称性。
4. 焦点和准线：双曲线的焦点为F1、F2，准线为y=±a。
5. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别为y=±(b/a)x。
它们与
双曲线无交点，但双曲线的曲线趋近于这两条直线。
6. 参数方程：双曲线的参数方程为x=a*cosh(t)，y=b*sinh(t)，
其中cosh(t)和sinh(t)分别为双曲余弦和双曲正弦。
7. 单叶双曲线和双叶双曲线：当a>b时，双曲线为单叶双曲线；当a<b时，双曲线为双叶双曲线。
8. 常用公式：双曲线上任意一点P到准线的距离为
|y|=b/a*sqrt(x^2-a^2)；双曲线的离心率为e=c/a，其中c为焦距。
高中双曲线上一点到渐近线的距离乘积
高中双曲线上一点到渐近线的距离乘积一、引言在高中数学中，关于双曲线和渐近线的知识常常令人感到头疼。
然而，这些知识在解决实际问题时却能发挥重要作用。
本文将围绕着高中双曲线上一点到渐近线的距离乘积这一主题展开讨论，以期帮助读者更好地理解相关概念和定理。
二、基本概念让我们简要回顾一下高中数学中与双曲线和渐近线相关的基本概念。
双曲线是一种重要的二次曲线，其数学表达式为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
而渐近线则是双曲线的特殊直线，它们与双曲线的距离随着x的增大而趋向于零。
要求双曲线上一点到渐近线的距离乘积，我们需要运用到这些基本概念，并结合相关的定理和公式进行推导。
三、距离乘积的计算假设我们有一个双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，并且它有两条渐近线$y=kx$和$y=-kx$。
现在我们要求双曲线上任意一点到这两条渐近线的距离乘积。
设双曲线上的一点为P(x, y)，则点P到$y=kx$的距离为$d_1=|y-kx|$，到$y=-kx$的距离为$d_2=|y+kx|$。
点P到两条渐近线的距离乘积为$d_1d_2=|y^2-k^2x^2|$。
四、案例分析接下来，我们通过一个具体的案例来进一步理解并应用上述推导结果。
假设双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$，渐近线为$y=\frac{3}{2}x$和$y=-\frac{3}{2}x$。
现在我们选取双曲线上的一个特定点P(3, 2)，那么点P到这两条渐近线的距离分别为$d_1=|\frac{3}{2}x-y|=|\frac{3}{2} \times 3-2|=|\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$，$d_2=|\frac{3}{2}x+y|=|\frac{3}{2}\times 3+2|=|\frac{11}{2}|=\frac{11}{2}$。
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双曲线
Ⅰ、定义与推论：
1．定义1的认知
设M为双曲线上任意一点，分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端点，则有：
(1)明朗的等量关系： (解决双焦点半径问题的首选公式)
(2)隐蔽的不等关系：，(寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据)
2．定义2的推论
设为双曲线上任意上点，分别为双曲线左、右焦点，则有
，其中，为焦点到相应准线l i的距离
推论：焦点半径公式当点M在双曲线右支上时，；
当点M在双曲线左支上时，。
Ⅱ、标准方程与几何性质
3．双曲线的标准方程
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程为①
中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程为②
(1)标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系：
(2)标准方程①、②的统一形式：或
(3)椭圆与双曲线标准方程的统一形式：
4．双曲线的几何性质
(1)范围：
(2)对称性：关于x轴、y轴及原点对称(两轴一中心)
(3)顶点与轴长：顶点 (由此赋予a,b名称与几何意义)
(4)离心率：
(5)准线：左焦点对应的左准线；右焦点对应的右准线
(6)双曲线共性：准线垂直于实轴；两准线间距离为；
中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为
(7)渐近线：双曲线的渐近线方程：
Ⅲ、挖掘与延伸
1．具有特殊联系的双曲线的方程
对于双曲线 (a)
(1)当λ+μ为定值时，(a)为共焦点的双曲线(系)方程：c 2
=λ+μ; (2)当
为定值时，(※)为共离心率亦为共淅近线的双曲线(系)方程：
；
(3)以直线
为渐近线的双曲线(系)方程为：
特别：与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为：
(左边相同，区别仅在于右边的常数) 2．弦长公式
设斜率为k 的直线l 与双曲线交于不同两点
则
1、双曲线标准方程的两种形式是：12222=-b y a x 和122
22=-b
x a y )00(>>b a ，。
2、双曲线12222=-b y a x 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2±
=，离心率是a c
e =，通径的长是a b 22，渐近线方程是02222=-b y a x 。
其中2
22b a c +=。
3、与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ，即共渐近线为x a b
y ±=；
与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122
2
2=--+k
b y k a x 。
4、双曲线焦半径公式：设P(x 0,y 0)为双曲线22
221-=x y a b
(a>0,b>0)上任一点，焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),则: (1)当P 点在右支上时，1020,=+=-+PF a ex PF a ex ；
(2)当P 点在左支上时，1020,=--=-PF a ex PF a ex ；(e 为离心率)；
另：双曲线12222=-b y a x (a>0,b>0)的渐进线方程为02222
=-b y a x ； 5、双曲线1222
2=-b
y a x 的通径(最短弦)为a b 2
2，焦准距为2=b p c ，焦点到渐进线的距离为b; 6、处理双曲线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为双曲线1222
2
=-b
y a x (a>0，b>0)上不同的两点，M(x 0,y 0)是AB 的中点，则K AB .K OM =22a
b。