高中数学公式双曲线

双曲线

Ⅰ、定义与推论：

1．定义1的认知

设M为双曲线上任意一点，分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端点，则有：

(1)明朗的等量关系： (解决双焦点半径问题的首选公式)

(2)隐蔽的不等关系：，(寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据)

2．定义2的推论

设为双曲线上任意上点，分别为双曲线左、右焦点，则有

，其中，为焦点到相应准线l i的距离

推论：焦点半径公式当点M在双曲线右支上时，；

当点M在双曲线左支上时，。

Ⅱ、标准方程与几何性质

3．双曲线的标准方程

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程为①

中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程为②

(1)标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系：

(2)标准方程①、②的统一形式：或

(3)椭圆与双曲线标准方程的统一形式：

4．双曲线的几何性质

(1)范围：

(2)对称性：关于x轴、y轴及原点对称(两轴一中心)

(3)顶点与轴长：顶点 (由此赋予a,b名称与几何意义)

(4)离心率：

(5)准线：左焦点对应的左准线；右焦点对应的右准线

(6)双曲线共性：准线垂直于实轴；两准线间距离为；

中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为

(7)渐近线：双曲线的渐近线方程：

Ⅲ、挖掘与延伸

1．具有特殊联系的双曲线的方程

对于双曲线 (a)

(1)当λ+μ为定值时，(a)为共焦点的双曲线(系)方程：c 2

=λ+μ; (2)当

为定值时，(※)为共离心率亦为共淅近线的双曲线(系)方程：

；

(3)以直线

为渐近线的双曲线(系)方程为：

特别：与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为：

(左边相同，区别仅在于右边的常数) 2．弦长公式

设斜率为k 的直线l 与双曲线交于不同两点

则

1、双曲线标准方程的两种形式是：12222=-b y a x 和122

22=-b

x a y )00(>>b a ，。

2、双曲线12222=-b y a x 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2±

=，离心率是a c

e =，通径的长是a b 22，渐近线方程是02222=-b y a x 。其中2

22b a c +=。

3、与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ，即共渐近线为x a b

y ±=；

与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122

2

2=--+k

b y k a x 。 4、双曲线焦半径公式：设P(x 0,y 0)为双曲线22

221-=x y a b

(a>0,b>0)上任一点，焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),则: (1)当P 点在右支上时，1020,=+=-+PF a ex PF a ex ；

(2)当P 点在左支上时，1020,=--=-PF a ex PF a ex ；(e 为离心率)；

另：双曲线12222=-b y a x (a>0,b>0)的渐进线方程为02222

=-b y a x ； 5、双曲线1222

2=-b

y a x 的通径(最短弦)为a b 2

2，焦准距为2=b p c ，焦点到渐进线的距离为b; 6、处理双曲线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为双曲线1222

2

=-b

y a x (a>0，b>0)上不同的两点，M(x 0,y 0)是AB 的中点，则K AB .K OM =22a

b

。