第七节 定积分的应用
定积分的简单应用知识讲解
f (x)]dxc b), x 轴及一条曲线 yf ( x)(不妨设在区间 [a,c] 上f(x) 0，在区间 [c,b]上 f (x) 0 )围成的图形的面积：定积分的简单应用【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线 x a ， x b (a b)， x 轴(即直线 y g(x) 0 )及一条曲2.如图，由三条直线 x a ， x b (a b)， x 轴(即直线 y g(x) 0 )及一条曲线f 1(x) y 2 f 2(x) f 1(x) f 2(x)及直线x a ， x b (a b)围成图形的面积：S a f (x)dx a [ f (x) g(x)]dx aay f(x)( f (x) 0 )围成的曲边梯形的面积：ba [g(x)3．由三条直线 x a,x b(acb f (x)dx ＋ f (x)dx .ac4. 如图，由曲线 y 1b b bS [ f1(x) f2(x)]dx f1( x)dx f2(x)dxa a a要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义：① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数(或绝对值) ；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤( 1)画出图形； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；( 4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。
要点三、定积分在物理中的应用① 变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v v(t)(v(t) 0) 在时间区间b[a,b] 上的定积分，即S v(t)dt .a②变力作功物体在变力F(x) 的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F ( x)相同的方向从x a移动b到x b (a b) ，那么变力F(x) 所作的功W F(x)dx.a要点诠释：1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。
本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。
通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
定积分的结果是一个数值。
二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。
这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。
三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。
定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。
四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。
例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。
五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。
例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。
六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。
例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。
定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。
七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。
根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。
八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。
定积分的应用课件
液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题， 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者 剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示 生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分 求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的 元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而 利用定积分求解变力做功。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分的应用通用课件
计算需求弹性
总结词
定积分在计算需求弹性方面具有重要应用，帮助企业了解市场需求并制定相应的营销策 略。
详细描述
需求弹性是衡量市场需求对价格变动敏感度的指标，对于企业的定价和营销策略具有指 导意义。通过定积分，可以将需求函数转化为弹性函数，从而帮助企业了解市场需求并
制定相应的营销策略。
预测市场趋势和销售量
详细描述
分部积分法的关键是选择合适的函数对，使得其中一个函数的导数容易计算， 而另一个函数的原函数容易找到。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转化 为简单的定积分，从而简化计算过程。
03
定积分在几何学中的应用
计算平面图形的面积
01 矩形面积
对于任意长度a和宽度b的矩形，其面积A=a×b。
02 圆形面积
06
定积分在其他领域的应用
在信号处理中的应用
信号的强度变化
定积分可以用来计算信号的强度 变化，例如声音信号的振幅变化
。
信号的平滑处理
通过定积分，可以对信号进行平滑 处理，消除噪声和干扰，提高信号 质量。
信号的滤波
定积分可以用于信号的滤波，例如 低通滤波器和高通滤波器的设计。
在控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
定积分的应用通用课 件
目录
• 定积分的概念与性质 • 定积分的基本计算方法 • 定积分在几何学中的应用 • 定积分在物理学中的应用 • 定积分在经济学中的应用 • 定积分在其他领域的应用
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。定积分常用于计算平面图形的面积、体积、平面 曲线的长度等。
控制系统的误差分析
定积分可以用来分析控制系统的稳定 性，例如判断系统的收敛性和稳定性 。
定积分的应用解析
定积分的应用解析定积分是微积分中重要的一部分，它在物理学、经济学、统计学等各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨定积分的应用，并通过具体的例子说明其解析过程。
一、图形面积的计算定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且非负，可将该图形分割为许多矩形或梯形，并逐渐将分割趋于无穷细，那么这些矩形或梯形的面积之和就可以通过定积分来表示。
例如，我们计算函数y=x^2在区间[0,1]上的曲线与x轴所围成的图形面积。
首先，将该区间分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n，其中a=0，b=1。
然后，选取小区间中的一点xi，计算函数在该点的函数值f(xi)，再计算出每个小区间的面积Ai=f(xi)Δx。
最后，将所有小区间的面积之和进行求和运算，即可得到图形的面积：S = ∑(i=1到n) Ai = ∑(i=1到n) f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，即Δx趋近于0，上述求和运算将趋近于定积分∫(a到b) f(x)dx。
因此，图形的面积可以表示为：S = ∫(0到1) x^2dx二、物理学中的应用在物理学中，定积分在描述物体的运动、力学、流体力学等方面有着广泛的应用。
1. 位移、速度与加速度设一个物体在某一时刻t的位移为s(t)，那么在时间区间[t1,t2]内的位移可以通过定积分来计算：∫(t1到t2) s(t)dt类似地，速度和加速度可以分别表示为位移的一阶和二阶导数。
通过对速度和加速度的定积分，我们可以获得物体在某一时间区间内的位移和速度。
2. 力学工作与功力学工作可以表示为力F在位移s下的力学作用。
假设力在位移方向上的大小与位移成正比，那么力学工作可以通过定积分来进行计算。
工作W = ∫(a到b) F(x)dx功则表示物体由于力的作用而发生的位移，并可以通过力的积分来计算。
功A = ∫(a到b) F(x)ds三、经济学中的应用在经济学中，定积分在计算总量、均值等方面有着广泛的应用。
《数学定积分的应用》课件
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差 的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和 或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于任意两个不重叠 的区间[a, b]和[b, c]，有 ∫(a,c)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(b,c)f(x)dx。
积分中值定理
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么至少存在 一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)(b-a)。
电路中的电流和电压
要点一
总结词
定积分在电路分析中用于计算电流和电压，通过求解电路 中的微分方程，可以得到电流和电压的分布。
要点二
详细描述
在电路分析中，电流和电压的变化规律通常由微分方程描 述。通过应用定积分，可以将电路中的电压和电流表示为 时间的函数。然后通过求解这个微分方程，可以得到电流 和电压在整个电路中的分布情况。
详细描述
对于曲线形构件，其质量可以通过定积分计算。首先，确定构件的材料密度分 布，然后对密度函数在构件的体积上进行积分，得到构件的总质量。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度
详细描述
在引力场中，物体受到的引力大小与物体质 量成正比，与物体之间的距离的平方成反比 。通过定积分计算在某一空间区域内的引力 场强度，即在该区域内所有物体产生的引力 对该点的合力。具体地，将引力函数在空间 区域上进行积分，得到该区域内的引力场强 度。
dx进行计算。
功和压力
总结词
定积分可以用于计算变力做功和压力。
详细描述
对于一个质点在力F(x)=f(x)*dx的作用下沿直线运动 ，力F所做的功可以通过计算定积分得出，公式为 ∫(b a) f(x) dx。
定积分的应用课件
2 信号处理
定积分可以计算信号的功 率、频谱和通量。
3 流体力学
通过定积分可以计算流体 的压力、速度和流率。
定积分在地理学中的应用
地形测量
通过定积分可以计算地球表面和 地质构造的高程。
气象学
定积分可以计算气象参数在空气 层中的分布和变化。
人口地理学
通过定积分可以计算人口密度和 城市发展的空间格局。
将面积概念应用于实际场 景，如教室布置和园艺规 划。
3 面积游戏
通过面积游戏和竞赛激发 学生学习兴趣和动力。
和混合效果。
3
创意表达
定积分可以用于艺术家和设计师的创意 表达和构思。
定积分在社会科学中的应用
社会学
定积分可以用于计算人口统计数 据和社会发展指标。
心理学
通过定积分可以建模心理过程和 行为变化。
经济学
定积分可以用于经济模型和政策 的评估和预测。
小学生学习面积时的应用
1 绘图和标注
2 实际场景
通过绘制图形和标注边长， 引导学生进行面积计算。
3
经济增长
通过计算国民收入的定积分，可以评估经济的增长率。
定积分在生物学中的应用
种群动态
定积分可以计算物种数量和 种群生长率。
生态系统
通过定积分可以计算能量流 量和物质循环。
药物浓度
定积分可以计算药物在体内 的浓度和释放速率。
定积分在工程学中的应用
1 结构分析
定积分可以计算结构的强 度、刚度和变形。
定积分在计算机科学中的应用
1 图像处理
定积分可以计算图像的亮 度、对比度和边缘检测。
2 数据挖掘
通过计算定积分，可以评 估数据的分布和模式。
定积分的应用
l
a x2 + a2
dF = −
a2 + x (
k ρ madx
2 3/ 2
)
,
kmρ x l 2 + a2 − a Fx = ∫ 2 d x = kmρ , 2 3/ 2 0 (a + x ) a a2 + l 2
km ρ a Fy = ∫ 2 dx 2 3/ 2 0 (a + x )
y 由题设， 由题设，当 x = 2 时，
积为
H 2
= 3,
当水深为H 当水深为 时，水的体
H
V = π ∫ ( y + 1) d y = π ∫
0
0
( y + 1) d y ,
dH 2 dV dV dH , 则 = 2时， = = π ( H + 1) ,当 d t π ( H +1) dt dt dt
⑶绕 x 轴旋转体的体积为
2 V = 2π ∫ ( y12 − y2 ) d y 1 0 4 52 2 3 = 2π ∫ ( 2 − x ) − x d x = π . 0 21 1
y
C
y = 2 − x2
B
y3 = x2
A (1,1)
Ｏ
x
例7 一开口容器的侧面和底面分别由曲线弧段
O x
π arcsin y − arcsin 2 y d y V = π∫ 0
y = sin x
2
1
π∫
π 2 0
πx − x 2 ) cos x d x (
2 π 2 0 π 2 0
= ( π x − πx ) sin x − π ∫
3
定积分应用
(3)、 (3)、引力
由物理学知道， 由物理学知道，质量分别为 m1 , m 2 相距为
m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为 F = k 2 ， r 其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的 为引力系数，
连线方向． 连线方向．
练习：P68 A3，A5，B4 作业题：P68 A4，A6，B3
F (x) = k q r2
（ k 是常数） 是常数） ，
当这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴 处时， 移动到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作的 功．
o
r
解:
由题意,所求功为 由题意 所求功为
b
+q
• o
⋅• •• • a r
b
+1
• •• ⋅
b
r
kq = kq − 1 = kq 1 − 1 . w = ∫a 2dr r a a b r
4 A1 = ∫ [ x − ( − x )]dx = 0 3
1
第二块的面积： 9 x −3 28 A2 = ∫ [ x − ( )]d x = 1 2 3 32 则 总 面 积 ： A = A1 + A 2 = 3
分析 2 ： 若把围成的平面 区域看成y - 型区域：则 左曲线为： = y 2 , 右曲 x 线为： x = 2y + 3, 下直线 y = -1, 上直线为： y = 3 直接由 y 型区域面积的 计算公式得面积 2 A = ∫ ( 2y + 3 ) - y dy =10 . 3 -1
2 3
练 ： 习 1、 = sin x， = cos x在 2π]上 围 的 积 y y [0， 所 成 面 。
定积分的简单应用 课件
法一：选 x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成
两部分(如图)，则面积为
S＝S1＋S2＝22
2xdx＋8(
2x－x＋4)dx
0
2
＝4
3
2 x
3 2
2
＋2
3
2 x
3 2
－12x2＋4x
0
＝24－8－214×64＝430.
法二：(选x为积分变量)
S＝2( 8x)dx＋6(6－x)dx
0
2
＝
8×23x
3 2
2 ＋6x－12x2 6
0
2
＝136＋6×6－12×62－6×2－12×22＝430. [答案] C
[多维探究] 1．本题易搞错被积函数及积分上下限，误认为 S＝
46－x－
0
8x)dx，从而得出 S＝16－323 2的错误答案．
8
＝18.
0
2
法二：选 y 作积分变量，则 y 的变化区间为[－4,2]，如图
得所求的面积为
S＝2
4－y－y22dy＝4y－12y2－16y3 2
－4
－4
＝18.
求变速直线运动的路程、位移
[例 3] A，B 两站相距 7.2 km，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车开出 t s 后到达途中 C 点，这一段的速度为 1.2t m/s， 到 C 点的速度为 24 m/s，从 C 点到 B 点前的 D 点以等速行驶， 从 D 点开始刹车，速度为(24－1.2t) m/s，经 t s 后，在 B 点恰 好停车．试求：
[解] 由yy＝＝xx＋2－32，x＋3， 解得 x＝0 或 x＝3.如下图．
第七节 定积分在其它方面的应用简介
抽水所做的功为:
W pgx y dx pg xy 2dx
2 2 2 8 8
3 8 x2 x pg x(4 ) dx pg (16 x 4 x 2 )dx 2 2 2 4 8
4 4 x pg (8 x 2 x3 ) 8 2 3 16
9.8 63 103 ( J ) （p 103 kg / m3，g 9.8m / s 2）
三.定积分在计算经济效益时的应用
) x 当函数 f ( x表示产量为 时的利润函数，则
f ( x)dx 表示生产量 dx 时的利润（称为利润元素），
a 此时定积分表示产量为 b 时所产生的利润 .
v t 100 100sin 2 t 售速度为 t的单位：月； （ 2
第七节 定积分在其它方面的应用
一.定积分在求连续函数平均值时的应用
连续函数 在 a, b上平均 a, b
自然可以把这个极限值作为连续函数 上的平均值.所以
例4.7.1 求函数 y ln x 在 (1, 2) 上的平均值 .
1 2 y ln xdx 解 ( x ln x x) 1 2ln 2 1 2 1 1 例4.7.2 【平均销售量】一家快餐连锁店在 广告后第t天销售的快餐数量由下式给出： , 求该快餐连锁店在广告后第一周内 的平均销售量(销售量单位为份).
当 f ( x) 表示变力时定积分 f ( x)dx 表示物体在 a f ( x ) 变力 作用下所做的功. 例4.7.3 一个底半积为 4m，高为 8m 的倒立圆 锥形容器，内装深 6m 的水，现要把容器内的水全 部抽完，要做功多少？ 解 我们设想水是一层层被抽上来的由于水位 不断下降，所以这是一个“变距离”做功问题，可 用定积分来解决. 选取坐标系如图
定积分的应用9411954页PPT
0
0
2 02
3) 旋转体体积
定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一 条直线（轴）旋转一周而形成的立体图形。
这直线叫做旋转轴。如圆柱、圆锥体，球体等。 特点：与旋转轴垂直的横截面都是圆
圆柱
圆锥
圆台
1）：体积元素为小圆柱体：dV=底面积×高
取积分变量为x， y
yf(x)
x[a,b]
在[a,b]上任取小区 o
(2)A=
d
[g(y)f(y)]dy
c
例 3 计 算 由 曲 线 y22x和 直 线 yx4所 围
成 的 图 形 的 面 积 .
解 两曲线的交点
yx4
y2 2x
y x4
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
如选x为积分变量，图形需分成两块。
选 y为积分变量 y[2,4]
S022sin 2tdt8
（极坐标）
曲线弧为 rr() ()
其 中 ()在 [, ]上 具 有 连 续 导 数 .
xyrr(())scions ()
d s (d)x 2(d)y 2r2()r2()d,
弧长
s
x2y2dt4023asintcotds t
y
6a.
a o
ax
例 求摆线 x 1 cost
y
t
sint
一拱（0≤t≤2π）的弧长S。
解 dxsitn, dy1cots
dt
dt
d S s2 t i ( n 1 ct) o 2 d s t 2 ( 1 ct) d o 2 圆的参数方程
x y
定积分的应用
定积分的应用定积分是数学中的一个重要概念，它在许多领域中具有广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念和性质，并探讨其在几何学、物理学和经济学等领域中的应用。
首先，让我们回顾一下定积分的定义。
在数学中，定积分是一个函数与另一个函数之间的一种关系，通常表示为∫f(x)dx。
其中，f(x)是被积函数，x是积分变量，dx表示对x的微小变化。
定积分表示的是函数f(x)在给定区间[a,b]上的面积或曲线下的总体积。
定积分具有以下几个重要的性质。
首先，如果f(x)是[a,b]上的连续函数，那么定积分存在且唯一。
这一性质保证了定积分的可靠性和确定性。
其次，定积分的值可以通过积分的上限和下限来计算。
换句话说，定积分是一个函数的区间值。
最后，定积分的值可以通过一种基本定理来计算，即牛顿—莱布尼茨公式。
该公式告诉我们，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么定积分可以通过求F(x)在区间[a,b]上的差值来计算。
在几何学中，定积分有着广泛的应用。
通过计算曲线下的面积，我们可以求解两个曲线之间的交集、计算物体的体积等。
例如，如果我们要求解一个曲线和x轴之间的面积，我们可以将该曲线表示为y=f(x)，然后计算∫f(x)dx在所给区间上的值。
同样地，我们可以使用定积分来计算曲线的弧长，通过公式∫√(1+(dy/dx)^2)dx来实现。
定积分在几何学中的应用还包括求解曲线的重心和弦长等问题。
物理学是另一个应用定积分的领域。
在物理学中，物体的质量、力、功和能量等都与空间的分布有关。
通过将物体分成许多微小的部分，并计算每个部分的质量或力的大小，我们可以使用定积分来对整个物体的质量或力进行求和。
例如，我们可以使用定积分来计算一个线密度为λ(x)的细线段的质量，通过公式∫λ(x)dx来实现。
同样地，我们可以使用定积分来计算一个变力F(x)在区间[a,b]上所做的功，通过公式∫F(x)dx来实现。
定积分在物理学中的应用还包括计算速度、加速度和热量等。
定积分的应用08719
y
d
y
x ( y)
c
x ( y)
o
x
S
d
c
[
(
y)
(
y)]dy
y
yd
x ( y)
f
y
x ( y)
c
o
x
S
f
c
[ (
y)
(
y)]dy
d
f
[
(
y
)
(
y
)]dy
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x 2所围成的图形
的面积.
0
hr 2
3
由连续曲线 y f ( x)、直线 x a 、 x b及 x 轴 所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体体积为
Vx
b [ f ( x)]2 dx
a
y
y f (x)
o
x
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x g( y)、
直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴
b
a [ f ( x) g( x)]dx
y
y f (x)
y g(x)
o axc x b x
c
S a[ f ( x) g( x)]dx
b
c [g( x) f ( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x 2所围成的图形
的面积.
解题步骤 1.确定交点坐标,做草图
P
则 S左
t (t2
x2 )dx
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§6.7 定积分的应用-----2教学目的：熟练运用定积分知识，在已知经济函数的边际函数条件下计算其相应原函数或函数值． 重点：1.弄清常用经济函数的实际问题的意义，正确列出相关定积分表达式．2.利用积分概念与性质简化计算．难点：收益流的现值和将来值教学方法：讲练结合教学过程：五、由边际函数求原函数经济函数 ⎰'+=xdt t u u x u 0 )()0()(. 例1 生产某产品的边际成本函数为2()314100C x x x '=-+,固定成本10000)0(=C ,求生产x 个产品的总成本函数．解: 0()(0)()x C x C C t dt '=+⎰ 2010000(314100)xt t dt =+-+⎰32010000[37100]x t t t =+-+ 323710010000x x x =-++．提问：平均成本如何求？练习1： 生产某产品的边际成本为x x C 2.0150)(-=',当产量由200增加到300时,需增加成本多少？解: 需增加成本为300300 200 200()(1500.2)C C x dx x dx '==-⎰⎰2300200[1000.1]10000x x =-=．例2 已知边际收益为()782R x x '=-,设(0)0R =,求收益函数()R x ．解: 00()(0)()0(782)xxR x R R t dt x dt '=+=+-⎰⎰220[78100]78x t t t x x =-+=-． 练习2： 某工厂生产某商品在时刻t 的总产量变化率为t t x 12100)(+='(单位/小时)求由2=t 到4=t 这两小时的总产量．解: 两小时的总产量为272]6100[)12100()(42242 4 2 =+=+='=⎰⎰t t dt t dt t x Q ． 练习3：某工厂生产某商品在时刻t 的总产量变化率为2()100120.6f t t t =+-(单位/小时)求由2=t 到4=t 这两小时的总产量．解: 两小时的总产量为4 42 2 2()(100120.6)Q f t dt t t dt ==+-⎰⎰ 2342[10060.2]206.8t t t =+-=（单位）．练习4.已知某产品总产量的变化率是时间t (单位:年)的函数52)(+=t t f ,)0(≥t ,求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少?解 50d )52(501=+=⎰t t Q , 100d )52(1052=+=⎰t t Q .例3. 已知某产品生产x 个单位时,总收益R 的变化率(边际收益)为100200)(x x R R -='=', 0≥x ,(1)求生产了50个单位时的总收益;(2)如果已经生产了100个单位,求再生产100个单位时的总收 益.解 5.9987d )100200(500=-=⎰x x R , 19850d )100200(200100=-=⎰x x R . 例4 设某种商品每天生产x 单位时固定成本为20元,边际成本函数为()0.42C x x '=+(元/单位),求总成本函数()C x .若该商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数()L x ，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.解：总成本函数00()()(0)(0.42)20x xC x C x dx C x dx '=+=++⎰⎰ 220[0.22]200.2220x x x x x =++=++.总利润函数 ()()()L x R x C x =-2218(0.2220)0.21620x x x x x =-++=-+-由()0.416040L x x x '=-+=⇒=，又(40)0.40L ''=-<所以每天生产 40x =单位时，总利润()L x 最大，且2max 40(40)[0.21620]300x L L x x ===-+-=（元）.练习5：某产品的总成本C (万元)的变化率(边际成本)1='C ,总收益R (万元)的变化率(边际收益)为生产量x (百台)的函数x x R R -='='5)(,(1)求生产量等于多少时,总利润C R L -=为最大.(2)从利润最大的生产量又生产了100台,总利润减少了多少解 (1)x x C x R x L -='-'='4)()()(,由0)(='x L ,得4=x ,(4)10L ''=-<，所以4=x 时,总利润最大.(2)5.0d )4(54-=-=∆⎰x x L ,所以L 减少了5000元. 练习6：(92.4.6') 设生产某产品的固定成本为10,而当产量为x 时 的边际成本函数为240203MC x x =-+,边际收入函数为3210MR x =-,试求(1)总利润函数;(2)使总利润最大的产量.解 (1)总成本函数为: 2230()10(40203)d 104010x C x t t t x x x =+-+=+-+⎰ 总收入函数为:20()(3210)325x R x t dt x x =-=-⎰总利润函数为 ()()()L x R x C x =-22332(325)(104010)5810x x x x x x x x =--+-+=-+--令()()()0L x R x C x MR MC '''=-=⇒= 即2124310802,3x x x x -+===解得 又4106,(2)0,()03L x L L ''''''=-<> ,所以2x =为极大值点,也是获得最大利润点故2x =时总利润最大.例5 在某地区当消费者个人收入为x 时,消费支出)(x W 的变化率 xx W 15)(=',当个人收入由900增加到1600时,消费支出增加多 少？解:消费支出增加 300]30[15)(16009000061 900 0061 900 ==='=⎰⎰x x d xdx x W W ． 练习7： 已知生产某产品x 单位时的边际收入为()1002R x x '=-( 元/单位)，求生产40单位时的总收入及平均收入，并求再增加生产10个单位时所增加的总收入．解:因为 (0)0R =，所以生产40单位时的总收入为400(40)()R R x dx '=⎰402400 0(1002)[100]2400x dx x x =-=-=⎰（元）．生产40单位时的平均收入为(40)(40)6040R R ==（元）． 为在生产40单位后再增加生产10个单位时所增加的总收入50 40(50)(40)()R R R R x dx '∆=-=⎰5025040 40(1002)[100]100x dx x =-=-=⎰（元）．（生产50个单位产品时总收益最大）练习8:已知生产某商品x 单位时，边际收益函数为()20050x R x '=-（元/单位），试求生产x 单位时总收益()R x 以 及平均单位收益()R x ，并求生产这种产品2000单位时的总收益和平均单位收益. 解：总收益 00()()(200)50x x x R x R x dx dx '==-⎰⎰ 220[200]200100100x x x x x =-=-. 平均单位收益()()200100R x x R x x ==-； 当生产2000单位时，总收益 22000(2000)[200]360000100x x R x ==-=（元）； 平均单位收益 2000(2000)[200]180100x x R ==-=（元）. 例6 假设某产品的边际收入为()9R x x '=-( 万元/万台)，边际成 本为()44x C x '=+(万元/万台)，其中产量x 以万台为单位， （1）求产量由4万台增加到5万台时利润的变化量；（2）当产量为多少利润最大？（3）已知固定成本为1万元，求总成本函数和总利润函数．解：（1）边际利润为5()()()(9)(4)544xx L x R x C x x '''=-=--+=-． 554455(5)(4)()(5)48x L L L L x dx dx '∆=-==-=-⎰⎰（万元） （２）由()0L x '=得唯一驻点4x =（万元），5(4)04L ''=-< 即当产量为4x =万元时利润最大．（３）由已知 (0)1C =，200()()(0)(4)14148x xt x C x C t dt C dt x '=+=++=++⎰⎰ 20055()()(0)(5)(0)5148x x x L x L t dt L t dt C x '=+=--=--⎰⎰． 三、收益流的现值和将来值1. 由第二章第五节 连续复利(时时刻刻在计息 )知识知道若以连 续复利率r 计息，将一笔P 元的人民币从现在起存银行，t 年后的 价值（将来值）为rt B Pe =若t 年后得到B 元的人民币，则现在需要存入银行的金额（现值）为rt P Be -=2.收益流(1)收益流)(t R ——随时间t 连续变化的收益．(2)收益流量)(t P ——收益流)(t R 对时间的变化率,)()(t R t P '=． 若收益以元为单位,时间t 以年为单位,收益流量单位为:元/年.3.现值和将来值(1)将来值——将收益流存入银行并加上利息之后的存款值．(2)现值——收益流的现值是这样一笔款项,若把它存入可获息的银 行,将来从收益流中获得的总收益,与包括利息在内的银行存款值, 有相同的价值.总收益减去利息的所得。
3.计算公式假设连续复利率为r ,收益流的收益流量为)(t P (元/年),时间 段为从0=t 到T t =年,那么(1) 收益流的现值为: ⎰-=Trt dt e t P R 0 0)(．证明：取],0[T 中的任一小区间],[dt t t +,在],[dt t t +期间的收益为 dt t P )(,此收益可以近似看作在t 点的收益，其现值应为dt e t P rt -)(,所以收益流的总现值为: ⎰-=T rtdt e t P R 0 0)(．(2)收益流的将来值为: ⎰-=T t T r T dt e t P R 0 )()(． 证明：取],0[T 中的任一小区间],[dt t t +,在],[dt t t +期间的收益为 dt t P )(,其将来值应为dt e t P t T r )()(-,所以收益流的总将来值为:⎰-=Tt T r T dt e t P R 0 )()(． 例7 假设以连续复利率1.0=r 计息,(1)求收益流量为100元/年的收益在20年期间的现值和将来值；(2)将来值和现值的关系如何?解释这一关系．解：(1)收益在20年期间的现值 66.864)1(1000100202 0 1.00≈-==--⎰e dt e R t (元),将来值 06.6389)1(10001002202 0)20(1.020≈-==---⎰e e dt e R t (元);(2)0220R e R =.说明:将单独的一笔款项0R 存入银行,并以连续复利率1.0=r 计 息,那么这笔款项20年后的将来值为0.120200R e e R ⨯=,这个将来值正 好等于收益流在20年期间的将来值20R .结论 将来值和现值的关系 将来值rT e =现值.例8 设有一项计划现在(0=t )需要投入1000万元,在10年中每 年收益为200万元.若连续复利率为%5,求收益资本价值W .(设购 置的设备10年后完全失去价值).解：由于资本的价值＝收益流的现值－投入资金的现值,那么 100.05 02001000t W e dt -=-⎰ （200万元为每年的收益流量） 5400(1)1000573.88e -=--≈(万元).例9某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元,每年的收 益流量为10万元,求内部利率μ.(注:内部利率是使收益价值等于 成本的利率).解：由于收益流的现值＝成本,那么1010 0108010(1)t e dt e μμμ--==-⎰1081e μμ-⇒=- （利用无穷级数0!nxn x e n ∞==∑取2n =）经过近似计算得046.0≈μ.小结：认真审题，根据实际意义及经济函数写出积分关系式进行计 算．课后记：易犯错误（1）审题有误（2）列不出正确积分关系式．（3）运算错误多．。