第七节 定积分的应用

§6.7 定积分的应用-----2

教学目的：熟练运用定积分知识，在已知经济函数的边际函数条件下计算其相应原函数或函数值． 重点：1.弄清常用经济函数的实际问题的意义，正确列出相关定积分表达式．

2.利用积分概念与性质简化计算．

难点：收益流的现值和将来值

教学方法：讲练结合

教学过程：

五、由边际函数求原函数

经济函数 ⎰'+=x

dt t u u x u 0 )()0()(. 例1 生产某产品的边际成本函数为2()314100C x x x '=-+,

固定成本10000)0(=C ,求生产x 个产品的总成本函数．

解: 0()(0)()x C x C C t dt '=+

⎰ 2010000(314100)x

t t dt =+-+⎰

320

10000[37100]x t t t =+-+ 323710010000x x x =-++．

提问：平均成本如何求？

练习1： 生产某产品的边际成本为x x C 2.0150)(-=',当产量由

200增加到300时,需增加成本多少？

解: 需增加成本为

300

300 200 200()(1500.2)C C x dx x dx '==-⎰⎰2300200[1000.1]10000x x =-=．

例2 已知边际收益为()782R x x '=-,设(0)0R =,

求收益函数()R x ．

解: 00()(0)()0(782)x

x

R x R R t dt x dt '=+=+-⎰⎰220[78100]78x t t t x x =-+=-． 练习2： 某工厂生产某商品在时刻t 的总产量变化率为

t t x 12100)(+='(单位/小时)求由2=t 到4=t 这两小时的总产量．

解: 两小时的总产量为

272]6100[)12100()(4

224

2 4 2 =+=+='=⎰⎰t t dt t dt t x Q ． 练习3：某工厂生产某商品在时刻t 的总产量变化率为

2()100120.6f t t t =+-(单位/小时)求由2=t 到4=t 这两小时的总产量．

解: 两小时的总产量为

4 4

2 2 2()(100120.6)Q f t dt t t dt ==+-⎰⎰ 234

2[10060.2]206.8t t t =+-=（单位）．

练习4.已知某产品总产量的变化率是时间t (单位:年)的函数

52)(+=t t f ,)0(≥t ,

求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少?

解 50d )52(501=+=⎰t t Q , 100d )52(1052=+=⎰t t Q .

例3. 已知某产品生产x 个单位时,总收益R 的变化率(边际收益)为100200)(x x R R -

='=', 0≥x ,(1)求生产了50个单位时的总收益;(2)如果已经生产了100个单位,求再生产100个单位时的总收 益.

解 5.9987d )100

200(500=-

=⎰x x R , 19850d )100200(200100=-=⎰x x R . 例4 设某种商品每天生产x 单位时固定成本为20元,边际成本函数为()0.42C x x '=+(元/单位),求总成本函数()C x .若该商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数()L x ，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.

解：总成本函数

00()()(0)(0.42)20x x

C x C x dx C x dx '=+=++⎰⎰ 22

0[0.22]200.2220x x x x x =++=++.

总利润函数 ()()()L x R x C x =-

2218(0.2220)0.21620x x x x x =-++=-+-

由()0.416040L x x x '=-+=⇒=，又(40)0.40L ''=-<

所以每天生产 40x =单位时，总利润()L x 最大，且

2max 40(40)[0.21620]300x L L x x ===-+-=（元）.

练习5：某产品的总成本C (万元)的变化率(边际成本)1='C ,总

收益R (万元)的变化率(边际收益)为生产量x (百台)的函数

x x R R -='='5)(,

(1)求生产量等于多少时,总利润C R L -=为最大.

(2)从利润最大的生产量又生产了100台,总利润减少了多少

解 (1)x x C x R x L -='-'='4)()()(,由0)(='x L ,得4=x ,

(4)10L ''=-<，所以4=x 时,总利润最大.

(2)5.0d )4(54

-=-=∆⎰x x L ,所以L 减少了5000元. 练习6：(92.4.6') 设生产某产品的固定成本为10,而当产量为x 时 的边际成本函数为240203MC x x =-+,边际收入函数为

3210MR x =-,试求(1)总利润函数;(2)使总利润最大的产量.

解 (1)总成本函数为: 2230()10(40203)d 104010x C x t t t x x x =+

-+=+-+⎰ 总收入函数为:20()(3210)325x R x t dt x x =

-=-⎰

总利润函数为 ()()()L x R x C x =-

22332(325)(104010)5810x x x x x x x x =--+-+=-+--

令()()()0L x R x C x MR MC '''=-=⇒= 即2124310802,3x x x x -+===

解得 又4106,(2)0,()03

L x L L ''''''=-<> ,

所以2x =为极大值点,也是获得最大利润点

故2x =时总利润最大.

例5 在某地区当消费者个人收入为x 时,消费支出)(x W 的变化率 x

x W 15)(=

',当个人收入由900增加到1600时,消费支出增加多 少？