几何体的外接球的体积和表面积
球的体积与表面积
三、有关几何体的外接球与内切球
与球有关的组合体问题,一种是内切,一
种是外接,解题时要明确切点和接点的位
置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
1.若一正方体边长为a,则该正方体的外接球 半径与a有什么关系?
思考：若一长方体边长分别为a,b,c则该正 方体的外接球半径与a，b,c有什么关系?
【例2】 已知球的两平行截面的面积为5π 和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,求
这个球的表面积和体积.
思路分析:利用截面圆的半径、球的半径以
及球心与截面圆心的连线构成的直角三角形
求解.
变式训练 已知过球面上三点A,B,C的C=6,求球的
表面积与球的体积.
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体 A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.8倍
二、球的截面问题 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆, 被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆,如
图.设小圆圆心为O1,半径为r,球的球心为O,
半径为R,则有: (1)OO1⊥平面☉O1; (2)R2=r2+d2,其中d为两圆的圆心距.
【例 1】 (1)已知球的直径为 8 cm,求它的表面积 和体积; (2)已知球的表面积为 144π,求它的体积; (3)已知球的体积为
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π,求它的表面积.
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表
面积之比为( A ) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 积是其余两球体积和的( C) D.1∶1
������ 圆锥侧 ������ 球 3 3
=
2 5πℎ 2 4πℎ 2
=
5 2
.④
2.若一正方体边长为a,则该正方体的内切 球半径与a有什么关系?
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
几何体外接球表面积及体积的求法有答案
几何体外接球表面积及体积的求法答案1.D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是圆柱，求出圆柱体的表面积和它外接球的表面积即可得出结论．【解答】解：根据三视图得，该几何体是底面半径为3，高为4的圆柱体，所以该圆柱体的表面积为S1=2π×32+2π×3×8=66π；根据球与圆柱的对称性，得它外接球的半径R满足（2R）2=62+82=100，所以外接球的表面积为S2=4πR2=100π；所以剩余几何体的表面积是S=S1+S2=66π+100π=166π．故选：D．【点评】本题考查了三视图的应用问题，也考查了利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切关系，球的表面积计算问题，是基础题目．2.D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．3.C【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理列方程，解出球的半径即可．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为E，过点A，B，C，D，S的球的球心为O，半径为R，则在直角三角形AEO中，AO=R，AE=BD=4，OE=SE﹣AO=8﹣R由AO2=AE2+OE2得R2=42+（8﹣R）2，解得R=5球半径R=5，故选C．【点评】本题主要考查球，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．4.D考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．5.C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．6.C【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．7.B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．8.B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．9.D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．10.B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=4π故选：B．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．11.D12.考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．12.A考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．13.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．14.12π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为： =．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．15.【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比．【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，正方体的内切球与外接球的面积之比：==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的关键．16.16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2，∴球的表面积S=16π故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．17.36π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．18.；。
空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全一、 全（表）面积（含侧面积） 1、柱体① 棱柱② 圆柱 2、锥体①棱锥：h c S ‘底棱锥侧21=② 圆锥：l c S 底圆锥侧21=3、 台体① 棱台：h c c S)(21‘下底上底棱台侧+=②圆台：l c c S )(21下底上底棱台侧+=4、 球体① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥 ② 圆锥3、① 棱台 ② 圆台 4、球体① 球：r V 334π=球② 球冠：略 ③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。
三、 拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的32。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3222)(ππ=⨯==圆柱圆柱侧面积：r h cS r r 242)2(ππ=⨯==圆柱侧因此：球体体积：r r V 3334232ππ=⨯=球 球体表面积：r S 24π=球通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）+ =即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式： )(31S SS S h V 下下上上台++=证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。
延长两侧棱相交于一点P 。
设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。
易知：PDC ∆∽PAB ∆，设h PE 1=， 则h h PF +=1由相似三角形的性质得：PFPEAB CD =即：hh hSS +=11下上(相似比等于面积比的算术平方根)整理得：SS h S h 上下上-=1又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴h S S S h h S h h S V 下上下上下台）（31)(313131111+-=-+=代入：SS h S h 上下上-=1得：hS S S SS h S V 下上下上下上台31)(31+--=即：)(3131)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(31S SS S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（层n ），n 越大，每一层越近似于圆柱，+∞→n 时，每一层都可以看作是一个圆柱。
球的体积和表面积
1．3.2 球的体积和表面积考点 学习目标核心素养 球的表面积与体积记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积数学运算 与球有关的组合体 能解决与球有关的组合体的计算问题数学运算、直观想象问题导学预习教材 P27－P28 的内容，思考以下问题： 1．球的表面积公式是什么？ 2．球的体积公式什么？1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R3S .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ 半径为 3 的球的体积是( )A ．9πB ．81πC ．27πD ．36π解析：选 D ． V ＝43π×33＝36π.若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8πD ．4π解析：选 D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π. 把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2 倍 B ．22倍 C ．2倍D ．32倍解析：选 B ．设原球的半径为 R ，表面积扩大 2 倍，则半径扩大2倍，体积扩大 22倍．如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．解析：设小球半径为 1，则大球的表面积 S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95. 答案：95球的表面积与体积(1)(2020·高考天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【解析】 (1)设外接球的半径为R ，易知2R ＝3×23＝6，所以R ＝3，于是表面积S ＝4πR 2＝36π，故选C.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ， 故78×43πr 3＝283π， 所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A.【答案】 (1)C (2)A(变条件)若将本例(2)中的三视图换为如图所示的图形，且圆的半径为1，则如何求解？解：由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R ＝1，所以S ＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．1．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 解析：设此球的半径为 R ，则 4πR 2＝43πR 3，R ＝3.答案：32．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积和为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积和为 43πR 3＋43πr 3＝364π3.答案：364π3球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A ．500π3 cm 3B ．866π3 cm 3C ．1 372π3cm 3D ．2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)．【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π解析：选B ．如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. 所以OM ＝（2）2＋1＝ 3.即球的半径为 3. 所以V ＝43π(3)3＝43π.与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A ．4π3B ．2π3C ．3π2D ．π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二 球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π. 【答案】 14π角度三 球的内接正四面体问题若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积． 【解】 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝2x ，由题意 2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ， 所以 S 球＝4πR 2＝32πa 2.角度四 球的内切圆锥问题(2020·高考全国卷Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【解析】 易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥PE 及其内切球O 如图所示，设内切球的半径为R ，则sin ∠BPE ＝R OP ＝BE PB ＝13，所以OP ＝3R ，所以PE ＝4R ＝PB 2－BE 2＝32－12＝22， 所以R ＝22，所以内切球的体积V ＝43πR 3＝23π，即该圆锥内半径最大的球的体积为23π.【答案】23π 角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2. 【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R ＝62a . 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内接于⊙O ，而⊙O 1内切于△SAB ．设⊙O 的半径为R ， 则有43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9. 所以SE ＝2R ＝18.因为SD ＝16，所以ED ＝2.连接AE ，又因为SE 是直径，所以SA ⊥AE ，SA 2＝SD ·SE ＝16×18＝288， 所以SA ＝12 2. 因为AB ⊥SD ，所以AD 2＝SD ·DE ＝16×2＝32， 所以AD ＝4 2.所以S 圆锥侧＝π×42×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，因为△SAB 的周长为2×(122＋42)＝322， 所以12r ×322＝12×82×16.所以r ＝4.所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是( ) A ．36π，144π B ．36π，36π C ．144π，36πD ．144π，144π解析：选 B ．球的半径为 3，表面积 S ＝4π·32＝36π，体积 V ＝43π·33＝36π.2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A ．6π6 B ．π2C ．2π2D ．3π2π解析：选 A ．设正方体棱长为 a ，球半径为 R ，由 6a 2＝4πR 2 得aR ＝2π3，所以V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝⎛⎭⎫2π33＝6π6.3．(2021·重庆七校联考)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( )A ．18B ．12C ．63D ．4 3解析：选B.如图，由题意知，球心在三棱锥的高PE 上，设内切球的半径为R ，则S 球＝4πR 2＝16π，所以R ＝2.所以OE ＝OF ＝2，OP ＝4.在Rt △OPF 中，PF ＝OP 2－OF 2＝2 3.因为△OPF ∽△DPE ，所以OF DE ＝PF PE ，得DE ＝23，AD ＝3DE ＝63，AB ＝23 AD ＝12.故选B.4．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm ，深为1 cm 的空穴，则该球半径是________cm ，表面积是________cm 2.解析：设球心为O ，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D ，AB 为小圆D 的一条直径，设球的半径为R ，则OD ＝R －1，则(R －1)2＋32＝R 2，解得R ＝5 cm ，所以该球表面积为S ＝4πR 2＝4π×52＝100 π(cm 2)． 答案：5 100 π5．已知过球面上 A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为 O ，连接 O ′A ，OA ，OO ′， 设球的半径为 R .因为O ′A ＝23×32×2＝233.在 Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2， 所以R 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋14R 2， 所以 R ＝43，所以 S 球＝4πR 2＝649π.[A 基础达标]1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C ．2∶ 3D ．8∶27解析：选B ．设两个球的半径分别为r ，R ，则⎝⎛⎭⎫43πr 3∶⎝⎛⎭⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27， 所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S 的值是( ) A ．4π B ．32 C ．24D ．12π解析：选B ．设球的内接正方体的棱长为a ，由题意知球的半径为2，则3a 2＝16，所以a 2＝163，正方体的表面积S ＝6a 2＝6×163＝32.3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A ．32π3B ．8π3C ．82πD ．82π3解析：选D ．设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1， 由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2，所以球的体积为43π(2)3＝82π3，故选D ．4．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A ．r h2B ．r 2h 4C ． 3r 2h 4D ．r 2h 2解析：选C ．设铁球的半径为 R ，因为13πr 2h ＝43πR 3，所以R ＝ 3r 2h4.5.一个四面体的顶点都在球面上，该四面体与球的组合体的正视图、侧视图、俯视图都是如图所示的图形．图中圆内有一个以圆心为中心，1为边长的正方形(含对角线)．则这个四面体的外接球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．4πD ．6π解析：选B.由三视图可知，该四面体是棱长为1的正方体的一个内接正四面体ABCD ，如图所示．所以此四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长 3.所以此四面体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫322＝3π.故选B. 6．已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．解析：球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为32＋42＋52＝52，外接球的半径为522.外接球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫5222＝50π.答案：50π7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1S 2＝________．解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S 1＝6π，S 2＝4π.所以S 1S 2＝6π4π＝32.答案：328.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x ＝4.答案：49.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．解：如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝6，在Rt△BEE1中，BE1＝BE2＋E1E2＝23，所以2R＝23，则R＝3，所以球的体积V球＝43πR3＝43π，球的表面积S球＝4πR2＝12π.[B能力提升]11．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是()A．S球＜S圆柱＜S正方体B．S正方体＜S球＜S圆柱C．S圆柱＜S球＜S正方体D．S球＜S正方体＜S圆柱解析：选A．设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则πr2·2r＝43πR3＝a3，⎝⎛⎭⎫Rr 3＝32，⎝⎛⎭⎫ar3＝2π，S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，S球S圆柱＝4πR26πr2＝23·⎝⎛⎭⎫Rr2＝323＜1，S正方体S圆柱＝6a26πr2＝1π·⎝⎛⎭⎫ar2＝34π＞1.故选A．12．(2020·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A. 3B.32 C ．1D.32解析：选C.由等边三角形ABC 的面积为934，得34AB 2＝934，得AB ＝3，则△ABC 的外接圆半径r ＝23×32AB ＝33AB ＝ 3.设球O 的半径为R ，则由球O 的表面积为16π，得4πR 2＝16π，得R ＝2，则球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝1，故选C.13．如图是某几何体的三视图．(1)求该几何体外接球的体积； (2)求该几何体内切球的半径．解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，以DC ，DB ，DA 为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R ＝1222＋22＋12＝32，所以该几何体外接球的体积V ＝43πR 3＝92π.(2)设内切球的球心为O ，半径为r ， 则V A -BCD ＝V O -ADB ＋V O -ADC ＋V O -DCB ＋V O -ABC . 即13×12×2×2×1 ＝13×12×2×2r ＋13×12×2×r ＋13×12×2×r ＋13×12×22×3r ，得r ＝24＋6＝4－65.所以该几何体内切球的半径为4－65.14．(选做题)已知球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球的表面积与圆台的侧面积之比为3∶4，求球的体积与圆台的体积之比．解：如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD ，O 1，O 2分别为圆台上、下底面圆的圆心，球的截面圆O 内切于梯形ABCD .作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，OB ，则∠AOB ＝90°.设球的半径为R ，圆台的上、下底面半径分别为r 1，r 2，易知圆台的高为2R ，母线长为r 1＋r 2.因为∠AOB ＝90°，OE ⊥AB ，所以R 2＝OE 2＝AE ·BE ＝r 1r 2. 因为S 球∶S 圆台侧＝4πR 2∶π(r 1＋r 2)2＝3∶4，所以(r 1＋r 2)2＝163R 2，所以V 球V 圆台＝43πR 313π（r 21＋r 1r 2＋r 22）·2R ＝2R 2（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝2R 2163R 2－R 2＝613， 所以球的体积与圆台的体积之比为6∶13.。
2023学年上海高二数学上学期同步知识点 几何体的表面积、体积、轴截面、多面体与球体内切外接问题
重难点02 几何体的表面积、体积、轴截面、多面体与球体内切外接问题（重难点突破解题技巧与方法）1.求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积2.求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换3.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.4.截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多，如:判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状.能力拓展技巧方法题型一：柱、锥、台体的表面积、体积、轴截面 一、填空题1．（2021·上海·格致中学高二期中）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a ，b ，则a ，b 所成角的最大值为______． 【答案】3π【分析】由题意可得圆锥的母线长R 和底面半径长r 的关系，可知轴截面是等边三角形，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为R ，底面半径长为r ，则222Rr ππ=，解得2R r =，所以圆锥的轴截面是等边三角形. 任取圆锥的两条母线a ，b ，如图：当a ，b 为轴截面的两条母线时，a ，b 所成角最大为3π. 故答案为：3π. 2．（2022·上海浦东新·高二期末）已知正三棱锥O ABC -的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的体积为___________ 【答案】833【分析】根据题意条件，计算出底面积，然后再利用'13O ABC ABCV SOO -=⨯⨯，计算可求解出体积.【详解】如图，过O 点作底面ABC 的投影'O ，连接'OO ，取BC 的中点D ，连接AD ，在正三棱锥O ABC -中，底面ABC 为正三角形，边长为4，所以23AD = 1432ABCS AD BC =⨯⨯=，而'OO 为该正三棱锥O ABC -的高，长为2，所以'1833O ABC ABCV SOO -=⨯⨯=故答案为：833. 3．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，过三棱台上底面的一边11A C ，作一个平行于棱1BB 的截面，与下底面的交线为DE ．若D 、E 分别是AB 、BC 的中点，则111111A B C DBE A B C ABCV V --=______．【答案】37【分析】证得11114A B C ABCSS =，然后结合棱台与棱柱的体积公式即可求出结果.【详解】因为1//BB 平面11DEC A ，且平面11BB C C平面111DEC A C E =，所以11//BB C E ，又因为11//B C BE ，所以四边形11BB C E 为平行四边形，所以11B C BE =，且E 分别是BC 的中点，所以1112B C BC =，同理1112A B AB =，因此11114A B C ABCS S =，设上底面的面积为S ，高为h ，则下底面的面积为4S ，所以()111111317443A B C DBEA B C ABCV ShV S S S S h --==+⋅+，故答案为：37.二、解答题4．（2021·上海·西外高二期中）设四边形ABCD 为矩形，点P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，若|P A |＝|AB |＝1，|BC |＝2.(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)在BC 边上是否存在一点G ，使得点D 到平面P AG 2|BG |的值，若不存在，请说明理由；(3)若点E 是PD 的中点，在△P AB 内确定一点H ，使|CH |＋|EH |的值最小，并求此时|HB |的值. 【答案】(1)23；(2)存在，|BG |＝1；(3)位置答案见解析，值为53. 【分析】(1)根据棱锥的体积计算公式计算即可；(2)假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，作DQ AG ⊥，可证明DQ ⊥平面PAG ，从而得到2DQ =，由此求解1BG =；(3)延长CB 到C '，使得C B CB '=，连结C E '，过E 作EE AD '⊥于E '，利用三点共线，两线段和最小，得到min ()CH EH +＝C E '，过H 作HH AB '⊥于H '，连结HB ，在Rt △HH B '中，求解HB 即可．(1)由题可知112121333P ABCD ABCD V S PA -=⋅⋅=⨯⨯⨯=；(2)假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，作DQ AG ⊥，则DQ ⊥P A ， 则DQ ⊥平面PAG ，故2DQ =， 由1133P AGD D PAG AGDPAGV V SAP SDQ --=⇒⋅⋅=⋅⋅，则1122AD AB AP PA AG DQ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 则AD AB AG DQ ⋅=⋅ 则21|2AG⨯=⋅∣ 则2AG = 则22||211BG AG AB =-=-=故存在点G ，且当G 是BC 中点时，点D 到平面P AG 的距离为2，此时|BG |＝1；(3)延长CB 到C '，使得C B CB '=，连结C E '，过E 作EE AD '⊥于E '， 则22141104CH EH C H EHC E EE C E '''''+=+=++ 当且仅当C '、H 、E 三点共线时等号成立，故min 41()2CH EH +=， 过H 作HH AB '⊥于H '，连结HB ， 在Rt △HBH '中，13HH '=，23H B '=， ∴2222125()()333HB HH H B ''=+=+=． 5．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）如图所示，圆锥SO 的底面圆半径1OA =，母线3SA =.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)如图，半平面SOA 与半平面SOP 所成二面角P SO A --大小为120，设线段SO 中点为M ，求异面直线AM 与PS 所成角的余弦值.【答案】(1)22，侧面展开图扇形的面积为3π73【分析】（1）利用锥体的体积公式以及扇形的面积公式可求得结果；（2）取OP 的中点E ，连接AE 、ME ，分析可知异面直线PS 与AM 所成的角为AME ∠或其补角，计算出AME △三边边长，利用余弦定理可求得结果. (1)解：由题意可知，2222SO SA OA - 圆锥SO 的体积为21223V OA SO π=⨯⨯=，该圆锥的侧面展开图扇形的面积为3S OA SA ππ'=⨯⨯=. (2)解：在圆锥SO 中，SO ⊥平面AOP ，AO 、PO ⊂平面AOP ，SO AO ∴⊥，SO PO ⊥，所以，二面角P SO A --的平面角为120AOP ∠=，取OP 的中点E ，连接AE 、ME ，E 、M 分别为PO 、SO 的中点，则//ME PS 且1322ME PS ==， 所以，异面直线PS 与AM 所成的角为AME ∠或其补角，3SA =，1OA =，则2222SO SA AO =-=，223AM AO OM ∴=+=，在AOE △中，12OE =，1OA =，120AOE ∠=， 由余弦定理可得2272cos1202AE AO OE AO OE =+-⋅=， 由余弦定理可得22273cos 218AM ME AE AME AM ME +-∠==⋅. 因此，异面直线AM 与PS 所成角的余弦值为7318. 6．（2021·上海市延安中学高二期中）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ︒∠=.(1)证明：PC ⊥平面PAB ；(2)设2DO =，圆锥的侧面积为23π，求三棱锥P ABC -的体积. 【答案】(1)证明见详解3【分析】（1）根据题意，先证明AB ⊥平面POC ，进而可得AB PC ⊥，，再结合090APC ∠=，即可证明PC ⊥平面PAB ；（2）根据题意，结合勾股定理与侧面积公式，即可求出圆锥底面半径为r 和母线长为l ，再根据棱锥的体积公式，即可求解.(1)证明：如图，连接CO 并延长，交AB 于点E .∵O 为ABC 外接圆的圆心，∴CE AB ⊥，即CO AB ⊥.在圆锥中，易知PO ⊥平面ABC ，∵AB 平面ABC ，∴PO AB ⊥，∵CO ⊂平面POC ，PO ⊂平面POC ，且CO PO O ⋂=，∴AB ⊥平面POC ，∴AB PC ⊥， ∵90APC ∠=︒，∴AP PC ⊥，又∵AB 平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，且AB PA A ⋂=，∴PC ⊥平面PAB .(2)设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，∵2DO =，且圆锥的侧面积为23π，∴222223r lrl ππ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得26r l ⎧=⎪⎨=⎪⎩∵PA PC =，PA PC ⊥，∴22223PA AC r ==，即6PA =， ∵OA r =，∴3AB AC BC r ===，且2222PO PA OA r =-=， ∴333112663222332P ABC ABCrr V SPO -⋅=⋅⋅==题型二：多面体与球体内切外接问题 一、单选题1．（2021·上海·曹杨二中高二阶段练习）半径为5的球内有一个高为8的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为（ ） A ．2564πB ．12564πC ．12516πD ．1254π【答案】B【分析】由题意画出图形，设正四棱锥P ABCD -，AC 的中点为E ，连接PE 并延长交球于G ，得8PE =，10PG =，根据2·PA PE PG =求出PA ，再由勾股定理求出球内接正四棱锥的底面边长AB ，最后根据球的体积公式和棱锥的体积公式，分别求出球与该内接正四棱锥的体积，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，正四棱锥的高为8，外接球半径为5，如图，设正四棱锥P ABCD -，AC 的中点为E ，连接PE 并延长交球于G ，可知PE ⊥底面ABCD ，且PA AG ⊥，则8PE =，10PG =， cos PE PAAPE PA PG∴∠==，即2·80PA PE PG ==，得45PA =，2280648AC AE ∴==-=，28422AB ∴=⨯=， ∴球的体积为：41253V π=⨯，该内接正四棱锥体积为：21256(42)833P ABCD V -=⨯⨯=，∴球与该内接正四棱锥的体积之比为：41251253256643P ABCDV V ππ-⨯==. 故选：B.2．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）在三棱锥A BCD -中，7AB BC CD DA ====23BD =面角A BD C --是钝角.若三棱锥A BCD -的体积为2.则三棱锥A BCD -的外接球的表面积是（ ） A ．12π B ．373π C ．13π D ．534π 【答案】C【分析】取BD 的中点O ，可得AOC ∠为二面角A BD C --的平面角且BD ⊥平面AOC ；利用三棱锥A BCD -体积可构造方程求得AC ，将三棱锥A BCD -补为长方体BMDG HCFA -，则长方体外接球即为三棱锥的外接球，通过求解长方体外接球表面积即可得到结果. 【详解】如图（1），取BD 的中点O ，连接,AO CO ，AB BC CD DA ===，AO BD ∴⊥，CO BD ⊥，AOC ∴∠为二面角A BD C --的平面角，BD ⊥平面AOC .取AC 的中点E ，连接OE ，设AC 2a =，在AOC △中，732AO OC ==-=，OE AC ∴⊥， 则22224OE a a =-=-， 21111232423326A BCD AOCV SBD AC OE BD a a -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-=，化简得：42430a a -+=，解得：3a =或1a =， 当1a =时，60AOC ︒∠=，不合题意，舍去，23∴=AC .图（1） 图（2）如图（2），把三棱锥A BCD -补形成长方体BMDG HCFA -，使三棱锥A BCD -的各棱分别是长方体的面对角线，则三棱锥A BCD -的外接球即为长方体BMDG HCFA -的外接球. 设,,BM x BG y BH z ===，则222222222(23)(7)(7)x y x z y z ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，解得：661x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，外接球的直径为22213AM x y z =++=， 四面体ABCD 外接球的表面积为134134S ππ=⨯=. 故选：C .【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，涉及到三棱锥体积的应用；解题关键是能够通过将三棱锥补为长方体，通过求解长方体的外接球来求得结果.3．（2021·上海市松江二中高二期中）已知一圆锥底面圆的直径为333个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ） A ．3 B 2C ．9322D ．322【答案】B【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值． 【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球设球心为P ，球的半径为r ，下底面半径为R ，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：则32OA OB ==，因为332SO =， 故可得：223SA SB SO OB ==+=；所以SAB △为等边三角形，故P 是SAB △的中心， 连接BP ，则BP 平分SBA ∠， 所以30PBO ∠=︒； 所以tan 30r R︒=，即33333322r R ==⨯=， 即四面体的外接球的半径为32r =． 另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 2， 而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球， 所以126233r AA =，所以2a =即a 2 故选：B ．【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题． 二、填空题4．（2021·上海市控江中学高二期中）直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，AB BC ⊥，1AB =，22BC =14AA =，则球O 的体积是__________．【答案】1256π 【分析】把直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，求出外接球的直径即得解.【详解】把直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，则直三棱柱和长方体的外接球重合，外接球的直径25R =，故球O 的体积3412536V R ππ==． 故答案为：1256π 5．（2021·上海·华师大二附中高二期中）已知三棱锥A BCD -的侧棱两两互相垂直，且该三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的侧面积的最大值为________. 【答案】18【分析】由题意将该三棱锥补成一个长方体，由球的体积公式可得外接球的半径R ，令AB x =，AC y =，AD z =，进而可得22236x y z ++=，再利用基本不等式即可得解.【详解】由题意以该三棱锥的三条侧棱为长、宽、高，将该三棱锥补成一个长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径，令AB x =，AC y =，AD z =，外接球的半径为R ，根据三棱锥外接球的体积为34363R ππ=，可得球的半径3R =，则()2222236R x y z =++=， 所以该三棱锥的侧面积S 111222yz xy xz =++ ()()()()2222222221111184442y z x y x z x y z ≤++++++=+=，当且仅当x y z ===. 故该三棱锥的侧面积的最大值为18. 故答案为：18.【点睛】本题考查了几何体的外接球相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.6．（2021·上海·高二专题练习）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，AED ∆、EBF ∆、FCD ∆分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________.【答案】6π【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径，就是三棱锥的外接球的半径，由此能求出该球的表面积，得到答案．【详解】由题意，知A EF '∆是等腰直角三角形，且A D '⊥平面A EF '， 三棱锥的底面A EF '扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥和外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 正四棱柱的对角线长就是外接球的直径， 所以球的半径222112622R ++==， 所以该球的表面积为22644()62S R πππ==⨯=． 故答案为6π．【点睛】本题主要考查了球的表面积的求法，同时考查空间几何体的结构特征的应用，着重考查了推理与论证能力，以及运算能力，属于中档试题．7．（2021·上海市西南位育中学高二期中）已知三棱锥P ABC -中，PA PB PC 、、两两垂直，且长度相等，若P A B C 、、、都在半径为1的同一球面上，则球心到平面ABC 的距离为__________. 【答案】13【分析】由弥补法知三棱锥P ABC -的外接球为以PA PB PC 、、为相邻三条棱的正方体的外接球，球心到平面ABC 的距离即为正方体中心到平面ABC 的距离，利用等体积法可求得P 到平面ABC 的距离，进而求得答案.【详解】因为三棱锥P ABC -中，PA PB PC 、、两两垂直，且长度相等，所以此三棱锥的外接球即为以PA PB PC 、、为相邻三条棱的正方体的外接球，又球的半径为1，所以正方体的棱长为233，即233PA PB PC ===球心到平面ABC 的距离即为正方体中心到平面ABC 的距离， 设P 到平面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P ABC -的体积3111123()33323ABCPABV Sh SPC =⋅=⋅=⨯⨯等边ABC 的边长为22232326+=333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21263232323ABCS⎛⎫∴=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭3311231123()()232332313123333ABC h S ⨯⨯⨯⨯∴===⨯所以球心到平面ABC 的距离为13故答案为：13【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段 两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用长方体的外接球求解．8．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期末）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为___________. 【答案】183【分析】求出等边ABC 的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可. 【详解】ABC 为等边三角形且其面积为93，则23934ABCSAB ==，6AB ∴= 如图所示，设点M 为ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，点M 为三角形ABC 的重心，2233BM BE ∴==，Rt OMB ∴中，有222OM OB BM -=，426DM OD OM ∴=+=+=，所以三棱锥D ABC -体积的最大值19361833D ABC V -=⨯⨯=故答案为：183【点睛】思路点睛：本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，要求内接三棱锥体积的最大值，底面是面积一定的等边三角形，需要该三棱锥的高最大，故需要DM ⊥底面ABC ，再利用内接球，求出高DM ，即可求出体积的最大值，考查学生的空间想象能力与数形结合思想，及运算能力，属于中档题. 三、解答题9．（2021·上海·华师大二附中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -.(1)若正方体的棱长为1，求点A 到平面1A BD 的距离；(2)在一个棱长为10的密封正方体盒子中，放一个半径为1的小球，任意摇动盒子，求小球在盒子中不能达到的空间的体积；(3)在空间里，是否存在一个正方体，它的定点1111A B C D A B C D 、、、、、、、到某个平面的距离恰好为0、1、2、3、4、5、6、7，若存在，求出正方体的棱长，若不存在，说明理由. 【答案】3()3761043cm π-(3)21【分析】（1）利用等体法：11A A BD A ABD V V --=即可求解.（2）求出小球在正方体的8个顶点以及12条棱处不能到达的空间，利用球的体积公式以及柱体体积公式即可求解.（3）设平面α为符合题意的平面，α过点C ，延长1111,,D C A B AB 分别交平面α于点,,E F G ,由题意可得1111::::::1:2:3:4:5:6:7C E BG B F DC D E AG A F =，设正方体的棱长为4a ，根据11C ECF C EC F V V --=，求出点1C 到平面α的距离，进而得出正方体的棱长.(1)正方体的棱长为1，设点A 到平面1A BD 的距离为h ， 由11A A BD A ABD V V --=，则111133A BDABDS h SAA⋅=⋅，即11111113232⨯=⨯⨯⨯⨯， 解得h (2)在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：331448118833ππ⎡⎤⎛⎫-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 除此之外，以正方体的棱为一条棱的12个118⨯⨯的正四棱柱空间内， 小球不能到达的空间共()21121181896244ππ⎡⎤⨯⨯-⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦，其它空间小球均能到达，故小球不能到达的空间体积为：4768962410433πππ-+-=- （3cm ）(3)设平面α为符合题意的平面，α过点C ， 延长1111,,D C A B AB 分别交平面α于点,,E F G , 由图可知，点1111,,,,,,,C C B B D D A A与平面α的距离分别应为0、1、2、3、4、5、6、7，因为11,,,D E A F DC AG 互相平行，所以它们与平面α所成角相等， 故由比例关系得1111::::::1:2:3:4:5:6:7C E BG B F DC D E AG A F =. 设正方体的棱长为4a ，则11,2,3C E a BGa B F a ===，用几何方法可解得EF =，,EC CF ==， 故2ECFS=，由1CC ⊥平面1111D C B A ，知1CC 为四面体1C EC F -的底面1EC F 上的高， 所以由11C ECF C EC F V V --=，算得点1C 到平面α的距离，121EC FECFSCC d S⋅===，实际上已知1d =1=，从而可得a = 所以正方体的棱长为4a =.10．（2019·上海·华师大二附中高二期中）平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体ABCD 中棱,,AB AC AD 两两垂直，那么称四面体ABCD 为直角四面体. 请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明.（请在结论1~3中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中h 表示斜边上的高，,r R 分别表示内切圆与外接圆的半径） 直角三角形ABC直角四面体ABCD条件 AB AC ⊥,,AB AC AB AD AC AD ⊥⊥⊥结论1 222AB AC BC +=结论2 22sin sin 1B C += 结论3222111h AB AC =+结论4 1111AB AC h r ++=结论5 ()()2222122R AB BC CA =++【分析】结论1：分别表示222123S S S 、、，然后证明2222123S S S S ++=结论2：在DAE △中利用等面积法，表示出高d ，然后分别表示222sin sin sin αβγ、、，再证明222sin sin sin 1αβγ++=结论3：利用结论2中得到的d 的表达式，再表示出222111AB AC AD 、、，再证明22221111d AB AC AD =++ 结论4：内切球的球心与四个顶点相连接，把三棱锥分成四个小的三棱锥，利用D ABC O ABC O ABD O ACD O BCD V V V V V -----=+++进行证明结论5：将直角四面体ABCD 补形成为以AB AC AD 、、为长、宽、高的长方体，再进行证明. 【详解】记ABC ABD ACD BCD 、、、的面积依次为123S S S S 、、、， 平面BCD 与AB AC AD 、、所成角依次为αβγ、、，点A 到平面BCD 的距离为d r R ，，分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为O ， 直角三角形ABC直角四面体ABCD条件 AB AC ⊥AB AC AB AD AC AD ⊥⊥⊥，，结论1222AB AC BC += 2222123S S S S ++=结论2221sin B sin C +=222sin sin sin 1αβγ++=结论3222111h AB AC =+ 22221111d AB AC AD =++结论41111AB AC h r ++=11111AB AC AD d r +++=结论5 ()()2222122R AB BC CA =++()22222R AB BC CA =++证明：设AB a AC b AD c ===、、，过A 作AE BC ⊥，垂足为E ，联结DE ，过A 作AH DE ⊥，垂足为H ，易证：DE BC ⊥，AH ⊥平面BCD ，则d AH =，结论1：()22222222222212311112224S S S ab ac bc a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在Rt ABC 中，22AB ACAE BCa b ⋅==+2222222a b DE AD AE c a b=+=++()2222222222222221=214a b a c b a b S a b c a b c ⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪+⎝++⎭s 2222123S S S S ∴++=；结论2：2222222222222abc AD AE abc a bd AH DE a b a b a c b c c a b ⋅⋅+====++++， ∴222222sin d bcaa b a c b c α==++． 同理，222222sin ac a b a c b c β=++，222222sin ab a b a c b c λ=++∴222222222222222sin sin sin 1b c a c a b a b a c b c αβγ++++==++； 结论3：∵222222abc d a b a c b c =++，∴22222222221a b a c b c d a b c ++=，又222222222222222111111b c a c a b AB AC AD a b c a b c ++++=++=， ∴22221111d AB AC AD =++ 结论4：D ABC O ABC O ABD O ACD O BCD V V V V V -----=+++，∴222222111111111632323232abc ab r ac r bc r a c b c a b r =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅++⋅. 从而22222211111ab ac bc a c b c a b r abc abc abc abc c b a d++=+++=+++，即11111r AB AC AD d =+++； 结论5：将直角四面体ABCD 补形成为以AB AC AD 、、为长、宽、高的长方体，则长方体的体对角线即为直角四面体ABCD 的外接球的直径，即()22222R AB BC CA =++.【点睛】本题考查平面图形向立体图形的推广，涉及到侧面积的表示，线面角的表示，几何体的体积分割法求内切球半径，补齐几何体求外接球半径等，属于难题.一、单选题1．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（ ）巩固练习A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C【分析】设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案.【详解】设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ，高为2R 所以球的体积为343R π, 表面积为24R π. 圆柱的体积为：3222R R R ππ⨯=,所以其体积之比为：3342323RR ππ= 圆柱的侧面积为：2224R R R ππ⨯=, 圆柱的表面积为：222426R R R πππ+=所以其表面积之比为：224263R R ππ= 故选：C2．（2022·上海·复旦附中高二期中）为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O 和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为36π，底座由边长为12的正三角形铜片ABC 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（ ）A ．CD 与BE 是异面直线B ．异面直线AB 与CD 所成角的大小为45°C ．由A 、B 、C 三点确定的平面截球所得的截面面积为3πD ．球面上的点到底座底面DEF 的最大距离为336++ 【答案】C【分析】取,DF EF 中点N ，M ，利用给定条件证明//,//BC DE AB DF ，推理判断A ，B ；求出ABC 外接圆半径，结合球面截面圆性质计算判断C ，D 作答.【详解】取,DF EF 中点N ，M ，连接,,,,,AB BC AC BM MN CN ，如图，因BEF 为正三角形，则BM EF ⊥，而平面BEF ⊥平面DFE ，平面BEF 平面DFE EF =，BM ⊂平面BEF ，于是得BM ⊥平面DFE ，同理CN ⊥平面DFE ，即//BM CN ，33BM CN ==因此，四边形BCNM 是平行四边形，有////BC NM DE ，则直线CD 与BE 在同一平面内，A 不正确； 由选项A ，同理可得//AB DF ，则异面直线AB 与CD 所成角等于直线DF 与CD 所成角60，B 不正确； 由选项A 知，132BC MN DE ===，同理可得3AB AC ==，正ABC 外接圆半径3r = 由A 、B 、C 三点确定的平面截球所得的截面圆是ABC 的外接圆，此截面面积为3π，C 正确； 体积为36π的球半径R ，由34363R ππ=得3R =，由选项C 知，球心到平面ABC 的距离226d R r =-=由选项A ，同理可得点A 到平面DFE 的距离为33ABC 与平面DFE 的距离为33的点到底座底面DEF 的最大距离为3336R d BM ++=+D 不正确. 故选：C【点睛】易错点睛：异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，当求出角的余弦值为负时，要取其相反数作为异面直线夹角余弦． 二、填空题3．（2022·上海交大附中高二阶段练习）己知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是_________． 【答案】3【分析】画出图形，求出底面积和侧面积，从而求出表面积.【详解】如图，正三棱锥O -ABC ，高OM =2，取BC 中点N ，连接AN ，ON ，则M 在线段AN 上，且13MN AN =，由AB =4，BN =2，由勾股定理得：16423AN =-=，所以12333MN AN ==，2222343433ON OM MN ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以18323OBCS BC ON =⋅=，1432ABCS BC AN =⋅=，所以三棱锥的表面积为833431233⨯+=. 故答案为：1234．（2018·上海市金山中学高二期中）已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________． 【答案】6π【详解】22226621126,4(6R R S ππ=++=∴==球5．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）正四面体边长为4，则其体积为_________ 162【分析】由正四面体性质求体高，再应用棱锥的体积公式求体积即可. 【详解】由正四面体的体高为h 22161223h h --46h = 所以体积为214613162432⨯=1626．（2021·上海市市西中学高二期中）如图，在正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，F Ｇ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是______________.【答案】58【分析】利用圆锥的体积公式及圆柱的体积公式即求.【详解】由题可知由阴影部分所产生的旋转体的体积为将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积与四边形EFGH 旋转一周所得的圆柱的体积的差，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则圆柱的高为2h，底面圆的半径为2r ，则2252211183r h V V V VV r h ππ⎛⎫⋅⎪-⎝⎭=-=-=圆柱圆柱， 即由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是58.故答案为：587．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数22(0)1xy x x =>+的图像上，如图，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是___________.【答案】π【分析】先利用基本不等式求出y 的取值范围，再设点A ，B 的坐标，由A ，B 的纵坐标相同，得到121=x x ，从而得到h ，再利用圆柱的体积公式以及基本不等式，即可得到答案. 【详解】由22211x y x x x==++，又0x >，则1122x x x x +≥⋅=，当且仅当1x =时取等号， ∴222111x y x x x==≤++，且12x x y+=， ∵矩形绕x 轴旋转而成的几何体为圆柱，设A 1(x ,1)y ，2(B x ,2)y ，如图所示，则圆柱的底面圆的半径为y ，高为21h x x =-，且()112121x f x x =+，()222221x f x x =+， ∴1222122211x x x x =++，即()()211210x x x x --=，由12x x ≠，可得121=x x ， ∴()()222212121212114444h x x x x x x x x y ⎛⎫=-=+-=+-=- ⎪⎝⎭，故222144y h y y-=-=， ∴圆柱的体积为()()22222212124y y V y h y y ππππ+-==-≤⋅=，当且仅当22y =时取等号， ∴此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是π. 故答案为：π.8．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）如图，已知半径为2的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，△BCD 是平面α内边长为2的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M ，N ，则三棱锥A BMN -的体积为___________.【答案】【分析】由已知证明三角形相似可得AM AC =45AN AD =，得到求出三棱锥A BMN -的体积为把2R =代入得答案.【详解】2AB R =，BC R =，5AC R =，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于面α，垂足为B ，△BCD 是面α内边长为R 的正三角形， 线段AC ，AD 分别与球面交于点M ，N ，BAM BAC ∴∠=∠，90AMB ABC ∠=∠=︒，则ABCAMB ，易知：45AM AC =，同理有45AN AD =，∴三棱锥A BMN -的体积为231613832253475A BMN V R R R -=⨯⨯⨯⨯=，又2R =，∴三棱锥A BMN -的体积为.故答案为：9．（2021·上海·格致中学高二期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为______．【答案】5003π 【分析】设球的半径为R ，根据已知条件得出正方体上底面截球所得的截面圆的半径4AA '=，球心到截面圆圆心的距离2OA R '=-，利用勾股定理即可求出球的半径，再带入球体积公式即可.【详解】由题意得正方体上底面到水面的高为862-=，设球体的半径为R ，由题意如图所示：三角形OAA '为直角三角形，A 为球与正方体的交点，则2OA R '=-，842AA '==，OA R =，所以：222(2)4R R =-+，解得5R =， 所以球的体积33445005333V R =π=π⨯=π. 故答案为：5003π 10．（2021·上海·闵行中学高二期中）如图，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA PC ⊥，ABC。
高中数学教师备课必备(空间几何体)：专题八 球的切接问题 含解析
例1。
若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，求该球的表面积和体积。
分析：①334R V π=球（R 为球半径） ②24R S π=球 （R 为球半径) 需要求出半径。
正方体的棱长为a ，则:正方体的内切球、棱切球、外接球半径分别为:a 21，a 22，a 23。
变式：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为。
【解析】关键是求出球的半径,因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为14,故球的表面积为14π。
变式：（已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为( ）.A 。
16π B 。
20π C 。
24π D 。
32π解题关键：通过多面体的一条侧棱和球心，或接点作出截面图。
棱锥与球例题：求棱长为1的正四面体ABCD 的外接球体积. 分析:作出合适的球的轴截面图，找准球心位置，构造三角形求解半径。
常用结论：正四面体外接球的球心在高线上，半径是正四面体高的43解法一、 解法二、如何求正四面体的外接球半径法1.补成正方体法2.勾股定理法例题：求棱长为a 的正四面体的内切球半径。
分析：并非所有多面体都有内切球，正多面体存在内切球，且正多面体的中心为内切球球心。
常用结论：正多面体内切球半径是高的41；31⋅⋅=内切表多R S V 1、正三棱锥的高为1，底面边长为62，内有一个球与它的四个面都相切．求：（1）外接球的表面积和体积;(2）内切球的表面积与体积．设正四面体的棱长为a ，则：正四面体的内切球、棱切球、外接球半径分别为: a 126、a 42、a 46. 构造长方体变式 P 、A 、B 、C 是球O 面上的四个点,PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=PB=PC=a,求这个球的体积。
例 已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上,B BCD A ⊥平面,BC DC ⊥,若6,AC=213,AD=8AB =，则B 、C 两点间的球面距离是____。
关于外接球的表面积与体积计算问题(二)
关于外接球的表面积与体积问题（二）一．选择题（共30小题）1．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．4πB．9πC．12π D．16π2．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A．B．C．D．3．三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2，∠BDC=90°，二面角A ﹣BC﹣D的大小为150°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．7πB．12π C．16π D．28π4．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28π B．C．32π D．5．已知三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．6．如图，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．B．C．D．7．设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA⊥面BCD，三角形BCD 的面积为3，V S﹣BCD=3V A﹣BCD=3，则球的表面积为（）A．16π B．64π C．πD．32π8．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60π B．30π C．20π D．15π9．在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A．B．C．D．36π10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体M﹣ABD的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为（）A．2 B．3 C．4 D．511．三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．16π12．如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．16π D．21π13．已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（）A．4πB．πC．16π D．12π14．已知底面边长为的正三棱锥O﹣ABC的体积为，且A，B，C在球O 上，则球的体积是（）A．B．8πC．20π D．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为4，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为（）A．4πB．8πC．16π D．32π16．如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．B．6πC．D．12π17．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A．1 B．C．D．18．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π19．在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24π D．6π20．如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．21．一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．84π B．96π C．112πD．144π22．三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．36π B．72π C．144πD．288π23．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比（）A．5：1 B．2：1 C．4：1 D．：124．已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A．43π B．17π C．34π D．25．若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16π D．32π26．若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A．B．C．D．27．已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：2 B．2：5 C．1：3 D．4：528．球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（）A．B．4πC．12π D．36π29．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12π C．16π D．32π30．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．B．C．D．关于外接球的表面积与体积问题（二）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2017•全国模拟）已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．4πB．9πC．12π D．16π【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用△EAB所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为，从而R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，求出R2=4，即可求出多面体E﹣ABCD 的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面ABCD的距离为d，则∵△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，∴E到平面ABCD的距离为，∴R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，∴d=，R2=4，∴多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=16π．故选D．【点评】本题考查多面体E﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出多面体E﹣ABCD的外接球的半径是关键．2．（2017•大理州二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A．B．C．D．【分析】画出球的内接三棱柱ABC﹣A1B1C1，作出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：设AA1=h，则∵棱柱的体积为，AB=2，∴∴h=1，∵AB=2，∴BC==，如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，AP==则球的半径为OA，由题意OP=，∴OA==，所以球的体积为：πR3=π故选B．【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．3．（2017•福州一模）三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2，∠BDC=90°，二面角A﹣BC﹣D的大小为150°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．7πB．12π C．16π D．28π【分析】由题意画出图形，通过求解直角三角形可得三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：设球心为M，BC的中点为P，∵三角形BDC满足∠BDC=90°，∴P为三角形BDC的外心，设△ABC的外心为O，∵△ABC为等边三角形，∴MO⊥平面ABC，MP⊥平面BDC，∵二面角A﹣BC﹣D的大小为150°，∴∠OPM=60°，在等边三角形ABC中，由AB=2，得AP=3，∴OP=1，在Rt△MOP中，可得MO=，在Rt△MOA中，得MA=．∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．故选：D．【点评】本题考查球的表面积与体积，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．4．（2017•香坊区校级一模）已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28π B．C．32π D．【分析】三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，s△DCF===．令f（x）=36x2﹣12x3，f′（x）=72x﹣36x2，令f（x）=0，可得x=2，即当x=2时，s△DCF最大，此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半，得球半径R即可．【解答】解：将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ABCD⊥平面BCFE，可得直三棱柱ABE﹣DCF，（如图）三棱柱ABE﹣DCF的底面△DCF，△ABE是直角△，AB⊥BE，FC⊥CD三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，s△DCF===．令f（x）=36x2﹣12x3，f′（x）=72x﹣36x2，令f（x）=0，可得x=2∴当x=2时，s△DCF最大此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半球半径R=，∴几何体外接球的体积为，故选：D．【点评】本题考查了折叠问题，及三棱柱的外接球，属于中档题．5．（2017•贵州模拟）已知三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．【分析】由三棱锥的对边相等可得三棱锥A﹣BCD为某一长方体的对角线组成的三棱锥，求出长方体的棱长即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的体积．【解答】解：补体为底面边长为1，高为的长方体，外接球的球心为长方体体对角线中点，所以球的半径r=1，球的体积，故选D．【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，转化思想，属于中档题．6．（2017•临川区校级模拟）如图，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．B．C．D．【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【解答】解：△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=60°，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=，AD是球的弦，DA=，∴OM=，∴球的半径OD==．该球的表面积为：4π×OD2=π；故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．7．（2017•贵阳一模）设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V S﹣BCD=3V A﹣BCD=3，则球的表面积为（）A．16π B．64π C．πD．32π【分析】利用SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V S﹣BCD=3V A﹣BCD=3，求出球的直径，即可得出结论．【解答】解：设三棱锥A﹣BCD的高为h，则三棱锥S﹣BCD的高为3h，球的直径为2R，∵三角形BCD的面积为3，V A﹣BCD=1，∴=1，∴h=1，∴R=2，∴球的表面积为4π•22=16π，故选A．【点评】本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（2017•南岗区一模）已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60π B．30π C．20π D．15π【分析】当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，由题意知AF⊥DF，AF=CF=3，∴EF=AD=，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=DF2+OF2，∴R2=（）2+OE2，R2=32+（﹣OE）2，∴R=，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=60π．故选A．【点评】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．9．（2017•呼和浩特二模）在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A．B．C．D．36π【分析】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1内切球半径即可【解答】解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=12，△ABC内切圆的半径为r=3，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为．此时球的体积为πR3=，故选：B．【点评】本题考查了棱柱的内切球的体积，解题关键在于确定球何时半径最大，属于基础题．10．（2017•大东区一模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体M﹣ABD的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】设BD的中点O′，则球心O在MO′上，利用四面体M﹣ABD的外接球表面积为36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．【解答】解：设BD的中点O′，则球心O在MO′上，∵四面体M﹣ABD的外接球表面积为36π，∴4πR2=36π，∴R=3，设正方体棱长为2a，则O′A=a，由勾股定理可得32=（）2+（2a﹣3）2，∴a=2，∴正方体棱长为2a=4．故选C．【点评】本题考查正方体棱长，考查四面体M﹣ABD的外接球表面积，确定球心的位置是关键．11．（2017•绵阳模拟）三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．16π【分析】PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大，最大值是，求出PC=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为三棱锥P﹣ABC 的外接球的直径，即可得出结论．【解答】解：M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大．此时，PM=，在Rt△PBC中，PB•PC=BC•PM⇒PC=⇒PC=．三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=4π．故选：B．【点评】题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12．（2017•湖北模拟）如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．16π D．21π【分析】由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正主形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，由此能求出该空间几何体的外接球的表面积．【解答】解：如图，由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正方形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，取BC中点F，AD中点E，连结SF，EF，取EF中点M，则MF=1，SF=，设该几何体外接球的球心为O，则OM⊥面ABCD，设OM=x，过O作OH⊥SF，交SF于H，则SH=，OH=MF=1，∴OD2=OS2=R2，即（）2+x2=12+（）2，解得x=，∴R==，∴该空间几何体的外接球的表面积S==．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．13．（2017•楚雄州一模）已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O 的表面积为（）A．4πB．πC．16π D．12π【分析】设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥P﹣ABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OP=R，∴OS=，BS=R，∴=R，解得a=R，2a=R，∵三棱锥P﹣ABC的体积为，∴×××R×Rsin60°×R=，解得R=2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选：C．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时确定球O的半径是关键．14．（2017•临翔区校级一模）已知底面边长为的正三棱锥O﹣ABC的体积为，且A，B，C在球O上，则球的体积是（）A．B．8πC．20π D．【分析】正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，求出小圆半径、三棱锥的高，可得球的半径，即可求出球的体积．【解答】解：正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，因正△ABC的边长为，所以小圆半径r=2，又因，所以三棱锥的高h=1，设球半径为R，则，，故选A．【点评】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．15．（2017•灵丘县校级三模）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为4，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为（）A．4πB．8πC．16π D．32π【分析】设BC=2x，BB1=2y，则4xy=2，利用直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为≥=，即可求出三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值．【解答】解：设BC=2x，BB1=2y，则4xy=4，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为≥=，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为4π×2=8π．故选：B．【点评】本题考查三棱柱ABC﹣A1B确定1C1外接球表面积的最小值，考查基本不等式的运用，确定直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径的最小值是关键．16．（2017•广安模拟）如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．B．6πC．D．12π【分析】由已知得PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF 为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．【解答】解：∵ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，∴PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，∴这个球的半径为R==，∴该球的表面积是S=4πR2=4π×=6π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、四面体的性质及构造法的合理应用．17．（2017•郴州二模）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A．1 B．C．D．【分析】先求出V D﹣ABC，再求出四面体ABCD的表面积S=S△ADC+S△ABC+S△ABD+S△BCD，由四面体ABCD的内切球的半径r=，能求出结果．【解答】解：∵边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC ﹣D，∴=1，AC=2，取AC中点O，连结DO，BO，则DO=BO==1，且DO⊥平面ABC，∴V D﹣ABC==，BD==，AB=BC=AD=DC=，∴=，=1，∴四面体ABCD的表面积S=S△ADC+S△ABC+S△ABD+S△BCD=2+，∴四面体ABCD的内切球的半径r===2﹣．故选：D．【点评】本题考查四面体的内切球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意四面体内切球半径与其体积和表面积的关系式的合理应用．18．（2017春•简阳市期末）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为=．所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=4πR2=6π故选B．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键．19．（2016秋•晋中期末）在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24π D．6π【分析】取AC中点D，连接SD，BD，由题意可得∠SDB为二面角S﹣AC﹣B，取等边△SAC的中心E，找出O点为四面体的外接球球心．【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为AB=BC=，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，所以cos∠EDO=，OD=，所以BO==OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：D．【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，利用已知条件求出线段长度，进而确定圆心的位置即可求出圆的半径．20．（2017春•陆川县校级期中）如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．【分析】利用已知条件说明三棱锥是长方体的一个角，扩展几何体为长方体，求出外接球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：在三棱锥D﹣ABC中，，可得AC⊥BC，AC⊥CD，CD⊥CB，则C﹣ABD三棱锥看作是长方体的一个角，三棱锥的外接球计算长方体的外接球，外接球的半径为：=1．外接球的体积为：=．故选：D．【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及最后思想计算能力．21．（2017春•山西月考）一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．84π B．96π C．112πD．144π【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为O1，O2，则球O的球心O为线段O1O2的中点，设球O的半径为R，利用勾股定理求出R2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：∵一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为O1，O2，则球O的球心O为线段O1O2的中点，设球O的半径为R，则R2=（）2+（）2=28，∴球O的表面积S=4πR2=112π．故选：C．【点评】本题球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、方程思想、整体思想，是中档题．22．（2017春•顺庆区校级月考）三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．36π B．72π C．144πD．288π【分析】正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．【解答】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同．∵三棱锥的棱长均为4，∴正方体的棱长是4，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，∴2R=12，∴R=6，球的表面积为4π×62=144π．故选：C．【点评】巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V﹣ABC的棱长为a，求外接球的半径，可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．23．（2017春•东湖区校级月考）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比（）A．5：1 B．2：1 C．4：1 D．：1【分析】由题意得两球心是重合的，设球O1的半径为R，球O2的半径为r，则正三棱柱的高为2r，AB=2r，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O1的球心，则（2r）2+r2=R2，即5r2=R2【解答】解：设球O2的为r，球O1的半径为R∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，三棱柱的六个顶点都在球O1的球面上，∴三棱柱的高（侧棱长）为2r．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面与球O1的大圆截面如图（1）所示：可得AB=2r，BO1=2r正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O1的球心，∴（2r）2+r2=R2，∴5r2=R2，∴球O1与球O2的表面积之比为5：1．故选：A【点评】本题考查了球与三棱柱的组合体，根据几何体的性质，找到球心，求出半径是解题关键，属于中档题．24．（2017春•奉新县月考）已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A．43π B．17π C．34π D．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=9，x2+z2=16，y2+z2=9，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=17，∴4R2=17，∴球的表面积为S=4πR2=17π．故选B．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．25．（2017春•高平市校级月考）若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA ⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16π D．32π【分析】如图，取BC中点D，连结AD、PD，过A作AH⊥PD于D，易知AH ⊥面PBC，即∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，由tan∠APD=，得AP以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，即可求出半径．【解答】解：如图，取BC中点D，连结AD、PD，∵AB=AC，∴AD⊥BC，由因为PA⊥面ABC，∴BC⊥面PAD，过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，∴tan∠APD=，∵AD=，∴．∵AB，AC，AP相互垂直，∴以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=4π；故选：A．【点评】本题考查了三棱锥的外接球，转化已知求出球的半径是关键，属于中档题．26．（2017春•高平市校级月考）若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA ⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A．B．C．D．【分析】利用AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，求出PA=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，即可得出结论．【解答】解：∵AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，∴PA=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为，故选A．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．27．（2017春•惠安县校级月考）已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：2 B．2：5 C．1：3 D．4：5【分析】取BC中点E，求出PE，HP，可得四棱锥P﹣ABCD的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比．【解答】解：取BC中点E，由题意，正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，∴PE=，HP=2，从而四棱锥P﹣ABCD的表面积为S=+=8，V==，∴内切球的半径为r=．设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，外接球的半径为R，则OP=OA，∴（2﹣R）2+12=R2，∴R=，∴棱锥的内切球与外接球的半径之比为2：5．故选B．【点评】本题考查四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比，考查四棱锥P﹣ABCD的表面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．28．（2017春•建始县校级月考）球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（）A．B．4πC．12π D．36π【分析】设球O与平面α，β分别切于点P，Q，过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO⊥PR，OQ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，利用三角函数、平面几何知识求解．【解答】解：设球O与平面α，β分别切于点P，Q，过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO⊥PR，OQ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，由正弦定理得，∴，又二面角α﹣l﹣β为锐二面角，所以∠PRQ=60°，∠PRO=30°，∴OP=1，即球的半径为1，球O的表面积为S=4πR2=4π，故选B．【点评】本题考查了球的性质，空间问题转化为平面问题是解题的关键，属于中档题．29．（2016•衡水万卷模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12π C．16π D．32π【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．。
关于外接球的表面积与体积计算问题
关于外接球的表面积与体积问题（二）一．选择题（共30小题）1．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．4π B．9π C．12π D．16π2．已知三棱柱ABC﹣ABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱111柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A． B． C． D．3．三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2，∠BDC=90°，二面角A﹣BC ﹣D的大小为150°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．7π B．12π C．16π D．28π4．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28π B． C．32π D．5．已知三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．6．如图，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A． B． C． D．7．设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V=3V=3，则球的表面积为（）BCDA﹣S﹣BCD A．16π B．64π C．π D．32π8．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60π B．30π C．20π D．15π9．在封闭直三棱柱ABC﹣ABC，BC=8，AB=15，BC⊥AB若的球，V内有一个体积为111．AA=5，则V的最大值是（）1A． B． C． D．36π10．在正方体ABCD﹣ABCD中，M是线段AC的中点，若四面体M﹣ABD的外接111111球的表面积为36π，则正方体棱长为（）A．2B．3C．4D．511．三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2π B．4π C．8π D．16π12．如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A． B． C．16π D．21π13．已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC 的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（）A．4π B．π C．16π D．12π14．已知底面边长为的正三棱锥O﹣ABC的体积为，且A，B，C在球O上，则球的体积是（）A． B．8π C．20π D．15．已知直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，侧面BCCB的面积为4，则直三11111棱柱ABC﹣ABC外接球表面积的最小值为（）111A．4π B．8π C．16π D．32π16．如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A． B．6π C． D．12π17．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A．1 B． C． D．18．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4π B．6π C．8π D．10π19．在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A． B． C．24π D．6π20．如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．21．一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．84π B．96π C．112π D．144π22．三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．36π B．72π C．144π D．288π23．已知正三棱柱ABC﹣ABC的六个顶点在球O上，又知球O与此正三棱柱的211115个面都相切，求球O与球O的表面积之比（）21A．5：1B．2：1C．4：1D．：124．已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A．43π B．17π C．34π D．25．若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4π B．8π C．16π D．32π26．若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A． B． C． D．则此棱锥的内切球与外接球体积为，的底面边长为，ABCD﹣P已知正四棱锥．27．的半径之比为（）A．1：2B．2：5C．1：3D．4：528．球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（）A． B．4π C．12π D．36π29．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8π B．12π C．16π D．32π30．已知在三棱锥P﹣ABC中，V=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平ABC ﹣P面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A． B． C． D．关于外接球的表面积与体积问题（二）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2017?全国模拟）已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．4π B．9π C．12π D．16π【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为，从而222222的外接球的表面﹣ABCD，即可求出多面体+d=1+（﹣d），求出R=4ER=（）积．，则的距离为d【解答】解：设球心到平面ABCD，∠AEB=60°，EA=EB=3所在的平面与矩形∵△EABABCD所在的平面互相垂直，的距离为，ABCD∴E到平面22222，d）+d∴R=（）=1+（﹣2，∴d=，R=42=16π．4πR的外接球的表面积为E﹣ABCD∴多面体．D故选【点评】本题考查多面体E﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出多面体E﹣ABCD的外接球的半径是关键．2．（2017?大理州二模）已知三棱柱ABC﹣ABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在111同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A． B． C． D．【分析】画出球的内接三棱柱ABC﹣ABC，作出球的半径，然后可求球的表面积．111【解答】解：设AA=h，则1∵棱柱的体积为，AB=2，∴∴h=1，∵AB=2，∴BC==，如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，AP==则球的半径为OA，由题意OP=，∴OA==，3=π所以球的体积为：πR故选B．【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．3．（2017?福州一模）三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2，∠BDC=90°，二面角A﹣BC﹣D的大小为150°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．7π B．12π C．16π D．28π【分析】由题意画出图形，通过求解直角三角形可得三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：设球心为M，BC的中点为P，∵三角形BDC满足∠BDC=90°，∴P为三角形BDC的外心，设△ABC的外心为O，∵△ABC为等边三角形，∴MO⊥平面ABC，MP⊥平面BDC，∵二面角A﹣BC﹣D的大小为150°，∴∠OPM=60°，在等边三角形ABC中，由AB=2，得AP=3，∴OP=1，在Rt△MOP中，可得MO=，在Rt△MOA中，得MA=．∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．故选：D．【点评】本题考查球的表面积与体积，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．4．（2017?香坊区校级一模）已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28π B． C．32π D．【分析】三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，232，令f（x）=0，可得x=2﹣12x=72x，f′（x）﹣36x=36x===s．令f（x），DCF△即当x=2时，s最大，此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的DCF△半径为长方体对角线长的一半，得球半径R即可．【解答】解：将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ABCD⊥平面BCFE，可得直三棱柱ABE﹣DCF，（如图）三棱柱ABE﹣DCF的底面△DCF，△ABE是直角△，AB⊥BE，FC⊥CD三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，s===．DCF△232，令f（x）﹣36x=0，可得x=2）令f（x=36x12x ﹣），f′（x=72x∴当x=2时，s最大DCF△此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半球半径R=，∴几何体外接球的体积为，故选：D．【点评】本题考查了折叠问题，及三棱柱的外接球，属于中档题．5．（2017?贵州模拟）已知三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．【分析】由三棱锥的对边相等可得三棱锥A﹣BCD为某一长方体的对角线组成的三棱锥，求出长方体的棱长即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的体积．【解答】解：补体为底面边长为1，高为的长方体，外接球的球心为长方体体对角线中点，所以球的半径r=1，球的体积，故选D．【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，转化思想，属于中档题．6．（2017?临川区校级模拟）如图，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A． B． C． D．【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【解答】解：△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=60°，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=，AD是球的弦，DA=，∴OM=，∴球的半径OD==．2=π；该球的表面积为：4π×OD故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．7．（2017?贵阳一模）设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V=3V=3，则球的表面积为（）BCD﹣ABCD﹣S．A．16π B．64π C．π D．32π【分析】利用SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V=3V=3，求出球的直BCDBCD﹣AS﹣径，即可得出结论．【解答】解：设三棱锥A﹣BCD的高为h，则三棱锥S﹣BCD的高为3h，球的直径为2R，∵三角形BCD的面积为3，V=1，BCDA﹣∴=1，∴h=1，∴R=2，2=16π，4π?2∴球的表面积为故选A．【点评】本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（2017?南岗区一模）已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60π B．30π C．20π D．15π【分析】当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，由题意知AF⊥DF，AF=CF=3，∴EF=AD=，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，222222，+OFR+OE，=DFROA连接，OC，有=AE222222，）=3OE+（﹣RR∴=（）+OE，，∴R=2=60π．∴三棱锥的外接球的表面积为4πR．故选A【点评】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．9．（2017?呼和浩特二模）在封闭直三棱柱ABC﹣ABC内有一个体积为V的球，111若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA=5，则V的最大值是（）1A． B． C． D．36π【分析】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，求出三棱柱ABC﹣ABC内切球半径即可111【解答】解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=12，△ABC内切圆的半径为r=3，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为．3=πR，此时球的体积为故选：B．【点评】本题考查了棱柱的内切球的体积，解题关键在于确定球何时半径最大，属于基础题．10．（2017?大东区一模）在正方体ABCD﹣ABCD中，M是线段AC的中点，若四111111面体M﹣ABD的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】设BD的中点O′，则球心O在MO′上，利用四面体M﹣ABD的外接球表面积为36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．【解答】解：设BD的中点O′，则球心O在MO′上，∵四面体M﹣ABD的外接球表面积为36π，2=36π，∴4πR∴R=3，设正方体棱长为2a，则O′A=a，222，3﹣）2a（）由勾股定理可得3=+（∴a=2，∴正方体棱长为2a=4．故选C．【点评】本题考查正方体棱长，考查四面体M﹣ABD的外接球表面积，确定球心的位置是关键．11．（2017?绵阳模拟）三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2π B．4π C．8π D．16π【分析】PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大，最大值是，求出PC=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，即可得出结论．【解答】解：M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP 就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大．此时，PM=，在Rt△PBC中，PB?PC=BC?PM?PC=?PC=．三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=1，2=4π．的外接球的表面积为4πRABC∴三棱锥P﹣故选：B．【点评】题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12．（2017?湖北模拟）如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A． B． C．16π D．21π【分析】由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正主形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，由此能求出该空间几何体的外接球的表面积．【解答】解：如图，由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正方形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，取BC中点F，AD中点E，连结SF，EF，取EF中点M，则MF=1，SF=，设该几何体外接球的球心为O，则OM⊥面ABCD，设OM=x，过O作OH⊥SF，交SF于H，则SH=，OH=MF=1，222，=OS∴OD=R2222，（）+x+=1即（）解得x=，∴R==，∴该空间几何体的外接球的表面积S==．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．13．（2017?楚雄州一模）已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（）A．4π B．π C．16π D．12π【分析】设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥P﹣ABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OP=R，∴OS=，BS=R，∴=R，解得a=R，2a=R，∵三棱锥P﹣ABC的体积为，∴×××R×Rsin60°×R=，解得R=2，2=16π．S=4πR∴球O的表面积故选：C．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时确定球O的半径是关键．14．（2017?临翔区校级一模）已知底面边长为的正三棱锥O﹣ABC的体积为，且A，B，C在球O上，则球的体积是（）A． B．8π C．20π D．【分析】正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，求出小圆半径、三棱锥的高，可得球的半径，即可求出球的体积．【解答】解：正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，因正△ABC的边长为，所以小圆半径r=2，又因，所以三棱锥的高h=1，设球半径为R，则，，故选A．【点评】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．15．（2017?灵丘县校级三模）已知直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，侧面111BCCB 的面积为4，则直三棱柱ABC﹣ABC外接球表面积的最小值为（）11111A．4π B．8π C．16π D．32π【分析】设BC=2x，BB=2y，则4xy=2，利用直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，1111可得直三棱柱ABC﹣ABC外接球的半径为≥=，即可求出三棱柱ABC﹣ABC外接111111球表面积的最小值．【解答】解：设BC=2x，BB=2y，则4xy=4，1∵直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，111∴直三棱柱ABC﹣ABC外接球的半径为≥=，111∴直三棱柱ABC﹣ABC外接球表面积的最小值为4π×2=8π．111故选：B．【点评】本题考查三棱柱ABC﹣AB确定C外接球表面积的最小值，考查基本不111等式的运用，确定直三棱柱ABC﹣ABC外接球的半径的最小值是关键．111 16．（2017?广安模拟）如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A． B．6π C． D．12π【分析】由已知得PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．【解答】解：∵ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，∴PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，∴这个球的半径为R==，2=4π×=6π．S=4πR∴该球的表面积是．B故选：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、【点评】四面体的性质及构造法的合理应用．B折成一个直二面角AC沿对角线ABCD（2017?郴州二模）将边长为的正方形．17．﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A．1B． C． D．【分析】先求出V，再求出四面体ABCD的表面积S=S+S+S+S，由BCD△ADCABDD﹣ABC△ABC△△四面体ABCD的内切球的半径r=，能求出结果．【解答】解：∵边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，∴=1，AC=2，取AC中点O，连结DO，BO，则DO=BO==1，且DO⊥平面ABC，∴V==，ABCD﹣BD==，AB=BC=AD=DC=，∴=，=1，∴四面体ABCD的表面积S=S+S+S+S BCD△△ADCABD△ABC△=2+，∴四面体ABCD的内切球的半径r===2﹣．故选：D．【点评】本题考查四面体的内切球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意四面体内切球半径与其体积和表面积的关系式的合理应用．18．（2017春?简阳市期末）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4π B．6π C．8π D．10π【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为=．所以球的直径是，半径长R=，2=6πS=4πR则球的表面积故选B．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键．19．（2016秋?晋中期末）在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A． B． C．24π D．6π【分析】取AC中点D，连接SD，BD，由题意可得∠SDB为二面角S﹣AC﹣B，取等边△SAC的中心E，找出O点为四面体的外接球球心．【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为AB=BC=，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，所以cos∠EDO=，OD=，所以BO==OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：D．利用已知条件求出线段解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，【点评】．长度，进而确定圆心的位置即可求出圆的半径．20．（2017春?陆川县校级期中）如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．【分析】利用已知条件说明三棱锥是长方体的一个角，扩展几何体为长方体，求出外接球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：在三棱锥D﹣ABC中，，可得AC⊥BC，AC⊥CD，CD⊥CB，则C﹣ABD三棱锥看作是长方体的一个角，三棱锥的外接球计算长方体的外接球，外接球的半径为：=1．外接球的体积为：=．故选：D．【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及最后思想计算能力．21．（2017春?山西月考）一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．84π B．96π C．112π D．144π【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为O，O，则球O的球心O为线段OO21212，由此能求出球O的表面积．RO的半径为，利用勾股定理求出R的中点，设球【解答】解：∵一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为O，O，则球O的球心O为线段OO的中点，2211设球O的半径为R，222=28（）+则R=（），2=112π．S=4πR∴球O的表面积故选：C．【点评】本题球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、方程思想、整体思想，是中档题．22．（2017春?顺庆区校级月考）三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．36π B．72π C．144π D．288π【分析】正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．【解答】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同．∵三棱锥的棱长均为4，∴正方体的棱长是4，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，2=144π．6R=6，球的表面积为4π×∴2R=12，∴故选：C．【点评】巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V﹣ABC的棱长为a，求外接球的半径，可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．23．（2017春?东湖区校级月考）已知正三棱柱ABC﹣ABC的六个顶点在球O上，1111又知球O与此正三棱柱的5个面都相切，求球O与球O的表面积之比（）221A．5：1B．2：1C．4：1D．：1【分析】由题意得两球心是重合的，设球O的半径为R，球O的半径为r，则正21三棱柱的高为2r，AB=2r，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O的球122222=R5r=R，即心，则（2r）+rR的半径为r【解答】解：设球O的为，球O12的球面上，ABCO的侧棱与底面垂直，三棱柱的六个顶点都在球ABC∵三棱柱﹣1111．2r∴三棱柱的高（侧棱长）为=2rAB=2r所示：1的大圆截面如图O的底面与球CB﹣正三棱柱ABCA（）可得，BO11111正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O的球心，122222，∴球O与球O的表面积之比为5r5=R∴（2r）：+r1=R．，∴21故选：A【点评】本题考查了球与三棱柱的组合体，根据几何体的性质，找到球心，求出半径是解题关键，属于中档题．24．（2017春?奉新县月考）已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A．43π B．17π C．34π D．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，222222=9，+z+z=16并且x，+yy=9，x2222=17=x+z+y）设球半径为R，则有（2R，2=174R，∴2=17π．S=4πR∴球的表面积为故选B．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．25．（2017春?高平市校级月考）若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4π B．8π C．16π D．32π【分析】如图，取BC中点D，连结AD、PD，过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，即∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，由tan∠APD=，得AP以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，即可求出半径．【解答】解：如图，取BC中点D，连结AD、PD，∵AB=AC，∴AD⊥BC，由因为PA⊥面ABC，∴BC⊥面PAD，过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，∴tan∠APD=，∵AD=，∴．∵AB，AC，AP相互垂直，∴以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P ﹣ABC的外接球，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为2=4π；4πR故选：A．【点评】本题考查了三棱锥的外接球，转化已知求出球的半径是关键，属于中档题．26．（2017春?高平市校级月考）若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A． B． C． D．【分析】利用AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，求出PA=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，即可得出结论．【解答】解：∵AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，∴PA=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为，故选A．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．27．（2017春?惠安县校级月考）已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：2B．2：5C．1：3D．4：5【分析】取BC中点E，求出PE，HP，可得四棱锥P﹣ABCD的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比．【解答】解：取BC中点E，由题意，正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，∴PE=，HP=2，从而四棱锥P﹣ABCD的表面积为S=+=8，V==，∴内切球的半径为r=．设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，外接球的半径为R，则OP=OA，222，+1=R﹣∴（2R）∴R=，∴棱锥的内切球与外接球的半径之比为2：5．故选B．【点评】本题考查四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比，考查四棱锥P ﹣ABCD的表面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．的两半平面相切，﹣βlα﹣与锐二面角O春?建始县校级月考）球2017（．28．两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（）A． B．4π C．12π D．36π【分析】设球O与平面α，β分别切于点P，Q，过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO⊥PR，OQ ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，利用三角函数、平面几何知识求解．【解答】解：设球O与平面α，β分别切于点P，Q，过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO⊥PR，OQ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，由正弦定理得，∴，又二面角α﹣l﹣β为锐二面角，所以∠PRQ=60°，∠PRO=30°，∴OP=1，即球的半径为1，2=4π，故选B．球O的表面积为S=4πR【点评】本题考查了球的性质，空间问题转化为平面问题是解题的关键，属于中档题．29．（2016?衡水万卷模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8π B．12π C．16π D．32π【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．2=16π．ABCD外接球的表面积为：4πR四面体故选：C．【点评】本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．30．（2016?河南模拟）已知在三棱锥P﹣ABC中，V=，∠APC=，∠BPC=，PA ABCP﹣⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A． B． C． D．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S==，PBC△∴V=V==，PBCAP﹣ABC﹣∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，。
空间几何体的外接球(一)---教案
通过正方体、长方体、三棱柱的外接球问题，让学生明确直棱柱外接球球心的位置，会求其外接球体积和表面积，巩固外接球表面积和体积公式，总结外接球半径求法
复习棱锥外接球
以阳马为例，板书，重新讲解有一条侧棱与底面垂直的四棱锥外接球半径的求法，
重点讲解直接法—通法
介绍构造法及适用的情况
认真听老师讲解，将两种方法融会贯通，灵活应用
培养学生的空间想象能力，数学运算能力，突破本节难点
练习1、求正四面体外接球半径
用直接法求解，立体感好的学生可以用构造法求解
巩固直接法求外接球半径，构造法求外接球半径
讨论
讨论：哪些常见的棱锥可以用构造法求解
对于讨论的结果进行总结
高三复习课教案
绥化市第一中学高惠泽
授课时 间
2019年9月26日
课题
空间几何体的外接球(一)
教学目标
知识目标
1能找到柱体外接球球心的位置，求出外接球体积和表面积
2会用直接法和构造法求特殊棱锥的外接球半径
能力目标
培养学生的空间想象能力、数学运算能力
德育目标
培养学生观察、探究与计算能力，加强学生的合作意识。
看讨论结果决定接下来的授课内容如果有人说出对棱相等的棱锥则直接让其解决变1如果说不出来那么由老师引入变式1如果讨论出对棱相等的棱锥可以构造长方体那么可以直接解决变式1没有讨论出来的话可以由老师引导尝试解决该问题这是一个由上面讨论引出的双向选择的环节看学生的具体情况再决定如何展开下面的授课环节这个是一个特殊的棱锥类似四面体对棱相等其外接球半径只能构造如果用直接法求会非常麻烦将这个棱锥介绍给孩子们以便在日后遇到的时候解决类似问题请同学们自己总结直棱柱和一些特殊的棱锥的外接球半径的求法积极配合老师引导完成对本节课的总结培养学生的归纳概括能力也能够看出学生对本节课的接受情况便于为下一课时复杂棱锥的外接球半径问题打下基础三棱锥pabc的顶点都在球的球面上ab平面bcdabbcd的正三角形求球o的表面积因此类高考题不给图所以不配图让学生独立完成没有配图自己独立完成对此题的解答完成后与大家交流检测学生对本节课知识的掌握情况培养学生的空间想象能力作图能力运算能已知三棱锥pabcpapbpcabc的正三角形ef分别是paab的中点90cef空间几何体的外接球一例1直接法通法构造法
空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全全（表）面积（含侧面积）1、柱体①棱柱]----------------A S侧=Ch ■ S全=2S底* S侧②圆柱J _______ ___2、锥体①棱锥：S棱锥侧=^2c底h②圆锥：S圆锥侧=托底l3、台体①棱台:②圆台:S棱台侧S棱台侧_ 1二2（C上底C下底）h_ 1=2 （C上底.C下底）1* S全=S上+ S侧+ S下4、球体①球：S球=4r2②球冠：略③球缺：略S下S下体积1、柱体①棱柱]--------------卜V柱=Sh②圆柱J2、锥体①棱锥r②圆锥」1V柱=3S h3、台体1①棱台］V台=gh （S上NS上S^ +S下）②圆台J V圆台=3兀h （r上+Q r上r下+ r下）4、球体①球：V球=4二r'②球冠：略③球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线I计算。
三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的-。
3分析：圆柱体积：V圆柱=Sh =（二「2）2r=2^r'圆柱侧面积：S圆柱侧=C h =（2 r） 2r = 4二「因此：球体体积：V球=2 2二J=4二r33 3球体表面积：S球=4 r2即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式：V台=1h （S上+ S下）证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 延长两侧棱相交于一点P设台体上底面积为S上,下底面积为S下P 高为h。
易知：PDC s .>PAB ,设PE = h i，则PF =h i h由相似三角形的性质得:CD PEAB PFA整理得：h 1 ： =S上hPS 下-VS上又因为台体的体积=大锥体体积一小锥体体积1 11 1 二V台=3S 下(h 1h K3S 上h^3h 1(S下一S上) 下h代入：h= i S 上芬得: V台=3胪L(S下—S"3S 下hJS下3*SrS31 ___ I ------ ------ 1即: V 台=3 S上h (S下S上)3S下人二 V 台=3h （S 上S 上S 下S下）球体体积公式推导即：ShiS 下-h lh （相似比等于面积比的算术平方根）1 ______________=3h (S上S 上S 下S下)4、分析：将半球平行分成相同高度的若干层（ n 层），n 越大，每一层越近似于圆柱，n “ •「时，每一层都可以看作是个圆柱。
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
高三数学专题外接球
高三数学专题外接球高三数学专题：外接球1.正棱柱和长方体的外接球的球心是其中心。
例1：一个正四棱柱的高为4，体积为16，其外接球的表面积是多少？解：由于正四棱柱的底面是一个正方形，所以它的体积为$V=\frac{1}{3}hS=16$，其中 $h=4$，$S$ 是正方形的面积。
解得 $S=12$。
正方形的对角线长为 $d=\sqrt{2}S=2\sqrt{6}$，所以外接球的半径为 $R=\frac{d}{2}=\sqrt{6}$，表面积为$S=4\pi R^2=24\pi$。
因此，答案为 C。
2.补形法（补成长方体）。
例2：一个三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是多少？解：将三棱锥补成长方体，如下图所示。
长方体的对角线长为 $d=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=3\sqrt{3}$，所以外接球的半径为$R=\frac{d}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，表面积为 $S=4\piR^2=27\pi$。
因此，答案为 B。
3.依据垂直关系找球心。
例3：一个三棱锥P-ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足 BA=BC=6，∠ABC=π，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为多少？解：根据垂直关系，三棱锥的外接球的球心位于底面△ABC 的垂心 H 上。
设球心为 O，底面中心为 M，则$OM=OH-R$，其中 $R$ 是外接球的半径。
根据勾股定理，$AH=\sqrt{AP^2-PH^2}=\sqrt{R^2-\frac{1}{4}BC^2}$，$BM=MC=\frac{1}{2}BC=3$，所以 $OM=\sqrt{OH^2-HM^2}=\sqrt{R^2-(AH+BM)^2}=\sqrt{R^2-\left(R^2-\frac{1}{4}BC^2+9\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
由于三棱锥的体积最大值为3，所以 $AH\cdot BC=6\sqrt{3}$，解得$R=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，体积为$V=\frac{1}{3}Ah=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}\cdotR=9\sqrt{3}\pi$。
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2
构造直角三角形使用技巧
椎体的外接球
O
O1 A
O
O1 A
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r,则有R r2 h R2
补形法的使用技巧
根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的 几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。
课后小结
搞清有关几何元素与球的半径之间的关系
课后作业
任意直棱柱的外接球
圆柱的外接球
O R
B
C
设柱体的高为l, 底面外接圆的半径为r,则有R
r
2
l 2
2
构造直角三角形使用技巧
圆锥的外接球
正棱椎的外接球
O
O1 A
O
O1 A
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r,则有R r2 h R2
构造直角三角形使用技巧
球心在几何体外部
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a2 b2 c2 2R
设正方体的边长为a,则有2R 3 a
二、构造直角三角形
2010 年理 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
OB OO12 O1B2
构造直角三角形使用技巧
三、补形法
例4：求棱长为a的正四面体P-ABC的 外接球的表面积。
将正四面体放到正方体中，
得正方体的棱长为 2 a, 2
且正四面体的外接球 即正方体的外接球，
所以R＝ 6 a. 4
三、补形法
变式：四面体ABCD，AB=CD= 2，AC=BD= 3，
AD=BC=1，求其外接球体积
将正四面体放到长方体中，
课后小结
学生对本节课的总结
直接法的使用技巧
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a2 b2 c2 2R
设正方体的边长为a,则有2R 3 a
构造直角三角形使用技巧
任意直棱柱的外接球
圆柱的外接球
O R
B
C
设柱体的高为l, 底面外接圆的半径为r,则有R
r
2
l 2
边长为a,b,c,则有：
a2 b2 1 c2 b2 2 a2 c2 3
a2 b2 c2 3
R
2
2
三、补形法
例5：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
补形法的使用技巧
根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的 几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。
1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，
则此球的表面积为
2.（球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，
2，3，则此球的表面积为
。
3．设 P, A, B,C 是球 O 面上的四点,且 PA, PB, PC 两两互相垂直,若 PA PB PC a ,
• 方法一：直接法 • 方法二：构造直角三角形 • 方法三：补形
一、直接法
2010 年文
(7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个
球面上，则该球的表面积为
（A）3 a2
（B）6 a2 （C）12 a2
（D） 24 a2
O A
O1 B
A
C
O
Байду номын сангаасA1
C1
直接法的使用技巧
则球心 O 到截面 ABC 的距离是
.
4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥 S ABC 中，侧棱 SC 侧面SAB ，侧棱 SC 2 ，
则此正三棱锥的外接球的表面积为
5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为 3 ，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上， 2
则此球的体积为
．
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r,则有R r2 h R2
三、补形法
例3：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且 侧棱长均为a，则其外接球的表面积是_____
A C
P
O B
三、补形法
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
多面体外接球的半径的求法
有关多面体外接球的问题，是立体几何 的一个重点，也是高考考查的一个热点.研 究多面体的外接球问题，既要运用多面体 的知识，又要运用球的知识，并且还要特 别注意多面体的有关几何元素与球的半径 之间的关系，而多面体外接球半径的求法 在解题中往往会起到至关重要的作用.
多面体外接球的半径的求法