二次函数中考压轴题(定值问题)解析精选

二次函数中考压轴题（定值问题）解析精选

【例1】（2013•南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）

两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．

（1）求b的值；

（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；

（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．

考点：二次函数综合题

专题：压轴题．

分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=﹣，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；

（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2﹣（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1•y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上；

（3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）

得y1•y2=64，又易得x1•x2=﹣64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明

△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1•OB+y2•OA=0．

解答：（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣，

∴△OCD的面积S=（﹣）•b=﹣．

∵kS+32=0，

∴k（﹣）+32=0，

解得b=±8，

∵b＞0，

∴b=8；

（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，

将x=代入y=x2，得y=（）2，

整理，得y2﹣（16+8k2）y+64=0．

∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，

∴y1•y2=64，

∴点（y1，y2）在反比例函数的图象上；

（3）证明：由勾股定理，得

OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，

由（2）得y1•y2=64，

同理，将y=kx+8代入y=x2，

得kx+8=x2，即x2﹣8kx﹣64=0，

∴x1•x2=﹣64，

∴AB2=+++﹣2x1•x2﹣2y1•y2=+++，

又∵OA2+OB2=+++，

∴OA2+OB2=AB2，

∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．

如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．

∵∠AOB=90°，

∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF，

又∵∠AEO=∠OFB=90°，

∴△AEO∽△OFB，

∴=，

∵OE=﹣x1，BF=y2，

∴=，

∴x1•OB+y2•OA=0．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．求出△OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，进而得出y1•y2=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）问的关键．

【例2】（2013•吉林）如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P 作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关

于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．

【猜想与证明】

填表：

m 1 2 3

由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=．请证明你的猜想．

【探究与应用】

（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；

（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；

【联想与拓展】

如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．

考点：二次函数综合题

分析：猜想与证明：

把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论，从而发现规律得出对任意m（m＞0）将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值，从

而得出均有=；

探究与证明：

（1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论；

（2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论；

联想与拓展：

由猜想与证明可以得知A、D的坐标，可以求出F、E的纵坐标，从而可以求出AE、DF的值，由三角形的面积公式分别表示出△MAE与△MDF面积，就可以求出其比值．

解答：解：猜想与证明：

当m=1时，1=x2，1=x2，

∴x=±2，x=±3，

∴AB=4，CD=6，

∴；

当m=2时，4=x2，4=x2，

∴x=±4，x=±6，

∴AB=8，CD=12，

∴；

当m=3时，9=x2，9=x2，

∴x=±6，x=±9，

∴AB=12，CD=18，

∴；

∴填表为