(完整word版)勾股定理拓展与拔高
(2021年整理)勾股定理拓展提高题
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B A6cm3cm1cmCBA勾股定理拓展提高题1、如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm,高为6cm ．①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ；②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ．2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数_________图1 图2 图33、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x,则x 2-10的立方根为5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为图4 图56、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b,那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 (B)19 （C)25 （D ）169• •ABADEBC7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄,DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b ，且32=EFGH S 正方形。
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习一、填空题(共5道，每道4分)1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______.2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．3题图3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB4.教材5题：将一根长24cm露在杯子外面的长为hcm5.教材10题：矩形ABCD中，BC=4，DC=3F处，求EF二、解答题(共51.教材9BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上的点2题图2.EBC与∠DCB互余，求+的值.3.教材12MN折叠，使点B落在CDB´C=3，求CN和AM的长.3题图4题图5题图4.教材14题：如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？5.教材16题：如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD=90km（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必顺在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）？三、证明题(共3道，每道10分)1.教材2题：如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，F为BC上的一点且BC=4CF，试说明△AEF是直角三角形.1题图2题图3题图2.作业1题：如图，已知P是矩形ABCD内任一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD23.教材6题：如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G。
勾股定理全章小结拔高精编
勾股定理考点沙场点兵1．会用勾股定理解决简单问题.2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.经典·考题·赏析【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．94【变式题组】01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______. 03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是( ) A． B． C． D ．7【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm .第1题图第2题图1 B A 3cm 1cm6cm【变式题组】01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( )A． B ．25C．5D ．3502．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm )，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm ，小孔到图中边AB 距离为1cm ，到上盖中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm ，则h 的最小值大约为_____cm .(精确到个位，参考数据1．4＝1．2．2)03．(荆州)若一边长为40cm 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_____cm .(铁丝粗细忽略不计)【例3】(荆州)如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为NM ，则线段CN 的长是( )A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【解法指导】对折问题即对称问题，设CN ＝x ，DN ＝NE ＝8－x .在Rt △CEN 中，(8－x )2＝42＋x 2 x ＝5.故选C【变式题组】01．在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝13，AD ＝12．求S 四边形ABCD ．02．如图，△ABC 中，AB ＝13，AD ＝6，AC ＝5 ，D 为BC 边的中点.求S △ABC ．第1题第2题图AB吸管106 5A D CF MNA BC D03．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB ，BC ＝4，CD ＝32.求AC ．【例4 】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB 是一次函数y ＝－2x 的图象，点A 的坐标为(0，2)，在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 坐标.【解法指导】求C 点坐标需分类讨论.(1)若以O 为顶点，OA 为腰，则C 在以O 为圆心，OA 的长为半径的圆与y ＝－2x 的交点处.(2)若以A 为顶点，AO 为腰，则C 在以A 为圆心， AO 的长为半径的圆与y ＝－2x 的交点处.(3)若以C 为顶点，则C 在OA 的中垂线与y ＝－2x 的交点处.【变式题组】 01．若A （3，2），B 为x 轴上一点，O 为坐标原点.若△AOB 是等腰三角形.求B 点坐标.02．如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B 为y ＝2x 上一点，若△AOB 为等腰三角形.求B 点坐标.03．如图.在平面直角坐标系中，A (0，4)，B 为y ＝2x 上一点，若△AOB 为直角三角形.求B 点坐标.y【例5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点. 问题：在直线l 上确定一点P ，使P A ＋PB 的值最小.方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A 'B 交l 于点P ，则P A ＋PB ＝A 'B 的值最小(不必证明).模型应用：⑴如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P ，则PB ＋PE 的最小值是__________；(2)如图2，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值.【变式题组】01．(荆门)一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）.⑴求该函数的解析式；⑵O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标.02．（四川联赛试题)已知矩形ABCD 的AB ＝12，AD＝3，E 、F 分别是AB ，DC 上的点，则折线AFEC长的最小值为____________. 03．(陕西)如图，在锐角△ABC 中，AB ＝BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是___________.【例6.图1 图2 2xC ABD MN【变式题组】01.（恩施自治州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.⑴用含x的代数式表示AC＋CE的长；⑵请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?02．(咸宁)问题背景:在△ABC中，AB、BC、AC.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.⑴请你将△ABC的面积直接填写在横线上______；思维拓展:⑵我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．．．.若△ABC、a、(a＞0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积；探索创新:⑶若△ABC（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法．．．求出这三角形的面积.【例7】.(天津)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.⑴当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2＋BN2；【思路点拨】考虑MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连接DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了.请你完成证明过程:⑵当扇形GEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【变式题组】01．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB边的中点，DE⊥DF.求证：EF2＝AE2＋BF202．我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.⑴写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称________；⑵如图1，请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；⑶如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB＝30°.求证：四边形ABCD是勾股四边形.03．(台州)如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB ＝∠F ＝90°，∠A ＝∠E ＝30°.△EDF 绕着边AB的中点D 旋转，DE 、DF 分别交线段AC 于点M 、K .⑴观察:①如图2、图3，当∠CDF ＝0°或60°时，AM ＋CK ______MK (填“＞”、“＜”或“＝”).②如图4，当∠CDF ＝30°时，AM ＋CK ______MK （只填“＞”或“＜”).⑵猜想:如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ＋CK ______MK ，证明你所得到的结论. ⑶如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF 的度数和AMMK的值.演练提高01．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高为（）AB ．310C ．35D ．4502．(哈尔滨)如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8cm ，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝254cm ，则AD 的长为( ) A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm03．(滨州)已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD 为8，则边BC的长为( ) A ．21 B ．15 C ．6 D ．21或904．在同一平面内把边BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC '，则CC '的长等于( )A ．125B ．135C ．56D ．24505．一个三角形三边长度之比为3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为( )A ．3:4:5B ．5:4:3C ．20:15:12D ．9:16:2506．(山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的A．32B．76C．256D．207．(湖州)如图，在正三角形ABC中，AB＝1，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF面积为_____.08．(安顺)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______.09．(安徽)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_______m.10．(滨州)某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为______.11．(湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2则S1＋S2的值等于________.12．(呼和浩特)如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝则该四边形的面积是_______.13．已知等腰三角形ABC的底边AB＝20cm，P是腰AC上一点，且AP＝12cm，BP＝16cm，则腰长是_________.14．(沪州)如图，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点为D′，则BD′＝_______.15．如图，点A在反比例函数6y的图象上，OA＝4，AC⊥x轴，OA的中垂线交x轴于B．求△ABC 的周长.16．有一人字形屋架(等腰三角形)，其顶角为120°，两腰长均为4米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时，新的三角架为直角三角形?17．(牡丹江)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m ，8m .现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地8m 长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.18．如图A (3，4)，B (a ，1)，AB ＝5，C 、D 分别为x 轴、y 轴上的两动点.求四边形ABCD 周长的最小值.19．如图，在正△ABC 中，DC ＝4，DB ＝3，DA ＝5，求∠CDB ．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为三角形内一点，DC ＝2，DB ＝1，DA ＝3．求∠CDB ．特种升级检测DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，得到△AFB ，连接EF ，则下列结论:①△AED ≌AEF ；②△ABE ≌△ACD ；③BE ＋DC ＝DE ；④BE 2＋DC 2＝DE 2其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③ D ．①③02．(四川联赛试题)BD 是△ABC 的中线，AC ＝6且∠ADB ＝45°，∠C ＝30°，则AB ＝( )AB．C．D ．603．（江西竞赛）若将三条高线长度分别为x 、y 、z 的三角形记为(x ，y ，z )，现在以下四个三角形(6，8，10)，(8，15，17)，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个04．(北京竞赛)如图，ABCD 是一张长方形纸片，将AD ，BC 折起、使A 、B 两点重合于CD 边上的P 点，然后压平得折痕EF 与GH .若PE ＝8cm ，PG ＝6cm ，EG ＝10cm ，则长方形纸片ABCD 的面积为（）cm 2 A ．105.6 B ．110.4 C ．115.2 D ．124.805．如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( ) A ．CD 、EF 、GH B ．AB 、CD 、EF C ．AB 、CD 、GH D ．AB 、EF 、GH06．(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC 内有一点P ，过点P 向三边作垂线，垂足分别为S 、Q 、R ，且PQ ＝6，PR ＝S ，PS ＝10，则△ABC 的面积等于( )A．B．C．D．07．(四川省初二数学联赛试题)如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC＝，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____秒时，P A 与腰垂直.08．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AB ＝AD ＝2，AC ＝4，且BD :DC ＝2:3则BC ＝______.09．(黑龙江竞赛)小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm ，宽为8cm 的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长.第5题图C第6题图第7题图B 第8题图10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5.求.S △DEF11．如图①，已知直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，以OA 、OC 为边在第一象限内作长方形OABC ．⑴求点A 、C 的坐标；⑵将△ABC 对折，使得点A 与点C 重合，折痕交AB 于点D ，求直线CD 的解析式（图②）； ⑶在坐标平面内，是否存在点P (除点B 外)，使得△APC 与△ABC 全等，若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由.12．(浙江省义乌)如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点(点P 与B 不重合)，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连接QE 并延长交射线BC 于点F .⑴如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝_____°，猜想∠QFC ＝_______°；⑵如图l ，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；⑶已知线段AB＝BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式.13．一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一卫生站A ，距公路30km 的地方有一居民点B ，A 、B之间的距离为60km .一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km /h .在草地上行驶的最快速度是30km /h ，问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短?最短时间是多少?图② 图②图①14．是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等?若存在，求出它的边长；若不存在，说明理由.。
勾股定理的探索方法及教法(最全)word资料
勾股定理的探索方法及教法(最全)word资料勾股定理的探索方法及教法岗子中学齐玲玲2020 年4月内容摘要:勾股定理的三种探索方法及教法,主要有以下三个方面:1.数格子，即在格子纸上建构直角三角形及相关正方形，通过数格子探索其面积关系与勾股定理的联系；2.拼图法的运用，通过补直角三角形和割直角三角形，表示其相关的面积关系导出勾股定理;3.无字证明，“青朱出入图”等面积填补法直观易懂的探索出勾股定理。
关键词：勾股定理、数格子、拼图法、补直角三角形、割直角三角形、青朱出入图、直观易懂。
勾股定理的悠久广远，它的发现与证明是古代人类智慧的鉴定和骄傲。
古巴比伦人和古代中国人看出了这一关系，古希腊的华达哥拉斯学派首先证明了这个关系,总结其法，趣味无穷，我主要从下面三种探索方法及教法谈起。
一、数格子。
即在格子纸上构造直角三角形，以它的勾、股、弦为三个边长分别建立相关正方形（尽量取易数的完整格子）通过学生数格子，得出以勾为边长形成的正方形的面积，加上以股为边长的正方形的面积之和，等于以弦为边长的正方形的面积。
（如图1）再适当引导：这三个正方形的面积与这个直角三角形的三边有什么关系？（每个方格为一个面积单位）学生发言说出结论： S A+S B=9+9=18=S cS A’+S B’=4+4=8=S C'讲解：它们各自的面积刚好就是这个直角三角形勾的平方，股的平方和弦的平方。
学生自己得出：直角三角形，两直角边的平方之和等于斜边的平方这一理论.令:勾--------a股--------b弦--------c则它们之间的关系又可以用怎样的表达式呢？学生说出：a2+b2=c2老师板书其内容。
这样就可以通过最直观形象的图形加上简单的理论证明，让学生观察、归纳、总结出勾股定理的由来。
二、拼图法的运用。
拼图法的运用又分为两个方案：第一种方案“补”；第二种方案“切割”.（一）“补”,即“作出RT△ABC，分别以它的勾、股、弦为正方形的边长，作出三个正方形，延长它的两条直角边a、b到以c为边长的正方形的外部，过以斜边c为边长的正方形上顶点，右顶点，在它的外部分别补作平行于a、b的线段作一个大的正方形。
勾股定理拓展与拔高
勾股定理拓展与拔高勾股定理拓展与拔尖二.知识点回顾1、勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证c2与a2b2是否具有相等关系（3）若c2= a2b2，则△ ABC是以/ C为直角的直角三角形；若c2工a2b2 则厶ABC不是直角三角形。
3.勾股数：满足a2b2= c2的三个正整数，称为勾股数如（1）3, 4, 5; （2）5, 12，13; （3）6, 8, 10; （4）8, 15, 17 （5）7, 24, 25 （6）9, 40, 41三.典型题剖析：针对训练、延伸训练考点一证明三角形是直角三角形1、在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点,1且EC= 4 BC,求证：EFA=90 .FE针对训练：1、已知：在厶ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c试判断△ ABC的形状.考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ ABC中，底边BC= 20, 为AB 上A 一点，CD = 16, BD = 12, 求厶ABC的周长。
针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD , AD II BC, AB=4, BC=6, CD=5, AD=3.求：四边形ABCD的面积. yA考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形ABC冲，AB=3 BC=5在CD上任取一点E，连接BE将厶BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6 , CD=3，将ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1考点四勾股定理的卡车通过大门问例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以的半圆，其中AD = 2.3 m，AB = 2 m，现有一辆装满货物的大卡车，宽1.6m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由.题AB为直径高 2.5C考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10 cm,宽为4 cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF 与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.针对训练：1观察下列图形，回答问题：问题（1 ）:若图①中的△ DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为。
勾股定理的拓展
勾股定理的拓展
例在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=C、假设∠C=90°〔如图1〕，根据勾股定理，那么a2+b2=c2、假设△ABC不是直角三角形〔如图2和图3〕，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并说明你的结论、
【分析】：要类比勾股定理，就要把斜三角形化为直角三角形，即化斜为直，最常用的方法是作锐角或钝角三角形的高、
【解】：
假设△ABC是锐角三角形，那么有a2+b2>c2；
假设△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，那么有a2+b2<c2、
〔1〕当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，
垂足为D、
设CD为x，那么有DB=a－x、
根据勾股定理得，b2－x2＝c2－(a－x)2，
即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2、
∴a2+b2＝c2+2ax，
∵a>0，x>0，
∴2ax>0，
∴a2+b2>c2、
〔2〕当△ABC是钝角三角形时，过点B作BD⊥AC，
交AC的延长线于点D、
设CD为x，那么有DB2=a2－x2、
根据勾股定理得，(b+x)2+(a2－x2)＝c2，
即b2+2bx+x2+a2－x2＝c2、
∴a2+b2+2bx＝c2，
∵b>0，x>0，
∴2bx>0，
∴a2+b2<c2、。
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(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证cbaHG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab 弦股勾4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
勾股定理(知识点+题型分类练习)(word文档物超所值)
A B Ca c 弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜c 边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17等3,4,56,8,105,12,137,24,25③用含字母的代数式表示组勾股数：n （为正整数）；221,2,1n n n -+2,n ≥n （为正整数）2221,22,221n n n n n ++++n （，为正整数）2222,2,m n mn m n -+,m n >m n 4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）A5.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°⇒ （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
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第一章 勾股定理【知识点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）勾股定理的验证abcab cab cabcababa bba例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A.222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
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第二章 勾股定理、平方根专题第一节 勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；勾股定理和 平方根勾股定理平方根 立方根 实数近似数、 有效数字判定直角三角形勾股定理的验证定义、性质 开平方运算开立方运算定义、性质（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
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第17章勾股定理知识梳理——汇森中学刘明17.1勾股定理知识点一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222+=，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a b c勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，已知a，b，c，（c为斜边长）中的任意两条边的长度，利用此定理可以求出第三条边的长度.运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，并借助直角明确直角边和斜边勾股定理的变形公式：222=-，c=a=b c a=-，222a c bb=.例1.在Rt ABCBC cm=，8=，求AC的长.∆中，90C∠=°，10AB cm知识点二：勾股定理的探索与证明勾股定理的证明方法有许多种，现在给出集中常见的证明方法：证明一：著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》中，给出了一个很好的证明.做三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把他们拼成如图所示的形状，使H 、C 、B三点在一条直线上，连接BF 、CD .过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L .,,AF AC AB AD FAB CAD ==∠=∠,FAB CAD ∴∆≅∆.于长FAB ∆的面积等于212a ，CAD ∆的面积等方形ADLM 的面积的一半，∴长方形ADLM 的面积=2a .同理可证，长方形MLEB 的面积=2b .正方形ADEB 的面积=长方形ADLM 的面积+长方形MLEB 的面积，∴222c a b =+，即222a b c +=.证明二:用拼图的方法验证勾股定理 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA例2：如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积= 平方厘米；正方形Q的面积= 平方厘米；正方形R的面积= 平方厘米；正方形P、Q、R的面积之间的关系是；由此，我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系 .（n为大于1的正整数）的线段例3知识点四：勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．例4. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？类型一：利用勾股定理计算线段的长例1：如图所示，在四边形ABCD中，︒=DBC，3∠90=∠90BAD，︒AD=，4AB=，BC=，求CD.12变式训练1：在ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高AD 为12，求ABC ∆的周长.类型二：勾股定理解决三角形中的折叠问题例2：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边6,8AC cm BC cm ==，将ACD ∆折叠，使点C 与点E 重合，折痕为AD ，则CD 等于 .ABCE D变式训练2：如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C’的位置上，已知3BC=，重合部分△EBD的面积为．AB=，7类型三：勾股定理在空间图形中的应用例3：有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是30cm，40cm，120cm的木箱中，露在外边的长度至少为cm．DA变式训练3：一根筷子长度为17cm，斜放在半径为3cm的圆柱形水杯内，露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯高AC= cm．类型四：勾股定理的规律探索题例4:张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.变式训练4：若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2）写出各数都大于30的两组商高数．用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．例5：如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD的面积是 .变式训练5：在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4= ．类型六：勾股定理的实际应用例6：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABC DL变式训练6：一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？AABA O类型七：用勾股定理巧求最短距离例7：如图，一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为 .变式训练7：如图，长方体的长为15，宽10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 .∙∙AB17.2勾股定理的逆定理知识点一：互逆命题与互逆定理1.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.注：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立.2.互逆定理有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.例1：写出下列命题的逆命题：（1）对顶角相等；（2）两个锐角的和是钝角.知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理，即如果直角三角形的三边长,,a b c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形.a b c利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：（1）确定三角形的最长边；（2）分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，且最长边的对角就是直角.例2：判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形.（1）7,24,25===；a b ca b c===；（2）0.3,0.4,0.5（3）2,3,4===.a b c知识点三：勾股数满足222+=的三个正整数，称为勾股数.a b c常见的勾股数：3,4,5； 5,12，13； 6,8,10； 7,24,25； 8,15,17；9,40,41；11,60,61； 12，16,20； 15,20,25. 另外，勾股数的倍数也是勾股数.例3：根据下列条件，判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形（1）7,24,25a b c===；a b c===；（2）8,15,19（3）0.6,0.8, 1.0===.a nb nc na b c===；（4）3,4,5类型一：判断三角形是否是直角三角形例1：在ABC ∆中，22a m n =-，2b mn =，22c m n =+，其中m 、n 是正整数，且m n >，试判断ABC ∆是否是直角三角形.变式训练1：若ABC ∆的三边,,a b c 满足条件222338102426a b c a b c +++=++，试判定ABC ∆的形状．类型二：勾股定理及其逆定理的综合应用例2：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.AB DCFE变式训练2：如图，是一种四边形的零件，东东通过测量，获得了如下数据：AB=4cm，•BC=12cm，CD=13cm，AD=3cm，东东想计算这种零件的面积，你认为东东还需测出哪些数据？请你写出这些数据并帮东东算出这种零件的面积.变式训练3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．C类型三：利用勾股定理逆定理解决航海中问题例3：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？①“远航”号航行的距离是多少海里？②“海天”号航行的距离是多少海里？③“远航”号航行的距离和“海天”号航行的距离与两船之间的距离满足什么关系？④根据以上各题你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？变式训练4：如图，南北向MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？************勾股定理中考链接*************1.（2013巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．A M C B2.（2013雅安）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣，0），B （，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．124.（2013湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理5.（2013柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A． B． C． D．考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理6.（2013鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．考点：三角形中位线定理；勾股定理．7.（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．8．（2013绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是．考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征．9.（2013莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．考点：勾股定理10.（2013包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．11.（2013株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．12.（2013襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是．考点：图形的剪拼；勾股定理．13．（2008年广东湛江市）如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E．连接AC、OC、BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．考点：圆；勾股定理第14章 勾股定理单元测试一、选择题1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D. 82. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）；④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a:b:c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a:b:c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是( ) A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或7 6．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm 2D. 60cm 27．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )A ．121B ．120C ．90D ．不能确定8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定9．直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )A ．61B ． 71C ．81D ． 9110. 已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ A.6B.8C.10D.12二、填空题11. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 12. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那F第10题图13．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．14．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．15．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.16．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．17．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．18.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 . 三、解答题19.图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.20.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，a ＝2n 2＋2n ，b ＝2n ＋1，c ＝2n 2＋2n ＋1（n 为大于1的自然数）,试说明△ABC 为直角三角形.21. 如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处？图1图222. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？E BCAD23.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B 岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？24. 如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8m，求DE的长．AB CDE25. 如图所示的一块地ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，，求这块地的面积．CDA B。
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勾股定理复习 一.知识归纳 1 .勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ，斜边为c ，那么 2 •勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 ① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理b 2c 2常见方法如下：方法一：4S S 正方形EFGH S 正方形ABCD，4 2ab (b 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 2 a) 化简可证.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 -ab c 22 2ab 大正方形面积为S (a b)2 a 2 2ab b 2 所以 a 2 b 2 ba丄C 2，化简得证 2 方法三：S 梯形-(a b) 2 3 •勾股定理的适用范围： 用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 4 •勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问 题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾 股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线) ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. (a 2 —ab 2 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系, b) , S 梯形 2S ADE S ABE它只适 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。
在 ABC 中， C 90 ，贝y c b 2 , b 忌~a 2 , a 'T c 2~b ② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 5 •勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c 满足a 2 b 2 c 2，那么这个三角形是直角三角形, ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 其中c 为斜边。
勾股定理全章复习和巩固(提高)知识讲解.docx
责编：曾山 【学习目标】 1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股泄理及逆泄理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1 .勾股定理：直角三角形两直角边b 的平方和等于斜边c 的平方.（即：a 2+b 2=c 2）2 •勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要 应用是：（1） 己知直角三角形的两边，求第三边；（2） 利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3） 解决与勾股定理有关的面积计算；（4） 勾股定理在实际生活中的应用.要点二、勾股定理的逆定理1 •勾股定理的逆定理如果三角形的三边长弘b 、c,满足a 2^b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1） 首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2） 验证：°2 +护与C?是否具有相等关系：若a 2+^=c 2f 则AABC 是以ZC 为90。
的直角三角形；若a 2+b 2>c 2时，ZkABC 是锐角三角形； 若a 2 +b 2<c 2时,A ABC 是钝角三角形.《勾股定理》全章复习与巩固 （提高） 解决实际HK角 角形2 •勾股数满足不定方程x2+ y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）, 显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果（d、b、c）是勾股数，当t为正整数时，以G、bt、cf为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a、b、c,且a<b<c f那么存在a2 =b + c成立.（例如④中存在7? =24+25、92 =40+41 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用▼ 1、如图所示，等腰直角AABC中，ZACB = 90°, E、F为AB ±两点（E左F右），且ZECF=45°,求证：AE2 + BF2 = EF2.【思路点拨】由于ZACB = 90°, ZECF=45。
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理) 拔高练习(含答案)
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练
习
试卷简介:本试卷为卢老师八年级线下班第一讲的测试卷，在看卢老师的课程之前，先用这套试卷来检验一下自己，共一道题，为常考题型：拱桥问题，这里的易错点有两个，一是拱桥半径找错；二是不知如何比较
学习建议:先回顾一下教材中勾股定理这一章节的知识
一、解答题(共1道，每道100分)
1.一辆卡车装满货物后，高4米，宽
2.8米，这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？
答案：能通过
解题思路：解：∵卡车在隧道中间位置能通过的可能性最大
∴如图，O为EF的中点，OE=1.4m，OG为圆的半径，OG=2m
在直角△OEG中
∵（4-2.6）²=1.4²=1.96，2.04>1.96
∴在相同宽度下隧道的高度高于卡车的高度，卡车能通过该隧道
易错点：一、半径找错；二、比较完，下结论的时候出错试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用。
勾股定理拔高讲义
勾股定理 拔高训练1.如图，P 是等边三角形ABC ∆内的一点，连结PA 、PB 、PC ，以BP 为边作ο60=∠PBQ ，且BQ=BP ，连结CQ 、PQ ，若PA:PB:PC=3:4:5,试判断PQC ∆的形状。
2.如图，ADC ∆和BCE ∆都是等边三角形，ο30=∠ABC ，试说明：222BC AB BD +=3.在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。
（1）说明：222EF CF BE =+（2）若BE=12,CF=5，试求DEF ∆的面积。
4.为了美化环境，计划在某小区用草地铺设一个等腰三角形，使它的面积为30平方米且有一边长为10米，求另外两条边。
勾股定理提高训练（一）1、在Rt △ABC 中,若直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为( ). A ．4cm B ．4cm 或cm 34 C ．cm 34 D ．不存在 4、在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.85、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．6、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．CDB第7题FEDCBA第9题BA6cm3cm 1cm第10题图CBA715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE 的长是__. 8、把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．9．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点及 A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3B ．4 CD ．510、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要__cm ； ②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm ．勾股定理提高训练（二）1、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°2、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.43,1,45 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9 3、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5 C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶34、已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对5、 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）A B C D6、△ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形.8、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )． A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形9、在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为AD= cm . 10、下列命题中是假命题的是( )．A ．△ABC 中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC 是直角三角形.B ．△ABC 中,若a 2=(b+c)(b －c),则△ABC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC 是直角三角形. D ．△ABC 中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC 是直角三角形.11．如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.12、如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB.13、如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°, AD ＝1，B C ＝4，求DC 的长．15、如图，某学校（A 点）及公路（直线L ）的距离为300米，又及公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之及该校 A 及车站D 的距离相等，求商店及车站之间的距离．第11题图BA CD .第12题图B CA DADEBC16．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？17、如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的长.中考试题精选（2012广州市）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（ ） A.365 B. 1225 C. 94 D. 334(2012巴中市)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长,且满足关系c 2-a 2-b 2+|a-b|=0,则△ABC 的形状为______ （2013巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．（2013黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为（ ） A 、5 B 、7 C 、5 D 、5或7（2013柳州）在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD 平分∠BAC 交BC 于D ，则BD 的长为（ ） A ．B ．C ．D ．(2012南充市) 如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2，则第17题图AC长是_____________cm.（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．（2013•达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10。
完整word版勾股定理提高练习题精编2
勾股定理练习(根据对称求最小值)基本模型：已知点A 、B 为直线m 同侧的两个点，请在直线m 上找一点M ,使得AM+BM 有最小值。
1、已知边长为4的正三角形ABC 上一点E , AE=1 , AD 丄BC 于D,请在AD 上找一点N , 使得EN+BN 有最小值，并求出最小值。
2、.已知边长为4的正方形 使得EN+BN 有最小值, ABCD 上一点E , AE=1，请在对角线 AC 上找一点N , 并求出最小值。
且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2,点B 到3、如图，已知直线 a // b , 直线b 的距离为3, AB=2 J 30 .试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN 丄a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=( A . 6124 D 4题图4、已知 AB=20 , DA 丄 AB 于点 A , CB 丄 AB 于点 B , DA=10 , CB=5 .(1) 在AB 上找一点E ,使EC=ED ，并求出EA 的长；DD . a在梯形 ABCD 中，/ C=45° , / BAD= / B=90° , AD=3 , CD=2 42 ,BC 上一动点，则△ AMD 周长的最小值为 .等边△ ABC 的边长为6, AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AB5、如图，M 为 6如图，边上一点，贝U EM+BM 的最小值为7、如图/ AOB = 45 ° , P 是/ AOB 内一点，PO = 10, Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点, 求△PQR 周长的最小值.&如图所示，正方形ABCD 的面积为12, △ ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内, 在对角线AC 上有一点P ,使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）B . 2 恵C. 3 D . 76C . 39、在边长为2 cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点, 连接PB 、PQ ，则^ PBQ 周长的最小值为10、在长方形 ABCD 中，AB=4,BC=8,E 且PQ=2,当四边形APQE 的周长最小时，求BP 的长.为CD 边的中点，若P 、Q 是BC 边上的两动点, Bcm52、如图：一圆柱体的底面周长为20cm,高AB 为4cm,BC 是上底面的直径.一只蚂蚁从 点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C ,试求出爬行的最短路程.J/?3题图广 ------弓题團3、如图，一个高18m ，周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯, 要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？（建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙 ）为了减小坡度,4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1处（三 条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？，Ci/D5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m ,底面周长为1m ,在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，求壁 虎捕捉蚊子的最短距离。
论勾股定理的教育功能(优选)word资料
论勾股定理的教育功能(优选)word资料论勾股定理的教育功能重庆市巴南区教科所邹仁福重庆市教科院数学组张晓斌如何以数学学科内容对学生进行素质教育，是摆在我们每一个数学教师面前的一项重大研究课题。
勾股定理是漫漫数学长河中一个非常重要的定理之一，我们在数学教学中通过对勾股定理的教育功能的探讨，以期落实素质教育的实施。
我们还认为，对一个定理以及教育因素的充分挖掘，可以起到以点带面的示范作用。
一、文化功能勾股定理是一条古老的数学定理。
不论什么、什么民族，只要是具有自发的（不是外来的）古老文化，他们都会说：我们首先认识的数学定理就是勾股定理。
据史书记载，大禹治水与勾股定理有关，禹在治水的实践中总结出了勾股术（即勾股的计算方法）用来确定两处水位的高低差。
可以说，禹是世界上有史记载的第一位与勾股定理有关的人。
另外，有名的赵州桥的大桥孔直径的计算以及现在还流行在民间木匠手中的角尺（用于确定直角的用具）都直接和勾股定理有关。
更有趣的是我国著名数学家华罗庚教授在《数学的用场和发展》一文中谈到了想象中的首次宇宙“语言”，就提出把“数形关系”（勾股定理）（见下图）带到其它星球，作为地球与其它星球上的“人”进行第一次“谈话”的语言。
可以说勾股定理是传承人类文明的使者，是人类智慧的结晶，是古代文化的精华。
二、德育功能1．由勾股定理的产生对学生进行爱国主义教育。
我国是最早了解勾股定理的之一。
早在4000多年以前，我国人民就应用了这条定理。
我国最早的一部数学及天文著作《周髀算经》记载了这个定理，该书称直立着的标竿为“股”，地面上的日影为“勾”，斜边为“弦”。
于是这个定理可记为：勾2＋股2＝弦2。
这就是勾股定理的来历。
《周髀算经》一开始就记载了公元前1100年西周时周公与商高的一段对话，商高说：“勾广三，股修四，径隅五。
”即是“勾三、股四、弦五”。
我国一直把它叫做商高定理或勾股弦定理，后来简称勾股定理。
据西方记载，古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前550年前首先证明了这个定理。
勾股定理拔高-讲义
勾股定理 拔高训练1.如图，P 是等边三角形ABC ∆内的一点，连结PA 、P Ｂ、PC,以B Ｐ为边作60=∠PBQ ,且BQ=BP,连结CQ 、ＰQ ，若P Ａ:PB:PC ＝3:4:5，试判断PQC ∆的形状。
2.如图，ADC ∆和BCE ∆都是等边三角形,30=∠ABC ，试说明:222BC AB BD +=3．在等腰直角三角形中，A Ｂ=A Ｃ，点D 是斜边B Ｃ的中点，点E 、F 分别为ＡＢ、ＡC 边上的点,且ＤE ⊥DF 。
（1）说明：222EF CF BE =+（2)若ＢE=１2,CF=5，试求DEF ∆的面积。
4.为了美化环境，计划在某小区用草地铺设一个等腰三角形，使它的面积为30平方米且有一边长为10米，求另外两条边。
勾股定理提高训练(一）1、在R ｔ△A ＢC 中,若直角边的长分别为１cm,2cm ,则斜边长为＿____＿_____＿_．2、已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是________________.3.在一个直角三角形中,若斜边长为5ｃm ，直角边的长为3ｃm,则另一条直角边的长为( ）． A ．4cm Ｂ．4cm 或cm 34 C.cm 34 D.不存在 ４、在直角三角形ABC 中，斜边ＡB=1,则AB 222AC BC ++的值是（ ） A.2 B.4 C ．6 D.85、直角三角形两直角边长分别为5和１2,则它斜边上的高为_______．6、如图，学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”．他CDB第7题FEDCBA第9题BA6cm3cm 1cm第10题图CBA24252020242572520242415们仅仅少走了 步路（假设2步为1米)，却踩伤了花草．7、如图，在△ABC 中，ＡB=A Ｃ＝１3,ＢＣ＝10,D 是AB 的中点,过点D 作ＤE ⊥AC 于点E ，则ＤE 的长是＿_.8、把一根长为１0㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边,如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为＿_＿_的铁丝才能把三角形做好.９.如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与 A 点重合，则ＥＢ的长是（ )． Ａ.3ﻩﻩB ．4 Ｃ D ．５１０、如图，长方体的底面边长分别为1ｃm 和3cm,高为6cm.①如果用一根细线从点A 开始经过４个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要__c ｍ； ②如果从点A 开始经过４个侧面缠绕３圈到达点B,那么所用细线最短需要______ｃｍ.勾股定理提高训练(二)１、如图,每个小正方形的边长为1，Ａ、B 、C 是小正方形的顶点,则∠AB Ｃ的度数为（ ) A.90° Ｂ.60° C.45° D.30° 2、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ) A.９，1２,15 B.43,1,45 C.０.2，０.3，0.4 D.4０，4１，9 3、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） Ａ.三个内角比为1∶2∶1 Ｂ．三边之比为１∶2∶5 Ｃ.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶２∶34、已知三角形两边长为2和６，要使这个三角形为直角三角形,则第三边的长为( ） A.2 Ｂ.102 C ．10224或 Ｄ．以上都不对5、 五根小木棒，其长度分别为7,15,20，２4，25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( ）A B C6、△A ＢC 的三边分别是７、24、2５,则三角形的最大内角的度数是7、已知△ＡBC 的三边长满足18,10==+ab b a ,8=c ，则为 三角形.8、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后,得到的三角形是 ( )． A.直角三角形 Ｂ.锐角三角形 Ｃ.钝角三角形 D.不是直角三角形9、在三角形ABC 中,AB=12cm ,ＡC ＝5cm ，B Ｃ=13cm ，则B Ｃ边上的高为AD= cm ． 10、下列命题中是假命题的是( ).A ．△ABＣ中,若∠Ｂ=∠C－∠Ａ,则△ABC 是直角三角形．B ．△ABC 中，若a 2=（b+ｃ)(b-c)，则△AＢC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=３∶4∶5则△AＢＣ是直角三角形. D.△ＡＢC 中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC 是直角三角形.11．如图,已知四边形ＡＢCD 中，∠B ＝90°,ＡB=3，B Ｃ=4,ＣD=12,AD=1３,求四边形ＡB ＣD 的面积．12、如图,AB 为一棵大树,在树上距地面１0m 的D 处有两只猴子,它们同时发现地面上的C 处有一筐水果,一只猴子从D 处上爬到树顶A 处,利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB.13、如图，在梯形AB ＣD 中,ＡD∥BC，A Ｂ⊥AＣ，∠B=45°， AD=1，B C=4，求D Ｃ的长.1５、如图,某学校（Ａ点）与公路（直线L)的距离为300米，又与公路车站（Ｄ点)的距离为500米，第11题图BA CD .第12题图B CA DADEBC现要在公路上建一个小商店(C 点），使之与该校 A 及车站D 的距离相等,求商店与车站之间的距离.１6．如图,铁路上A ，B 两点相距25k ｍ,C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，C Ｂ⊥ＡB 于B,已知DA ＝１５km ，ＣB ＝10km,现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C,D 两村到E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站多少k ｍ处？１７、如图所示，在四边形ＡBCD 中,∠Ａ=6０°，∠Ｂ=∠D ＝９0°,B Ｃ＝２,C Ｄ＝3，求A Ｂ的长.中考试题精选(2０1２广州市)在Ｒt △ＡBC 中，∠Ｃ=9０°，AC=９，BC=1２,则点C 到AB 的距离是（ ） Ａ.365 B. 1225 Ｃ. 94 Ｄ. 334(２０1２巴中市)已知a 、ｂ、c 是△AＢC 的三边长,且满足关系错误!+｜ａ-ｂ｜=0，则△ABC 的形状为_____＿(2013巴中)若直角三角形的两直角边长为ａ、b ，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．（２01３黔西南州)一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为( )A 、５ Ｂ、7 Ｃ、5 D 、5或7 （2013柳州）在△ABC 中，∠BAC=90°,AB ＝３，A Ｃ=4.AD Ａ.B.平分∠ＢAC 交BC 于Ｄ，则BD 的长为( ) C ．D.第17题图(２012南充市) 如图,四边形ABＣD中,∠BAＤ＝∠BCD=90°，AＢ=AD,若四边形ABCD的面积是24c ｍ2，则AC长是__＿＿_＿＿____＿＿cm．（２013•湘西州)如图，Rｔ△AＢC中,∠C=9０°,AD平分∠CAB，DE⊥AＢ于E,若AC=6，BC＝8，CD＝3．(1)求ＤE的长；（2)求△ADＢ的面积．(2０13•达州）如图，折叠矩形纸片AＢＣD，使Ｂ点落在ＡD上一点E处,折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点）,且AＢ＝6，BC＝１0。
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勾股定理拓展与拔尖二. 知识点回顾1、 勾股定理的应用： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边（如c ）（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。
3. 勾股数： 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41三．典型题剖析：针对训练、延伸训练考点一 证明三角形是直角三角形1、 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=BC ，求证：∠EFA=90︒.针对训练：1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.41AB DCFE考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，求△ABC的周长。
针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD 边上的点F处，则CE的长为．针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3 B．C．5 D．考点四勾股定理的卡车通过大门问题例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD＝2.3 m，AB＝2 m，现有一辆装满货物的大卡车，高2.5 m，宽1.6 m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由．考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF 与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.针对训练：1观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为。
问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是；（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．考点六勾股定理的设计问题例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．针对训练：1如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD⊥AB，BC垂直AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？考点七勾股定理的最短路径问题例、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．5cm B．5.4cm C．6.1cm D．7cm考点八勾股定理的勾股数问题常见的勾股数及几种通式有：(1) （3， 4， 5）, （6， 8，10）…… 3n,4n,5n (n是正整数)(2) （5，12，13） ,（ 7，24，25）, （ 9，40，41）……(3) (8，15，17), (12，35，37) ……(4)m2－n2,2mn,m2＋n2 (m、n均是正整数，m>n) 简单列出一些：课堂小测试（8分钟）1. 一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ）A.第三边一定为10B.三角形的周长为24C.三角形的面积为24D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或253．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．310 C.25 D ．512 5．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2 6、直角三角形中，斜边长为5cm ，周长为12cm ，则它的面积为( )。
A ．122cm B ．62cm C ．82cm D ．92cm7．等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（ ） A 、56 B 、48 C 、40 D 、328．Rt △一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt △的周长为（ ） A 、121 B 、120 C 、90 D 、不能确定9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里10. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）。
A 、600米 B 、800米 C 、1000米 D 、不能确定勾股定理独立作业（20分钟）1．下列各组数据中，可以构成直角三角形的是（ ）A ．13、16、19B ．17、21、23C ．18、24、36D ．12、35、372．有长度为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．在△ABC 中，AB=12cm ，BC=16cm ，AC=20cm ，则S △ABC 为（ ） A ．96cm 2 B ．120 cm 2 C ．160 cm 2 D ．200 cm 2 4．若线段a 、b 、c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ） A ．1︰2︰4 B ．1︰3︰5 C ．3︰4︰7 D ．5︰12︰13 5．若直角三角形的两直角边的长分别是10cm 、24cm ，则斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．17cmC ．cmD ．cm6．有下面的判断：①△ABC 中，，则△ABC 不是直角三角形。
②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则。
③若△ABC 中，，则△ABC 是直角三角形。
④若△ABC 是直角三角形，则。
以上判断正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．Rt △ABC 的两边长分别是3和4，若一个正方形的边长是△ABC 的第三边，则这个正方形的面积是（ ）A ．25B ．7C ．12D ．25或78．一个三角形的三边之比是3︰4︰5，则这个三角形三边上的高之比是（ ） A ．20︰15︰12 B ．3︰4︰5 C ．5︰4︰3 D ．10︰8︰2 9．在△ABC 中，如AB=2BC ，且∠B=2∠A ，则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定2401312013222a b c +≠222a b c +=222a b c -=2a b a b c （+）(-)=10．如图是一个边长为60cm 的立方体ABCD —EFGH ，一只甲虫在菱EF 上且距F 点10cm 的P 处，它要爬到顶点D ，需要爬行的最近距离是（ ）A ．130B ．C ．D ．不确定11．若△ABC 中，∠A=2∠B=3∠C ，则此三角形的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定12．如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．222AC +DC =AD 222AD DE AE -=222AD =DE +AC 2221BD BE BC 4-=。