函数值大小的比较 (2)
初中数学巧用二次函数的性质比较数值大小
初中数学巧用二次函数的性质比较数值
大小
姓名：__________
指导：__________
日期：__________
比较二次函数值的大小是二次函数图像与性质应用的重要题型之一，是中考的热点。
要熟练准确地解决这类问题，同学们要理解二次函数的增减性、能画出图像的大致位置，会确定对称轴，还要掌握解决这类问题的一般方法和解题步骤。
以下面这道题为例，豆姐帮同学们梳理一下此类题目的相关知识点。
知识点一判断二次函数的开口方向
①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；
②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点。
知识点二找到二次函数的对称轴
二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)2+k的形式，即二次函数的顶点式，通过顶点式我们可以得出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），因此，可以得出二次函数的对称轴为x=h
知识点三画示意图，确定点的位置大小
根据开口方向和对称轴，画出函数的示意图，不需要太精确。
根据对称轴，找到题目中所求点在x轴上的位置，对于有根号的数字，最好可以转化到小数形式，方便对比。
①对于开口向上的抛物线，离对称轴越近，点越低，y值越小；离对称轴越远，
点越高，y值越大
②对于开口向下的抛物线，离对称轴越近，点越高，y值越大；离对称轴越远，点越低，y值越小。
数学人教版九年级下册比较函数值的大小
盘点“比较函数值大小的方法”杨光冬 湖北省孝感市肖港初级中学 邮编432023初中数学第二十八章《锐角三角函数》学完后，整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中， 我们经常遇到比较两函数值（或多个函数值）大小的考题，学生遇到这类题型得分率虽然较高，但笔者在课堂教学中发现，学生对这类题型的掌握并不系统，针对这种现象，笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点，希望对大家的教学有所帮助.一、同一函数中比较函数值的大小 解法1：运用增减性比大小例1：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在双曲线xy 3=上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为反比例函数xy 3=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而增大 且点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）在第三象限的同一支曲线上，所以12y y >.例2：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在抛物线322++=x x y 上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为抛物线322++=x x y 的对称轴是直线1-=x ，其开口向上，所以在对称轴左侧的抛物线上y 随x 的减小而增大，因此12y y >.解法2：运用正负性比较反比例函数值的大小例3：点A （-3，y 1）、B （1，y 2）均在双曲线xy 3-=上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为反比例函数xy 3-=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而减小，但是点A （-3，y 1）、B （1，y 2）不在同一支曲线上，所以不能用增减性比较1y 和2y 的大小. 又因为A （-3，y 1）、B （1，y 2）分别位于第二、第四象限的图象上，所以0>y ，0<y ，因此21y y >.解法3：运用距离比较二次函数值的大小例4：点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3)均在 抛物线y =x 2-2x -3上，试比较y 1、y 2和y 3的大小.解析：因为点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3) 不在对称轴（直线1=x ）同侧的抛物线上，所以不 能直接用增减性比较y 1和y 2、y 3的大小，此时我们 可以用抛物线的对称性将A (-2，y 1)先转化到对称轴 右侧的抛物线上，使A 、B 、C 三点在对称轴的同侧，再用抛物线的增减性比较y 1、y 2和y 3的大小；也可以先求出-2、3.5、5和1的距离：3)2(1=--、5.215.3=-、415=-. 因为抛物线开口向上，所以距离越大，说明相对应的点越高，其纵坐标越大（反之，若抛物线开口向下，所以距离越大，说明相对应的点越低，其纵坐标越小）. 因此点C (5，y 3)最高，点B (3.5，y 2)解法4：运用动态的图形分析三角函数值的大小例5：当O900<<<βα时，试比较αcos 和βcos 的大小 解析：如图(2)，Rt △ABC 中，∠C =90O，当∠B 逐 渐增大时，其邻边BC 不变，斜边逐渐增大BA />BA ，所 以/BA BCBA BC >. 这说明当锐角逐渐增大时，其余弦值 逐渐减小，所以当O 900<<<βα时，αcos >βcos我们还可以用图(3)，类比探究锐角的正弦和正切值的增减性.二、比较不同函数值的大小 （一）预备知识：1、比较不同函数值大小的前提条件：当自变量x 相等时，才能比较不同函数值的大小. 例6：如图（4），直线)0(1≠+=k b kx y 与 直线)0(2≠+=m n mx y 相交于A （3，5），试比 较1y 与2y 的大小.解析：如图，经过A 点作直线l ⊥x 轴 ①当x =3时，1y =2y②当x >3时，由图象可看出1y >2y ③当x <3时，由图象可看出1y <2y 2、经验归纳：从例6中可直观的看出，当x 等于交点横坐标时，两函数值相等；分别在x >3和 x <3的两个区域内，若图象在上面，其函数值就大；若图象在下面，其函数值就小.在以上两个预备知识的基础上，我们可用三线六域比较不同函数值的大小.（二）运用三线六域比较不同函数值的大小例7：如图，直线f x y +-=1和双曲线xey =2相交于A (-2,m )、B (3,n )，问：当x 分别取何值时，1y =2y 、1y >2y 、1y <2y ？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 以这两条垂线和y 轴为分界线，将自变量x 的取值范围分为六个区域，每个区域x 的取值范围如图（5）所示：在第⑤、⑥区域内，两函数值分别相等；CA / 图（2）/C 图（3）)0(≠k b)0(≠+m n因为在①、③区域内，直线在曲线的上面， 所以1y >2y因为在②、④区域内，直线在曲线的下面, 所以1y <2y因此，当x=-2或x=3时，1y =2y 当x <-2或0<x<3时，1y >2y 当-2<x <0或x>3时，1y <2y由以上分析过程，我们可得到三线六域中 的三个结论：结论一：在六个区域中，当x 的值分别等 于两交点横坐标时，两函数值相等；结论二：在①、②、③、④区中，①、③ 区结果相同，②、④区结果相同，结论三：②、④区的结果与①、③区的结果相反.有了以上归纳的三个结论，今后，我们只需分析一个区域的结果，就能推导出其余区域的结果了.（三）三线六域的类比应用当直线和抛物线相交时，我们可以类比三线六域得到两线五域. 而且两线五域的结论和三线六域的结论是一致的.例8：如图，抛物线)0(21≠++=a c bx ax y 和直线f x y +=2相交于A (3,m )，B (-1,n )，当x 分 别取何值时，y 1= y 2、y 1< y 2、y 1> y 2？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 因为抛物线是一条连续的图象，所以只能以 两条垂线作为分界线把自变量x 的取值范围 分为五个区域，类比例7，观察每个区域， 同理可得：当x =-1或x =3时，即在第④、⑤区域内，1y =y 当x <-1或x >3时，即在第①、③区域内，1y >y 当-1<x <3时，即在第②区域内，1y <2y 此结果和例7所得结论是一致的.④⑤。
九年级数学上册知识点总结
九（上）数学知识点答案第一章证明（一）1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线：垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
（注意着重号的意义）<直线与射线有垂线，但无垂直平分线>（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（如图1，AO=BO=CO）（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值(2课时)
3．利用导数求函数最值是一类非常重要的问题．在求函数 最值时按如下步骤进行：
第一步：求导数； 第二步：求出使导数为零的点(稳定点)； 第三步：求出稳定点对应的函数值，区间端点对应的函数值 (如果是闭区间)，不可导点对应的函数值(一般不会遇到)； 第四步：比较以上各值可得最大x1＝0，x2＝23a. 当23a≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a. 当23a≥2，即 a≥3 时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而 f(x)max＝f(0)＝0. 当 0<23a<2，即 0<a<3 时，f(x)在0，23a上单调递减，在23a，2上 单调递增，从而 f(x)max＝80－，42<a，a<03<. a≤2， 综上所述，f(x)max＝80－，4a>a，2. a≤2，
(2)由(1)得 f(x)＝x3－2x2＋1，f′(x)＝3x2－4x，点 P(2，1)在 曲线 f(x)上，
①当点 P(2，1)为切点时，切线斜率 k＝f′(2)＝4，所以切线 l 的方程为 y－1＝4(x－2)，即 4x－y－7＝0；
②当点 P(2，1)不是切点时，设切点为 Q(x0，y0)(x0≠2)，切 线斜率 k＝f′(x0)＝3x02－4x0，
(3)f′(x)＝1＋1 x－12x， 令 f′(x)＝0，即1＋1 x－12x＝0，得 x＝－2 或 1， ∵x∈[0，2]，∴x＝－2(舍去)，∴x＝1. ∵f(0)＝0，f(1)＝ln2－14，f(2)＝ln3－1， ∴该函数在区间[0，2]上的最大值为 ln2－14，最小值为 0.
2023高考一轮热题---幂指对三角函数值比较大小归纳
02 幂指对三角函数值比较大小归纳【题型一】 临界值比较：0、1临界【典例分析】设0.2515log 4,log 4,0.5a b c −===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【提分秘籍】基本规律因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小。
【变式演练】1.已知120212022202212022,log 2021,log 2021a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b2.若0.3220.32,log 0.3,0.3,log 2a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．a <b <c <d B ．d <b <c <a C ．b <d <c <a D ．d <c <b <a3.9.01.17.01.1,9.0log ,8.0log ===c b a 的大小关系是 （ ） A. c a b >> B. a b c >> C. b c a >> D.c b a >>【题型二】 临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）【典例分析】已知3422,log e a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【提分秘籍】基本规律寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律 1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值【变式演练】1.已知 6ln a π=，3ln 2b π=，4ln1.5c π=，则a b c 、、大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<2.已知0.350.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<3.若0.60.590.5,0.6,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【题型三】 差比法与商比法【典例分析】1C ．b c a >>D ．c a b >>【提分秘籍】基本规律1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解【变式演练】1.已知0.40.8a −=，5log 3b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．a c b <<2.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>3.已知3610a b ==，则2，ab ，a b +的大小关系是（ ） A ．2ab a b <+< B ．2ab a b <<+ C ．2a b ab <+< D ．2ab a b <<+【题型四】 利用对数运算分离常数比大小【典例分析】已知m ＝log 4ππ，n ＝log 4e e ，p ＝e 13−，则m ，n ，p 的大小关系是（其中e 为自然对数的底数）（ ） A ．p ＜n ＜m B ．m ＜n ＜pC ．n ＜m ＜pD ．n ＜p ＜m【提分秘籍】基本规律这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小【变式演练】1.2log 3､8log 12､lg15的大小关系为（ ） A ．28log 3log 12lg15<< B ．82log 12lg15log 3<< C ．28log 3log 12lg15>> D ．82log 12log 3lg15<<2.已知b 0,b 1a a >>=，若()21,log ,2a b x y a b z a b ==+=+，则()log 3x x ，()log 3y y ，()log 3z z 的大小关系为（ ）A ．()()()log 3log 3log 3x y z x y z >>B ．()()()log 3log 3log 3y x z y x z >>C ．()()()log 3log 3log 3x z y x z y >>D ．()()()log 3log 3log 3y z x y z x >>log 15a =log 40b =c【题型五】 构造函数：lnx/x 型函数【典例分析】设24ln 4e a −=，1eb =，ln 22c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【提分秘籍】基本规律学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练。
二次函数值大小比较 对称轴
二次函数值大小比较对称轴【知识文章】如何比较二次函数值大小以及对称轴的作用引言：二次函数是高中数学中重要的内容之一，在数学建模、物理学等领域有着广泛的应用。
在学习二次函数时，我们经常需要比较二次函数在不同取值下的大小，并且对称轴对于二次函数的研究也尤为重要。
本文将从比较二次函数值大小和对称轴的作用两个方面，介绍二次函数的基本特性。
一、比较二次函数值大小1. 基本概念：二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
在比较二次函数值大小时，我们通常关注的是二次函数的开口方向以及顶点的位置。
2. 二次函数的开口方向：当 a > 0 时，二次函数开口向上，即函数的图像呈现一种向上凸的形状；当 a < 0 时，二次函数开口向下，即函数的图像呈现一种向下凹的形状。
3. 顶点的位置：顶点是二次函数的最极值点，它的纵坐标值决定了二次函数的最大值或最小值。
当二次函数开口向上时，最小值对应顶点；当二次函数开口向下时，最大值对应顶点。
基于以上概念，我们可以通过以下方法比较二次函数值大小：- 比较两个二次函数的开口方向，开口方向相同的二次函数，其值在相同取值范围内，顶点纵坐标较小的函数值较小；- 对于开口方向相反的二次函数，我们可以比较它们的顶点纵坐标。
二、对称轴的作用1. 对称轴的定义：二次函数的对称轴是以顶点为中心，与函数图像关于某条直线对称的轴线。
对称轴方程为 x = h，其中 h 是顶点的横坐标。
2. 对称轴的作用：对称轴对于研究二次函数的性质和图像有着重要的作用。
- 对称轴将二次函数的图像分为两部分，可以方便地研究函数在对称轴两侧的性质；- 对称轴是一个坐标轴方程，通过对称轴方程我们可以求解二次函数的顶点坐标；- 对称轴方程 x = h 可以帮助我们确定二次函数的开口方向。
个人观点与理解：二次函数值大小的比较是我们在解决实际问题时常会遇到的情况。
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
不等式证明的7种方法总结
1. 拉格朗日中值定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数(值)的不等式;
2. 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数(值)或低阶导函数(值)的不等式;
3. 应用函数的单调性定理证明：(1)对于证明数的大小比较的不等式，转化为同一函数在区间两端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;(2)对于证明函数大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间内的任意一点函数值与区间端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;
4. 利用函数最大值、最小值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点x出的函数值大小的比较，然后证明(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
5. 利用函数取到唯一的极值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间内某点x处的函数值大小的比较，然后证明(fx)为唯一的极值且为极大值或极小值，即(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
6. 用柯西中值定理证明不等式;
7. 利用曲线的凹凸性证明不等式。
excel大小比较公式
excel大小比较公式在Excel中，可以使用一些公式来比较大小。
下面是一些常用的公式和示例说明。
1.IF函数：IF函数根据一个逻辑表达式的结果返回不同的值。
可以使用IF函数进行大小比较。
示例：=IF(A1>B1,"A大于B","A不大于B")在这个示例中，如果单元格A1的值大于单元格B1的值，则返回"A 大于B"；否则返回"A不大于B"。
2.MAX函数和MIN函数：MAX函数返回一组值中的最大值，MIN函数返回一组值中的最小值。
示例：=MAX(A1:A5)在这个示例中，MAX函数将返回A1到A5中的最大值。
3.COUNTIF函数：COUNTIF函数计算一组单元格中满足指定条件的单元格的个数。
示例：=COUNTIF(A1:A5,">10")在这个示例中，COUNTIF函数将计算A1到A5中大于10的单元格的个数。
4.AVERAGE函数：AVERAGE函数计算一组值的平均值。
示例：=AVERAGE(A1:A5)在这个示例中，AVERAGE函数将计算A1到A5的平均值。
5.SUM函数：SUM函数计算一组值的总和。
示例：=SUM(A1:A5)在这个示例中，SUM函数将计算A1到A5的总和。
6.VLOOKUP函数：VLOOKUP函数根据一个值在查找表中查找对应的值。
示例：=VLOOKUP(A1, lookupTable, 2, FALSE)在这个示例中，VLOOKUP函数将在名为lookupTable的查找表中查找A1的值，并返回对应的第2列的值。
这些公式可以根据具体的需求进行修改和组合，以满足不同的大小比较需求。
使用这些公式可以简化在Excel中进行大小比较的过程，提高工作效率。
一网打尽指对幂等函数值比较大小问题 (9大核心考点)课件-2024年高考数学二轮复习(新教材新高考)
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
=++
!
+ ⋯+
② = −
!
+ !
③ = −
!
!
+
!
+
− ⋯+
−
!
+
(+)!
+
(−) (+)! +
B． < <
C． < <
D．b < c < a
【答案】D
【解析】因为 =
9
8
3
4
1
2
=
9
16
1
4
> 0， =
2
3
3
4
=
8
27
1
1
4
又因为 = 在 0, +∞ 上单调递增，所以
1
1
>
1 4
16
=
1，即
2
1
4
2
>
1
1
> > 2，
9
16
1
4
>
1
上单调递增，所以ln 3 < lne2，即 = ln1.5 < 2，
1
1
1
1
B．e > 1+ ( < 0)
A．ln 1 + >
( > 0)
高三数学专项训练函数值的大小比较含答案
高三数学专项训练：函数值的大小比较一、选择题1．设112450.5,0.9,log 0.3a b c，则c b a ,,的大小关系是（）. A. bca B. bacC. c b aD. ca b2．设则()A ．B ．C ．D ．3．设a b c ，，分别是方程11222112=log ,()log ,()log ,22xxxx x x 的实数根, 则有（）A.a b c B.c b a C.b a c D.ca b4．若13(1)ln 2ln ln xe ax bx c x ，，，，，则（）A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a5．设a=54log ，b= (53log )2，c=45log ，则( )A. a<c<bB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c6．设0.220.20.2log 2,log 3,2,0.2ab cd，则这四个数的大小关系是（）A.a b cd B.dca b C.ba cd D.ba d c7．下列大小关系正确的是()A. 3log 34.044.03B. 4.03434.03log C.4.04333log 4.0 D.34.044.033log 8．设0.33log 3,2,log sin 6a b c，则（）A 、a bcB 、cabC 、ba c D 、bc a9．若)1,0(x，则下列结论正确的是（）A ．xx x2lg 21B ．21lg 2x xxC ．xxxlg 221D ．xx xlg 22110．若0mn ，则下列结论正确的是（）A ．22mnB ．1122mnC ．22log log m nD ．1122log log mn2lg ,(lg ),lg ,ae be ce a bcacbca b c b a11．a b ，满足01a b，下列不等式中正确的是（）A ．abaaB ．abbbC ．aaab D ．bbba12．三个数231.0a ，31.0log 2b，31.02c 之间的大小关系为（）A ．a cb B ．a bcC ．ba cD ．bc a13．已知实数4log 5a,01(),2b0.3log 0.4c ，则,,a b c 的大小关系为()A ．b c aB ．b a cC ．cab D ．cba14．实数0.2220.2,log 0.2,2a bc 的大小关系正确的是A.a c bB.a b cC.b acD.bca15．设，则的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．16．三个数，，的大小顺序是（）A. B.C ．D ．17．已知10.20.7321.5, 1.3,()3a b c ,则,,a b c 的大小为( )A.c a bB.c b aC.abcD.acb18．设 1.50.90.4812314,8,2y y y ，则（）A 、312y y y B 、213y y y C 、123y y y D 、132y y y 19．已知0ba ，则3,3,4aba的大小关系是（）A ．334abaB ．343baaC ．334baaD ．343aab20．已知，，，则，，的大小关系为3.0log ,3.0,2223.0cbac b a ,,c b a c a b bacabc7.0667.06log 7.07.07.0666log 7.06log 67.07.07.0667.07.07.066log 7.067.067.06log 30.3a 0.33b0.3log 3ca b cA ．B ．C ．D ．21．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（）A ．bba a )1()1(1B ．bab a )1()1(C ．2)1()1(bba a D ．bab a )1()1(22．设1,01,x y a 则下列关系正确的是：（）A.aayxB. ayax C. yxaaD.yx a a log log 23．设，那么（）A ．B ．C ．D ．24．已知0.30.2a ，0.2log 3b，0.2log 4c ，则（）A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a 25．设0.53a ，3log 2b，2cos c ，则（）A.c b a B.c ab C ．ab cD.bc a26．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足()f x ＞f （x ），则（）A ．f （2）＜2e f （0）B ．f （2）≤2e f （0）C ．f （2）＝2e f （0）D ．f （2）＞2e f （0）27．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有A . B. C. D. 28．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e ，则有()A ．(2)(3)(0)f f gB ．(0)(3)(2)g f fC ．(2)(0)(3)f g f D ．(0)(2)(3)g f f abc cab bac cba111()()1555baabab a a aabb aa baa abaaababax f 1x 1x 13xxf 322331fff312332f ff233132f f f 313223ff f29．设9log ,6log ,3log 842cba ，则cb a ,,的大小关系是.30．设，则的大小关系为52535252,52,53cbacb a ,,高三数学专项训练：函数值的大小比较参考答案1．D 【解析】试题分析：11110.3244450.50.25,0.90.250,log0a bc ，故选 D.考点：指数函数和对数函数的性质.2．B 【解析】试题分析：由21lg 0e可知e eelg lg 21lg 2，即.考点：本小题主要考查对数的基本运算.3．A 【解析】试题分析：由指数函数2xy，12xy与对数函数2log yx ，12log yx 的图象可得，故选A ．考点：指数函数、对数函数的图像和方程4．C 【解析】试题分析：因为1(1)x e ，，所以1ln 0a x ，而l n 0b a x ，故ba ，又2l n (l n 1)c a x x ，而2ln 1x，故2ln (ln 1)0,c ax x c a ，综上，b ac ，选 C.考点：对数函数. 5．D 【解析】试题分析：由对数函数的性质可知，当底数1a时，函数log 0a yx x 是单调增函数,∴550log 3log 41且451log ，∴2554log 3log 4log 5，即bac .考点：对数函数的单调性及应用.6．Ｄ．【解析】试题分析：0.2log yx 是0,上的减函数，0b a ，又0.22221,00.21,c d b a d c ．acb abc考点：指数函数、对数函数及幂函数单调性的应用．7．C. 【解析】试题分析：因为0.4331，310.40.0642,4441log 2log 3log 412,所以0.4343log 30.4，选C.考点：对数式与指数式比较大小.8．C 【解析】试题分析：0.330log 31,21,log sin06ab c,所以ba c .考点：比较数的大小.9．D 【解析】试题分析：当(0,1)x时：122(1,2),(0,1),lg (,0)xxx ，所以x x xlg 221.考点：指数函数、对数函数、幂函数图象及其性质（单调性）.10．D 【解析】试题分析：指数函数、对数函数的底数大于0 时，函数为增函数，反之，为减函数，而0mn ，所以1122log log mn ，选 D.考点：本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的性质。
函数值的大小比较
函数值的大小比较 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法：1、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。
2、利用函数的增减性：当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。
3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。
）（1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。
当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2【推理：由x 2-(a b 2-)＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞ab -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2-)＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜ab -，得221x x +＜ab 2-，即x 1离对称轴距离较远.】 （2）当抛物线开口向下时（即a ＜0时），离对称轴距离越远，函数值越小，反之越大。
当抛物线开口向下与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2，推理同（1）4、图象法：结合具体图象，利用y 轴“上大下小”的特点比较具体各点的函数值的大小。
（第一、二象限的函数值总是大于第三、四象限的函数值）5、移点法：利用抛物线的对称性将各点转化到对称轴的同一侧，再利用函数的增减性比较大小。
二、反比例函数的大小比较方法由于反比例函数图象为双曲线，所以比较大小时，首先应注意利用k 值弄清各点所处的象限。
比较二次函数值的大小
比较二次函数值的大小作者：薛秋萍来源：《初中生世界·九年级》2016年第11期二次函数值的比较大小类试题一直是中考热点问题.这类问题一方面凸显了对二次函数的图像性质的基本知识、核心知识的考查，另一方面体现了对数形结合、分类讨论等重要思想方法的考查.【引例】已知点A（2，y1），B（-1，y2）在抛物线y=（x-1）2+1上，则比较y1，y2的大小关系 .【常规思路】从代数的角度，我们可以根据二次函数图像上点的坐标特征，将A（2，y1），B（-1，y2）代入二次函数分别计算出y1，y2的值，然后再比较它们的大小；从函数的角度，我们可以先利用二次函数的对称性，将对称轴异侧两点A（2，y1），B（-1，y2）转化到对称轴的同一侧两点A（2，y1），B′（3，y2），再根据二次函数的增减性比较大小.【题后反思】从解题中我们发现代数法的本质即利用图像上点的坐标特征把二次函数值的比较大小转化为代数式值的比较大小.而函数法的本质即结合二次函数的图像，利用函数增减性把二次函数值的比较大小转化为比较A、B两点到对称轴距离的远近.代数法是顺其自然的解答，函数法是数形结合的方法，直观简单.这两种方法时刻贯穿于我们二次函数的值比较大小的问题中，如何准确熟练使用好这两种方法呢？下面我们一起看三个例题分析.【应用实例】例1 二次函数y=mx2-2mx+m2+1（m【思路分析】顺其自然我们会想到代数法，利用代入法算出y1=m2+1，y2=m2+3m+1，然后利用作差法得出y1-y2=-3m>0即y1>y2.由于函数法取决于开口方向与对称轴，只有找出“隐形”对称轴x=1，进一步判断出A点到对称轴的距离比B点到对称轴距离要近，再根据开口向下，离对称轴越近函数值越大进而得出y1>y2.【题后反思】一般情况下，若点的横坐标已知，我们易用代数法解决问题；若对称轴以及开口方向显然可知，用函数法相对比较简单.例2 已知抛物线y=（x-3）2+2经过点A（m，y1），B（n，y2），且[m-3]【思路分析】此题中非常清晰可知二次函数的对称轴与开口方向，函数法应该优先考虑.再根据[m-3]【题后反思】用函数法处理问题时我们仅需关注二次函数的对称轴与开口方向以及已知点与对称轴的距离的远近，与已知点在对称轴的同侧还是异侧关系不大。
2013-2014学年度北京高三寒假冲刺练习(1)(1) 2
2013-2014学年度北京高三寒假冲刺练习（1）考试时间：120分钟；命题人：宋老师分卷I一、单选题(每题5分)，若，则实数的取值范围为（） A ． B ．C ．D ．2、等边三角形的边长为，，，，那么等于（ ）A． B ．C ．D ．3、已知函数则，，的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．4、执行右边的程序框图，如果输入，那么输出的的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65、设、是不同的直线，、是不同的平面，则下列命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36、若实数满足不等式组为常数），且的最大值为12，则实数（）A．B．C．D．7、已知等差数列的公差，前项和满足：，那么数列中最大的值是（）A．B．C．D．8、若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（）A．B．C．3 D．分卷II二、填空题(每题5分)与直线互相平行，则=______________．10、某公司有职员150人，中级管理人员40人，高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，则高级管理人员应抽取人.11、设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_ _________m3．12、曲线（其中）在处的切线方程为．13、已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为．14、已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题：①数列具有性质；②数列具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列具有性质，则.其中真命题有．三、解答题(共80分)15、已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）当时，求的最大值．16、一个袋中装有10个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个.(1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．17、如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知.（1）设是上的一点，证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18、已知函数.(1)若是函数的极值点,求的值；(2)求函数的单调区间.19、已知圆，圆，动圆与已知两圆都外切.（1）求动圆的圆心的轨迹的方程；（2）直线与点的轨迹交于不同的两点、，的中垂线与轴交于点，求点的纵坐标的取值范围.20、已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.⑴求证：数列是等差数列；⑵设，求证：；⑶设，，求.2013-2014学年度北京高三寒假冲刺练习（1）考试时间：120分钟；命题人：宋老师注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I一、单选题(每题5分)，若，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D．【答案】C【解析】试题分析：由得：因为所以考点：1、集合的运算；2、一元二次不等式的解法2、等边三角形的边长为，，，，那么等于（）A ．B．C ．D．【答案】D【解析】试题分析：由题意知，同理可得，所以，故选D.考点：平面向量的数量积3、已知函数则，，的大小关系为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：由知函数为偶函数，当时，知函数在上单调递增，由知以，即.故选A.考点：1.函数值大小的比较；2.函数的单调性；3.函数的奇偶性.4、执行右边的程序框图，如果输入，那么输出的的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】试题分析：由程序框图可知每次循环的结果如下：第一步得：第二步得：；第三步得：.时，，故输出考点：程序框图5、设、是不同的直线，、是不同的平面，则下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】试题分析：对①：，有可能；对②：时，，为的斜线都有可能；对③：时，有可能；对④显然成立.所以选B考点：空间直线与直线、平面与平面的平行垂直关系的性质与判定6、若实数满足不等式组为常数），且的最大值为12，则实数（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：作出不等式组为常数）表示的区域如图所示：由得代入得：考点：线性规划7、已知等差数列的公差，前项和满足：，那么数列中最大的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：设，得，，得，所以，故为最大值，选B.考点：等差数列通项公式及前n项和.8、若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（）A．B．C．3 D．【答案】A【解析】试题分析：圆，化为标准形式，圆心，半径，因为直线被圆截得弦长等于直径，所以直线过圆心，所以得，即，于是，选A.考点：直线与圆的位置关系、基本不等式.分卷II评卷人得分二、填空题(每题5分)与直线互相平行，则=______________．【答案】【解析】试题分析：当时，与不平行；当时，.考点：直线平行条件.10、某公司有职员150人，中级管理人员40人，高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，则高级管理人员应抽取人.【答案】2.【解析】试题分析：抽取比例为，高级管理人员应抽取人.考点：分层抽样.11、设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_ _________m3．【答案】【解析】试题分析：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，它的体积等于，故答案为：4考点：三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力.12、曲线（其中）在处的切线方程为．【答案】【解析】试题分析：函数的导数是，当时，即切点为，当时，即切线的斜率为，所以所求切线的方程为即.考点：导数的几何意义、切线的方程.13、已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为．【答案】2．【解析】试题分析：由题意易知圆的圆心，由直线的参数方程化为一般方程为，所以圆心到直线的距离为．考点：直线的参数方程及点到直线的距离公式．14、已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题：①数列具有性质；②数列具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列具有性质，则.其中真命题有．【答案】②③④【解析】试题分析：①数列不具有性质，因为都不是该数列中的数，故①不正确；②数列具有性质，因为与两数中至少有一个是该数列中的一项；③若数列具有性质，对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项，选择和，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，因为，很明显不是该数列中的项，所以0是该数列中的项，则只能，故③正确；④若数列具有性质，所以与至少有一项是该数列中的一项，且，若是该数列中的一项，则，易知（）不是该数列的项,所以（若，则，这与；若，则），所以.若是该数列中的项，则或或,若，则矛盾;若，则，与矛盾;若同（1）,综上，故④正确.考点：1.数列的概念；2.分类讨论思想.评卷人得分三、解答题(共80<br />)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）当时，求的最大值．【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）+1.【解析】试题分析：将函数化简为形式，（1）周期公式为；（2）将当成一个整体，由的范围求出的范围，进而根据的图像判断最大值.试题解析： 1分2分3分4分5分（Ⅰ）的最小正周期 7分（Ⅱ）∵，∴ 8分∴当，即时，取得最大值 10分且最大值为 12分考点：二倍角公式，降次公式，三角函数的图像和性质.16、一个袋中装有10个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个.(1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）古典概型，“至少得到一个白球”分为“恰好1个白球”和“两个都是白球”两类，也可以先求它的对立事件“两个都不是白球的概率”；(2)先考虑所有可能的取值，再求出各个取值的概率，最后求出的数学期望.试题解析：（1）解:记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件，则． 3分(2)随机变量的取值为0,1,2,3， 4分由于 6分， 8分， 10分， 12分的分布列是0 1 2 3的数学期望. 13分考点：离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的数学期望.17、如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知.（1）设是上的一点，证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见试题解析；（2）二面角的余弦值为.【解析】试题分析：（1）由勾股定理得：。
二次函数值大小比较 对称轴
二次函数值大小比较对称轴二次函数是一种常见的数学函数形式，可以用公式y=ax^2+bx+c 表示，其中a、b、c是常数，且a不等于零。
二次函数图像通常是一个U形的曲线，也称为抛物线。
在这篇文章中，我们将探讨以下几个方面：1.二次函数值大小比较2.对称轴一、二次函数值大小比较在比较两个二次函数的值的大小时，我们可以通过观察二次函数的系数a的正负来判断。
1.当a大于0时，代表抛物线开口朝上。
因此，二次函数的值随着自变量增大而增大，值随着自变量减小而减小。
换句话说，函数的最小值出现在对称轴的上方。
例如，对于函数f(x) = 2x^2+3x+1，当x>0时，f(x)值逐渐增大；当x<0时，f(x)值逐渐减小。
2.当a小于0时，代表抛物线开口朝下。
因此，二次函数的值随着自变量增大而减小，值随着自变量减小而增大。
换句话说，函数的最大值出现在对称轴的上方。
例如，对于函数g(x) = -2x^2-3x+1，当x>0时，g(x)值逐渐减小；当x<0时，g(x)值逐渐增大。
二、对称轴对称轴是二次函数图像的一条直线，具有对称性质。
对称轴可以通过计算公式中x的值来确定。
1.对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，对称轴的x坐标可以通过公式x=-b/(2a)计算得到。
例如，对于函数h(x) = 2x^2+4x-3，对称轴的x坐标为x=-4/(2*2)=-1。
这意味着对称轴与y轴的交点为(-1, 0)，抛物线在该点上下对称。
2.当二次函数通过顶点时，可以简化计算对称轴的方法。
顶点的x 坐标即为对称轴的x坐标。
例如，对于上述的函数f(x) = 2x^2+3x+1，顶点的x坐标为(-b/2a)=-3/4，因此对称轴的x坐标也是-3/4。
另外，二次函数的对称轴还具有以下几个性质：1.对称轴将抛物线分为两个对称的部分，左侧和右侧。
这意味着对称轴有助于我们了解函数的对称性质和图像的形状。
2.对称轴上的点是抛物线上最高点（当a<0）或最低点（当a>0）。
比较两函数大小的方法
比较两函数大小的方法
比较两个函数的大小有以下几种方法：
1.比较两个函数在同一自变量区间上的函数值大小。
对于给定的自变量x，分别计算两个函数f(x)和g(x)的值，并比较它们的大小。
2.比较两个函数的导数大小。
若对于自变量x在某个区间上，函数
f(x)的导数大于函数g(x)的导数，则认为函数f(x)在这个区间上大于函数g(x)。
3.比较两个函数的二阶导数大小。
若对于自变量x在某个区间上，函数f(x)的二阶导数大于函数g(x)的二阶导数，则认为函数f(x)在这个区间上大于函数g(x)。
4.比较两个函数的泰勒展开式的截断误差大小。
若对于自变量x在某个区间上，函数f(x)的泰勒展开式的截断误差小于函数g(x)的泰勒展开式的截断误差，则认为函数f(x)在这个区间上大于函数g(x)。
以上几种方法有其各自的特点和应用范围，要根据具体情况选择合适的方法进行比较。
函数值大小比较泰勒
函数值大小比较泰勒我们来了解一下泰勒级数的定义。
泰勒级数是一种将一个函数表示为无穷级数的方法，通过无穷项的相加，来逼近一个复杂函数在某个点的近似值。
泰勒级数的一般形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)表示要近似的函数，a表示近似点，f'(a)表示函数在a点的导数，f''(a)表示函数在a点的二阶导数，以此类推。
泰勒级数的应用非常广泛。
在数学领域，泰勒级数可用于计算函数的导数和积分，求解微分方程，以及近似计算无法直接求解的函数值等。
在物理学中，泰勒级数可用于描述物理现象的变化规律，如牛顿运动定律、电磁场的分布等。
在工程领域，泰勒级数可用于设计控制系统、优化算法和信号处理等方面。
泰勒级数的重要性不言而喻。
通过泰勒级数，我们可以将复杂的函数近似为简单的多项式形式，从而简化计算过程。
在实际应用中，我们往往无法直接求解复杂函数的值，但通过泰勒级数的近似计算，可以得到足够精确的结果。
泰勒级数的应用不仅提高了计算的效率，也为解决实际问题提供了有效的数学工具。
在物理学中，泰勒级数的应用尤为重要。
物理学研究的对象往往是复杂的物理系统，如天体运动、电磁场分布等。
这些物理系统往往难以直接求解，但通过泰勒级数的近似计算，我们可以得到足够精确的结果。
例如，牛顿运动定律可以通过泰勒级数展开来描述物体的运动规律。
通过将物体的位置、速度和加速度表示为泰勒级数的形式，我们可以精确地计算物体在任意时刻的位置和速度。
在工程领域，泰勒级数的应用也十分广泛。
例如，在控制系统设计中，我们常常需要近似计算系统的输出响应。
通过将系统的传递函数表示为泰勒级数的形式，我们可以得到系统的高阶近似模型，从而设计出满足要求的控制器。
此外，在优化算法和信号处理中，泰勒级数也被广泛应用。
用界线法分析两个函数值的大小问题
用界线法分析两个函数值的大小问题杨建明界线就是经过两个函数图象上的某一个公共点的一条特殊直线，这条直线将函数的图象分成左右两部分，而左右两部分两个函数的图象所表现出来的性质是不同的，或对于自变量的任意值，两个函数值的大小是不一样的。
有时一个函数的图象也存在界线，例如，二次函数图象的对称轴就是该图象的界线，因为在对称轴的左右两侧，函数的性质是不同的，又如，反比例函数的图象，其界线就是y 轴。
用界线法分析两个函数值的大小问题，关键是要正确地作出界线（有时坐标轴也是两个函数图象的界线），然后分左右两部分考虑要解决的问题。
下面举例说明用界线法分析两个函数值的大小问题。
一、画一条界线来分析的问题例1 （2005年河北中考题）在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y （厘米）与燃烧时间x （小时）之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是___________，从点燃到燃尽所用的时间分别是___________。
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式。
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？简析：（1）本小题主要考查考生的图象观察能力，前一答案考虑x ＝0时情况，分别为30cm 和25cm ，后一答案考虑y ＝0时的情况，分别为2小时和2.5小时。
（2）本小题主要考查考生利用待定系数法求函数的解析式，但所用的点都是特殊的点——图象与坐标轴的交点，答案分别为甲：y ＝－1.5x ＋30（0≤x ≤2）；乙：y ＝－10x ＋25（0≤x ≤2.5）（3）本小题重点考查考生图象的观察能力，即考查考生两个函数值大小的比较能力。
对于一些优秀生解决本小题没有什么问题，但对于一般考生来说，特别是图象观察能力弱的考生，如果没有正确方法的指导，可能会带来一定的困难，特别是两支蜡烛长度不一样时长度的比较。
偶函数比大小带绝对值
偶函数比大小带绝对值
1、比较偶函数的大小：
(1) 当 x>0 时，若函数 f(x) 与 g(x) 无法确定大小关系时，可以将函数转换成绝对值函数来比较大小，即可以比较 f(x) 与 | g(x)| 的大小，其中 | g(x)| 代表函数 g(x) 的绝对值函数。
(2) 当x<0时，f(x)与g(x)也可以通过比较 | f(x)| 与 | g(x)| 的大小来判断它们之间的大小关系。
(3)如果实际应用中函数 f(x)、g(x) 均为偶函数，那么无论在 x > 0 或 x < 0 时，都可以用它们一次导数的正负来判断 f(x) 与 g(x) 之间的大小关系，如果 f'(x) > 0 且 g'(x) < 0 时，则可以认为 f(x) > g(x)，即可判断 f(x) 大于 g(x)。
2、如何检验两个函数是否是偶函数：
(1) 定义域是否对称：如果函数的实际应用定义域是 x 与 -x 对称的，则可以认为该函数是偶函数；
(2) 关于 y 轴的对称：设该函数是 y=f(x)，若满足 f(-x)=f(x)，则两个函数是偶函数；
(3) 关于原点的对称：如果函数满足 f(x+a)=f(x-a)，则可以认为是偶函数；
(4) 对于泰勒展开式：如果函数的泰勒展开式中，各项系数都为偶数，则可以认为是偶函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数值大小的比较 例题、习题 投影
1.判断函数值大小的步骤： 2.思想方法：
第4页 共4页
教学基本信息 课题 授课时间 设计者 教学目标 知识与技能 ☆会求一次函数与反比例函数的交点，明确判断一次函数值与反比例函数值大小的方法. 过程与方法 ☆通过探究，归纳比较一次函数值与反比例函数值大小的步骤. 情感态度与价值观 ☆从实际出发，努力激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性和主动性教会学生学习， 教会学生思考，合作探索寻求解决途径. 教学重、难点 教学重点： ☆ 判断一次函数值与反比例函数值大小的方法 教学难点： ☆三线四区方法的运用 教学方法：启发式、讨论式 教学设备：多媒体、学案 教学设计思路 函数是初中数学的重点与难点之一，在对函数进行初步认识的基础上，借助一次函数及二 次函数经验和方法，较为系统地研究反比例函数的模型、图象、性质及应用的.随着学习的不断 深入，函数把前面所学的方程、不等式等知识有机结合起来，是整个初中代数知识的“桥梁”. 函数值的大小比较问题是初中函数学习中的一项重要内容，特别是将两类函数同时作比较，它 与函数的图象及性质有机地结合在一起，也是近几年中考的热门试题之一，运用数形结合思想 将数量关系直观化，形象化，这类问题便可迎刃而解.同时，这样的思想在后面的代综问题问题 中也是屡见不鲜. 与此同时，在教学上学校一直主张深度教学，深度学习是学生主动的、有意义的、自主参 与学习的过程.其特征体现在联想与结构、活动与体验、本质与变式、迁移与应用等方面.从深度
3 数 y= . x
教师设计几个问题，让学生作答.
活动二：以上我们归纳了如何两个函数交 点的方法，同时我们了解了交点的意义是 相同自变量所对应的的函数值相等，那么 函数值不等的情况又会怎么样呢？完成 学案第 1 页第 2 题. 复习 引入
教师提问： 1. 通过上面的问题，你认为判断函数值 大小的步骤有哪些？ 2. 用到什么思想方法？ 3.
师生共同小结归 纳.
及时总结提炼思想方法， 为本节课的学习做好铺 垫
第2页 共4页
活动三： 例 1.如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线 y1
先让学生独立思
从例 1 到例 2 都是围绕着
考几分钟， 然后分 函 数 值 比 较 大 小 问 题 展 m 与直线 y2 kx b 交于点 x 组讨论， 学生代表 开讨论的：例 1 是在不知 交流讨论结果， 教 师点评板书. 道解析式的情况下，探究 一次函数值大于反比例 函数值时，自变量应满足 的范围；例 2 是开篇限制 了反比例函数的自变量 取值范围 . 通过这两道题 目的分析讨论判断函数 师生小结归纳本 题 值大小的主要方法（ . 三线 四区法） .通过探究引领学 生逐步走向深入，使学生 的思维水平逐步由形象
第1页 共4页
函数值大小的比较 2016.3.14 姓名 姜雪 教学设计 授课班级 初三五班（135C） 单位 北京市北外附属外国语学校
教学的某种意义上来说，本节课本着从本质出发，由性质入手，变式演练，使学生主动参与和 体验，加深学生对于解决一次函数与反比例函数结合类问题的能力，利于培养学生的探索能力 及归纳能力，有助于掌握判断函数值大小的思路和方法，提升中考中新定义的图象综合题解决 能力，紧紧跟随新课改的教学步伐. 教学过程 教学 环节 教师活动 活动一：已知一次函数 y=x-2 与反比例函 学生活动 学生作答. 设计意图 带领学生回顾一次函数 与反比例函数的交点问 题，为后面比较函数值的 大小作比较.
y
B
活解决相关问题.
A
y2
k2 x
O
x
y内容，明确核 学生进行方法小 总结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 结，教师总结. 区法判断函数值大小的 解题策略. 课 后 作 业 课题 板书 设计 心知识——利用三线四
完成学案上习题.
巩固本节课所学内容
学生独立思考， 教 师请学生阐述本 例 2. 一次函数 y k1 x 4 的图象与反比 题的解题思路并 做点评， 学生在学
k 例 函 数 y 2 (x 0) 的 图 象 交 于 A 案上完成解题过 x
（1,3） ，B（3,a）. （1） 求 k1 的值及点 B 的坐标； （2） 观察图象，试比较当 x 0 时，
A（3，1）和点 B，且直线与 y 轴交于点 C （0，-2） ． （1） 求直线和双曲线的解析式； （2） 写出 y1 y2 时， x 的值； （3） 写出 y1 y2 时， x 的取值范围.
综合 探究
思维向抽象思维过渡，从 讨论要点： 1. 你认为求解析式的目的是什么？ 2. 解决此类问题的方法是什么？ 而促进学生对判断函数 值大小的本质认识.
程 . 总结归纳例 1 与例 2 的区别， 并 投影学生解题过 程.
y1与y2 的大小.
第3页 共4页
1. 如图，函数 y1 x 3 的图象与函
k2 学生作答 （x 0） 的图象交于点 A （a， x 1） 、B（1， b ）两点.
数 y2 （1）求函数 y2 的表达式； （ 2 ） y1 上存在一点 C， y2 上存在一点 D,观察图象，当 x 满足什么条件是，点 C 课堂 检测 始终在点 D 的上方． 运用本节课所学解决相 关问题，检测学生是否能 运用本节课思想方法灵