学案7.1复数的概念(同步培优)

专题7.1 复数的概念知识储备1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ .能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．（2020·山东高三期中）复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故31x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以z i =，其对应的点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限，故选：B. 2．（2020·湖南师大附中高三月考）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ）AB．C ．2 D ．8【答案】B【解析】由图象可知1z i =，22z i =-，则1222z z i -=-+，故12|22|z z i -=-+==故选:B .3．（2020·上海高三）设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠， 则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =，故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件，故选：B .4．（2020·全国高三专题练习（文））已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<<D ．21a -<<【答案】A【解析】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->， 所以2a >或1a <-.故选：A5．（2020·重庆巴蜀中学高三月考）复数z 满足|1|1z -=，则z 的最大值为（ ）A ．1 BC D ．2【答案】D【解析】由复数的几何意义知，|1|1z -=即复数z 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆上的点，而||z 表示复数z 表示的动点与原点之间的距离，结合图象，易见||z 的最大值为2， 故选：D.6．（2020·西藏昌都市第一高级中学高三期中（理））设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．7．（2020·江苏省如皋中学高三月考）对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．1⎤⎦C ．2⎤⎦D ．1⎤⎦【答案】A【解析】满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是4i ，半径为2，1z -表示点Z 到1对应的点的距离，又14i -=∴12]z -∈，故选：A ．8．（2020·天津南开区·高三期中）已知i 为虚数单位，复数77sin cos 66z i ππ=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由717sinsin()sin ,cos cos()cos 66626662ππππππππ=+=-=-=+=-=-即复数771sincos 662z i ππ=-=-，所以复数对应的点为1(2-位于第二象限.故选：B 二、多选题9．（2020·全国高一课时练习）已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ） A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为2【答案】ACD【解析】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确； 复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确；易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可=，故D 正确.故选：ACD 10．（2020·山东日照市·高一期末）已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 【答案】BC 【解析】因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误； 当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确.故选：BC11．（2020·江苏泰州市·高二期末）已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =- D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】BCD【解析】因为复数1z i =+， 所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD. 12．（2020·江苏宿迁市·高二期中）已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z = C ．若12z z >则12z z > D ．若12z z >，则12z z >【答案】BCD【解析】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD. 三、填空题13．（2020·上海黄浦区·格致中学高三期中）已知复数z a =+（a R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且2z =，则复数z =_________.【答案】1-+【解析】因为z a =+，所以2z ==，解得1a =±.又因为z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，所以1a =-.所以1z =-+.故答案为：1-14．（2020·陕西宝鸡市·高三月考（理））复数 z 在复平面内对应的点在第四象限，1z =，且 1z z +=，则z =____________.【答案】122- 【解析】设()0,0z a bi a b =+><，依题意1z =，1z z +=，即22121a b a bi a bi a ⎧+=⎨++-==⎩，解得122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以122z =-.故答案为：12-. 15．（2020·宁夏石嘴山市第一中学高三期中）设i 为虚数单位，若复数228()()2z m m m i ++=--是纯虚数，则实数m =_________． 【答案】4-【解析】由题意，复数228()()2z m m m i ++=--是纯虚数，则满足228020m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得4m =-.故答案为：4-.四、双空题16．（2020·浙江台州市·高二期中）已知复数()()22lg 223z m m m m i =-++-若复数z 是实数，则实数m =________；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________. 【答案】3-21m <<【解析】z 为实数，则2230m m +-=，解得1m =或3-，又220m m ->，所以3m =-．z 对应点在第二象限，则22lg(2)0230m m m m ⎧-<⎨+->⎩，解得21m <<．故答案为：3-；21m <<+．。