学案7.1复数的概念(同步培优)

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专题7.1 复数的概念

知识储备

1.复数的有关概念

2.复数的几何意义

复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的,即 (1)复数z =a +b i

复平面内的点Z (a ,b )(a ,b ∈R ).

(2)复数z =a +b i(a ,b ∈R )

平面向量OZ .

能力检测

注意事项:

本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置. 一、单选题

1.(2020·山东高三期中)复数z 满足22z z i +=,则z 在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

【答案】B

【解析】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈, 由22z z i +=

得222x yi i +=,

所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩

,解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩

因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩

时,不能满足20x =,舍去;

故31x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩

,所以z i =

,其对应的点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限,故选:B. 2.(2020·湖南师大附中高三月考)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A ,B 对应的复数分别是1z ,2z ,则12z z -=( )

A

B

.C .2 D .8

【答案】B

【解析】由图象可知1z i =,2

2z i =-,则1222z z i -=-+,

故12|22|z z i -=-+==故选:B .

3.(2020·上海高三)设复数i z a b =+(其中a b R ∈、,i 为虚数单位),则“0a =”是“z 为纯虚数”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】若复数i z a b =+是纯虚数,则0a =,0b ≠, 则0a =不能证得z 为纯虚数,z 为纯虚数可以证得0a =,

故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件,故选:B .

4.(2020·全国高三专题练习(文))已知,a b ∈R ,若2

()2a b a b i -+->(i 为虚数单位),则a

的取值范围是( ) A .2a >或1a <- B .1a >或2a <- C .12a -<<

D .21a -<<

【答案】A

【解析】因为,a b ∈R ,2

()2a b a b i -+->,所以a b =,220a a -->, 所以2a >或1a <-.故选:A

5.(2020·重庆巴蜀中学高三月考)复数z 满足|1|1z -=,则z 的最大值为( )

A .1 B

C D .2

【答案】D

【解析】由复数的几何意义知,|1|1z -=即复数z 是以(1,0)为圆心,半径为1的圆上的点,

而||z 表示复数z 表示的动点与原点之间的距离,结合图象,易见||z 的最大值为2, 故选:D.

6.(2020·西藏昌都市第一高级中学高三期中(理))设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈,它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上,且有1z =,则a b +=( ) A .-1 B .0

C .1

D .2

【答案】C

【解析】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上,∴0a =,又1z =,∴1b =, ∴1a b +=.故选:C .

7.(2020·江苏省如皋中学高三月考)对于给定的复数z ,若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是圆,则1z -的取值范围是( )

A .2⎤⎦

B .1⎤⎦

C .2⎤⎦

D .1⎤⎦

【答案】A

【解析】满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是圆,圆心对应的复数是4i ,半径为2,

1z -表示点Z 到1对应的点的距离,又14i -=

∴12]z -∈,故选:A .

8.(2020·天津南开区·高三期中)已知i 为虚数单位,复数77sin cos 66

z i ππ

=-,则z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

【答案】B

【解析】由717sin

sin()sin ,cos cos()cos 66626662

ππππππππ=+=-=-=+=-=-

即复数771sin

cos 662z i ππ=-=-,

所以复数对应的点为1(2-位于第二象限.故选:B 二、多选题

9.(2020·全国高一课时练习)已知复数012z i =+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为0P ,复数z 满足|1|||z z i -=-,下列结论正确的是( ) A .0P 点的坐标为(1,2)

B .复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称

C .复数z 对应的点Z 在一条直线上

D .0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为

2

【答案】ACD

【解析】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ,A 正确; 复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称,B 错误;

设(,)z x yi x y R =+∈,代入|1|||z z i -=-,得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-,即

=y x =;即Z 点在直线y x =上,C 正确;

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