学案7.1复数的概念(同步培优)

专题7.1 复数的概念

知识储备

1.复数的有关概念

2.复数的几何意义

复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i

复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).

(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )

平面向量OZ .

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题

1．（2020·山东高三期中）复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】B

【解析】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i +=

得222x yi i +=，

所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩

，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩

，

因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩

时，不能满足20x =，舍去；

故31x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩

，所以z i =

，其对应的点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限，故选：B. 2．（2020·湖南师大附中高三月考）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ）

A

B

．C ．2 D ．8

【答案】B

【解析】由图象可知1z i =，2

2z i =-，则1222z z i -=-+，

故12|22|z z i -=-+==故选:B .

3．（2020·上海高三）设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠， 则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =，

故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件，故选：B .

4．（2020·全国高三专题练习（文））已知,a b ∈R ，若2

()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a

的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<<

D ．21a -<<

【答案】A

【解析】因为,a b ∈R ，2

()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->， 所以2a >或1a <-.故选：A

5．（2020·重庆巴蜀中学高三月考）复数z 满足|1|1z -=，则z 的最大值为（ ）

A ．1 B

C D ．2

【答案】D

【解析】由复数的几何意义知，|1|1z -=即复数z 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆上的点，

而||z 表示复数z 表示的动点与原点之间的距离，结合图象，易见||z 的最大值为2， 故选：D.

6．（2020·西藏昌都市第一高级中学高三期中（理））设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ） A ．-1 B ．0

C ．1

D ．2

【答案】C

【解析】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．

7．（2020·江苏省如皋中学高三月考）对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是圆，则1z -的取值范围是（ ）

A ．2⎤⎦

B ．1⎤⎦

C ．2⎤⎦

D ．1⎤⎦

【答案】A

【解析】满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是4i ，半径为2，

1z -表示点Z 到1对应的点的距离，又14i -=

∴12]z -∈，故选：A ．

8．（2020·天津南开区·高三期中）已知i 为虚数单位，复数77sin cos 66

z i ππ

=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】B

【解析】由717sin

sin()sin ,cos cos()cos 66626662

ππππππππ=+=-=-=+=-=-

即复数771sin

cos 662z i ππ=-=-，

所以复数对应的点为1(2-位于第二象限.故选：B 二、多选题

9．（2020·全国高一课时练习）已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ） A ．0P 点的坐标为(1,2)

B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称

C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上

D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为

2

【答案】ACD

【解析】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确； 复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；

设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即

=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确；