最新衡水中学自用精品资料——直线与圆锥曲线的位置关系备考策略
直线和圆锥曲线的位置关系
聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。
具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。
与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。
纵观近几年高考和各类型考试，可以发现：1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。
2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。
3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。
灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。
热点透析题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题例1已知双曲线C:2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 .(*)(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知:当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；当k＞时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得:2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即k AB==2但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.[分析]第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“点差法”.易错点提醒:第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.技巧与方法:涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.热身训练1直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B。
最新衡水中学自用精品资料——直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系主标题：直线与圆锥曲线的位置关系副标题：为学生详细的分析直线与圆锥曲线的位置关系的高考考点、命题方向以及规律总结关键词：直线与圆锥曲线的位置关系，知识总结难度：5重要程度：5考点剖析：1.考查直线与圆锥曲线方程的联立，根与系数的关系，整体代入和设而不求的思想.2.通过研究直线与圆锥曲线的位置关系，考查圆锥曲线中的弦长、中点弦问题，最值与范围问题，定点与定值等问题.3.高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等知识在解决问题中的综合应用．命题方向：高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等知识在解决问题中的综合应用．知识梳理：一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx ＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．1．当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．2．当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．二、圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.规律总结：1.涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出k AB＝\f(y1－y2,x1－x2)和x1＋x2，y1＋y2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想.2.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：1 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；3 利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4 利用基本不等式求出参数的取值范围；5 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.。
直线与圆锥曲线的位置关系(精华版)
直线与圆锥曲线的位置关系
问题1 已知直线l 过定点 M ( 0，2) ，抛物线 C : y 2 = x ，直线l 与抛物线 C 何时有一个公共点? 两个公共点? 没有公共点?
变式 过点M( 0，2) 的直线l 与椭圆C ：14
22
=+y x 的两个交点在y 轴右侧，求直线l 的斜率k 的取值范围.
问题 2 ( 人教 A 版选修 2 －1 第62页B 组第4题）已知双曲线122
2
=-y x ，过点 P ( 1，1) 能否作一条直线l 与双曲线交于 A 、B 两点，使点 P 是线段 AB 的中点?
探究 假如存在这样的直线l ，你能求出这条直线吗？
问题3 斜率为1的直线l与抛物线y2 = x 交于A，B 两点，在y 轴上是否存在点M(0，m)，使得△MAB为正三角形? 如果存在，求出点M的坐标，如果不存在说明理由．
探究当△MAB为正三角形时，点M应满足哪些条件?。
高三数学直线与圆锥曲线的位置
【例2】已知直线 l : y tan(x 2) 交椭圆
x 2 9 y 2 9 于A、B两点，若为 l的倾斜角，且 AB 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。
【例3】已知抛物线 y 2 x 与直线 y k ( x 1)
相交于A、B两点
(1)求证：OA OB
(2)当 OAB的面积等于 10 时，求 k 的值。
4
2/3，e，4/3成等比数列.
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在直线 l，使 l 与椭圆交于不同的两点M、
N，且线段MN恰被直线x=
1 平分。若存在，求 2
l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
[思维点拔] 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。
三、课堂小结
(1)解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元 后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别 式，有时借助于图形的几何性质更为方便。
土堆似的脸和纯黑色弯月造型的眉毛，配着粉红色荷叶样的鼻子。有着暗灰色火锅似的眼睛，和亮橙色鳄鱼一般的耳朵，一张暗灰色领章一般的嘴唇，怪叫时露出紫红 色骷髅造型的牙齿，变态的紫葡萄色鲜笋一样的舌头很是恐怖，淡白色积木一样的下巴非常离奇。这巨鬼有着特像腰带造型的肩胛和极似铁链样的翅膀，这巨鬼矮小的 水白色螃蟹一样的胸脯闪着冷光，犹如海星样的屁股更让人猜想。这巨鬼有着很像火腿一般的腿和锅底色铁饼造型的爪子……胖胖的白象牙色金钩一样的九条尾巴极为 怪异，淡橙色镜子造型的锄头滢鳞肚子有种野蛮的霸气。水白色瓜秧样的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种粉红色绳头一样的气味，乱叫时会发出土灰色熊猫似的 声音。这个巨鬼头上米黄色野象样的犄角真的十分罕见，脖子上美如谷穗样的铃铛似乎有点风趣但又有些神气！蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大 的药瓶象肝仙！这个巨大的药瓶象肝仙，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分奇妙的象肝！这巨仙有着鲜红色悬胆似的身躯和深红色细小乌贼 般的皮毛，头上是橙白色陀螺一样的鬃毛，长着墨蓝色胶卷似的匕首蛇筋额头，前半身是淡红色茄子似的怪鳞，后半身是怪异的羽毛。这巨仙长着暗黄色胶卷模样的脑 袋和墨绿色鸭蛋似的脖子，有着鹅黄色南瓜样的脸和嫩黄色粉条模样的眉毛，配着葱绿色瓦刀一样的鼻子。有着银橙色臂章样的眼睛，和海蓝色菜板似的耳朵，一张银 橙色油渍似的嘴唇，怪叫时露出浅绿色地灯模样的牙齿，变态的淡红色汤勺般的舌头很是恐怖，深红色牙签般的下巴非常离奇。这巨仙有着很像廊柱模样的肩胛和酷似 螃蟹一样的翅膀，这巨仙变异的纯红色磨盘般的胸脯闪着冷光，特像粉条一样的屁股更让人猜想。这巨仙有着活像螺栓似的腿和春绿色冰块模样的爪子……轻飘的橙白 色奶酪般的五条尾巴极为怪异，天蓝色橘子模样的画册水梦肚子有种野蛮的霸气。纯红色鼓锤一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘息时有种葱绿色车灯般的气味，乱叫 时会发出亮黄色老鹰样的声音。这个巨仙头上暗橙色镜子一样的犄角真的十分罕见，脖子上犹如扫帚一样的铃铛的确绝对的酷野但又带着几分离奇！这时那伙校霸组成 的巨大长椅狠肠鬼忽然怪吼一声！只见长椅狠肠鬼转动美如谷穗样的铃铛，一嚎，一道深蓝色的奇影酷酷地从单薄的水白色瓜秧样的脚趾甲里面抖出！瞬间在巨长椅狠 肠鬼周身形成一片淡绿色的光云！紧接着巨大的长椅狠肠鬼最后长椅狠肠鬼颤动特像腰带造型的肩胛一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无边的人权恶浪……只见一望 无边的人权轰鸣翻
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳直线和圆锥曲线是几何学中常见的两种基本图形，它们的位置关系十分复杂。
在学习和研究数学问题时，了解它们的位置关系具有重要意义。
下面将总结归纳直线和圆锥曲线的位置关系。
一、直线与椭圆的位置关系1. 直线不经过椭圆：直线与椭圆没有交点，此时直线和椭圆之间没有任何位置关系。
2. 直线与椭圆相切于一点：直线与椭圆相切于一点，此时直线与椭圆的位置关系为切线。
3. 直线与椭圆相交于两点：直线与椭圆相交于两个点，此时直线与椭圆的位置关系是两个交点的连线。
4. 直线穿过椭圆：直线与椭圆相交于四个点，此时直线与椭圆的位置关系是四个交点的连线。
二、直线与双曲线的位置关系1. 直线不经过双曲线：直线与双曲线没有交点，此时直线和双曲线之间没有任何位置关系。
2. 直线与双曲线相切于一点：直线与双曲线相切于一点，此时直线与双曲线的位置关系为切线。
3. 直线与双曲线相交于两点：直线与双曲线相交于两个点，此时直线与双曲线的位置关系是两个交点的连线。
4. 直线穿过双曲线：直线与双曲线相交于四个点，此时直线与双曲线的位置关系是四个交点的连线。
三、直线与抛物线的位置关系1. 直线不经过抛物线：直线与抛物线没有交点，此时直线和抛物线之间没有任何位置关系。
2. 直线与抛物线相切于一点：直线与抛物线相切于一点，此时直线与抛物线的位置关系为切线。
3. 直线与抛物线相交于一个点：直线与抛物线相交于一个点，此时直线与抛物线的位置关系为交点。
4. 直线穿过抛物线：直线与抛物线相交于两个点，此时直线与抛物线的位置关系是两个交点的连线。
通过以上总结，我们可以看出，直线和圆锥曲线的位置关系与它们之间的交点有关，交点的个数和位置决定了它们的位置关系。
这对于学习和研究圆锥曲线成立方程、性质等问题非常有帮助。
高三数学第一轮复习：直线与圆锥曲线的位置关系知识精讲
高三数学第一轮复习：直线与圆锥曲线的位置关系【本讲主要内容】直线与圆锥曲线的位置关系直线与椭圆的位置关系、直线与双曲线的位置关系、直线与抛物线的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 直线与椭圆的位置关系：（1）位置关系： ⎧⎪⎨⎪⎩ 相交 （割线）相切 （切线） 相离（2）判定方法：将直线的方程与椭圆的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程。
若方程有两个不同解（0∆>），则直线与椭圆相交； 若方程有一个解（0∆=），则直线与椭圆相切； 若方程无解（0∆<），则直线与椭圆相离。
2. 直线与双曲线的位置关系： （1）位置关系：①相交：直线与双曲线有两个交点或有一个公共点（直线与渐近线平行）。
②相切：直线与双曲线有且只有一个公共点，且直线不平行于双曲线的渐近线。
③相离：直线与双曲线无公共点。
（2）判定方法：用直线的方程与双曲线的方程联立的方程组的解的个数描述直线与双曲线的位置关系如下：①方程有一组解⇔直线与双曲线相切或相交（一个公共点）；②方程组有二组解⇔直线与双曲线相交（两个交点交于一支或二支）； ③方程组无解⇔直线与双曲线相离。
3. 直线与抛物线的位置关系： （1）位置关系： ①相交：直线与抛物线交于两个不同点，或直线与抛物线的对称轴平行与抛物线交于一个点。
②相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，且直线不平行于抛物线的对称轴。
③相离：直线与抛物线无公共点。
（2）判定方法：把直线的方程与抛物线的方程联立起来得到一个方程组，于是 ①方程组有一组解⇔直线与抛物线相交或相切（一个公共点）； ②方程组有两组解⇔直线与抛物线相交（两个公共点）； ③方程组无解⇔直线与抛物线相离。
4. “设而不求”、韦达定理和弦长公式： （1）“设而不求”的方法：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A 和B ，一般地，首先设出交点坐标()()1122,,,A x y B x y ，其中有四个参数1122x y x y 、、、，它们的作用，只是过渡性符号，通常是不需要求出的，但有利于用韦达定理等解决问题，是直线与圆锥曲线关系中的常用方法。
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长/设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； （在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．。
题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________． ]课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________． `3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．!1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．,4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________． 、8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________．9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．￥12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2.(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．。
高考一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系
年级 高三 学科数学内容标题 直线与圆锥曲线的位置关系编稿老师胡居化一、学习目标：1. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及其简单应用.2. 掌握求弦长、中点弦、最值问题、范围问题、定值、定点问题的方法.3. 体会数与形结合、转化、化归、方程等数学思想的应用.二、重点、难点：重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判断及处理弦长、中点弦、最值问题、范围问题、定值定点问题的方法.难点：直线与圆锥曲线的综合应用.三、考点分析：新课标高考对直线与圆锥曲线的位置关系的考查主要为综合试题，难度大，主要体现在处理问题的方法、繁杂的计算上，考查知识点与方程、不等式、函数、平面向量等综合在一起.解决弦长、范围、最值等问题以考查学生利用数学知识解决问题的能力为主.一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断1. 直线与椭圆的位置关系：设直线L ：0=++C By Ax ，椭圆方程：)0(12222>>=+b a b y a x ，则由⎪⎩⎪⎨⎧>>=+=++)0(102222b a b y axC By Ax 消去y ：得02=++r nx mx ----------------------（*） 设方程（*）的判别式mr n 42-=∆（i ）若0>∆⇔方程（*）有两不等实根⇔直线L 与椭圆相交⇔直线与椭圆有两个不同的公共点.（ii ）若0=∆⇔方程（*）有两个相等的实根⇔直线L 与椭圆相切⇔直线与椭圆只有一个公共点.（iii ）若⇔<∆0方程（*）无实根⇔直线L 与椭圆相离⇔直线与椭圆无公共点. 2. 直线与双曲线的位置关系设直线L ：0=++C By Ax ，双曲线方程：)0,0(,12222>>=-b a by a x当直线L 与双曲线的渐近线平行或重合时：直线L 与双曲线相交，有一个交点 当直线L 与双曲线的渐近线不平行且不重合时：⎪⎩⎪⎨⎧>>=-=++)0,0(,102222b a b y a xC By Ax 消去y 得关于x 的方程：02=++r nx mx -------（*） 若0>∆⇔方程（*）有两不等实根⇔直线L 与双曲线相交⇔直线与双曲线有两个不同的公共点.若0=∆⇔方程（*）有两个相等的实根⇔直线L 与双曲线相切⇔直线与双曲线只有一个公共点.若⇔<∆0方程（*）无实根⇔直线L 与双曲线相离⇔直线与双曲线无公共点. 注：当直线L 与双曲线只有一个公共点时，直线L 与双曲线可能相交也可能相切. 3. 直线与抛物线的位置关系：设直线L ：0=++C By Ax ，抛物线方程：)0(,22>=p px y当直线L 与抛物线的对称轴平行或重合时：直线L 与抛物线相交，有一个交点 当直线L 与抛物线的对称轴不平行且不重合时：⎩⎨⎧>==++)0(,202p px y C By Ax 消去y 得：02=++r nx mx --------------------------（*） 若0>∆⇔方程（*）有两不等实根⇔直线L 与抛物线相交⇔直线与抛物线有两个不同的公共点.若0=∆⇔方程（*）有两个相等的实根⇔直线L 与抛物线相切⇔直线与抛物线只有一个公共点.若⇔<∆0方程（*）无实根⇔直线L 与抛物线相离⇔直线与抛物线无公共点. 注：当直线L 与抛物线只有一个公共点时，直线L 与抛物线可能相交也可能相切.二、直线L 与圆锥曲线相交时弦长、中点弦、最值、范围等问题的处理方法1. 弦长问题①充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 的长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到形如ax bx c 20++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则=-⋅+=||1||2B A x x k AB ||12a k △⋅+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程.②结合图形的特殊位置关系，减少运算.在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂的运算.2. 中点弦问题（设而不求—点差法）对具有斜率的中点弦问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为A (,)x y 11，B (,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点坐标之间的关系及斜率公式，消去四个参数.3. 最值、范围问题圆锥曲线中有关最值（范围）的问题，常用代数法和几何法解决. <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决.<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值.知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系的研究例1. 解答下列各小题1. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率是_______________.2. 设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线L 与抛物线有公共点，则直线L 的斜率k 的取值范围是__________. 【思路分析】1. 由双曲线渐近线的方程与抛物线的方程组成方程组，得到关于x 的一元二次方程，利用0=∆求解.2. 求出Q 点坐标，设直线L 的斜率为k ，根据直线L 与抛物线无公共点，利用0<∆求解.【解题过程】1. 由已知：⎪⎩⎪⎨⎧+==12x y x ab y 消去y 得：02=+-a bx ax 有唯一解，即2240a b =⇒=∆ 5,52222===+=∴ace a b a c 即.2. 易知Q （-2，0），设直线L:y=k （x+2），01688)2(22=+-⎩⎨⎧=+=∴k y ky x xy x k y 得：消去 当k=0时，直线L 与抛物线只有一个交点，当0≠k 时，110≤≤-⇒≥∆k ，故所求k 的取值范围是[-1，1].【解题后的思考】理解直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法是解决此类问题的关键，把直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为方程解的个数问题，体现了转化的数学思想的应用.例2. 已知双曲线,422=-y x 直线L:)1(-=x k y ，讨论直线L 与双曲线的交点个数.【思路分析】当直线L 的方程与双曲线的方程组成方程组消去y 得到关于x 的一元二次方程02=++r nx mx ，（1）若直线L 与双曲线的渐近线平行时m=0，（2）当直线L 与双曲线的渐近线不平行时0≠m ，然后讨论方程根的个数.【解题过程】由⎩⎨⎧----------=---------=-）（）（2)1(1422x k y y x（2）代入（1）得：042)1(2222=--+-k x k x k （3）当1012±=⇒=-k k 时，方程2x=5，方程组有一解，此时直线L 与双曲线相交，有一个公共点.（此时直线L 与双曲线的渐近线平行）当012≠-k 1±≠⇒k 时，)34(42k -=∆若1332332010)34(422±≠<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠->-k k k k 且时，方程组有两个解，直线L 与双曲线有两个交点.若332010)34(422±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-k k k ，即当332±=k 时，方程组有一解，即直线L 与双曲线有一个交点.若⎪⎩⎪⎨⎧≠-<-010)34(422k k ，即332332>-<k k 或时，方程组无解，即直线L 与双曲线无交点综合上述：当3321±=±=k k 或时，直线L 与双曲线只有一个公共点， 当332111,1332<<<<--<<-k k k 或或时，直线L 与双曲线有两个公共点. 当332332>-<k k 或时，直线与双曲线无公共点.知识点二：直线L 与圆锥曲线相交时的弦长、中点弦、最值等问题的处理方法例3. 解答下列各题1. 过点A （2，1）的直线L 与所给的双曲线1222=-y x 交于P 1和P 2两点，且A 为线段P 1P 2的中点，直线L 的方程是___________.2. 已知椭圆C 的方程x y 22431+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线y x m =+4，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.则m 的范围是_____________.【思路分析】1. 设直线L 的方程为y-1=k （x-2），代入双曲线方程1222=-y x ，消去y 得到关于x 的一元二次方程.然后用韦达定理，利用A 为线段P 1P 2的中点这一条件，解得k ，从而得到直线L 的方程.2. 设),(),,(2211y x Q y x P ，PQ 的中点是M （x ，y ），利用“点差法”及PQ 与直线y=4x+m 垂直等条件求出M 点的轨迹方程，求出轨迹方程后与直线y=4x+m 组合解交点，再根据交点在椭圆内求解. 【解题过程】1. 设弦的两端点的坐标为P 1 （x 1，y 1）和P 2 （x 2，y 2），代入双曲线1222=-y x 得， ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-112222212221y y x x ，所以02))(())((21212121=-+--+y y y y x x x x . 由中点A （2，1），所以x 1+x 2=4，y 1+y 2=2，因此k p1p2=42121=--x x y y ，即所求直线L 的方程为y=4x-7.经检验，符合条件.2. 设椭圆上两点P (,)x y 11，Q (,)x y 22，代入椭圆方程，相减得31212()()x x x x +-+412()y y +()y y 120-=.又x x x =+122，y y y =+122，412121-=--=x x y y k PQ 21212121)(4)(3x x y y y y x x ---=++∴x y y x 3412423=⇒-=⋅⋅-∴， 故M 点的轨迹方程是：y=3x 又由y xy x m==+⎧⎨⎩34解得交点(,)--m m 3.交点在椭圆内，则有()()-+-<m m 224331，得-<<2131321313m 【解题后的思考】对于圆锥曲线的中点弦问题常用“点差法”及中点坐标公式来确定直线的斜率，对于过焦点直线与抛物线相交时的弦长问题要注意抛物线定义的应用，以简化运算，对对称点问题要充分利用点关于直线对称的性质求解.2同的两点A 、B ，|AB|≤2p（1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值. 【思路分析】（1）可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围；或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围.（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值. 【解题过程】（1）设直线L 与抛物线两交点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）直线L 的方程为：y=x-a ，将y=x-a 代入抛物线方程y 2=2px ，得：0)(222=++-a x p a x则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+2212122)(204)(4ax x p a x x a p a由得①、③得：2p a ->，由②得：4pa -≤，故.42p a p -≤<- （2）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令其坐标为（x 3，y 3），则由中点坐标公式得：p a x x x +=+=2213， .2)()(221213p a x a x y y y =-+-=+=),(p p a Q +∴ 直线L 的方程：)]([p a x p y +--=-，令y=0则)0,2(p a N +，故p NQ 2||=所以NAB S ∆=22222||22||||21p p p AB p QN AB =⋅≤⋅=⋅，即△NAB 面积的最大值为22p .【解题后思考】求参数范围要构造不等式，求最值利用函数与不等式思想来解决是此类问题的通法，注意运算的过程中，要尽可能地简化运算.例5. 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22.DO ⊥AB 于O 点OA=OB ，DO=2，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（2）过D 点的直线L 与曲线E 相交于不同的两点M 、N 且M 在D 、N 之间， 设DN DM λ=)10(<<λ，试确定实数λ的取值范围． 【思路分析】（1）建立坐标系，利用圆锥曲线定义求解.（2）设M 1（x 1，y 1），N （x 2，y 2）直线L 的方程为：2+=kx y ，由直线与椭圆相交得k 的范围，再利用根与系数关系及DN DM λ=的关系探寻k 与λ的关系. 【解题过程】（1）建立平面直角坐标系，如图所示.∵|PA |+| PB|=|CA|+| CB | =22)22(22222=++， ∴动点P 的轨迹是椭圆 . ∵.1,1,2===c b a∴曲线E 的方程是 1222=+y x . （2）设直线L 的方程为 2+=kx y ，代入曲线E 的方程2222=+y x ，得068)12(22=+++kx x k ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则（i ）L 与y 轴重合时，31||||DN DM（ii ）L 与y 轴不重合时，由①得 232>k ，由DN DM λ=得：λλ=⇒=2121x x x x ∵x 2<x 1<0或x 2>x 1>0，∴ 0<λ<1∴212)(122121221++=++=⋅+λλx x x x x x x x ，∵)12(332)12(664)(2222122kk k x x x x +=+=⋅+，而,232>k ∴.8)12(362<+<k∴ ,316)12(33242<+<k∴ 316214<++<λλ， 31012<+<λλ， .131,3101,21,10<<⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+>+<<λλλλλλ ∴λ的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,31. 【解题后的思考】平面向量与圆锥曲线结合的综合试题，是新课标高考的重要题型，利用平面向量的坐标运算解决直线与圆锥曲线的综合试题可简化运算.例6. 在双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 中，过焦点且垂直于实轴的弦长是332，焦点到一条渐近线的距离是1.（1）求该双曲线C 的方程.（2）若直线)0,0(:≠≠+=m k m kx y l 与双曲线C 交于A 、B 两点（A 、B 不是左、右顶点），以AB 的长为直径的圆过双曲线C 的右顶点M ，求证直线l 过定点，并求出定点坐标. 【思路分析】（1）由已知建立关于a ，b ，c 的方程组，求a ，b 的值.（2）设),(),,(2211y x B y x A ，由已知：以AB 的长为直径的圆过双曲线C 的右顶点求m 与k 的关系式. 【解题过程】（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=22222213322c b a b a bcab 1,3==⇒b a ，故双曲线C 的方程是1322=-y x . （2）设),(),,(2211y x B y x A ，双曲线C 的右顶点)0,3(M 以AB 的长为直径的圆过双曲线C 的右顶点0=⋅⇒MB MA ⇒0)3)(3(2121=+--y y x x2212122121)())((m x x mk x x k m kx m kx y y +++=++=03))(3()1(221212=+++-++∴m x x km x x k ----------------------① 0)1(36)31(1322222=+---⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=m kmx x k y y x m kx y 得：消去-----------------② （显然031,03122=-≠-k k 若，则直线l 与双曲线C 的渐近线平行，此时直线l 与双曲线C 只有一个交点.）0310)1m )(31(12)6(22222>-+⇒>+-+-=∆k m k km把③④代入①得：063322=++k km m03132322>-+-=-=∴k m k m k m 均满足：或当与已知矛盾过定点（直线的方程是：时，)0,3),3(3l x k y l k m -=-= 当），过定点（直线的方程是：时，032),32(32l x k y l k m -=-= 【解题后的思考】综上可知，直线l 过定点，定点坐标为），直线过定点（的方程是：时，032),32(32-=-=x k y l k m ，确定直线通过的定点，求直线方程是关键，一般来说：要把直线方程化成：常数参数常数），或（参数+⨯=⨯=x y y -x 的形式，当含有多个参数时，要设法弄清参数之间的关系，用一个参数表示其他的参数.直线与圆锥曲线的位置关系的应用是新课标高考的难点及重点，主要涉及曲线与方程的求法、弦长问题、范围（最值）问题、定点定值问题等，主要考查学生解决综合问题的能力.处理这些问题的关键是：掌握求圆锥曲线方程的方法（求轨迹的基本方法）、圆锥曲线的定义、求弦长的方法、函数与方程不等式的数学思想的应用.同时要注意利用圆锥曲线的定义简化运算.（答题时间：60分钟）一、选择题1. 设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么︱PF ︱＝（ ）A . 43B . 8C . 83D . 162. 设双曲线的一个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A .2 B .3 C .312+ D . 512+ 3. 已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1P F =60°，则=⋅||||21PF PF （ ）A . 2B . 4C . 6D . 84. 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为 （ ）A . [3-23,)+∞B . [323,)++∞C . 7[-,)4+∞ D . 7[,)4+∞ 5. 已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A . 抛物线B . 双曲线C . 椭圆D . 以上都不对6. 过点（2，-1）的直线与抛物线2x y =只有一个公共点，这样的直线共有（ ）条 A . 1 B . 2 C . 3 D . 47. 如果椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A . B . C D .二、填空题8， 已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是_____. 9. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作一条直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y两点，则1212x x y y 为______.三、解答题10. 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F （1，0）的距离减去它到y 轴的距离的差都是1.（Ⅰ）求曲线C 的方程（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0<⋅FB FA ？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由11. 如图，已知直线l ：y ＝kx ＋2(k 为常数)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，直线l 被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为d .（1）若d ＝23，求k 的值；（2）若d ≥455，求椭圆离心率e 的取值范围．一、选择题1. B 解析：抛物线的焦点F （2，0），直线AF 的方程为3(2)y x =--，所以点(2,43)A -、(6,43)P ，从而|PF|=6+2=82. D 解析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则F （c ，0），B （0，b ）直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=b x a 垂直，所以1-=⋅-abc b ，即b 2=ac ，所以c 2-a 2=ac ，即e 2-e -1=0，所以152e +=或152e -=（舍去） 3. B 解析：由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()()2222121212121212222221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=4||||21=⋅PF PF4. B 解析：因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以214a +=，即23a =，所以双曲线方程为2213x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3x y x -=≥，解得220001(3)3x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(2)OP FP x x y ⋅=++=00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x =-，因为03x ≥，所以当03x =时，OP FP ⋅取得最小值432313⨯+-=323+，故OP FP ⋅的取值范围是[323,)++∞. 5. A解析：|12512|1322-+=+y x y x 2222512|12512|)0()0(+-+=-+-⇒y x y x ，故P （x ，y ）到定点（0，0）的距离等于P 点到定直线12x+5y-12=0的距离. 由抛物线的定义知选A6. C 解析：设过点（2，-1）的直线L ：⎩⎨⎧-=+=∴-=+)2(1)2(12x k y x y x k y 消去y 得： 0122=++-k kx x ，由直线与抛物线只有一个公共点得：0482=--=∆k k524±=∴k ，此时有两条直线，当直线L 的斜率不存在时，直线L:x=2，也与抛物线有一个公共点.7. D 解析：设弦的端点),(),,(2211y x B y x A ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1936193622222121y x y x 两式相减得： 0))((91))((36121212121=+-++-y y y y x x x x ---------------（*） 4,82121=+=+y y x x 代入（*）得21-=AB k ，故弦所在直线的方程是x+2y-8=0. 二、填空题8. （4，2）解析：设),(),,(2211y x B y x A ，则8.048422122=+=+-⎩⎨⎧==-x x x x y xy y x 得：消去，44)2()2(212121=-+=-+-=+x x x x y y ，故AB 的中点（4，2）.9. 41-解析：用特例法，设),(),,(2211y x B y x A 若过焦点F 的直线与x 轴垂直，则422,.222212122121p p y p y x x p y y p y p y =⋅=∴-=⇒-== 三、解答题10. 解：（Ⅰ）设P （x ，y ）是曲线C 上任意一点，那么点P （x ，y ）满足：22(1)1(0)x y x x -+-=>化简得曲线C 的方程：24(0)y x x =>.（Ⅱ）设过点M （m ，0）（m>0）的直线l 与曲线C 的交点为A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，设l 的方程为x=ty+m ，由24x ty m y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=，△=16（2t +m ）>0，于是121244y y ty y m+=⎧⎨=-⎩①，又1122(1,),(1,)FA x y FB x y =-=-.0FA FB ⋅<1212(1)(1)x x y y ⇔--+=1212()x x x x -++1+12y y <0②，又24y x =，于是不等式②等价于，2222121212()104444y y y y y y ⋅+-++<，2212121212()1()210164y y y y y y y y ⎡⎤⇔+-+-+<⎣⎦③， 由①式，不等式③等价于，22614m m t -+<④，对任意实数t ，24t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于，2610m m -+<，即322322m -<<+由此可知，存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<，且m 的取值范围为(322,322)-+.11. 解，（1）取弦的中点为M ，连接OM ， 由平面几何知OM=131122±=⇒=+⇒k k ，由于直线l 过点F 、B ，故k>0，所以3=k .（2）设弦的中点是M ，连接OM ，则41)554()144(4,14||222222≥⇒≥+-=+=k kd k OM ， 55205411)2(4)2(222222≤<⇒≤+=+==∴e k k k ac e .。
直线与圆锥曲线的位置关系-备战高考数学(理)一轮复习考点
考点43 直线与圆锥曲线的位置关系【命题趋势】直线与圆锥曲线的位置关系是高考的重点，也是难点，常作为压轴题出现，需要下苦功夫.（1）了解圆锥曲线的简单应用. （2）理解数形结合的思想. 【重要考向】一、直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用 二、直线与圆锥曲线的弦长问题 三、圆锥曲线中的定点、定值、范围问题直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y C g x y ==，求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的实数解. 方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=. （1）当0a ≠时，0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； 0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a =0时，方程为一次方程，若b ≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b =0,c ≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点. 3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切；直线与椭圆没有交点⇔相离.（2）直线与双曲线有两个交点⇔相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有交点⇔相离. （3）直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有交点⇔相离. 【巧学妙记】1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.【典例】1.（2021·浙江高二期末）若直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为（ ）A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个【答案】C 【分析】利用圆心(0,0)到直线9mx ny +=的距离大于半径3得229m n +<，据此推出22199m n +<，即点(,)m n 在椭圆221916x y +=内，由此可得答案. 【详解】因为直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点，3>，即229m n +<，所以2222191699m n m n +≤+<，即点(,)m n 在椭圆221916x y +=内，所以过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为2个.故选：C2.（2020·上海市三林中学高二月考）若直线()1y kx k R =+∈与双曲线222x y -=有且仅有一个公共点，则k =______.【答案】±1或± 【分析】联立直线与双曲线方程，化为()222130kxkx ---=，分类讨论：当210k -=时，此时直线双曲线的渐近线，满足题意；当210k -≠时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得0=，解出即可． 【详解】 联立2212y kx x y =+⎧⎨-=⎩，可得()222130k x kx ---=． ①当210k -=时，可得1k =±，此时直线与双曲线的渐近线平行， 直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意；②当210k -≠时，由直线与双曲线有且只有一个公共点， 可得()2241210k k=+-=，解得2k =±，满足条件． 综上可得：1k =±，±． 故答案为±1，±.3.（2021·浙江高一期末）已知抛物线C:24y x =，焦点为F ，点()11,A x y 在抛物C 上，设()10D x -，，其中10x ≠． （I ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）试判断直线AD 与抛物线C 的位置关系，并加以证明． 【答案】（Ⅱ）(1,0)；（Ⅱ）相切，证明见解析. 【分析】（Ⅱ）求出p 的值，可得焦点F 的坐标；（Ⅱ）分别求出直线AD 的斜率与抛物线C ：24y x =上过点()11,A x y 的切线的斜率，可得其相等，可证明直线AD 与抛物线C 相切. 【详解】解：（Ⅱ）由抛物线C ：24y x =，可得：24p =，2p =，可得焦点F 的坐标为(1,0)；（Ⅱ）直线AD 与抛物线C 相切，证明如下： 由点()11,A x y 及点()1,0D x -，可得1111022AD y yk x x -==， 又24y x =，可得=±y11AD k == 同时由抛物线C ：24y x =，=±y'y =， 所以过()11,A x y的切线的斜率为：1所以直线AD 与抛物线C 相切.直线与圆锥曲线的弦长问题弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长2222121121221()()1||1||(0)＝AB x x y y k x x y y k k-+-=+-=+-≠. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 【巧学妙记】直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题． （2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.【典例】4.（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））抛物线22y x =的焦点为F ，过F 作斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB =（ ） A ．4 B ．1C ．34D ．12【答案】B 【分析】根据抛物线方程，求得焦点坐标，即可得直线方程，与抛物线联立，设1122(,),(,)A x y B x y ，即可得12,x x 的值，代入弦长公式，即可得答案. 【详解】由题意抛物线方程为212x y =，所以焦点10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以过点F 的直线方程为18y x -=，即18y x =+， 又2218y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，联立消y 可得21208x x --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，不妨令1>0x ， 所以1142208⎛⎫∆=-⨯⨯-=> ⎪⎝⎭，121144x x +==，所以1211144AB x +--⎛=-== ⎝⎭.故选：B5.（2020·全国高二课时练习）过双曲线22136x y -=的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点，则|AB |=________.【答案】5【分析】先表示出直线AB ，联立方程组，利用弦长公式求|AB |. 【详解】解析：由双曲线的方程得ab， 所以c，F 1(-3，0)，F 2(3，0). 直线AB 的方程为y=3(x -3). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由223),136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得5x 2+6x -27=0. 所以x 1+x 2=65-，x 1x 2=275-，所以ABx 1-x 2=.故答案为：5【点睛】求圆锥曲线的弦长：（1） “设而不求法”，利用弦长公式12|||AB x x =-求弦长，这是求弦长的一般方法；（2）特别的：圆中求弦长用垂径定理；抛物线求焦点弦弦长用抛物线的焦点弦弦长公式：12||AB x x p =++6.（2021·全国（理））已知椭圆C ：22198x y 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C交于A ，B 两点.（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求AB 的值；（2）记椭圆C 的右顶点为D ，若点()9,M M y ，()9,N N y 分别在直线AD ，BD 上，求证：FM FN ⊥. 【答案】（1）9617；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先设出直线l ：1y x =-，与椭圆联立22897201x y y x ⎧+-=⎨=-⎩得到()22891720x x +--=，再利用韦达定理和求根公式求解即可.（2）首先当直线l 的斜率不存在时，易得()9,8M -，()9,8N ，从而得到1FM FN k k ⋅=-，即FM FN ⊥；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆联立得到()222289189720k x k x k +-+-=，根据根系关系和D ，A ，M 共线，D ，B ，N 共线得到()()12120099191641633M N M N FM FN y y y y y y k k x x --⋅=⋅==----，再化简即可得到答案. 【详解】（1）依题意，()1,0F ，直线l ：1y x =-；联立22897201x y y x ⎧+-=⎨=-⎩，故()22891720x x +--=，整理得21718630x x --=，0∆>； 设()11,A x y ，()22,B x y ，故121817x x +=，126317x x =-，故129617AB x =-==； （2）当直线l 的斜率不存在时，其方程1x =，81,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，81,3B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()3,0D ，根据AD DM k k =，得83=26M y -，得到()9,8M -，同理()9,8N . 故FM ，FN 的斜率之积为808019191FM FN k k ---⋅=⋅=---，故FM FN ⊥； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()221198y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()222289189720kxk x k +-+-=，故21221889k x x k+=+，212297289k x x k -=+， ()()()212121212111y y k x k x k x x x x =-⋅-=-++⎡⎤⎣⎦， 由D ，A ，M 共线得，1100393M y y x --=--，解得1163M y y x =-， 由D ，B ，N 共线得，2200393N y y x --=--，解得2263N y y x =-， 故FM ，FN 的斜率之积为()()12120099191641633M N M N FM FN y y y y y y k k x x --⋅=⋅==----()()2222221212221212229721891918989116399723181698989k k k k x x x x k k x x x x k k k k ⎛⎫--+ ⎪-++⎡⎤++⎣⎦⎝⎭===--++⎡⎤⎛⎫-⨯⎣⎦-+ ⎪++⎝⎭，故FM FN ⊥； 综上所述，FM FN ⊥.圆锥曲线中的定点、定值、范围问题圆锥曲线的中点弦问题（1）AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22b a-.（2）AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =，弦AB 的斜率与弦中点M 和双曲线中心O 的连线的斜率之积为定值22b a.（3）在抛物线22(0)y px p =>中，以M (x 0，y 0) 为中点的弦所在直线的斜率0p k y =. 【巧学妙记】定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等7．（2021·江西上饶市·高三三模（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个顶点在直线12x y +=上，直线l 经过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，点P ⎛ ⎝⎭（P 不在直线l 上） （1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与2x =交于点M ，设PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k ．试问：是否存在常数λ使得123k k k λ+=？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，2λ=. 【分析】 （11x y +=与两坐标轴的交点，即可得a ，b ，即可得答案. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:(1)AB y k x =-，则(2,)M k ，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可得1212,x x x x +表达式，进而可得12k k +表达式，根据P 、M 坐标，可得3k 表达式，化简整理，即可得答案. 【详解】 （1）直线12x y +=与坐标轴的交点为，1a b ∴==故椭圆的标准方程为2212x y +=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:(1)AB y k x =-，则(2,)M k .由22222(1)2(1)2012y k x x k x x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩，即()222124220k k x k +-+-=， 22121222422,1212k k x x x x k k-∴+==++，()()12121212121122221111y y k x k x k k x x x x ------∴+=+=+----()22122212121222422111222222411111212k x x k k k k k k x x x x x x k k -⎫+-+=+==⎪----++⎝⎭-+++22221k k -=-=-又32122k kk -==-- 123222k k k k ⎛∴+=-= ⎝⎭故存在常数2λ=使得1232k k k += 【点睛】解题的关键是熟练掌握直线与曲线联立，韦达定理的应用，分别求得12k k +表达式和3k 表达式，根据题意，进行化简整理，考查分析计算的能力，属基础题. 8．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x y ab a b +=>>（，短轴长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，(6,0). 【分析】（1）利用已知和,,a b c 的关系，列方程组可得椭圆C 的标准方程；（2）直线l 斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， APE OPF ∠=∠可得0PE PF k k +=，利用根与系数的关系代入化简，可得直线l 所过定点．【详解】（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意.所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+. 设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+. 因为APE OPF ∠=∠， 所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-= 化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-， 所以直线l 过定点(6,0).9．（2021·陕西高三三模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆E1． （1）求E 的方程；（2）直线l 与E 交于M ，N 两点（M ，N 在x 轴的同侧），当12//F M F N 时，求四边形12F F NM 面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=；（2）2. 【分析】（1）结合离心率，通径的概念以及,,a b c 的关系可得方程； （2）利用对称性可转化为2121212MF M S F F y y '=-，利用韦达定理和不等式求最值． 【详解】（1）依题意可知2222221c a b a a b c⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的方程为2214x y +=．（2）延长1MF 交E 于点0M ，由（1）可知12()F F O ，设()()11022,,,M x y M x y ，设1MF的方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22410m y +--=，故122122414y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩． 设1F M 与2F N 的距离为d ，则四边形12F F NM 的面积为S ，()()20121100111222MF M S F M F N d F M F M d MM d S =+=+==，又因为201212121122MF M S F F y y y y =⋅⋅-=⋅-=234m ==+43223=，=m =故四边形12F F NM 面积的最大值为2．一、单选题1．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若E 点坐标为()1,0-，则EA EB ⋅=（ ） A ．0B ．34C ．94D ．4142．设双曲线E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的两条渐近线4x ±3y ＝0分别交于A ，B 两点（A ，B 分别在第一、二象限），若四边形F 1F 2AB 的面积为32，则双曲线的焦距为（ ）A ．5B ．10C ．D ．3．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点()1,0P 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，交抛物线C 的准线于点Q ，若22QFAF BF =，则直线l 斜率的绝对值为（ ）A ．2B CD 4．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，虚轴的上端点为A ，直线FA 交双曲线C 的右支于点B ，且2FA FB ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．BC ．2D5．设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）A ．52B C D ．2二、多选题6．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），1A ，2A 是其左、右顶点，1F ，2F 是其左、右焦点，P 是双曲线上异于1A ，2A 的任意一点，下列结论正确的是（ ） A ．122PF PF a -=B ．直线1PA ，2PA 的斜率之积等于定值22b aC ．使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有8个D ．12PF F △的面积为212tan 2b A PA ∠7．已知直线l 经过抛物线22y x =的焦点且与抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则（ ） A ．121x x =+ B ．1214x x =C ．坐标原点在以AB 为直径的圆内D ．2AB >8．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ） A ．M 的坐标可能为()1,2 B ．坐标原点在以PQ 为直径的圆内 C ．OP 与OQ 的斜率之积为定值 D ．线段PQ 的最小值为4三、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且2AF FB =，则AB 的长为___________.10．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点Fl 交抛物线于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于,M N 两点，设线段AB 的中点为H ，则tan HMN ∠的值为___________.11．过点()2,2P 作抛物线22y x =的切线l ，切线l 在y 轴上的截距为___．四、解答题12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点1F ､2F 分别是其左､右焦点，点A ､B 分别为其左､右顶点.（1）若两焦点与短轴两端点围成四边形面积为2234x y +=为该四边形的内切圆，求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 交椭圆于P ､Q 两点，且21()2BP BQ a c ⋅=+.试求椭圆C 的离心率的最小值.13．已知点B 是圆22:(1)16C x y -+=上的任意一点，点(1,0)F -，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）直线:2l y x m =+与E 交于点M ，N ，且MN =，求m 的值.14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0)F ，直线l ：1x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ FP ⊥，PQ l ⊥．（1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）直线4x my =+与曲线C 交于A ，B 两点，OA OB ⋅是否为定值，若是求出该定值，若不是说明15．已知直线m 与椭圆22:143x yC +=相切于点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线n 的斜率为12，设直线n 与椭圆分别交于点A 、B (异于点P )，与直线m 交于点Q .（1）求直线m 的方程：（2）证明：||,||,||AQ PQ BQ 成等比数列一、单选题1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．42．（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b-=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．21x =D 21y =二、双空题3．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+=⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.三、填空题4．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>的一条渐近线为0my +=，则C 的焦距为_________．四、解答题5．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =6．（2021·北京高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．7．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.8．（2021·浙江高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RNPN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.9．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．一、单选题1．（2021·四川德阳市·高三三模（理））已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为3，则AB 的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知抛物线C Ⅱ214y x =，过抛物线焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线y =x -2于E ，F 两点，则|EP |的最小值（ ）A ．253BC ．12825D 3．（2021·辽宁高三其他模拟）过点M （p ，0）作倾斜角为150°的直线与抛物线2:2(0)C y px p =>交于两点A ，B ，若||AB =则||||AM BM ⋅的值为（ ）A ．4B ．C ．D ．4．（2021·山西高三三模（理））设直线l 与抛物线24y x =相交于A ､B 两点，O 为坐标原点，若4OA OB ⋅=-，则OAB 面积的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．)⎡+∞⎣C ．[)4,+∞D ．)⎡+∞⎣5．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（理））已知抛物线()220y px p =>的焦点为F l 过点F 且与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为C 、D ，若M 为线段AB 的中点，CDM S =△则p =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2二、多选题6．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:8C x y =焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，连接,NO MO 并延长分别交1C 于,P Q 两点，连接PQ ，则下列结论中，正确的为（ ）A ．12OM ON ⋅=-B ．OPQ ∆的面积OPQ S ∆是定值12C ．22||||5OP OQ +=定值D ．设OMNOPQS S λ∆∆=，则32λ≥ 7．（2021·福建福州市·高三其他模拟）已知抛物线2:(0)C y mx m =>的焦点为(4,0)F ，直线l 经过点F 交C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若2PB BF →→=，则（ ）A ．8m =B ．点B的坐标为8,33⎛± ⎝⎭C ．50||3AB =D ．弦AB 的中点到y 轴的距离为1338．（2021·辽宁高三其他模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>且222,,a b c 成等差数列，过双曲线的右焦点F （c ，0）的直线l 与双曲线C 的右支相交于A ，B 两点，3AF FB =，则直线l 的斜率的可能取值为（ ） ABCD三、填空题9．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知抛物线22(0)x py p =>焦点为,F O 为坐标原点，直线l 过点F 与抛物线交于,A B 两点，与x 轴交于()2,0C p ，若17AB =，则OCF △的面积为___________.10．（2021·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆()()2222:10C x y R R -+=>交于A 、B 两点，其中A 点横坐标为A x ，方程()22224,1,AAy x x x x y R x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，C 是圆2C 与x 轴的交点，O 是坐标原点.存在R ，使得圆弧ACB 所对的圆心角AFB α∠>；②对于给定的角0,3a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R ，使得圆弧ACB 所对的圆心角AFB α∠<；③对于任意R ，该曲线有且仅有一个内接正OPQ △；④当2021R >时，存在面积大于2021的内接正OPQ △.11．（2021·四川遂宁市·高三三模（理）的直线过抛物线2:2E y px=(0p >)的焦点F ，与抛物线E 交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，又O 为坐标原点，点C 也为抛物线E 上一点，且6AB =，OC OA OB λ=+，则实数λ的值为___________.四、解答题12．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点32⎛ ⎝⎭，且离心率为23. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆C 外且位于第一象限，直线PA 和PB 分别交椭圆C 于另外两点M 和(,N M N 在x 轴的异侧).若90MBN ∠>，求点P 的横坐标的取值范围.13．（2021·四川德阳市·高三三模（理））设圆222150x y x ++-=的圆心为P ，过点()1,0Q 且与x 轴不重合的直线交明P 于M 、N 两点，过Q 作MP 的平行线交PN 于点E .（1）证明EP EQ +为定值，并写出点E 的轨迹R 的方程；（2）已知点()2,0A -，()2,0B ，过点()1,0P -的直线l 与曲线R 交于C 、D 两点.记ABD △与ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值.14．（2021·重庆高三其他模拟）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，其中A 点在第一象限内，射线AF ，BF 与椭圆C 的交点分别为M ，N .（1）若AF FM =，2BF FN =，求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍，求椭圆C 的方程.15．（2021·全国高三二模）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的长轴长4，离心率e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 左，右顶点，已知点P 为直线l ：4x =上的动点，直线PA ､PB 与椭圆E 分别交于M ､N 两点，求证：直线MN 经过定点，并求出该定点的坐标.参考答案跟踪训练1．C 【分析】求出焦点坐标，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，化简，利用韦达定理以及向量的数量积转化求解即可. 【详解】解：抛物线C ：24y x =，焦点()1,0F ，过焦点F 且斜率为43的直线l ：()413y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()24134y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得2340y y --=，所以123y y +=，124y y =-， 所以()1212317244x x y y +=++=，221212144y y x x =⋅=，所以E 点坐标为()1,0-，所以()()121211EA EB x x y y ⋅=+++17911444=++-=， 故选：C .2．B 【分析】依题意画出图象，可得43b a =，设004,3A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据OA c =，即可求出0x ，从而得到A 、B 的坐标，再根据四边形的面积求出c ，即可得解；【详解】解：如图，双曲线的渐近线为430x y ±=，所以43b a =，依题意OA OBc ==，设004,3A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()00x >053x c ==，所以035c x =，则34,55c c A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据对称性可得34,55c c B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以65c AB =，所以12164232255F F AB c S c c ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，所以2323225c =，解得5c =，所以双曲线的焦距为210c = 故选：B3．C 【分析】设直线方程，联立方程组结合韦达定理、抛物线的定义可得AF BF ⋅，再由两点间距离公式表示出2QF ，即可得解. 【详解】由题意得()2,0F ，直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为()1y k x =-，代入抛物线方程得()2222280k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121=x x ，12282x x k+=+， 由抛物线定义得()()()12121221622249AF BF x x x x x x k⋅=+⋅+=+++=+， 又因为()2,3Q k --，所以()222243169QFk k =+-=+，由22QFAF BF =，得221616929k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得k =，此时0∆>，符合题意，所以k =故选：C. 4．B 【分析】 根据2FA FB ，求得点B 的坐标，再根据点B 在双曲线上求解.【详解】由题意得：()(),0,0,F c A b -， 因为2FAFB ，所以(),2B c b又因为点B 在双曲线上，所以222241c b a b -=，即225c a=，所以e =故选：B 5．A 【分析】设点()00,P x y ，由依题意可知，()0,1B ，220015x y +=，再根据两点间的距离公式得到2PB ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】设点()00,P x y ，因为()0,1B ，220015x y +=，所以()()()222222200000001251511426444PB x y y y y y y ⎛⎫=+-=-+-=--+=-++ ⎪⎝⎭，而011y -≤≤，所以当014y =-时，PB 的最大值为52． 故选：A ． 【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B 最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.． 6．ABC 【分析】结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解. 【详解】A ，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得122PF PF a -=，所以A 正确；B ，设点22(,),0,P x y y x a ≠≠，有22221(0,0)x y a b a b -=>>，2222)1(x y b a-=， 直线12,PA PA 的斜率之积1222222222221()PA PA y y y k k x a x a x a x a x b b a a⋅=⋅===+----，所以B 正确； C ，根据双曲线对称性分析：要使12PF F △为等腰三角形，则12F F 必为腰， 在第一象限双曲线上有且仅有一个点P 使122,22PA c PA c a ==-， 此时12PF F △为等腰三角形，也且仅有一个点P '使212,22P A c P A c a ''==+，此时12P F F '为等腰三角形， 同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C 正确； D ，12120222A PA F PF π∠∠<<<， 设1PF m =，2PF n =，由双曲线的定义可得2m n a -=， 则()222224m n m n mn a -=+-=，①由余弦定理可得2221242cos c m n mn F PF =+-∠，②②-①得，()21221cos 4F PF mn b -∠=，则122121212sin 1sin 21cos PF F b F PF S mn F PF F PF ∆∠=∠=-∠ 212122122212sin cos 2222tan2sin F b F P PF F PFb F P F F ∠∠⋅=∠=∠，所以D 不正确.故选：ABC 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题的关键是能记住常见的二级结论，可以简化计算，考查了计算能力. 7．BC 【分析】设直线l 的方程为12x my =+，代入抛物线方程消元，利用韦达定理可判断A ，B ； 由1212304OA OB x x y y ⋅=+=-<即可判断C ；当直线AB 的斜率不存在时，||2AB =，即可判断故D ． 【详解】解：抛物线22y x =的焦点坐标为1(2F ，0)，则设直线l 的方程为12x my =+，代入抛物线方程，可得2210y my --=，121y y ∴=-，122y y m +=，2212121224y y x x ∴=⋅=，21212()121x x m y y m +=++=+，故A 错，B 正确；对于C ，1212304OA OB x x y y ⋅=+=-<，∴坐标原点在以AB 为直径的圆内，故C 正确；对于D ，当直线AB 的斜率不存在时，||2AB =，故D 错． 故选：BC ． 8．BC 【分析】设过焦点F 的直线方程为：12x my =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再一一计算即可判断； 【详解】解：抛物线C ：22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设过焦点F 的直线方程为：12x my =+与抛物线方程联立可得：2210y my --=，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，若M 的坐标为(1,2)，则122x x +=，124y y +=，而12122122121y y my y x x m +=⎧⎪=-⎨⎪+=+⎩，即224212m m =⎧⎨+=⎩，方程组无解，所以A 错误，又21212121212121111()()(1)()2224OP OQ x x y y my my y y m y y m y y =+=+++=++++2213(1)044m m =-+++=-<，即0OP OQ <，所以坐标原点在以PQ 为直径的圆内，所以B 正确，1212112211()()22OP OQ y y y y k k x x my my ⋅+==+22121122141111()22424m y y m y y m m m y y +++-=-++==-⨯，故C 正确；抛物线的通径为22p =，所以线段PQ 的长度的最小值为2，故D 错误， 故选：BC 9．92【分析】设2,4t B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据2AF FB =可得23,22t A t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程可得12B x =，2A x =，即可得出所求. 【详解】由题可得()1,0F ，设2,4t B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则21,4t FB t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以222,22t AF FB t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以23,22t A t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入抛物线的方程()222432t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得22t =，所以12B x =，2A x =，故9112A B AB AF BF x x =+=+++=.故答案为：92.10 【分析】联立方程利用韦达定理求得124x x +=，结合抛物线的定义求得弦AB 的长，求得圆的半径，利用中点公式求得H 到y 轴的距离，进而计算得解. 【详解】解：如图所示，抛物线的焦点F (1,0),直线l:)1y x =-,与抛物线的方程联立消去y 并整理得：2410x x -+=, 设A ,B 的横坐标分别为12,x x ,则124x x +=, Ⅱ12116AB x x =+++=, Ⅱ13,2HA HM AB === 由1222H x x x +==,取MN 的中点为C ,则CH ⅡMN ,|MC|==Ⅱtan ⅡHMN =tan ⅡHMC =5CH MC==,. 【点睛】本题考查直线与抛物线的相交弦长问题，关键是利用抛物线的定义求得过焦点的直线与抛物线相交所得弦长12x x p ++. 11．1 【分析】设出切线方程，与抛物线联立，利用0∆=求得12k =，即可得出所求. 【详解】设切线斜率为k ，则切线方程()22y k x -=-，联立方程()2222y k x y x⎧-=-⎨=⎩可得22440ky y k --+=，则()44440k k ∆=--+=，解得12k =， 即切线方程为()1222y x -=-， 取0x =，得1y =． Ⅱ切线l 在y 轴上的截距为1． 故答案为：1．12．（1）22143x y +=或2214x y +=；（2）最小值为12-. 【分析】（1）根据面积和相切关系得到,,a b c 满足的方程，求出其解后可得椭圆的标准方程. （2）设直线:l x my c =-，11(),Рx y ，22(,)Q x y ，联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理化简21()2BP BQ a c ⋅=+可得22222()a a c m b --=，根据非负性可得离心率的范围. 【详解】（1）设半焦距为c，则12222S b c bc =⋅⋅==bc =， 又直线1x y c b +=与圆2234x y +=相切，2bc a ==，故bc a =Ⅱ2a =，故224bc b c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，故b =1c =或1b =，,c =， 椭圆方程为22143x y +=或2214x y +=.（2）根据题意，可设直线:l x my c =-，联立方程22221x my cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 化简得，22222420()a b m y b cmy b +--=. 设11(),Рx y ，22(,)Q x y ，则2122222b cm y y a b m+=+，412222b y y a b m -=+， 222121222222222()22b cm a cx x m y y c c a b m a b m+=+-=-=-++， 22222212121212222()()()()a b m c x x my c my c m y y mc y y c a b m-+=--=-++=+ 又(),0B a ，故11(,)BP x a y =-，2(,)BQ x a y =-，22421212121212222()()()()a a c b BP BQ x a x a y y x x a x x a y y a b m +-⋅=--+=-+++=+. 由题设，得2242222()1()2a a c b a c a b m +-=++，化简得22222()12a a c ab m --=+. 即22222()a a c m b--=，由20m ≥得222()0a a c --≥，故)a a c ≥-即1c a ≥-.故椭圆C 的离心率的最小值为12-. 【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的计算求解问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程，解方程后可得椭圆的基本量的关系.注意离心率的取值范围问题，可结合范围、位置关系、非负性等构建基本量的不等式关系.13．（1）22143x y +=，（2）1m =±. 【分析】（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=，然后由椭圆的定义可求出答案；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得出1212,x x x x +，然后利用MN =m 的值即可. 【详解】（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=所以动点P 的轨迹E 是以,F C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>所以24,22a c ==，所以2,1,a c b ===所以方程为22143x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y联立221432x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得221916+4120x mx m +-= 所以由()22256764120m m ∆=-->得(m ∈2121216412,1919m m x x x x -+=-=因为19MN ===。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案第一章：直线与圆锥曲线的基本概念1.1 直线的基本概念直线的定义直线的性质直线的方程1.2 圆锥曲线的基本概念圆锥曲线的定义圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程第二章：直线与圆锥曲线的交点2.1 直线与圆的交点直线与圆的位置关系直线与圆的交点个数直线与圆的交点坐标求解方法2.2 直线与椭圆的交点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数直线与椭圆的交点坐标求解方法2.3 直线与双曲线的交点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的交点个数直线与双曲线的交点坐标求解方法第三章：直线与圆锥曲线的切点3.1 直线与圆的切点直线与圆的位置关系直线与圆的切点性质直线与圆的切点坐标求解方法3.2 直线与椭圆的切点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的切点性质直线与椭圆的切点坐标求解方法3.3 直线与双曲线的切点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的切点性质直线与双曲线的切点坐标求解方法第四章：直线与圆锥曲线的距离4.1 直线与圆的距离直线与圆的位置关系直线与圆的距离公式直线与圆的距离求解方法4.2 直线与椭圆的距离直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的距离公式直线与椭圆的距离求解方法4.3 直线与双曲线的距离直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的距离公式直线与双曲线的距离求解方法第五章：直线与圆锥曲线的应用5.1 直线与圆的相切问题直线与圆相切的条件直线与圆相切的应用实例直线与圆相切的解题方法5.2 直线与椭圆的相切问题直线与椭圆相切的条件直线与椭圆相切的应用实例直线与椭圆相切的解题方法5.3 直线与双曲线的相切问题直线与双曲线相切的条件直线与双曲线相切的应用实例直线与双曲线相切的解题方法第六章：直线与圆锥曲线的对称性6.1 直线与圆的对称性直线与圆的对称性质直线与圆的对称变换直线与圆的对称问题实例与解法6.2 直线与椭圆的对称性直线与椭圆的对称性质直线与椭圆的对称变换直线与椭圆的对称问题实例与解法6.3 直线与双曲线的对称性直线与双曲线的对称性质直线与双曲线的对称变换直线与双曲线的对称问题实例与解法第七章：直线与圆锥曲线的相交弦7.1 直线与圆的相交弦直线与圆的相交弦性质直线与圆的相交弦公式直线与圆的相交弦问题实例与解法7.2 直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦性质直线与椭圆的相交弦公式直线与椭圆的相交弦问题实例与解法7.3 直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦性质直线与双曲线的相交弦公式直线与双曲线的相交弦问题实例与解法第八章：直线与圆锥曲线的焦点8.1 直线与圆的焦点直线与圆的焦点性质直线与圆的焦点问题实例与解法直线与圆的焦点应用8.2 直线与椭圆的焦点直线与椭圆的焦点性质直线与椭圆的焦点问题实例与解法直线与椭圆的焦点应用8.3 直线与双曲线的焦点直线与双曲线的焦点性质直线与双曲线的焦点问题实例与解法直线与双曲线的焦点应用第九章：直线与圆锥曲线的综合问题9.1 直线与圆的综合问题直线与圆的位置关系的综合应用直线与圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.2 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系的综合应用直线与椭圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与椭圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.3 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的position 关系的综合应用直线与双曲线的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与双曲线的对称性、相交弦、焦点的综合应用第十章：直线与圆锥曲线的拓展与提升10.1 直线与圆锥曲线的拓展问题直线与圆锥曲线的特殊位置关系问题直线与圆锥曲线的创新性问题实例与解法直线与圆锥曲线的综合应用提升10.2 直线与圆锥曲线的解题策略与方法直线与圆锥曲线的分类讨论方法直线与圆锥曲线的数形结合方法直线与圆锥曲线的构造法与方程法10.3 直线与圆锥曲线的教学反思与评价直线与圆锥曲线教学的重点与难点直线与圆锥曲线教学的方法与技巧直线与圆锥曲线教学的评价与反思重点和难点解析1. 第一章：直线与圆锥曲线的基本概念重点关注直线和圆锥曲线的定义、性质和方程。
直线与圆锥曲线的位置关系
解：联立直线与椭圆的方程，可得方程组
= 2 − 2
2 2
+
=1
5
4
解方程组可得
5
=
=0
3
或
= −2
4
=
3
5 4
因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点坐标为(0, −2), ( , ).
3 3
从而可知所求线段长
5
(
3
−
4
2
0) +[
3
5 5
2
− (−2)] =
.
3
例2
2
:
4
+
2
2
，分别求直线
=1
与椭圆 有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的
取值范围.
当 = 0即 = ±3 2时，方程①有两个相等的实数解，此时原方程的实数解
集中只有一个元素，直线 与椭圆 有且只有一个公共点；
当 < 0即 < −3 2或 > 3 2时，方程①无实数解，此时原方程组的解集
两式相减,得(x 1+x 2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2).
1-2
故 k AB=
1-2
(1)由 kAB=-
=-
1+2
4(1+ 2)
1
4
=- .
4
= ,得所求轨迹方程为 x-2y-4=0.
2
(2)由 kAB=-4=2,得所求轨迹方程为 x+8y=0(-4≤x≤4).
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
学习任务
1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.(数学抽象)
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直线与圆锥曲线的位置关系备考策略
主标题：直线与圆锥曲线的位置关系备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道. 关键词：直线与圆锥曲线的位置关系，知识总结备考策略 难度：5 重要程度：5
内容：一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x (或y )的一元方程：ax 2
＋bx ＋c ＝0(或ay 2
＋by ＋c ＝0)．
1．当a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．
2．当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点，
①若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 二、圆锥曲线的弦长
设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝
1＋1
k
2|y 2－y 1|.
思维规律解题：
考向一：中点弦、弦长问题
例1. 已知F 1(－1,0)、F 2(1,0)，圆F 2：(x －1)2＋y 2
＝1，一动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆F 2相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C ，曲线E 是以F 1，F 2为焦点的椭圆． (1)求曲线C 的方程；
(2)设曲线C 与曲线E 相交于第一象限点P ，且|PF 1|＝7
3
，求曲线E 的标准方程；
(3)在(1)、(2)的条件下，直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，若AB 的中点M 在曲线C 上，求直线l 的斜率k 的取值范围．
解析 (1)设动圆圆心的坐标为(x ，y )(x ＞0)
因为动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆F 2相外切，所以|CF 2|－x ＝1， ∴ x －1 2
＋y 2
＝x ＋1，化简整理得y 2
＝4x ，曲线C 的方程为y 2
＝4x (x ＞0)； (2)依题意，c ＝1，|PF 1|＝73，可得x p ＝2
3
，
∴|PF 2|＝53，又由椭圆定义得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝73＋5
3
＝4，a ＝2.
∴b 2＝a 2－c 2
＝3，所以曲线E 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1；
(3)(方法一)设直线l 与椭圆E 交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 的中点M 的坐标为(x 0，
y 0)，
设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，
与x 24＋y 2
3＝1联立得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－12＝0， 由Δ＞0得4k 2
－m 2
＋3＞0；① 由韦达定理得x 1＋x 2＝－8km
3＋4k 2，
∴x 0＝－4km 3＋4k 2，y 0＝3m
3＋4k
2，
将M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2代入y 2＝4x ，整理得m ＝－16k 3＋4k 2
9，②
将②代入①得162k 2
(3＋4k 2
)＜81，令t ＝4k 2
(t ＞0)，则64t 2
＋192t －81＜0，∴0＜t ＜38
. ∴－
68＜k ＜6
8
且k ≠0. (方法二)设直线l 与椭圆E 交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 的中点M 的坐标为(x 0，y 0)，
将A ，B 的坐标代入椭圆方程中，得⎩
⎪⎨⎪⎧
3x 2
1＋4y 2
1－12＝0，3x 22＋4y 2
2－12＝0，
两式相减得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴
y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 0
4y 0
， ∵y 2
0＝4x 0，∴直线AB 的斜率k ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝－3
16
y 0， 由(2)知x p ＝23，∴y 2
p ＝4x p ＝83，∴y P ＝±263，
由题设－263＜y 0＜26
3(y 0≠0)，
∴－
68＜－316y 0＜68， 即－
68＜k ＜6
8
(k ≠0)． 考向二 ：最值与范围问题
例2(2013·课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)右焦
点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2
.
(1)求M 的方程；
(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解析 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，
则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22
b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2 x 2＋x 1 a 2 y 2＋y 1 ＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.
因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝1
2
，
所以a 2
＝2b 2
.
又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2
－b 2
＝3. 因此a 2
＝6，b 2
＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 2
3
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3＝0，
x 26＋y 2
3
＝1，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝
433，y ＝－3
3
，或⎩⎨
⎧
x ＝0，
y ＝ 3.
因此|AB |＝46
3
.
由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋n ，x 26＋y
2
3
＝1，得3x 2
＋4nx ＋2n 2
－6＝0.
于是x 3,4＝－2n ±2 9－n 2
3.
因为直线CD 的斜率为1，
所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43 9－n 2
.
由已知，四边形ACBD 的面积
S ＝12|CD |·|AB |＝
869
9－n 2
，。