最新级高等数学上期末考试试题及参考答案

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2007级高等数学（上）期末考试试题

班级学号姓名得分

一．选择题（每小题3分，共15分）

2ax?ax01?cosx?）与1．设当是等价无穷小，则时，（11?2?2(D) (C)

(A) (B) 222?x?1x?f(x)a,b1x?的值分别为（2．设处可导，则）在?x?1ax?b?1,22,?1?1,2?2,1(D) (B) (C) (A)

12?dx?1?x(x?1)．( 3 )1????0(D) (C) (A)

(B) 24x y?e y?exyA? ( 4．曲线轴所围成图形的面积与该曲线过原点的切线及) y eex??dy?lny()xex)d(e?(A)

??y)d?lny(x?ex)d(e(C) (D) e0022??y1x?2x轴(B) e11y11x

旋转一周所形成的曲面方程为( 5．曲线绕)?z?0?2222221x?2y?z?zx?2y??1(B)（A）2222221?2z?1x?2yz??2x?2y(C)(D)

分）分，共二．填空题（每小题315?xx18??(2,1,1)a?x?a共线，且，则．若向量

与6x3233(10)ef(x)?(x??1)?x?xf(x)?，则7．设

t x2??2ln?)dt?f(xF()(x)?Ff(x)．设8 ，其中连续，则20

2x2x xe?y?ye都是某二阶常系数齐次线性微分方程的特解，则该微分方程与．设9为

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?)x?cosx(0?y?sinx,y?y x轴旋转一周所10．曲线轴所围成的平面图形绕与4V?形成的旋转体的体积x三、计算题（每小题5分，共60分）11???lim.11．求??2xtanxx??0x?n?x)?f(xy?xn,0)((1,1)，（轴的交点为为正整数）在点12．设曲线处的切线与?)(limf.求n??x?arctant2?yddy? 13．设.及，求22dxdxy?ln(t?1)?y??y e?e?xy．14．设，求0x?43y?f(x)?x?2x?axa0?x的值，并求15．设的驻点，求常数是该曲线的凹凸区间与拐点．

f(x)??dxC?(x)dx?xsinxf．，求16．设cosx x1?dx．17．求

3?2x 3?xx ??y ?xe ?e ?xy0的通解． ．求微分方程 182x ???e42yy ?3y ?? 的通解．19．求微分方程x ?1yz ?1??2)(0,1, ，且与直线平行，又与平面20．求过点 211x ?2y ?3z ?0垂

直的平面方程．

?

??????f((0))?1f(x)f 3x ?x)]sinx[f(x)?fd(． ，求，且连续，21．已知0

arctanx ??

?dx ． ．求

22

2x 1四、证明题（每小题5分，共10分） 4222e ?b ?e ?a(b ??lna ?a)lnb .23．证明：当时， 2ex,xf(x ?x)?f(x)?f(x))(xf ， 对任意实数 ．设函数24都满足221121x ??f(x)?e)f ?(x)f(x1f(0)?. ； ）1 且，证明：（ ）2（

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参 考 答 案

一．选择题（每小题3分，共15分） 1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 二．填空题（每小题3分，共15分）

103x

e32f(x)）3?3，?（?6, 8． ． ．6 71????0??y4y ?4y

9． 10．

2 60分）三、计算题（每小题5分，共

22

xtan1x ?tanx ?xsec1tanx ?x ?lim ?lim ?lim ??lim ? 11．原式

22323x3xxtan3xx 0x ?0??0xx ?0x y ?1?n(x ?1)

12．切线方程

11n ??))＝lim(1?limf(

en ????nn2yddy 2)t2(1???2t ， ． 13

2dxdx yyy ???x)1)??(e(?yye ?(e ??x)y1??????y ?y|y ??? 14． ； ；

x ?0y22y

)?x(e exe ?a ?0， ． 15f(x)(??,0],[1,??)[0,1](0,0),(1,?1) ；拐点为 的凹区间

为 ；凸区间为

f(x)?sinx ?xcosx 16．

f(x)sinx12??C ?x ?)dx ??lncosx ?dx ?(x

cosxx2cos 11141 231

???]??＝?[3t ?t(3?t)dtxt23?? 原式 ，．令17

3

22333xx e1xe ???y ?y 18．原方程变为：

xx 精品文档．

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11xx

xe ?e1???dxdx x ?

C)?(xe ??e[edx ?C]y xx 原方程的通解： xx 1x2x ??xx22???eY ?Ce ?C ey ?Ae ?0?y2y ?3y ? 19． 的通解：；原方程特解 2131x2x ??x2eCe ?y ?C e ?

原方程通解 2135,3)(1,?n ?(2,1,1)?(1,2,3)? 20．平面的法向量为

01??5y ?3z ?x

平面的方程为

???

???????xfd(?xf(x)sinxdx ?)sin([fx)?fx(x)]sinxdx 21．

000

??

???))(d(f ?f(x)d(cosx)xsinx ??

00

????

????x(x(x)sinx])cos ?[f(x)cosx]x ?ffd(x)cosxdx ?[f ??

0000

?(0))?f ?f(

2f(0)? 所以：

1xarctan1arctanx ????????

???xd ??|?)?dx ?arctanxd( 22．

122)xxx(1?xx 111

??112??2?x ?ln)]|??[ln ?x ?ln(1

12442

2

xlnf(x)?][a,b 上应用在Lagrange 中值定理得： 23． ?2ln 22?)??b(b ?a)(lnab ?lna ? ?x ?lnlnx12?)e(e,?g)0?g(x)?(x 在 内导数

2xx

2?2elnln xln 2??]ee,[?)(xg 在上单调性得由 22?ee x422)?ba ?bln ?lna( 所以 2e 精品文档．

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f(x ?h)?f(x)f(x)f(h)?f(x)f(0)??(x)?limlimf ）．（124

hh 0h ?h0?

(0)?)ff(h ??f(x)xx)f)lim(0)?f(?f( h h ?0

)](fxd[?xd ?(x)?f(x)fl ?xlnf(?)xnC 得：2 ， 所以 ）由 （

f(x)xx e ?(fxf()?Cex)1C ? ， 所以： ，由题得：

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