最新级高等数学上期末考试试题及参考答案

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高等数学上期末试卷(含答案)

一．选择题：（每小题3分，共15分）1. 若当0x →时，arctan x x -与nax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二．填空题：（每小题3分，共15分）1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间上是凸的.(,22-序号3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解：原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分（2）()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解：原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解：s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解：1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解：2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证：（1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分（2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时，$\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。

2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。

3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则$a=e^{-1}$。

4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。

5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。

6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。

7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x-3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。

8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。

9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。

10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

高等数学上期末考试试题及参考答案

高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} $ 的反函数$ f^{-1}(x) $ 的定义域为（）A. $ (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) $B. $ [0, +\infty) $C. $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $D. $ (-1, 1) $答案：C2. 设函数 $ f(x) = \ln(2x - 1) $，则 $ f'(x) $ 的值为（）A. $ \frac{2}{2x - 1} $B. $ \frac{1}{2x - 1} $C. $ \frac{2}{x - \frac{1}{2}} $D. $ \frac{1}{x - \frac{1}{2}} $答案：A3. 设 $ f(x) = e^x + e^{-x} $，则 $ f''(x) $ 的值为（）A. $ e^x - e^{-x} $B. $ e^x + e^{-x} $C. $ 2e^x + 2e^{-x} $D. $ 2e^x - 2e^{-x} $答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 $ x = 0 $ 处可导但不可微？（）A. $ f(x) = |x| $B. $ f(x) = \sqrt{x} $C. $ f(x) = \sin x $D. $ f(x) = \cos x $答案：A5. 设 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 $，则 $ f'(0) $ 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 $ f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) $ 的导数 $ f'(x) $ 为_________。

高数期末考试题及答案大全

高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求其在 $x=1$ 处的切线方程。

答案：首先求导数 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$。

在 $x=1$ 处，导数值为 $f'(1) = -1$，函数值为 $f(1) = 0$。

切线方程为 $y - 0 = -1(x - 1)$，即 $y = -x + 1$。

试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$。

答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 $x = \tan(\theta)$，$dx = \sec^2(\theta) d\theta$。

则 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta$。

利用二倍角公式，$\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}$。

积分变为 $\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C$。

高数(大一上)期末试题及答案

第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学(上) 考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分： . 一、填空(每小题3分，满分15分)1、xx x x 2sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(，则=--'--'→hh f f h )12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 处切线方程的斜率为4、已知)(x f 连续可导，且2)2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>，='⎰10)2()2(dx x f x f5、已知21)(xe xf x+=，则='')0(f 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数x x x f sin )(=，则 ( )A 、当∞→x 时为无穷大B 、当∞→x 时有极限C 、在),(+∞-∞内无界D 、在),(+∞-∞内有界2、已知⎩⎨⎧≥<=1,ln 1,)(x x x e x f x ，则)(x f 在1=x 处的导数( )A 、等于0B 、等于1C 、等于eD 、不存在3、曲线xxe y -=的拐点是( )A 、1=xB 、2=xC 、),1(1-eD 、)2,2(2-e 4、下列广义积分中发散的是( )A 、⎰10sin x dxB 、⎰-101xdx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、⎰+∞22ln xx dx5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导，)()(x g x f <，则必有( ) A 、)()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'C 、)(lim )(lim 0x g x f xx xx →→< D 、⎰⎰<0000)()(x x dx x g dx x f三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程1、求xx e e x x x x sin )cos 1()(lim 220---→2、求)arcsin(lim 2x x x x -++∞→3、设)(x y y =由03=-+xyy x 确定，求0|=x dy 。

大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

（本小题5分）第一学期期末高等数学试卷、解答下列各题（本小题5分）x 3 12x 162x 3(本小题5分)求 x 2 2 dx. (1 x )（本小题5分）（本小题5分）求-^dx. 1 x（本小题5分）求— 1 t 2 dt .dx 0（本小题5分）求 cot 6 x esc 4 xdx.(本小题5分)求-1 1 , 求 1 p cos dx. x x（本小题5分）设X e2t cost确定了函数y y e si nt（本小题5分）求'x 1 xdx .0 ■（本小题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、 11、 12、13、求函数 y 4 2xx 2的单调区间丫（本小题5分) sin x dx.求2 2 0 8 sin 2 x (本小题5分) 设 x(t) e kt(3cos t 4sin t),求 dx .设函数y y （x ）由方程y 2 in y 2 x 6所确定，求史 dx （本大题共16小题, 总计80分）求极限 limx 2 9x 212x求极限 limarctan xx.1 arcsin xy(x),求乎dx14、（本小题5分）求函数y 2e x e x 的极值15、（本小题5分）2 2 2 2求极限 lim & “ （2x“ （3xD d°x Dx（10x 1）（11x 1）16、（本小题5分）cos2x .求dx.1 sin xcosx二、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分） 1、（本小题7分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围另三边需砌新石条围沿，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.（本大题6分）设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根一学期期末高数考试（答案）、解答下列各题（本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分）23x 212 26x 18x 122、（本小题3分）x 2\ 2x )1 d(1 x 2) 2(1 x 2)2c.3、（本小题3分）因为 arctanx而 limarcsin — 02 x x2、（本小题7分）2求由曲线y -和y2三、解答下列各题所围成的平面图形绕 0X 轴旋转所得的旋转体的体积.解:原式 limx 2lim 歿 x 212x18(19、 116 151故 limarcta n x arcs in o x x求—1 t2 dt .dx 0 '原式 2x 1 x 4cot 6 x(1 1 .7cot x 7(本小题4分) 2求1 工-x2cot x)d(cot x)1. 9cot x c.91cos^d(^) x x2(本小题4分)求 x 1 xdx.令 J 1 x ui u4、 5、(本小题3分)x .dx1 x1 x 1dx 1 x . dx dx1 xx ln 1 x(本小题3分)c.6、(本小题4分)cot 5 6 x csc 4 xd x8、1 （本小题4分） x e 2^st确定了函数y y e si nty(x),求 dy dx解:dy dxe 2t (2sin tt22e (cost 2tsin t ) e t (2 sint cost)22~(cost 2t sin t )cost)7、cos 1dx. x原式1 si n — x2u2)du 原式 2 (u41 \32(—)5 39、116 15解: dxx (t)dt13、（本小题6分）设函数y y （x ）由方程y 2 ln y 2 x 6所确定，求鱼dx2yy 空 6x 5 y3yx 57厂14、（本小题6分）求函数y 2e x ex , 2x1、y 2e (e y1 1驻点：x -| n —2 2由于 y 2e x e x 0故函数有极小值,,1n "2)2 210、（本小题5分）求函数 y 4 2x x 2的单调区间解: 函数定义域（11、 12、设 y 当x当x 当xX）2 2x 2(1 1, y 01, y0函数单调增区间为,11, y 0函数的单调减区间为1,(本小题5分)sin x ,2— dx.8 sin x2d cosx 09 cos 2 x原式1, 3 cosx ln ---------- 6 3 cosx丄In 26（本小题x （t ）6分)e kt (3cos t 4sin t),求dx .e kt (43k)cos t (4k 3 )sin t dtx的极值解.定义域）,且连续V x264d(*si n2x 1) 1 丄 si n2x2 1In 1 -si n2x c2、解答下列各题（本大题共2小题，总计13分） 1、（本小题5分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围沿, 另三边需砌新石条围沿，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省•512设晒谷场宽为x,则长为 ----- 米,新砌石条围沿的总长为512xL 2x —— x (x 0)L c 51222x唯— •驻点 x 16 L1024 小3x即 x 16为极小值点故晒谷场宽为16米，长为51232米时，可使新砌石条围沿16所用材料最省2、（本小题8分）15、（本小题求极限原式 2 2 2(x 1)(2x 1) (3x 1)2(10x 1)(10x 1)(11x 1)1 2 1 2 1 2 (1 -)2 (2 -)2 (3 -)2(10 丄)2x x x x1 1(10 -)(11 -)x x 10 11 216 10 11lim x lim x 16、（本小题7 210分) cos2x dx 1 sin xcosx cos2x 1 l sin2xdx2求由曲线y -和y2,8x 22x 3 x 10, x 1 4-)2x 32 (rdx 4x 40(匚6x)dx4J 1 5 (——x 4 5 1 1 7. -------x ) 64 7 04 1 1 512 44(—— )—5 7 35二、解答下列各题(本大题10分)设f (x) x(x 1)( x2)(x 3),证明f (x) 0有且仅有三个实根证明:f (x)在(，)连续,可导,从而在[0,3];连续，可导.又 f(0)f(1)f(2)f(3)则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在1(0,1), 2 (1,2), 3(2,3)使f ( !) f ( 2) f ( 3)即f (x) 0至少有三个实根，又f (x) 0,是三次方程,它至多有三个实根由上述f (x)有且仅有三个实根高等数学(上)试题及答案D 、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为(、填空题(每小题 3分，本题共 15分)1、2、时，f (x)x e 2x在x 0处连续.3、dx ln x ,则巴dyx/x+14、曲线yx 在点(0, 1 )处的切线方程是y=x+15、若 f (x)dxsin2x C ，C 为常数，则 f (x)2cos2x —。

大学高数期末考试题与答案

因为懂得，人生的风景，最终是回归到心灵的本源。和谐共生，平等友爱，才是对生命的尊重和对自己的珍视。
解：
设切点坐标为 t,
t ，由 y 1 ，可知曲线 y 2t
x 在 t , t 处的切线方程为
y t 1 x t ，或 y 1 x t ．
2t
2t
因此所求旋转体的体积为
2
2
V
1 xt
0 2t
2
x dx
8 4 2t
4 3t
dV
所以，
dt 4
8 3t 2
2
0 ．得驻点 t
2 ，舍去 t
3
2
．由于
3
d 2V
10．设函数 f x 可导，且满足
f x x f x 1 ， f 0 0．
试求函数 f x 的极值．
解：
在方程 f x x f x 1 中令 t x ，得 f t
t f t 1 ，即
f x x f x 1．
f x xf x x
在方程组
中消去 f
xf x f x x
x ，得
x x2 f x 1 x2 ．
dt 2 t 2
3
16
4 3t 2 t 2
3
0 ，因而函数 V 在 t
2
处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切
3
线方程为 y
31 x．
42
12．设函数 f x 在闭区间 0， 1 上连续，在开区间 0， 1 内可导，且
证明：至少存在一点解：
2
e f x arctan xdx 1 ， f 1 0 ．
f
ef
ef
arct an
2 0．
1
由于 e f

(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

（二）
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．设函数，则是的第类间断点.
2．函数，则 .
3． .
4．曲线在点处的切线方程为.
5．函数在上的最大值，最小值.
6． .
二、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．数列有界是它收敛的（）.
必要但非充分条件；充分但非必要条件；
充分必要条件；无关条件.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数，则函数在内零点的个数为（B）.
(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.
2．微分方程的特解形式为（C）
（A）；（B）；
（C）；（D）
3．下列结论不一定成立的是（A）
(A)(A)若 ,则必有 ;
(B)(B)若在上可积,则 ;
(C)(C)若是周期为的连续函数,则对任意常数都有 ;
2．下列各式正确的是（）.
；；
； .
3．设在上，且，则曲线在上.
沿轴正向上升且为凹的；沿轴正向下降且为凹的；
沿轴正向上升且为凸的；沿轴正向下降且为凸的.
4．设，则在处的导数（）.
等于；等于；
等于；不存在.
5．已知，以下结论正确的是（）.
函数在处有定义且；函数在处的某去心邻域内有定义；
大一高等数学期末考试试卷
（一）
一、选择题（共12分）
1. （3分）若为连续函数,则的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. （3分）已知则的值为（）.
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
3. （3分）定积分的值为（）.

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标准答案
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线在处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为即 . -------2
4.设，则 .
5．设，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分）的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求其中
(D)(D)若可积函数为奇函数,则也为奇函数.
4.设 ,则是的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每题 4 分,共 16分)1. 设 f ( x )cos x ( x sin x ), 则在 x0处有() .（ A ） f (0)2（B ）f(0)1（ C ） f (0)（D ）f ( x )不行导 .2. 设 ( x)1 x， ( x ) 3 33 x ，则当 x 1时（） 1 x.（A ） ( x)与 (x) 是同阶无量小，但不是等价无量小；（B ） ( x)与 (x)是等价无量小；（C ） ( x)是比(x)高阶的无量小；（D ）( x)是比(x)高阶的无量小 .F ( x ) x ( 2t x ) f ( t ) dt3. 0，此中 f ( x) 在区间上 ( 1,1) 二阶可导且若f ( x ) 0 ，则（） .（A ）函数 F ( x)必在 x 0 处获得极大值；（B ）函数 F ( x)必在 x 0 处获得极小值；（C ）函数 F ( x) 在 x 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 yF ( x) 的拐点；（D ）函数F ( x) 在 x 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 yF ( x) 的拐点。

设 f ( x )是连续函数，且 f ( x )x21)4. f ( t )dt , 则 f ( x ) (x 2x 22（A ） 2（B ）2（D ） x 2.（C ）x 1二、填空题（本大题有 4 小题，每题25.lim ( 13 x ) sin xx06. 已知cos x是 f ( x ) 的一个原函数 ,x.4 分，共 16 分）.则 f ( x )cos xd xxlim(cos 2 cos 2 2L cos 2 n 1 )7.nnnnn12x 2 arcsin x 1dx－ 11 x28..2三、解答题（本大题有 5 小题，每题 8 分，共 40 分）9. 设函数 y y(x) 由方程 ex ysin( xy )1确立，求y ( x )以及1 x 710.求x(1 x 7 ) dx ..y (0) .设 f ( x )xex，x求 1 f ( x )dx ．2 xx 2， 0 x1311.1lim f ( x)f (x)g( x )f ( xt ) dtA12.设函数连续，，且xx，为常数. 求Ag (x)并议论g ( x)在 x处的连续性 .y(1)113. 求微分方程xy2 y x ln x 知足 9的解.四、解答题（本大题10 分），过点(01,)，且曲线上任一点14. 已知上半平面内一曲线yy( x )( x 0) M ( x 0 , y 0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、 y 轴、直线x x所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线yln x及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A ；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每题 4 分，共 8 分）16. 设函数 f ( x ) 在 0,1上连续且单调递减，证明对随意的 q [ 0,1] ，q1 f ( x ) d xq f ( x)dx.17. 设函数f ( x )在0,f ( x ) d xf ( x ) cos x dx 0上连续，且 0，0 .证明：在 0, 内起码存在两个不一样的点1 ,2，使f ( 1 ) f ( 2 ) 0.（提x F ( x )f ( x )dx示：设）解答一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每题 4 分, 共 16分)1、 D2、 A3、 C4、C二、填空题（本大题有4 小题，每题 4 分，共 16 分）5. e 61 ( cos x )2 c 3..6. 2 x .7.2. 8. 三、解答题（本大题有5 小题，每题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导e x y (1 y ) cos( xy )( xyy) 0y ( x )e x yy cos(xy )exy x cos(xy )x0, y0 ， y (0)110. 解：ux 7 7 x 6 dx du原式1 (1 u ) du 1 ( 12 )du 7 u(1 u) 7 u u 112ln | u 1|)c(ln | u |71ln | x 7|2ln |1 x 7 | C771f ( x )dxxe1 2x x 2dx11. 解：xdx33xd ( e x)12dx1 ( x 1)3xexex0 0cos2d (令 x1 sin )324 2e 3 112. 解：由f (0)0 ，知 g(0)0。

期末高等数学上习题及答案

第一学期期末高等数学试卷一、解答以下各题(本大题共16小题，总计 80分) 1、(本小题5分)求极限l im x 312x163 9x 212x4x22x2、(本小题5 分)求x 22dx.(1x) 3、(本小题5分) 求极限limarctanxarcsin 1xx4、(本小题5分)求x dx.1 x5、(本小题 5 分)求dx 2 1t 2dt ．dx 06、(本小题 5 分) 求cot 6xcsc 4xdx.7、(本小题5分)2 1cos 1dx ．求1 x 2x8、(本小题5 分)x e t cost 2y(x),求dy ．设确定了函数y ye 2tsint dx9、(本小题5 分)3求 x1xdx ．10、(本小题5分) 求函数 y 4 2x x 2的单调区间11、(本小题5分)求2sinx dx ．sin 2x0812、(本小题 5 分)设xt )e kt(3cos t 4sin t ，求dx ．( )13、(本小题 5 分)设函数yyx 由方程y 2 l n y 2 x 6所确定 , 求dy ．( )dx14、(本小题 5 分)求函数y e x e x 的极值215、(本小题 5 分)求极限lim (x1)2 (2x1)2(3x1)2(10x 1)2x16、(本小题5分)(10x 1)(11x1)求cos2xdx.1sinxcosx二、解答以下各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分)某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.2、(本小题7分)求由曲线yx 2 和y x 3 所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的体积.28三、解答以下各题 (本大题6分)设f(x) x(x 1)(x 2)(x3),证明f(x) 0有且仅有三个实根.一学期期末高数考试(答案)一、解答以下各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)解:原式lim 3x 2 12218x12x26x6xlim212x1822、(本小题3分)1dx (1x 2)21 d(1 x 2)2(1 x 2)211x 2c.3、(本小题3分)因为arctanx2 而limarcsinx故limarctanxarcsin1xx4、(本小题3分)xdx1 x1 x 1dx 1x dxdxxln1xc.5、(本小题3分)原式2x1x 4 6、(本小题4分) cot 6xcsc 4xdxcot 6x(1cot 2x)d(cotx)1x1cot7x 1cot9xc.797、(本小题4分)211原式1cos d()x x1 sin2 118、(本小题4分)解：dy e2t(2sint cost)dx e t(cost22tsint2)e t(2sint cost)(cost22tsint2)9、(本小题4分)令1 x u2原式 2 (u4u2)du12(u5u3)12531161510、(本小题5分)函数定义域(,)y22x2(1x)当x1，y0当x，y函数单调增区间为,1 10当x，y函数的单调减区间为1,1011、(本小题5分)原式2dcosx09cos2x13cosx2lncosx0631ln2612、(本小题6分)dx x(t)dte kt(43k)cos t(4k3)sintdt13、(本小题6分)2yy2y6x5yy 3yx5 y2114、(本小题6分)定义域(，),且连续y2e x(e2x1)2驻点：x1ln 12 2由于y2e x e x故函数有极小值,,y(1ln1) 2 215、(本小题 8分)2 2(1 1 )2 (2 1 )2 (3 1 )2(10 1 )2原式lim x xxxx (10 1)(11 1)10 11 21x x6 10 117216、(本小题 10分)解:cos2x dxcos2x dx1 sinxcosx11sin2xd(12sin2x1) 2 11sin2x12sin2x cln12二、解答以下各题(本大题共2小题，总计13 分)1、(本小题5 分)设晒谷场宽为 x,那么长为512米,新砌石条围沿的总长为xL2x 512 (x0)xL2512唯一驻点x16x 2L1024 0即x16为极小值点x 3故晒谷场宽为 16米,长为51232米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省2、(本小题8分)解:x 2x 3, 2 2x 3 x 1 ,.28x0x 148V x4 x 2 )2 (x3 2dx 4x4x 6( ) 0()dx284 64(11x 5 41 1x 7)4 564 744( 1 1 ) 51257 35三、解答以下各题(本大题10分)证明:f(x)在( , )连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.又f(0)f(1)f(2)f(3)0那么分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在1(0,1),2(1,2),3(2,3)使f(1)f(2)f(3)0即f(x)0至少有三个实根,又f(x)0,是三次方程,它至多有三个实根,由上述f(x)有且仅有三个实根参考答案一。

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1、(本小题 3 分)
解: 原式
lim
x2
3x 6x2
2 12 18x
12
6x lim x 2 12 x 18
2
2、(本小题 3 分)
(1
x x2)2
dx
1 d(1 x2 ) 2 (1 x 2) 2
11 2 1 x2 c.
3、(本小题 3 分)
因为 arctan x
而 lim arcsin 1 0
lim
x
x
x
x
1
1
(10 )(11 )
x
x
10 11 21
(10 1 ) 2 x
6 10 11 7
2
16、( 本小题 10 分 )
解:
cos2x dx
1 sin x cosx
d( 1 sin 2x 1) 2
1 1 sin 2x 2
1 ln 1 sin 2x c
2
二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 13 分 ) 1、(本小题 5 分)
且
F ( 1) 1 0 ， F (1) 1 0 .
22
由零点定理知存在
x1
1 [
,1]
，使
F ( x1 )
0.
2
由 F ( 0) 0 ，在 [ 0, x1] 上应用罗尔定理知，至少存在一点
(0, x1) ( 0,1) ，使 F ( ) f ( ) 1 0 ，即 f ( ) 1 …
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9、(本小题 5 分)
3
求 x 1 x dx． 0
10、( 本小题 5 分 )
求函数 y 4 2 x
11、( 本小题 5 分 )

(完整word版)高等数学(同济第六版)上册-期末试卷及答案

高等数学（同济第六版）上册-期末试卷及答案一、填空题1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim30 . 232.曲线x xe y -=的拐点是 .)2,2(2-e3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→xx f x )(lim 0. )0(f ' 4.曲线x x y +-=22cos 1在)21,2(ππ+处的切线方程为 .1y x =+ 5.曲线122-=x x y 有垂直渐近线和水平渐近线 . 1±=x ，1=y6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy . dx e e f e f x x x ⋅'⋅)()]([2sin7.=⎰dx e x 40 . )1(22+e8. 若3)(0-='x f ，则=--+→hh x f h x f h )3()(lim000. 12-9. 若dx x p ⎰+∞1收敛，则p 的范围是 .1-<p 10.=+++∞→1)1232(lim x x x x. 11.设⎰+=c x F dx x f )()(，则⎰=dx x f )2( . c x F +)2(2112.设)(x f 的一个原函数是x x ln ，则⎰=dx x xf )( . c x x x ++ln 242213.设⎩⎨⎧≤>=0,0,)(2x x x x x f ，则⎰-=11)(dx x f . 61-14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 . 12+=x y15.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第类间断点. 1，一16.已知⎰+=c x F dx x f )()(，则⎰=-dx x f x)(arcsin 112.c x F +)(arcsin17.当0→x 时，1)1(312-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则=a .2318.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰0,0,sin )(303x a x x dtt t x f x 是连续函数，则=a . 1 19.)(x f 在]1,0[上连续，且120(1)0,[()]1f f x dx ==⎰，则='⎰10)()(dx x f x xf .21- 提示：='⎰10)()(dx x f x xf ⎰⎰-=11021))(()()()()(x xf d x f x xfx df x xf⎰⎰⎰'--='+-=110210)()()()]()()[(dx x f x xf dx x f dx x f x x f x f ，移项便得.20.dx xe x x x ⎰=Φ02)(，则=Φ)1( . =Φ')1( . )1(21-e ，e 21.x dx x df 1)(2=，则=')(x f .x 21 提示：22221)(12)(xx f x x x f ='⇒=⋅' 22.曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线平行于直线13+=x y ，则=')2(f . 3 23.设x x f arctan )(=，且,00>x =-+→x x f x x f x )()(lim 000.)1(2100x x + 24.33ln2-+=xx y 的水平渐近线是 . 3-=y 25.函数x x y =的导数为 .)1(ln +x x x 26.=⎰+∞-dx xe x 02.21 27.=++⎰-dx xxx x )1sin (2211 . 1 28.广义积分=⎰+∞dx x 131 . 2129.x )x (f =的积分曲线中过)21,1(-的曲线的方程 ______.2x y=12-30.设S 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积，则=s .)1(412+e31.⎰='dx x f )2( .c x f +)2(2132.曲线)1ln(x e y -=的渐近线为 . ex x y 1,0,1===33.曲线2x y =与x y =2所围图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积 .π103 34.设022x 1,x 0f (x)0,x 0,f (x 1)dx x ,x 0-+<⎧⎪==+⎨⎪>⎩⎰= . 56二、选择题1. 设21cos ,01(),10x x f x xxx ⎧<<⎪=⎨⎪-<≤⎩，在0=x 处( ) A .A 连续，不可导 .B 连续，可导 .C 可导，导数不连续 .D 为间断点 2.曲线x y sin 2+=π在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为（） B2.πA 4.πB 0.C 1.D3.若032<-b a ，则0)(23=+++=c bx ax x x f （） B.A 无实根 .B 有唯一实根 .C 三个单实根 .D 重根 4.函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则（） D0)(.0='x f A 0)(.0<''x f B .C 0)(0='x f 0)(,0<''x f .D 0)(0='x f 或不存在5.设)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数为（） Dx A sin 1.+ x x B sin .+ x C cos 1.+ x x D sin .- 6.设t t f cos )(ln =,则='⎰dt t f t f t )()(（） A c t t t A +-sin cos . c t t t B +-cos sin . c t t t C ++)sin (cos . c t t D +sin . 7.设)(x f 连续，⎰=22)()(x dt t f x F ，则=')(x F （） C)(.4x f A )(.42x f x B )(2.4x xf C )(2.2x xf D8.下列广义积分收敛的是（） Cdx x x A e⎰+∞ln . dx xx B e ⎰+∞ln 1. dx x x C e ⎰+∞2)(ln 1. dx x x D e ⎰+∞ln 1. 9.广义积分=+⎰+∞-0xx e e dx（） C2.πA π.B 4.πC .D 发散10.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（） C12.2++x x A )1cos(.x B + )1(.22x x C - )1ln(.x C +11.求由曲线x y ln =,直线)0(ln ,ln ,0>>===a b b y a y x 所围图形的面积为（）Cb a A -. 22.a b B - a b C -. a b D +. 12.已知1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ，则在a x =处（）BA .)(x f 导数存在且0)(≠'a fB .)(x f 取极大值C .)(x f 取极小值D .)(x f 导数不存在三、计算题1.)1sin cos ln (lim 220x x x x x +→ 21-2.41cos 0ln lim x tdt t xx ⎰→ 81-3.)11(lim 22--+∞→x x x 0 4. xx x 1)(cos lim +→ 21-e5. 2tan)1(lim 1xx x π-→π26. 求xx x x x ln 1lim 0-+→ 1解1 原式1lim lim 1ln )ln 1(lim 0ln 000====++=+++→→→e e x x x x x x x x x x x ，解2 原式ln ln 001lim =1,lim ln 0,1~ln ,0ln x x x xx x e x x e x x x x x ++→→-==∴-→Q （）7.设)(x f 为连续函数，计算⎰-→x a a x dt t f a x x )(lim 2)(2a f a 8.sin(ln )x dx ⎰ [sin(ln )cos(ln )]2xx x c -+9.dx x ⎰+π02cos 1 22 10.dx x a x a2202-⎰416a π 11.设xx y cos )(sin =，求y ' . ()]sin cos sin ln sin [)(sin 2cos xxx x x x+-12.设0cos 2ln 0=+⎰⎰x yttdt dt e ，求dy . dx x x 2cos 2-13.dx x x x ⎰+--84132 c x x x +-++-22arctan 2584ln 23214.设⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π，其中f 可导，且0)0(≠'f ，求0=t dx dy. 3 15.dx x x ⎰-π042sin sin 提示：原式1cos sin cos sin 022===⎰⎰dx x x dx x x ππ16.dx x ⎰-22)1(1 发散 17.dx e x ⎰-2ln 01 )41(2π- 18.⎰-12x x dxc x +1arccos 19.xdx x 4223cos )4(+⎰-ππ π23 20.dx x x⎰3ln 21ln (3)2x c + 21.dx e x x 22ln 03-⋅⎰ 11ln 242-+ 22.⎰+)1(2xx e e dx arctan x xe e c ---+ 23.设x 1)e (f x +='，求)x (f . ln x x c + 24.⎰--+1x 1x dx33221[(1)(1)]3x x c ++-+25.⎰+)x 1(x dx10101ln ln 110x x c -++ 26.已知)(x f 的一个原函数为lnx )sinx 1(+，求⎰'dx )x (f x . cos ln 1sin (1sin )ln x x x x x x ++-+ 27.dx x 1x1xln ⎰+- 211ln (1)21x x x c x-+-++ 28.dx x)1x (ln ⎰+1)x c +- 29.dx x a x a⎰-+02214π 30.设)(x f 在]1,0[上连续，单调减且取正值，证：对于满足10<<<βα的任何βα,有f (x)dx f (x)dx ββαβα>⎰⎰.00()()()()()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx f x dxf x dx f x dx ββαββααααβαβαββαββα-=+-=+-⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰提示：31.260sin 1lim3x t xx te tdt x e →⋅=⎰四、解答题1.求函数x e x y -⋅=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线.2.设1sin ,0()200x x f x x x ππ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩，或，求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式.01()()(cos 1),021,xx x f t dt x x x ππ<⎧⎪⎪Φ==--≤≤⎨⎪>⎪⎩⎰，3.设)(x f 在),(+∞-∞内连续，证明()()()()xa d x t f t dt f x f a dx'-=-⎰. 4.设20,,0,2:;0,2,,2:2221<<=======a a x y x y D y x a x x y D(1)试求1D 绕x 轴旋转得旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转得旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时+1V 2V 得最大值？并求该最值.)32(5451a V -=π，42a V π=，1=a ，+1(V π5129)max 2=V5.已知x x x f 22tan 2cos )(sin +='，求)(x f .提示：uu u u f x x x x f -+-='⇒-+-='121)(sin 1sin sin 21)(sin 2222，c x x x f +--=1ln )(26.设c y =与22x x y -=相交于第一象限（如图）.（1）求使得Ⅰ与Ⅱ两区域面积相等的常数c ；（2）在（1）的情况下，求区域I 绕x 轴旋转的旋转体体积. 提示：III II III I II I s s s s ++=⇒=，202031)2(b b c dx x x cdx bb-=⇒-=⎰⎰，又22b b c -=， 43,23==⇒c b ,23,21243212==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==x x x x y y ，π24041=V . 7. 设直线b ax y +=与直线1,0==x x 及0=y 所围成的梯形面积为A ，求b a ,，使这块区域绕x 轴旋转所得体积最小.)0,0(≥≥b a提示：21220()(),3a V axb dx ab b ππ=+=++⎰1()2aA ax b dx b =+=+⎰，A b a ==,0时，体积最小. 8. 证明011302=+--⎰xx dxx 在区间)1,0(内有唯一的实根.提示：令0)1()0(113)(02<⋅⇒+--=⎰F F x dxx x F x，再证唯一性.9. 求dt e )t 2()x (f 2x 0t ⎰--=的最值. 21,1e -+最小值为最大值为 10. 0,x dt,t 1lnt )x (f x 1>+=⎰求)x 1(f )x (f +. 21(ln )2x 11. 证明211lim21=--→x x x . 分析: 当x ≠1时, |f (x )-A ||211|2---=x x =|x -1|. 12. 证明01lim =∞→xx . 分析: ||1|01||)(|x xA x f =-=-. ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要ε1||>x .13. 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较.(1) ;233+-x x （2）ln ;x （3）.11sin )1(--x x (1)233+-x x 是比1-x 较高阶的无穷小量; (2)ln x 是关于1-x 的等价无穷小量； (3) 11sin)1(--x x 与1-x 不能比较. 111sin )1(lim1--⋅-→x x x x 11sin lim 1-=→x x 不存在. 所以，11sin )1(--x x 与1-x 不能比较.。

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2007级高等数学（上）期末考试试题
班级学号姓名得分
一．选择题（每小题3分，共15分）
2ax?ax01?cosx?）与1．设当是等价无穷小，则时，（11?2?2(D) (C)
(A) (B) 222?x?1x?f(x)a,b1x?的值分别为（2．设处可导，则）在?x?1ax?b?1,22,?1?1,2?2,1(D) (B) (C) (A)
12?dx?1?x(x?1)．( 3 )1????0(D) (C) (A)
(B) 24x y?e y?exyA? ( 4．曲线轴所围成图形的面积与该曲线过原点的切线及) y eex??dy?lny()xex)d(e?(A)
??y)d?lny(x?ex)d(e(C) (D) e0022??y1x?2x轴(B) e11y11x
旋转一周所形成的曲面方程为( 5．曲线绕)?z?0?2222221x?2y?z?zx?2y??1(B)（A）2222221?2z?1x?2yz??2x?2y(C)(D)
分）分，共二．填空题（每小题315?xx18??(2,1,1)a?x?a共线，且，则．若向量
与6x3233(10)ef(x)?(x??1)?x?xf(x)?，则7．设
t x2??2ln?)dt?f(xF()(x)?Ff(x)．设8 ，其中连续，则20
2x2x xe?y?ye都是某二阶常系数齐次线性微分方程的特解，则该微分方程与．设9为
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?)x?cosx(0?y?sinx,y?y x轴旋转一周所10．曲线轴所围成的平面图形绕与4V?形成的旋转体的体积x三、计算题（每小题5分，共60分）11???lim.11．求??2xtanxx??0x?n?x)?f(xy?xn,0)((1,1)，（轴的交点为为正整数）在点12．设曲线处的切线与?)(limf.求n??x?arctant2?yddy? 13．设.及，求22dxdxy?ln(t?1)?y??y e?e?xy．14．设，求0x?43y?f(x)?x?2x?axa0?x的值，并求15．设的驻点，求常数是该曲线的凹凸区间与拐点．
f(x)??dxC?(x)dx?xsinxf．，求16．设cosx x1?dx．17．求
3?2x 3?xx ??y ?xe ?e ?xy0的通解．．求微分方程 182x ???e42yy ?3y ?? 的通解．19．求微分方程x ?1yz ?1??2)(0,1, ，且与直线平行，又与平面20．求过点 211x ?2y ?3z ?0垂
直的平面方程．
?
??????f((0))?1f(x)f 3x ?x)]sinx[f(x)?fd(．，求，且连续，21．已知0
arctanx ??
?dx ．．求
22
2x 1四、证明题（每小题5分，共10分） 4222e ?b ?e ?a(b ??lna ?a)lnb .23．证明：当时， 2ex,xf(x ?x)?f(x)?f(x))(xf ，对任意实数．设函数24都满足221121x ??f(x)?e)f ?(x)f(x1f(0)?. ；）1 且，证明：（）2（
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参考答案
一．选择题（每小题3分，共15分） 1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 二．填空题（每小题3分，共15分）
103x
e32f(x)）3?3，?（?6, 8．．．6 71????0??y4y ?4y
9． 10．
2 60分）三、计算题（每小题5分，共
22
xtan1x ?tanx ?xsec1tanx ?x ?lim ?lim ?lim ??lim ? 11．原式
22323x3xxtan3xx 0x ?0??0xx ?0x y ?1?n(x ?1)
12．切线方程
11n ??))＝lim(1?limf(
en ????nn2yddy 2)t2(1???2t ，． 13
2dxdx yyy ???x)1)??(e(?yye ?(e ??x)y1??????y ?y|y ??? 14．；；
x ?0y22y
)?x(e exe ?a ?0，． 15f(x)(??,0],[1,??)[0,1](0,0),(1,?1) ；拐点为的凹区间
为；凸区间为
f(x)?sinx ?xcosx 16．
f(x)sinx12??C ?x ?)dx ??lncosx ?dx ?(x
cosxx2cos 11141 231
???]??＝?[3t ?t(3?t)dtxt23?? 原式，．令17
3
22333xx e1xe ???y ?y 18．原方程变为：
xx 精品文档．
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11xx
xe ?e1???dxdx x ?
C)?(xe ??e[edx ?C]y xx 原方程的通解： xx 1x2x ??xx22???eY ?Ce ?C ey ?Ae ?0?y2y ?3y ? 19．的通解：；原方程特解 2131x2x ??x2eCe ?y ?C e ?
原方程通解 2135,3)(1,?n ?(2,1,1)?(1,2,3)? 20．平面的法向量为
01??5y ?3z ?x
平面的方程为
???
???????xfd(?xf(x)sinxdx ?)sin([fx)?fx(x)]sinxdx 21．
000
??
???))(d(f ?f(x)d(cosx)xsinx ??
00
????
????x(x(x)sinx])cos ?[f(x)cosx]x ?ffd(x)cosxdx ?[f ??
0000
?(0))?f ?f(
2f(0)? 所以：
1xarctan1arctanx ????????
???xd ??|?)?dx ?arctanxd( 22．
122)xxx(1?xx 111
??112??2?x ?ln)]|??[ln ?x ?ln(1
12442
2
xlnf(x)?][a,b 上应用在Lagrange 中值定理得： 23． ?2ln 22?)??b(b ?a)(lnab ?lna ? ?x ?lnlnx12?)e(e,?g)0?g(x)?(x 在内导数
2xx
2?2elnln xln 2??]ee,[?)(xg 在上单调性得由 22?ee x422)?ba ?bln ?lna( 所以 2e 精品文档．
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f(x ?h)?f(x)f(x)f(h)?f(x)f(0)??(x)?limlimf ）．（124
hh 0h ?h0?
(0)?)ff(h ??f(x)xx)f)lim(0)?f(?f( h h ?0
)](fxd[?xd ?(x)?f(x)fl ?xlnf(?)xnC 得：2 ，所以）由（
f(x)xx e ?(fxf()?Cex)1C ? ，所以：，由题得：
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