狭义相对论力学基础

a z az
请大家思考，速度、加速度的逆变换式如何？
速度变换和加速度逆变换式为 du a a v v u dt
u 是恒量
a a
请大家自己写出速度、加速度的逆变换的分量表示式
1.4 牛顿运动定律具有伽利略变换的不变性
S S
m
m

1.0 106 0.75 3 108 0.02
5.29 106 m
按伽利略变换
x' x ut 1.0 106 0.75 3 108 0.02 3.5 106 m t' t 0.02 s
例 北京和西安相距 1165 km，北京站的甲火车先于西安站的乙火车 2.0×10 3 s 发车。现有一艘飞船沿从北京到西安的方向从高空掠 过，速率恒为 u = 0.6 c 。 求 飞船参考系中测得的甲乙两列火车发车的时间间隔，哪一列先开? 解 取地面为 S 系，和飞船一起运动的参考系为 S' 系，北京站 为坐标原点，北京至西安 方向为 x 轴正方向，依题 意有
1.2 绝对时空观 “绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，而且由于其本 性在均匀地、与任何其他外界事物无关地流逝着。” “绝对空间就其本质而言，是与任何外界事物无关，而且永远 是相同的和不动的。”
在对时间间隔和空间间隔的测量上，认为所有参考系中的观察 者，对于任意两个事件的时间间隔和空间任意两点间距离的测 量结果都是相同的。
3 洛伦兹坐标变换式
Einstein依据相对性原理和光速不变原理得到了狭义相对论的 坐标变换式，即洛伦兹坐标变换式。它是关于同一物理事件在 两个惯性系中的两组时空坐标之间的变换关系。但洛伦兹早于 Einstein狭义相对论就给出了此变换式。
假设某一事件在惯性系 S 中的时空 坐标为(x, y, z, t )，在惯性系 S' 中的 时空坐标为(x', y', z', t' ) ，
x' x'2 x'1 y' y'2 y'1 z' z' 2 z'1 t' t'2 t'1
空间间隔
时间间隔
Δx uΔt x' 1 β 2
, y' Δy
, z' Δz
Δt uΔx c 2 , t' 1 β 2
请大家自己写出逆变换式
z z'
伽利 略变 换式
正变换 逆变换
x x ut y y z' z
t' t t t'
x x' ut y y z z'
由定义 v dr dt 并注意到 t' t
dr ' v' dt'
dv a dt
dv ' a' dt'
A
A' C
C'
B' B
事件1：雷击发生在 A' 点和 A 点重合的时刻和地点，并在A' 和 A 处留下痕迹 事件2：雷击发生在 B' 点和 B 点重合的时刻和地点，并在B' 和 B 处留下痕迹
AC BC
光速不变原理
路基上 C 点同时接收到 两次雷击的光信号
在 S 系中，1、2 两事件同时发生
在S ' 系中
讨论
(1) 同时性是相对的。 (2) 同时性的相对性是光速不变原理的直接结果。 (3) 同时性的相对性否定了各个惯性系具有统一时间的可能性，否
定了牛顿的绝对时空观。
时序
t2 t1 u x2 x1 c t' t ' t '
2 1
2
1 2
在 S 系中 假设
经典的力学相对性原理与绝对时空观密切相关
1.3 伽利略坐标变换式
在两个惯性系中分析描述同一物理事件(event)
在 t ＝0 时刻，物体在 O 点, S , S' 系重合。t 时刻，物体到达 P 点 y' y u S S P (x, y, z; t ) S S' r x,y,z,t r x,y,z,t (x', y', z'; t') r r v x,y,z,t v x,y,z,t x (x' ) O O' a x,y,z,t a' x,y,z,t
2.2 狭义相对论(Special Relativity)的两个基本假设
1905年，A. Einstein
首次提出了狭义相对论的两个假设
假设1. 相对性原理(Einstein’s Principle of Relativity)
在所有惯性系中，一切物理学定律都相同，即具有相同的 数学表达式。或者说，对于描述一切物理现象的规律来说 ，所有惯性系都是等价的。
则其坐标之间的变换关系，即洛伦 兹坐标变换式表示为
y S S'
y'
u
r
O z z' O'
r
P (x, y, z; t ) (x', y', z'; t')
x (x' )
正变换式
逆变换式
x ut x ut x' 2 u 2 1 β 1 ( ) c y' y z' z u u t 2 x t 2 x c c t' 2 u 2 1 β 1 ( ) c
u
A' A C C'
BC BC AC AC
光速不 变原理
B'
B
u
C' B' B
C' 先接收到事件2的光信号 后接收到事件1的光信号
A' A
C
在 S' 系中，事件2 先于事件1 发生 结论 沿两个惯性系相对运动方向上发生的两个事件，在其中一个惯 性系中表现为同时的，在另一个惯性系中观察，则总是在前一 个惯性系运动的后方的那一事件先发生。
速度变换和加速度变换式为
v' v u
写成分量式
du a' a dt
v' x v x u
v' y v y
v' z v z
a x a x du dt
a y ay
u 是恒量
a x ax
a y ay
a z az
a' a
t 0
事件1先于事件2发生
在 S' 系中
两独立事件间的时序
u x2 x1 c 2 t2 t1 u x2 x1 c t2 t1
2
t' 0 t' 0 t' 0
时序不变 同时发生
时序颠倒
u x2 x1 c 2 t2 t1
所有惯性系都完全处于平等地位，没有任何理由选某一 个参考系，把它置于特殊的地位。 假设2. 光速不变原理(Constant Speed of Light) 在所有惯性系中，真空中光沿各个方向传播的速率都等于 同一个恒量，与光源和观察者的运动状态无关。
c 299 792 458 m/s
讨论 (1) Einstein 相对性原理 是 Newton力学相对性原理的发展； (2) 时间和长度等的测量； • 在牛顿力学中，与参考系无关 • 在狭义相对论力学中，与参考系有关 (3) 光速不变原理与伽利略的速度合成定理针锋相对。
t' < 0，说明西安站的乙火车先开，时序颠倒。若北京站的另 一列丙火车先于北京站的乙火车1.0×10 3 s 发车，则飞船参考
系中测得哪一列火车先开？
4 狭义相对论的时空观
4.1 同时性的相对性(Relativity of Simultaneity)
若事件1和事件2，在 S 系中的时空坐标分别为(x1, y1, z1, t1 ) 和(x2, y2, z2, t2 ) ，在 S‘ 系中的时空坐标分别为(x’1, y‘1, z’1, t‘1 )和 (x’2, y‘2, z’2, t‘2 ) ，则这两个事件在 S 系和 S’ 系中的时间间隔分别为( t2 - t 1 )和(t‘2 - t’1 ) ，由洛伦兹变换式得
(3) 当u << c 洛伦兹变换(Lorentz transformation)简化为 伽利略变换式 x ut
x'
1 u /c
2
2
x' x ut
t' t
(4) 光速是各种物体运动的极限速度
uc
1 u 2 / c 2 为虚数（洛伦兹变换失去意义）
6 例 地面参考系 S 中，在 x = 1.0×10 m 处，于t = 0.02 s 的时刻爆炸 了一颗炸弹。如果有一沿 x 轴正方向、以 u = 0.75 c 速率飞行的 飞船，
y S S' O'
u
t 2.0 10 s
3
北京
z
x 1165 10 m
3
O
西安
x
由洛伦兹坐标变换，S' 测得甲乙两列火车发车的时间间隔为
u Δt 2Δx c Δ t' 2 2 1 u /c
3 1165 10 0.6 3 2.0 10 8 3 10 4.110 4 s 1 0.6 2
讨论
x
x ut 1 β 2
y y
z z
t t u x 2 c 1 β 2
(1) 变换式中 (x, y, z ) 和 (x', y', z' ) 的关系是线性的，这是因为一 事件在两惯性系的坐标总是一一对应的，这是真实物理事件 必须满足的。