n维正态分布的定义及性质

由定理可知， n 维正态分布完全由它的前面二阶矩确定。 定理 4.6.4
X 1 , X 2 ,..., X n 独立的充要条件是它们两两不相关。 X X 1 , X 2 ,..., X n 服 从 n 维 正 态 分 布 N a , B 的 充 要 条 件 是 它 的 任 何 一 个 线 性 组 合


一个具有独立正态分布分量的随机向量，它的数学期望为 Ua ，而它的方差分量是 B 的特征值。 证明 从矩阵论知道，对于实对称矩阵 B ，存在正交阵 U ，使 UBU T D ，其中，
d1 0 D ... 0 0 d2 ... 0 0 0 ... ... ... d n ... ...
2 1 2 ，则 B 0 ，因此 Y1 , Y2 独立。这说明二元正态分布可经适当 2 12 2
的坐标旋转化为两个相互独立的正态分布之积。
推论二 在正交变换下， 多维正态变量保持其独立、 同方差性不变。 （证明见概率论与数理统计(周 概容)，Page358）
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a1 0 其中 a1 0 ， a2 0 ，即有 a ，令 a 2 0 Y1 X 1 cos Y U X 2 2 sin sin X 1 X 1 cos X 2 sin ， 0 2 cos X 2 X 1 sin X 2 cos
概率论
特别地， X j 服从一维正态分布 N a j , b jj 。 定理表明，多维正态分布的边缘分布还是正态分布。 定理 4.6.3 a 及 B 分别是随机向量 X 的数学期望及协方差矩阵，即
a j E X j ,
1 j n ； b jk CovX j , X k E X j a j X k ak , 1 j, k n
这里， d1 , d 2 ,...d 3 是 B 的特征值。若 B 得秩为 r ，则有 r 个特征值不为零。此处的 U 是以特征向量 为列构成的正交阵。 把这里的 U 作为定理 4.6.7 中的变换矩阵，即可证明该推论。 从推论一看出，若 B 得秩为 r n ，则正态分布退化到一个 r 维子空间上。 推论一说明，对于多维正态变量，可以进行正交变换，使其既保持正态性不变又让各分量独立， 这种方法在数理统计中十分有用。 因为变换后得到的正态分布的各随机变量之间的协方差为 0，即 b jk CovX j , X k 0, j k ，这
说明两两相关，即得 X 1 , X 2 ,..., X n 独立（定理 4.64）.
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bm3 ... bmm ... ... ... bnm
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2
cos sin
1 2

B
cos sin

sin 2 cos 2
1 2 1 2


cos sin
22
C
sin 2
2
cos sin
cos 2
22
由上式看出，二维正态随机变量 X 1 , X 2 经过坐标旋转而得到的随机变量 Y1 , Y2 仍然服从正态分 布。进一步，若选 使得 tan 2
T
~ a , a ,..., a a k1 k2 km


T
~ ， B 为保留 B 的第 k1 , k 2 ,..., k m 行及第 k1 , k 2 ,..., k m 列所得的 m 阶矩阵。如
b13 b23 b33 ... ... bn 3 ... b1m ... b2 m ... b3m ... ... ... b1n ... b2 n ... b3n ... ... ... bmn ... ... ... bnn
T
立，当且仅当 a 是 0 向量。如果 B 正定，则 det B 存在，且 det B 0 ，且 B -1 也是正定矩阵（小写代数， 居于马，Page272） 。 定理 4.6.2
X 的任一子向量 X k1 , X k2 ,..., X km

~ ~, B m n 也服从正态分布，分布为 N a ，其中
2
n/2
1 1 T exp X a B 1 X a 1/ 2 det B 2
1 其中， B bij n 是 n n 阶正定对称矩阵， det B 是它的行列式，而 B -1 是它的逆矩阵，记作 B -1 bij ， n

定 理 4.6.6
n n n Y l j X j 服从一维正态分布 N l a , l2 j j b jj j j 1 j 1 j 1
Hale Waihona Puke 利用定理 4.6.6 可以通过一维正态随机变量来研究多维正态变量， 在有些场合这提供了很大的方便。
定理 4.6.7 若 X X 1 , X 2 ,..., X n 服从 n 维正态分布 N a , B ， 而 C 为任意的 m n 阵， 则 Y CX 服从 m 维正态分布， N Ca , CBC T . 定理 4.6.7 表明正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称为正态变量的线性变换不变 性。 推论一 若 X X 1 , X 2 ,..., X n 服从 n 维正态分布 N a , B ， 则存在一个正交变换 U ， 使得 Y UX 是
a1 b11 b12 a2 b21 b22 a 3 b b32 31 . ~ ~ a ， B ... ... . bm1 bm 2 am ... ... . bn1 bn 2 a n
则 Y1 , Y2 的联合密度函数为：
f y1 , y 2
其中，
1 2 1 2
1 2 exp Ay12 2 By1 y 2 Cy 2 2 1 2 21 sin 2
2 2
A
cos 2
12 12
2 1
概率论
n 维正态分布的定义及性质
n 维正态分布的定义及性质（概率论基础（李贤平） ，Page234）
定义
称 n 维随机变量 X X 1 , X 2 ,..., X n 服从参数为 N a , B 的 n 维正态分布，记为 X ~ N a , B ，
如果他有密度
p x f x1 , x2 ,..., xn
n

n
a 为任意实值列向量，即如果我们用黑体的小写字母记列向量，以黑体的大写字母记矩阵，则有
a1 x1 x1 a1 b11 b12 a2 x2 x2 a2 . . . b b ， B 21 22 a ， X ， X -a ... ... . . . b n1 bn 2 . . . a x x a 2 n n n
... b1n ... b2 n ... ... ... bnn
称矩阵 B 为对称的，如果 B B T ，即 bij b ji ； 称对称矩阵 B 为正定的，如果对于任意列向量 a a1 , a 2 ,..., a n R n ，有 a T Ba 0 ，其中等号成
概率论
例8
（概率论基础（李贤平） ，Page161）
若 X 1 , X 2 服从二维正态分布，其密度函数为
f x, y
1 2 1 2
2 2 x a1 y a2 y a2 1 x a1 exp 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1