角平分线的性质定理及判定定理

流

河

路公

北

M 区

C

B A 角平分线(线段垂直平分线，等腰三角形) 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学符号可表示：

∵点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ） ∴ 角平分线的判定定理：

角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 用数学符号可表示：

∵

∴点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ）

基础闯关

1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为

2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为 ㎝。

3.如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为 。

4.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD

5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）

A 、三条边的垂直平分线的交点

B 、三条高的交点

C 、三条中线的交点

D 、三条角平分线的交点

6.到一个角的两边距离相等的点在 ．

7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M 处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流

与公路交叉A 点处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ．

8．三角形中，到三边距离相等的点是

（A ）三条高线交点．（B ）三条中线交点．（C ）三条角平分线交点．（D ）三边垂直平分线交点．

9．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 O

D

P

E

B

A 第3题图

D A

B

C

2

1D A

P

O

E B

第4题图

F

E

D

C

B

A

F E D

C

B

A

（A ）直角三角形．（B ）等腰三角形．（C ）等边三角形．（D ）等腰直角三角形 10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC

于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是 （A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．

二．解答题：

1.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC ， 求证：BE ＝CF 。

2.已知，如图BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于D. 求证：PM ＝PN 。

3.如图，BD ＝CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB ．求证：D 在∠BAC 的角平分线上．

4.如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足，求证：D 在∠BAC 的

角平分线上．

（第10题）

M

F E D

C

B

A

F

C

D

A

B

E

第6题图

C

N P

M

D

B

A

O

N

M

P

C

B

A

A

B

C

D

E

5．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90o

，AC ＝BC,AD 为∠BAC 的平分线，AE ＝BC ，DE ⊥AB 垂足为E ，求证△

DBE 的周长等于AB ．

6．如图，已知PA ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且PA ＝PB ．∠MON ＝50o

，∠OPC ＝30o

，求∠PCA 的大小．

7、已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 到E ，使CE=CD. 求证：DB=DE

8、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高. 求证：AD 垂直平分EF.

9.已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．求证：OB ＝OC ．

10、阅读下题及其证明过程：

已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)

问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程。