运筹学第六章
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运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
《运筹学》第六章网络计划方法
关键路径分析
什么是关键路径?
是需要在规定时限内完成的，不 能被延误的最长任务序列。
为什么重要?
因为这条路径上的任何延误都会 导致整个项目的延误。
如何确定?
通过计算出每个任务的最早开始 时间和最晚结束时间，从而找出 关键路径。
项目进度管理
1
制订进度计划
确定任务的完成时间，为项目进度的管
进度监控
2
理提供基础。
风险管理的好处?
有助于降低项目失败风险，增强 规划的稳健性，避免额外成本损 失和延迟。
关键路径法和PERT/CPM方法的比较
相似点
都是用来解决项目延误问题、进行进度计划、任务分析等。
不同点-PERT/CPM
适合单一的大规模计划，对时间的估计更加准确，适合波动较大的工作。
不同点-关键路径法
更适合复杂的工作计划，可以快速有效地过滤重要的任务，以使项目进度良好地推进。
运筹学网络计划方法
运筹学网络计划是一个强大的项目管理工具，能够帮助团队更好地理解项目， 并更好地规划工作。
定义
1 网络计划
是指通过图形化的方式，展现了项目中各项 任务的工作量、执行时间以及任务间的依赖 关系。
2 网络计划方法
是利用网络图形的结构，为项目管理提供项 目的计划、实施、控制和组织，以确保项目 的顺利开展。
网络计划在实际项目中的应用
1
建筑
对建筑贸易来说，它是一种标准的工具，用于确定工作任务，减少延误、提早完 成。
2
IT 项目
在软件和硬件开发过程中，它被广泛使用，以便跟踪任务、减少重叠和缺陷，并 计划偏差管理方法。
3
制造业
网络计划可帮助管理、确定生产期、调度工作、支持制造商的计划和进度控制。
运筹学第六章网络计划
工序(i,j)的总时差=(j)最迟开始时间-t(i,j) -(i)最早开始时间
工序(i,j)的自由时差=(j）最早开始时间- (i）最早完成时间
所有时间参数
例3（P136）某项课题研究工作分解的作业表如下。根据此表绘制此项科研工作的网络图，计算时间参数，并确定关键路线。
工序代号
工序
紧前工序
工序时间
（3）按照工作的新工时，重新计算网络计划的关键 路线及关键工序。
（4）再比较关键工序的直接费用率与间接费用率。
不断重复，直到使总费用上升为止。 （直接费用率>间接费用率）
注：若压缩引起出现多于一条新的关键路线时，需同时压缩各关键路线.
（因为不同时压，则工期不能缩短， 工期=关键工序上工时之和）
表示相邻工序时间分界点，称为事 项，
用 表示
（3）相邻弧：
表示工序的前后衔接关系，称为紧前 （或紧后）关系。
如
A
B
A是B的紧前工序，B是A的紧后工序。
A
（4）虚工序（虚箭线）
为表示工序前后衔接关系的需要而增加的。
6.1 网络计划图的绘制 6.2 时间参数计算与关键路线确定 6.3 网络图的调整及优化
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1.问题的一般提法：
设有一项工程，可分为若干道工序，已知各工序间 的先后关系以及各工序所需时间t。
问：
（1）工程完工期T？
（2）工程的关键工序有哪些？
若再各压缩1天
则应压缩B、C（同时压）
此时的直接费用率将是3+4=7>5
故最低成本工期为10天。
注：
（1）有时资料未给可压缩时间，但给了正常工作时间及最短工作时间。则压缩时间=正常工作时间-最短工作时间。
运筹学第六章
1
4
1-3
5
1-4-7
1-4-5-8 575 150
10
175
最短路线为650
175
200 350
425
8
225
27
3
7
图论
【例1】用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。
1-2 v2 3 v1-2-4 4 5 4 1 2 2 2 v3 1-2-3 4 4 v5 1-2-5 5 v6 1-2-5-6 7
例如
性质1：任何树至少有一个悬挂节点 性质2：具有n个顶点的树的边恰好为(n-1)条 性质3：任何具有n个顶点、(n-1)条边的连通图是树图。 树图的任意两个点之间有一条且仅有一条唯一的通路，是最脆弱 的连通图
14
图论
v4 v1
【例】树的形成
v5
v2 已知在五个城市间架设电话线，要求任何两个城市都 v3 可以通话（允许通过其它城市），并且电话线的条数最少。 方案一 v4 方案二 v4 方案三 v4 v5
v4
此为最小树杈，最小线路长度为15
24
练习：求最小树杈
5 2 2 3 3 3 2 2 3 3 4 2 2
1 2
5
25
图论
§6.3
最短线路问题
一、起点到终点的最短距离
当通过网络的各边所需时间、距离或费用为已知时，找出从入 口到出口所需的最少时间、最短距离或最少费用的路径问题，称做 网络的路线问题。 （一）狄克斯彻(Dijkstra)算法（适用于wij≥0） （二）逐次逼近算法思想（适用于有wij≤0）
5
7
8
4
12 4-6-5-7
7 6-5-7
32
答案：1-2-3-5-7或1-2-3-6-5-7路长16
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学第六章
OR3 9
2、图的支撑树 支撑树：设T=(V,E’)是图G=(V,E)的支撑子图， 如果T是一个树，则称T为G的支撑树。 定理7：图G有支撑树的充要条件是图G是连 通的。 求支撑树的方法： 破圈法：即任取一个圈，从圈中去掉一条 边，对余下的图重复这个步骤，直至图中不含 圈为止。 避圈法：在图中每次任取一条边，与已经 取得的任何一些边不够成圈，重复这个过程， 直到不能进行为止。
OR3
18
为了求得公式的解可以运用以下公式： 令： (1)
d (v , v ) w
s j (t ) s j
sj
( j 1,2,..., p )
( t 1)
对t 2,..., k ,
d (v , v ) min d
i （k ) ( k 1) s j
(v s , vi ) wij
w( P0 ) min w( P)
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 13
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs ,..., vi ,..., v j vs ,..., vi
v s 到vi的最短路
适用范围：有向图，且图中有wij﹤0。 假设前提：任意两点vi, vj之间都有一条弧。 （若无，则添加一条虚拟的弧，且其权值为 ＋∞。） v 到v 的最短路 公式来源分析：
s j
vs ,..., vi ,..., v j vs ,..., vi vi ,..., v j
北京
天津
济南
青岛
郑州
徐州
连云港
运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
运筹学第六章
(0) 9 V1
8
V4 7
(11) 3 7
§4网络的最大流
4-1网络最大流的有关概念
1、有向图和容量网络 有向图：D(V,A)
A是弧的集合aij=(vi，vj)
容量网络:网络上的每条弧都给出一个最大通行
能力，称为该弧的容量，记为cij=c(vi，vj)
容量网络中的点：
• 发点s
• 收点t
• 中间点
简单图：无环无多重边的图
链：点边序列u=(v1, e1 , v2, e2 , …, en-1,vn),其
中e1, e2 , …, en互不相同，ei =(vi,vi+1）
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2)
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2, e6,v4)
圈：起点和终点重合的链
2、流和可行流
流：网络各条弧上的负载量，记为fij=f(vi，vj)
可行流：
• 容量限制0≤fij ≤cij • 中间点平衡∑fai = ∑fja
一定存在可行流 吗？
v(f)=∑fsj = ∑fjt
网络最大流
部分图
子图
§2树和图的最小部分树 2-1树的概念与性质 例
山东建筑大学 管理学院 土木学院
土管 工业工程 …
…
教务处
…
定义 连通且无圈的图称为树
性质1 任何树中必存在次为1的点
性质2 具有n个顶点的树的边数恰好为(n-1)
性质3 任何具弱的连通图
A 2
5 C B 1 3 4
2 S 4
7 5 D 5 7 T
1 E
2 S 4
A 2
5 C B 1 3 4
7 5 D 5 7 T
运筹学(首都经济贸易大学)第六章 运输问题
（a）
（b） （c）
（d）
（e）
有关闭回路的一些重要结果
定理6-1 设 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 , , xis js xis j1是一个闭
回路，则该闭回路中的变量所对应的系数列
向量 Pi1 j1 , Pi1 j2 , Pi2 j2 , Pi2 j3 , , P P is js is j1 具有下面的
3. m+n-1个变量构成基变量的充要条件 是它们不构成闭回路。
定义6.1 凡是能排成
x , x , x , x , , x x i1 j1 i1 j2 i2 j2 i2 j3
is js is j1
(6-2)
或
x , x , x , x , , x x i1 j1 i2 j1 i2 j2 i3 j2
其对应的列向量
p , i1 j1 p , i1 j2 p , i2 j2 pi2 j3 , , p , is js pis j1
线性相关
pi1 j1 pi1 j2 pi2 j2 pi2 j3 , pis js pis j1
ei1 em j1 ei1 em j2 ei2 em j2 ei2 em j3 eis em js eis em j1
A
1
1
1 1
1 1 1 am
1
b1
1
b2
1
1
1 bn
证明系数矩阵A及其增广矩阵的秩都是m+n-1
前m行相加之和减去后n行相加之和结果是 零向量，说明m+n个行向量线性相关，因此
运筹学―第六章非线性规划精品PPT课件
F1 1 Fn1 Fn2
, n 2,3,
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
23 3
…
Fn1
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Fn
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
… 233
hj (x) 0, j 1,...q
(NLP)
X
x
Rn
gi (x) hj (x)
0, i 1,..., p 0, j 1,..., q
约束集
如果(NLP)的约束集X是凸集，目标函数f是 X上的凸函数，则(NLP)叫做非线性凸规划， 或简称为凸规划。
凸规划的性质
定理 6.3 对于非线性规划(NLP)，若 gi ( x), i 1,..., p 皆为 Rn 上的凸函数， h j ( x), j 1,..., q 皆为线性函数， 并且 f 是 X 上的凸函数，则 NLP 是凸规划。
性质 6.2 设 S Rn 是非空凸集， f : Rn R 是凸函数， c R ，则集合
H S ( f , c) x S f ( x) c
是凸集。
凸函数的判 定
定理 6.1 设 S Rn 是非空开凸集， f : S R 可微，则
（1） f 是 S 上的凸函数的充要条件是
f ( x1 )T ( x 2 x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 ) ， x1 , x 2 S
试获得 n 组 与 t 之间的实验数据 (ti , i ) ，
i=1，2，…,n。试确定参数 c1 ， c 2 ， c 3 ，
运筹学第6章
1 1 检验行 基 x2 x1
引进松弛变量化成标准形，用 ⎧2 x1 + x2 ≤ 5 单纯形方法求解，得最优基所 ⎪4 x − x ≥ 2 对应的单纯形表： ⎪ 1 2
解 8/3 7/6 23/6
x1 0 1 0
x2 1 0 0
x3 2/3 1/6 5/6
x4 1/3 -1/6 1/6
2 1 2 非整数最优解。增加割平面： x3 + x4 ≥ 3 3 3
⎧1 若在i址建厂 设： yi = ⎨ ； x ij =从 i 厂址至销地 j 的运量 ⎩0 不在i址建厂
（吨/天） ，Z=总费用。则该问题的数学模型为：
min Z = ∑∑ cij xij + ∑ d i yi
i =1 j =1 i =1
m
n
m
⎧ n ⎪ ∑ xij ≤ ai yi , i = 1,2,", m =1 ⎪ jm ⎪ s.t ⎨∑ xij = b j , j = 1,2,", n ⎪ i =1 ⎪ xij ≥ 0 ⎪ y = 0,1 ⎩ i
去掉整数约束，得LP问题的最优解
1 7 5 x1 = 3 , x2 = 2 , max Z = 32 9 9 9 若按“四舍五入”取整， x1 = 3, x2 = 3
不满足第二个约束条件（左端等于36），不是可行解。 若舍去小数部分取整， x1 = 3, x2 = 2 ，虽然是可行解，但对应的目标函数值 Z = 28 ；而有另一个可行解 x1 = 4, x2 = 1 对应的目标函数值 Z = 29，显然 x1 = 3, x2 = 2 也不是最优解。 可见，圆整方法求解不适用。因此，整数线性规划要用 专门的方法求解。
这是一个纯整数规划问题。
3.工厂选址问题
引进松弛变量化成标准形，用 ⎧2 x1 + x2 ≤ 5 单纯形方法求解，得最优基所 ⎪4 x − x ≥ 2 对应的单纯形表： ⎪ 1 2
解 8/3 7/6 23/6
x1 0 1 0
x2 1 0 0
x3 2/3 1/6 5/6
x4 1/3 -1/6 1/6
2 1 2 非整数最优解。增加割平面： x3 + x4 ≥ 3 3 3
⎧1 若在i址建厂 设： yi = ⎨ ； x ij =从 i 厂址至销地 j 的运量 ⎩0 不在i址建厂
（吨/天） ，Z=总费用。则该问题的数学模型为：
min Z = ∑∑ cij xij + ∑ d i yi
i =1 j =1 i =1
m
n
m
⎧ n ⎪ ∑ xij ≤ ai yi , i = 1,2,", m =1 ⎪ jm ⎪ s.t ⎨∑ xij = b j , j = 1,2,", n ⎪ i =1 ⎪ xij ≥ 0 ⎪ y = 0,1 ⎩ i
去掉整数约束，得LP问题的最优解
1 7 5 x1 = 3 , x2 = 2 , max Z = 32 9 9 9 若按“四舍五入”取整， x1 = 3, x2 = 3
不满足第二个约束条件（左端等于36），不是可行解。 若舍去小数部分取整， x1 = 3, x2 = 2 ，虽然是可行解，但对应的目标函数值 Z = 28 ；而有另一个可行解 x1 = 4, x2 = 1 对应的目标函数值 Z = 29，显然 x1 = 3, x2 = 2 也不是最优解。 可见，圆整方法求解不适用。因此，整数线性规划要用 专门的方法求解。
这是一个纯整数规划问题。
3.工厂选址问题
《运筹学》课件 第六章 博弈论
§1 基本概念
一、博弈论的定义 二、博弈理论的历史 三、博弈问题举例 四、博弈的分类
三、
1. 囚犯困境（Prisoners’ dilemma
囚犯困境是图克（Tucker）1950年提出的； 该博弈是博奕论最经典、著名的博弈； 该博弈本身讲的是一个法律刑侦或犯罪学方面
的问题，但可以扩展到许多经济问题，以及各 种社会问题，可以揭示市场经济的根本缺陷。
所有局中人的策略组成的向量。)
s (s1,, si,, sn ) 表示n个局中人达成的
一个协议，当这个协议可以自动实施（Self-enforcing） 时，即没有任何局中人有积极性破坏这个协议，那么 这个协议就构成纳什均衡。
否则，若至少存在某些局中人有积极性偏离这个协 议，就构不成纳什均衡。
例：囚犯困境问题：
但是，尽管政府当时无力制止这种事情，公众也不 必担心彩电价格会上涨。这是因为，“彩电厂商自 律联盟”只不过是一种“囚徒困境”，彩电价格不 会上涨。在高峰会议之后不到二周，国内彩电价格 不是上涨而是一路下跌。这是因为厂商们都有这样 一种心态：无论其他厂商是否降价，我自己降价是 有利于自己的市场份额扩大的。
Ⅱ
坦白 抵赖
坦白
Ⅰ
-9，-9
0，-10
抵赖 -10，0 -1，-1
均衡解： 二人均坦白
相关概念介绍
➢博弈分析的基本假设 （1）个人理性 假设当事人在决策时能够充分考虑他所面临 的局势，并能做出合乎理性的选择。
（2）最大化自己的收益 假设当事人在决策时通常选择使自己收益最
大化的策略。
坦白 抵赖
➢ 博弈问题的基本要素 （1）局中人（Players）
现代博弈论主要指非合作博弈理论。非合作博弈 更受重视的原因：主导人们行为的主要还是个体理性， 而非集体理性；即，竞争是一切社会、经济关系的根 本基础，不合作是基本的，合作是有条件和暂时的。
运筹学-第6章
第一节 图的基本概念
5、子图
v1 e1 e4 e3 v3 图 1 v4 e5 v3 图 4 v4 图 5 v
2
v1
v
2
v1
e1
e4
v
2
e2
生成子图：包含图的所有顶点 （顶点）导出子图：G[V1]，其中 V1={v1 ,v2，v3}（图4） 边导出子图：G[E1]，其中 E1={e1 ,e4}（图5）
第二节 最短路问题
(5)总结
多阶段决策问题
网络模型
计算机求解
决策方案
第二节 最短路问题
三、每对顶点之间的最短路 1、实例 3（选址问题）:某城市要建立一个消防站，为该市 所属的七个区服务（图 13）.问：应设在哪个区，才能使它 至最远区的路径最短.
v1 3 v2 2 18 v3 2 3 v7 1.5 v
e7} （图17）
,
完美匹配：M={e2 , e5
e8
，
e9} （图18）
割边：e6 , e7
,
e8
，
e9 （图18）
§5.1 中国邮递员问题
二、欧拉图（Euler）
V1 e2 e1 e3 e4 V2 e5 V1 e2 e1 e4 e3 e5 V2
V3
图
巡回:经过每条边至少一次的闭途径 欧拉巡回:经过每条边正好一次的巡回 欧拉图：存在欧拉巡回的图 欧拉路：经过每条边正好一次的路
e5 图 1 v4
图G: G=(V,E)
|V(G)|=n
|E(G)|=m
顶点集：V={v1,v2 ,v3 ,v4} 边集：E={e1,e2 ,e3 ,e4, e5}
关系：e1=v1v2，e3=v1v4，e5=v4v4
运筹学课件第六章 非线性规划
或 x
k 1
x tk p , tk 0
k k
称p k 为 第k轮 搜 索 方 向 ， 为 第k轮 沿 搜 索 方 向 tk p k的 步 长 。
第11页
n n n 定义3 设f : R R, x R , p R , p 0， 0，使得 若
f ( x tp) f ( x ), t (0, )
2 1
令 0 得： f ( x1 )T ( x 2 x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 )
f ( x 2 ) f ( x1 )
第23页
x1 , x 2 S f ( x ) ( x x ) f ( x ) f ( x )
1 T 2 1 2 1
1 T 2 1 2 1
证 (1) 必要性.设f是S上的凸函数，则对 (0,1), 有
f ( x 2 (1 ) x1 ) f ( x 2 ) (1 ) f ( x1 )
x1 , x 2 S
f ( x 1 ( x 2 x 1 )) f ( x1 )
第14页
全局优化算法概述
全局优化方法可分为随机性方法和确定性方法. 确定性方法充分利用了问题的解析性质, 如函数的 凸性、单调性、稠密性等, 产生一个确定性的有限 或无限点序列, 使得该点序列收敛于全局最优解. 包 括分枝定界算法、区间算法、填充函数法、割平面 法、顶点枚举法等,这类算法在理论上有较强的可行 性, 但对较为复杂的大型优化问题却难于应用.
如果有 f ( x* ) f ( x), x D, x x* 则称 x * 是(P)的严格全局最优解或严格全局极小点， 称 f ( x * ) 是(P)的严格全局最优值或严格全局极小值。
运筹学第六章6.4 最 大 流 问题
3．调整过程：
j 指增广链上所有弧的流量修正量；
调整方法： 在增广链的正向弧上增加 ； 反向弧上减少 ； 其它弧上流量不变。
j
（3）用上述同样的方法对修正流量后的网 络图再次进行标记化工作，得各顶点的标 号如下：
起点vs（- ， ），顶点v2（vs+，2） 顶点v3、v4、v5、v6等都不能标记。因 此，终点也就得不到标记，即已不存在流 量修正路线。故流量修正工作到此为止。
图2就是最大流量网络图，由图中可 知最大流流量为20。
（2）在容量网络中从起点vs到收点vt 的一条链中，按弧的方向分 ①前向弧（正向弧）——与链的方向 一致的弧。前向弧全体记为μ+；
②后向弧（反向弧）——与链的方向 相反的弧。后向弧全体记为μ_； 其中,链的方向规定为:
从起点vs指向终点vt。
(3)按点来分 任一顶点vi处，流入的弧称为对 节点vi的后向弧，流出的弧称为对节 点vi的前向弧。
重复步骤二，但要注意把vs换成已得
到标号的点；可能出现两种结局： a.标号过程中断，收点得不到标号。 说明该网络中不存在增广链，现行的可 行流就是最大流； b.收点得到标号，反向追踪即可找到 一条从起点到收点由标号点及相应的弧连 接而成的增广链。
修改流量，其中流量调整量 min j ，
（3）可行流：在容量网络上，满足容量限 制条件和中间点平衡条件（连续性定理）的图 上的流。 即 0≤Xij≤bij;
is f A xij ( jAx ji 0 i s, t (i , j ) ,i ) f it
其中f为网络中从起点s到终点t的流量。 问： 零流是不是可行流？
2．流与可行流
（1）流：①弧上的流——网络中加在弧上的负载 量。记为fij或xij。 ②图上的流——加在网络中各条弧上
运筹学第06章
2
x 2 x1
0
2 2 f (X ) 0
由于其黑塞矩阵 2 f(X)不定，故X=(0,0)T不 是极值点，而是一个鞍点。
定义：
凸 函 数 和 凹 函 数
设f(X)为定义在n维欧氏空间En中某个凸集Rc上的函 数，若对任何实数α(0＜α＜1)以及Rc中的任意两点X(1) 和X(2)，恒有 f(αX(1)+(1-α)X(2))≤αf(X(1))+(1-α)f(X(2)) 则称f(X)为定义在Rc上的凸函数。 若对每一个α(0＜α＜1)和任意两点X(1)≠X(2)∈Rc，恒 有 f(αX(1)+(1-α)X(2))＜αf(X(1))+(1-α)f(X(2)) 则称f(X)为定义在Rc上的严格凸函数。 反之即可得到凹函数和严格凹函数的定义。显然，若 函数f(X)=-g(X)是凸函数(严格凸函数)，则g(X)一定是 凹函数(严格凹函数)。
在x1Ox2坐标平面上 画出目标函数的等 值线，它是以点(2， 1)为圆心的同心圆。
1 O 0
1
2
3
4
5
x1
x1 A
根据约束条件画出可行域， 它是抛物线段ABCD B C
二 维 问 题 的 图 解
1 O 0
D 1 2 3 4 5 x1
分析： 令动点从A出发沿抛物线ABCD移动，当动点从A移向 B时，目标函数值下降；当动点由B移向C时，目标函数 值上升。从而可知，在可行域AC这一范围内，B点的目 标函数值f(B)最小，因而点B是一个极小点。 当动点由C向D移动时，目标函数值再次下降，在D点 (其坐标为(4，1))目标函数值最小。
解 对矩阵A：
a 1 1 5 0,
5 A 2 2 2 6 0
x 2 x1
0
2 2 f (X ) 0
由于其黑塞矩阵 2 f(X)不定，故X=(0,0)T不 是极值点，而是一个鞍点。
定义：
凸 函 数 和 凹 函 数
设f(X)为定义在n维欧氏空间En中某个凸集Rc上的函 数，若对任何实数α(0＜α＜1)以及Rc中的任意两点X(1) 和X(2)，恒有 f(αX(1)+(1-α)X(2))≤αf(X(1))+(1-α)f(X(2)) 则称f(X)为定义在Rc上的凸函数。 若对每一个α(0＜α＜1)和任意两点X(1)≠X(2)∈Rc，恒 有 f(αX(1)+(1-α)X(2))＜αf(X(1))+(1-α)f(X(2)) 则称f(X)为定义在Rc上的严格凸函数。 反之即可得到凹函数和严格凹函数的定义。显然，若 函数f(X)=-g(X)是凸函数(严格凸函数)，则g(X)一定是 凹函数(严格凹函数)。
在x1Ox2坐标平面上 画出目标函数的等 值线，它是以点(2， 1)为圆心的同心圆。
1 O 0
1
2
3
4
5
x1
x1 A
根据约束条件画出可行域， 它是抛物线段ABCD B C
二 维 问 题 的 图 解
1 O 0
D 1 2 3 4 5 x1
分析： 令动点从A出发沿抛物线ABCD移动，当动点从A移向 B时，目标函数值下降；当动点由B移向C时，目标函数 值上升。从而可知，在可行域AC这一范围内，B点的目 标函数值f(B)最小，因而点B是一个极小点。 当动点由C向D移动时，目标函数值再次下降，在D点 (其坐标为(4，1))目标函数值最小。
解 对矩阵A：
a 1 1 5 0,
5 A 2 2 2 6 0
运筹学第六章6.5最小费用最大流问题
该算法基于Ford-Fulkerson方法和增广路径的概念，通过不断寻找增广路径并更 新流，最终得到最大流。
预处理步骤
初始化
为每个节点和边设置相应的容量和费 用。
残量网络构建
寻找增广路径
在残量网络中寻找增广路径，即从源 点到汇点存在一条路径，该路径上的 所有边都未满载且具有正的残量。
根据边的容量和费用，构建残量网络。
05
算法的复杂度和优化
时间复杂度分析
算法时间复杂度
最小费用最大流问题通常使用Ford-Fulkerson算法或其变种来解决，时间复杂度为O(V^3 * E)，其中V是 顶点数，E是边数。
优化策略
为了提高算法效率，可以采用预处理、动态规划、记忆化搜索等策略，减少不必要的计算和重复计算 。
空间复杂度分析
最小费用最大流问题可以应用于多种 实际场景，如物流运输、能源分配、 通信网络等。
背景和重要性
最小费用最大流问题作为网络流问题 的一个重要分支，在计算机科学、运 筹学和工程领域具有广泛的应用价值。
解决最小费用最大流问题有助于优化 资源配置、降低成本和提高效率，对 于实际问题的解决具有重要的意义。
02
此外，随着计算科学和数据科学的快速发展，如 何利用新的技术和方法来求解最小费用最大流问 题也是值得关注的方向。
例如，如何设计更高效的算法来求解大规模的最 小费用最大流问题？如何处理具有特殊性质的最 小费用最大流问题？如何将最小费用最大流问题 的思想和方法应用到其他领域？
因此，未来对于最小费用最大流问题的研究仍具 有广阔的空间和挑战性。
案例一：简单网络流问题
问题描述
给定一个有向图G(V,E)，其中V是顶点的集合， E是边的集合。每条边(u,v)有一个非负的容量 c(u,v)和一个非负的费用f(u,v)。求从源点s到 汇点t的最大流，使得流的总费用最小。
预处理步骤
初始化
为每个节点和边设置相应的容量和费 用。
残量网络构建
寻找增广路径
在残量网络中寻找增广路径，即从源 点到汇点存在一条路径，该路径上的 所有边都未满载且具有正的残量。
根据边的容量和费用，构建残量网络。
05
算法的复杂度和优化
时间复杂度分析
算法时间复杂度
最小费用最大流问题通常使用Ford-Fulkerson算法或其变种来解决，时间复杂度为O(V^3 * E)，其中V是 顶点数，E是边数。
优化策略
为了提高算法效率，可以采用预处理、动态规划、记忆化搜索等策略，减少不必要的计算和重复计算 。
空间复杂度分析
最小费用最大流问题可以应用于多种 实际场景，如物流运输、能源分配、 通信网络等。
背景和重要性
最小费用最大流问题作为网络流问题 的一个重要分支，在计算机科学、运 筹学和工程领域具有广泛的应用价值。
解决最小费用最大流问题有助于优化 资源配置、降低成本和提高效率，对 于实际问题的解决具有重要的意义。
02
此外，随着计算科学和数据科学的快速发展，如 何利用新的技术和方法来求解最小费用最大流问 题也是值得关注的方向。
例如，如何设计更高效的算法来求解大规模的最 小费用最大流问题？如何处理具有特殊性质的最 小费用最大流问题？如何将最小费用最大流问题 的思想和方法应用到其他领域？
因此，未来对于最小费用最大流问题的研究仍具 有广阔的空间和挑战性。
案例一：简单网络流问题
问题描述
给定一个有向图G(V,E)，其中V是顶点的集合， E是边的集合。每条边(u,v)有一个非负的容量 c(u,v)和一个非负的费用f(u,v)。求从源点s到 汇点t的最大流，使得流的总费用最小。
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圈：起点和终点重合的链
Hale Waihona Puke 连通图：图的每一对顶点之间至少存在一条链
完全图：任两点之间均有边相连的简单图
Cn2 =n(n-1)/2
n个端点的完全图，多少条边？
子图：图G1={V1,E1}，G2={V2,E2}，若V1 V2 ，
E1 E2 ，称G1为G2的子图
部分图：图G1={V1,E1}，G2={V2,E2}，若
分树中
2-3避圈法和破圈法
A 2
5 C B 1 3 4
2 S 4
7 5 D 5 7 T
1 E
2 S 4
A 2
5 C B 1 3 4
7 5 D 5 7 T
1 E
§3最短路问题
3-1Dijkstra算法
基本思路：
V5
V4
V1
V2
V3
步骤：
1. 从s点出发，标号0
2. 找到与s点相邻的所有点中距离最小的一个，设为 r，标号为Lsr=dsr的值 3. 从已标号的点出发，找出与这些点相邻的所有未 标号点p，若有Lsp=min{dsp ，Lsr+drp}，对p标号
V1=V2 ，E1 E2 ，称G1为G2的部分图
部分图
子图
§2树和图的最小部分树 2-1树的概念与性质 例
山东建筑大学 管理学院 土木学院
土管 工业工程 …
…
教务处
…
定义 连通且无圈的图称为树
性质1 任何树中必存在次为1的点
性质2 具有n个顶点的树的边数恰好为(n-1)
性质3 任何具有n个顶点、(n-1)条边的连通
V7 （乙地） 17 v2 15
（甲地）
6 3
5
v4
4 2 v5
6
V1
10
v3
4
v6
(22)
V7 （乙地）
v2
15
（甲地）
(13)
6 3 v4
17 5 6
V1
(18)
4
(0)
2
v5
10
4
v6
(16)
v3
(10)
(14)
P171
6.7(b)
V2 (9) 1 2 5 8 V3 (8) V5(10) 3 4 10 V6 (14) Vt (13)
4. 重复3，直到t点得到标号
V2 (5)
7 2 7
V5 (7) 3 1 6 V6 (6) V7 (10)
(0) 5 V1
2 V3 (2)
V4 6
(7) 4 2
例 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆
线，问如何架设使其光缆线路最短？下图给出了 甲乙两地间的交通图。权数表示两地间公路的长 度（单位：公里）。
图是树
性质4树是最脆弱的连通图
2-2图的最小部分树 部分树：如果G1是G2的部分图，又是树 树枝：图的各边（权重） 最小部分树：树枝总长最小的部分树
定理1 图中任一点i，若j是与i相邻点中距
离最近的，则边(i,j)必含在该图的最小部
分树中
推论 把图的所有点分成V和W两个集合，则 两个集合之间连线的最短边必包含在最小部
e1 =(v1,v1)
环:两个端点重合的边
多重边：两点之间多于一条边
简单图：无环无多重边的图
链：点边序列u=(v1, e1 , v2, e2 , …, en-1,vn),其
中e1, e2 , …, en互不相同，ei =(vi,vi+1）
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2)
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2, e6,v4)
(0) 9 V1
8
V4 7
(11) 3 7
§4网络的最大流
4-1网络最大流的有关概念
1、有向图和容量网络 有向图：D(V,A)
A是弧的集合aij=(vi，vj)
容量网络:网络上的每条弧都给出一个最大通行
能力，称为该弧的容量，记为cij=c(vi，vj)
容量网络中的点：
• 发点s
• 收点t
• 中间点
2、流和可行流
流：网络各条弧上的负载量，记为fij=f(vi，vj)
可行流：
• 容量限制0≤fij ≤cij • 中间点平衡∑fai = ∑fja
一定存在可行流 吗？
v(f)=∑fsj = ∑fjt
网络最大流
第六章 图与网络
图的基本概念 树和图的最小部分树 最短路问题 网络最大流
§1图的基本概念 定义 图G={V,E} 其中V是点的集合，E是边的集合
区别： • 几何图形 • 图G
e1 v1 e2 v2 e6 v4 v6 e4 e5 e7 e3 v3 e8 v5
e2=(v1,v2)或e2=(v2, v1)
Hale Waihona Puke 连通图：图的每一对顶点之间至少存在一条链
完全图：任两点之间均有边相连的简单图
Cn2 =n(n-1)/2
n个端点的完全图，多少条边？
子图：图G1={V1,E1}，G2={V2,E2}，若V1 V2 ，
E1 E2 ，称G1为G2的子图
部分图：图G1={V1,E1}，G2={V2,E2}，若
分树中
2-3避圈法和破圈法
A 2
5 C B 1 3 4
2 S 4
7 5 D 5 7 T
1 E
2 S 4
A 2
5 C B 1 3 4
7 5 D 5 7 T
1 E
§3最短路问题
3-1Dijkstra算法
基本思路：
V5
V4
V1
V2
V3
步骤：
1. 从s点出发，标号0
2. 找到与s点相邻的所有点中距离最小的一个，设为 r，标号为Lsr=dsr的值 3. 从已标号的点出发，找出与这些点相邻的所有未 标号点p，若有Lsp=min{dsp ，Lsr+drp}，对p标号
V1=V2 ，E1 E2 ，称G1为G2的部分图
部分图
子图
§2树和图的最小部分树 2-1树的概念与性质 例
山东建筑大学 管理学院 土木学院
土管 工业工程 …
…
教务处
…
定义 连通且无圈的图称为树
性质1 任何树中必存在次为1的点
性质2 具有n个顶点的树的边数恰好为(n-1)
性质3 任何具有n个顶点、(n-1)条边的连通
V7 （乙地） 17 v2 15
（甲地）
6 3
5
v4
4 2 v5
6
V1
10
v3
4
v6
(22)
V7 （乙地）
v2
15
（甲地）
(13)
6 3 v4
17 5 6
V1
(18)
4
(0)
2
v5
10
4
v6
(16)
v3
(10)
(14)
P171
6.7(b)
V2 (9) 1 2 5 8 V3 (8) V5(10) 3 4 10 V6 (14) Vt (13)
4. 重复3，直到t点得到标号
V2 (5)
7 2 7
V5 (7) 3 1 6 V6 (6) V7 (10)
(0) 5 V1
2 V3 (2)
V4 6
(7) 4 2
例 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆
线，问如何架设使其光缆线路最短？下图给出了 甲乙两地间的交通图。权数表示两地间公路的长 度（单位：公里）。
图是树
性质4树是最脆弱的连通图
2-2图的最小部分树 部分树：如果G1是G2的部分图，又是树 树枝：图的各边（权重） 最小部分树：树枝总长最小的部分树
定理1 图中任一点i，若j是与i相邻点中距
离最近的，则边(i,j)必含在该图的最小部
分树中
推论 把图的所有点分成V和W两个集合，则 两个集合之间连线的最短边必包含在最小部
e1 =(v1,v1)
环:两个端点重合的边
多重边：两点之间多于一条边
简单图：无环无多重边的图
链：点边序列u=(v1, e1 , v2, e2 , …, en-1,vn),其
中e1, e2 , …, en互不相同，ei =(vi,vi+1）
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2)
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2, e6,v4)
(0) 9 V1
8
V4 7
(11) 3 7
§4网络的最大流
4-1网络最大流的有关概念
1、有向图和容量网络 有向图：D(V,A)
A是弧的集合aij=(vi，vj)
容量网络:网络上的每条弧都给出一个最大通行
能力，称为该弧的容量，记为cij=c(vi，vj)
容量网络中的点：
• 发点s
• 收点t
• 中间点
2、流和可行流
流：网络各条弧上的负载量，记为fij=f(vi，vj)
可行流：
• 容量限制0≤fij ≤cij • 中间点平衡∑fai = ∑fja
一定存在可行流 吗？
v(f)=∑fsj = ∑fjt
网络最大流
第六章 图与网络
图的基本概念 树和图的最小部分树 最短路问题 网络最大流
§1图的基本概念 定义 图G={V,E} 其中V是点的集合，E是边的集合
区别： • 几何图形 • 图G
e1 v1 e2 v2 e6 v4 v6 e4 e5 e7 e3 v3 e8 v5
e2=(v1,v2)或e2=(v2, v1)