集合与元素的有关概念
元素与集合的概念
元素与集合的概念1. 元素的概念在数学中，元素是指集合中的一个个体或成员。
元素可以是任何事物、对象、数字等。
元素是集合的构成部分，一个集合可以包含多个元素。
1.1 定义元素的定义可以通过集合论的角度进行解释。
在集合论中，元素是指集合中的一个个体，该个体可以是任何事物、对象、数字等。
元素是集合的基本构成单位，集合中的每个元素都是独立的，没有重复。
1.2 重要性元素在数学中起着非常重要的作用，它是集合论的基础概念之一。
元素的概念使得我们能够将不同的个体或事物进行分类和组织，从而建立起数学中的各种集合。
元素的概念也是数学中许多重要理论和定理的基础，例如集合的交并运算、集合的包含关系等。
1.3 应用元素的概念在数学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：•集合论：元素是集合论的基本概念，集合论研究的对象就是集合和其中的元素之间的关系和性质。
•数论：元素可以是整数、有理数、实数等，用于研究数的性质和规律。
•几何学：元素可以是点、线、面等几何图形的基本构成单位，用于研究几何图形的性质和关系。
•概率论：元素可以是随机试验的结果，用于研究随机事件的概率和统计规律。
2. 集合的概念集合是由一些确定的元素组成的整体，是数学中最基本的概念之一。
集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素。
集合可以用不同的方式表示和描述，例如列举法、描述法、集合运算等。
2.1 定义集合的定义可以从直观和集合论两个角度进行解释。
•直观定义：集合是由一些确定的元素组成的整体。
集合中的元素可以是任何事物、对象、数字等。
集合中的元素是独立的，没有重复。
•集合论定义：集合是一个确定的对象，该对象的性质是一个个体是否属于该对象。
例如，集合A表示所有满足某个条件的元素的集合，可以表示为A={x|x满足某个条件}。
2.2 重要性集合在数学中起着非常重要的作用，它是数学的基础概念之一。
集合的概念使得我们能够将不同的元素进行分类和组织，从而建立起数学中的各种结构和理论。
(完整版)集合知识点点总结
集合概念一：集合有关概念1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
3.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有A⊆（或B⊇Ａ）包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；注意：B（2）A与B是同一集合。
集合的所有概念
集合的所有概念
集合是现代数学的一个重要概念，它是指由一些确定的元素所组成的整体。
以下是集合的一些基本概念：
1. 元素：组成集合的个体。
2. 子集：如果集合A 中的所有元素都属于集合B，则称集合A 是集合B 的子集。
3. 真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但A 不等于B，则称集合A 是集合B 的真子集。
4. 并集：由属于集合A 或属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集。
5. 交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集。
6. 补集：在一个给定的集合中，除了该集合中的元素之外的所有元素组成的集合，称为该集合的补集。
7. 空集：不包含任何元素的集合。
8. 列举法：将集合中的元素一一列举出来表示集合的方法。
9. 描述法：用集合所满足的条件来表示集合的方法。
10. 文氏图：用平面上的矩形框来表示集合及集合之间的关系的图形。
元素与集合的关系符号
元素与集合的关系符号
1 集合元素与集合的关系
集合是一种专业术语，表示由一组具有特定特征的相同或不同的元素的集合。
集合元素是集合中的每个基本成分，它可以是数字、实体或概念。
集合元素的数量取决于集合的规模，如果集合的元素是无限的，那么它就可以被定义为无穷集合。
集合元素与集合之间的关系可以用四个不同的符号来表示，包括属于、不属于、子集和超集。
“属于” 符号（∈）表示集合元素在该集合中，而“不属于”符号（∉）表示集合元素不在该集合中。
“子集”符号（⊆）表示一组元素在另一组元素中，而“超集”符号（⊇）表示一组元素包括另一组元素。
通常情况下，当我们遇到一个关于集合的问题，我们会考虑集合的每个元素，并确定它们之间的关系。
它们之间的关系可以用三元运算符（“=”，“<”和“>”）或四个关系符号（属于，不属于，子集和超集）表示。
因此，我们需要了解这些符号如何表示集合元素与集合之间的关系。
总的来说，集合元素是集合的基本单位，它们与集合之间的关系是由不同的符号来进行描述的，属于、不属于、子集和超集符号可以用来描述集合的特性。
此外，我们还可以使用三元运算符来表达集合的一般性特征。
集合的概念与运算
集合的概念与运算教案●知识梳理 1.集合的有关概念2.元素与集合、集合与集合之间的关系 （1）元素与集合：“∈”或“”.（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系. 3.集合的运算（1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记为A ∩B ，即A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }. （2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集，记为A ∪B ，即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. （3）补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A S ），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集S 中的补集（或余集），记为SA ，即S A ={x |x ∈S 且x A }.●点击双基1.（2004年全国Ⅱ，1）已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于A.{x |x ＜－2}B.{x |x ＞3}C.{x |－1＜x ＜2}D.{x |2＜x ＜3}2.（2005年北京西城区抽样测试题）已知集合A ={x ∈R|x ＜5－}，B ={1，2，3，4}，则（R A ）∩B 等于A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}∉⊆∉23.（2004年天津，1）设集合P ={1，2，3，4，5，6}，Q ={x ∈R|2≤x ≤6}，那么下列结论正确的是A.P ∩Q =PB.P ∩Q QC.P ∪Q =QD.P ∩Q P4.设U 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q U ，若求含P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______________.5.已知集合A ＝｛0，1｝，B ＝｛x ｜x ∈A ，x ∈Ｎ*｝，C ＝｛x ｜x A ｝，则A 、B 、C 之间的关系是___________________.●典例剖析【例1】 已知A ={x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ={x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值.深化拓展∅⊆（2004年上海，19）记函数f （x ）=的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B . （1）求A ；（2）若B A ，求实数a 的取值范围.【例2】 （2004年湖北）设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R|mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 A.P Q B.Q P C.P =Q D.P ∩Q =Q132++-x x ⊆【例3】已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.●闯关训练夯实基础1.集合A={（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|x－y=2}，则A∩B是A.（1，－1）B.C.{（1，－1）}D.{1，－1}2.（2004年上海，3）设集合A ={5，log 2（a +3）}，集合B ={a ，b }.若A ∩B ={2}，则A ∪B =______________.3.设A ={x |1＜x ＜2}，B ={x |x ＞a }，若A B ，则a 的取值范围是___________________.4.已知集合A ={x ∈R|ax 2+2x +1=0，a ∈R}只有一个元素，则a 的值为__________________.5.（2004年全国Ⅰ，理6）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ，则下列各式中错误．．的是 A.（I A ）∪B =I B.（I A ）∪（I B ）=I C.A ∩（I B ）= D.（I A ）∩（I B ）=I B 6.（2005年春季北京，15）记函数f （x ）=log 2（2x －3）的定义域为集合M ，函数g （x ）= 的定义域为集合N .求：（1）集合M 、N ； （2）集合M ∩N 、M ∪N .⎩⎨⎧-==11y x ⊆⊆∅)1)(3(--x x培养能力7.已知A ={x ∈R|x 2+2x +p =0}且A ∩{x ∈R|x ＞0}=，求实数p 的取值范围.8.已知P ={（x ，y ）|（x +2）2+（y －3）2≤4}，Q ={（x ，y ）|（x +1）2+（y －m ）2＜}，且P ∩Q =Q ，求m 的取值范围.探究创新9.若B ={x |x 2－3x +2＜0}，是否存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A ？请说明你的理由.41●思悟小结1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.教学点睛1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.3.强化数形结合、分类讨论的数学思想.拓展题例【例1】设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N={x|x∈M且x N}，则M－（M－N）等于A.NB.M∩NC.M∪ND.M【例2】设集合P={1，a，b}，Q={1，a2，b2}，已知P=Q，求1+a2+b2的值.。
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
集合的概念和定义
集合的概念和定义
集合是指具有一定特性的事物的总体，是由一些个体构成的整体。
集合中的个体称为元素，元素不重复，且没有顺序。
集合的定义包括以下几个要素：
1. 元素：集合中的个体，可以是任意事物，例如数字、字母、人、动物等。
2. 集合符号：用大括号{}表示一个集合，元素用逗号分隔并放入大括号中。
例如，{1, 2, 3}表示一个包含元素1、2、3的集合。
3. 空集：不包含任何元素的集合，用符号{}表示。
4. 元素的判断：对于集合中的任意一个元素，要么属于集合，要么不属于集合，用符号"∈"表示属于，用符号"∉"表示不属于。
5. 元素的重复：集合中的元素是唯一的，不会有重复的元素。
即使多次出现同一个元素，也只算作一个元素。
6. 无序性：集合中的元素没有顺序，元素之间没有先后关系。
7. 相等性：集合的相等性是指两个集合包含的元素完全相同，不考虑元素的顺序。
8. 子集和超集：若集合A中的所有元素都属于集合B，那么
集合A称为集合B的子集，集合B称为集合A的超集，用符号"⊆"表示子集，用符号"⊇"表示超集。
以上是集合的基本概念和定义，集合理论是数学中的一个基础概念，被广泛应用于各个领域。
高一数学集合的含义与表示
高一数学集合的含义与表示(1)集合的有关概念1.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
2.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
3.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a∉A 6．集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。
７．常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；课题：集合的含义与表示(2)集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
2．各个元素之间用逗号隔开3．元素不能重复；4．集合中的元素可以数，点，代数式等；5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内。
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：{}()x A p x ∈如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，{x ︳直角三角形}，…；。
元素与集合的相关概念
元素与集合的相关概念
集合是由一组事物组成的整体，其中每个事物称为集合中的元素。
集合中的元素是它
拥有的共同特征，或者有相同的起源或组成部分，而这个集合本身是有专有的性质的，由
于它的性质，集合可以被视为有序的，定义的集合中的元素可以有一定的特定条件，例如，在群集中，其元素必须有一定的加乘性质。
集合是一类学科，其元素可以是任何事物。
集合中元素是由它们的性质来定义，也可
以由它们的起源或组成部分来定义。
例如，在数论中，集合中的元素由它们的实数属性定义，例如整数、半数或根式；在代数中，集合中的元素可以是变量或者不等式；在几何中，集合中的元素是点、直线或面。
集合中的元素按照一定的特征可以分类，这样可以方便从它们的起源，性质或组成部
分中获得更多的信息。
比如，数论集合中可以分为整数集、有理数集、实数集等；几何集
合中可以分为点集、线集、面集等。
另外，在集合中，元素还可以分为子集和母集两类。
子集指的是由集合的一部分组成
的集合；而母集则指的是覆盖全部元素的集合。
例如，天平子集中的元素就是集合A，而
集合A的母集就是集合B。
另外，在集合中，还可以定义元素的个数，例如集合A中有5
个元素，则这个集合可以被称为五元集。
集合中的元素有着复杂而独特的关系，它们可以经过一定方法进行分类、排序、统计等，通过对元素进行深入分析，可以更好地挖掘集合内部信息，从而更好地理解集合的本质，从而更好地使用集合。
集合的含义与表示
例1：判断下列各组对象能否组成一个集合：
(1)9以内的正偶数；
(2)篮球打得好的人；
(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；
(4)高一(1)班所有高个子同学．
练习1：有下列4组对象：(1)某校2015级新生；(2)小于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的数．其中能构成集合的是________．
记作: ， 读作： 包含于 或 包含 。
特别提醒：1、“ 是 的子集”的含义是：集合 的任何一个元素都是集合 的元素，即由 ，能推出 。如： ； 。2、当“ 不是 的子集”时，我们记作：“ ”，读作：“ 不包含于 ，（或 不包含 ）”。如： 。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合 ，它的任何一个元素都属于集合 本身，记作 。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合 ，有 。5、在子集的定义中，不能理解为子集 是集合 中部分元素组成的集合。因为若 ，则 中不含有任何元素；若 = ，则 中含有 中的所有元素，但此时都说集合 是集合 的子集。
特别提醒：1、写清楚该集合中元素的代号；2、说明该集合中元素的特征；3、不能出现未被说明的字母；4、多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；5、所有描述的内容都要写在大括号内；6、用于描述的语言要力求简明、确切。7、错误表示法： {实数集}或 {全体实数}；正确的表示方法为：
（3）韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合 可用韦恩图表示为：
练习2：下列各组对象中，不能组成集合的是()
A．所有的正数B．所有的老人C．不等于零的数D．我国古代四大发明
类型二集合中元素的特性
例2：集合A是含有两个不同实数a－3,2a－1的集合，求实数a的取值范围．
集合的概念
第一节集合的概念及其表示1、集合的概念（1）集合：把一些具有共同特征的对象集在一起构成集合.（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a AÏ要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合分类根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分F，{}F，}0{，0等符号的含义根据集合的不同类型，可以把集合分为：数集、点集、集合集等4、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.，（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+应用示例：用符号∈或Ï填空:(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N;(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z;(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q;(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 变式训练：1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是__________________。
2.集合的概念及元素与集合间关系(学生版)
集合的概念及元素、集合与集合间关系（讲案）【教学目标】一、集合的概念、表示【知识点】1.定义：一般地，把确定的，不同的对象看成一个整体，这个整体叫做集合，这些对象称为元素。
集合通常用大写英文字母来表示，例如集合A，集合B、集合C，元素常用小写英文字母来表示，例如a b c。
,,2.常用数集：①非负整数集（自然数集），记作N②正整数集，记作*N或N+③整数集，记作Z④有理数集，记作Q⑤全体实数集，记作R3.集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合，记作∅4.集合的表示方法：① 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在“{}”内表示集合的方法。
使用列举法时元素间用分隔号“,”隔开，不重复，无顺序，对于含较多元素的集合，如果元素间有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表达清楚后才能用省略号。
② 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写成“(){}|x p x ”，x 为该集合的代表元素，()p x 是元素具有的性质③ venn 图示法：为了形象的描述集合，我们常常画一条封闭的曲线，用他的内部来表示集合。
【例题讲解】★☆☆例题1．下列语句是否能确定一个集合 ．（1）所有质数全体；（2）某校高一性格开朗的学生全体；（3）与1接近的实数的全体；（4）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的圆内所有的点（不包括圆上的点）；★☆☆练习1．A.接近于0的数的全体； B.比较小的正整数全体；C.平面上到点O 的距离等于1的点的全体；D.正三角形的全体；.其中能构成集合的是（ ）★☆☆例题2：用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内所有的质数组成的集合★☆☆练习1．用列举法表示下列集合：（1）我国古代四大发明组成的集合；（2）大于2且小于15的所有素数组成的集合；（3）方程22x =的所有实数根组成的集合.★☆☆练习2.用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1- 且小于5的整数组成的集合A ；（2）方程290x -＝ 的实数根组成的集合B ；（3）小于8 的质数组成的集合.C★☆☆例题3.用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A 、B 两点距离相等的点的集合（2）满足不等式21x >的x 的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈ （7）方程()0,x x a a R -=∈的解集★☆☆练习1.用描述法表示下列集合.（1）方程22x =的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
第一讲 元素与集合
第一讲 元素与集合一．集合的概念集合是一个原始的概念，是数学中一个不定义的概念．尽管如此，对一个具体的集合而言，很多情况下我们还是可以采用列举法或描述法给出它的一个准确而清晰的表示． 用描述法表示一个集合基于下面的概括原则：概括原则 对任给的一个性质P ，存在一个集合S ，它的元素恰好是具有性质P 的所有对象，即 S ＝｛)(x P x ｝，其中)(x P 表示“x 具有性质P ”．由此，我们知道集合的元素是完全确定的，同时它的元素之间具有互异性和无序性． 集合的元素个数为有限数的集合称为有限集，元素个数为无限数的集合称为无限集．如果有限集A 的元素个数为n ，则称A 为n 元集，记作n A =．空集不含任何元素．例1 设集合M ＝｛052<--ax ax x ｝ （1）当4=a 时，化简集合M ；（2）若M ∈3，且M ∉5，求实数a 的取值范围．例2 设A 是两个整数平方差的集合，即{}Z n m n m x x A ∈-==,,22．证明：（1）若A t s ∈,，则A st ∈．（2）若A t s ∈,，0≠t ，则22q p ts -=，其中q p ,是有理数．二、集合与集合的关系在两个集合的关系中，子集是一个重要的概念，它的两个特例是真子集和集合相等．从下面“充分必要条件”的角度来理解子集、真子集和集合相等的概念无疑是十分有益的：子 集：B A ⊆⇔对任意A x ∈，恒有B x ∈；真子集：A B ⇔⎩⎨⎧∉∈⊆Bx B x B A ''，但且存在；集合相等：A ＝B ⇔B A ⊆，且A B ⊆．容易证明两个集合关系的如下性质：1．∅⊆A ，∅A （A ≠∅）；2．A ⊆B ，B ⊆C ⇔A ⊆C ；3．“元集A 总共有n 2个不同的子集，有12-n 个不同的真子集．例1 设集合{}01<<-=m m P ，{}恒成立对任意实数x mx mx R m Q 0442<-+∈=，则下列关系中成立的是（ ）（A ）P Q （B ）Q P （C ）P ＝Q （D ）P ⋃Q ＝∅ 解题切入： 正确理解集合Q ，并解出Q ．导析： 对于Q ，可设44)(2-+=mx mx x f ，由442-+mx mx <0恒成立，知函数)(x f 图象全位于x 轴下方，①当0=m 时，4)(-=x f 显然成立；②当0≠m 时，有0100<<-⇒⎩⎨⎧<∆<m m ． 由①、②知{}01≤<-=m m Q ，故PQ ．即A 正确． 评注： 利用函数思想解决方程与不等式等问题是最常用的数学思想之一，在平常的学习中要有意识强化这种重要数学思想的应用．本题易错点：容易忽略m ＝0的情况，习惯地将)(x f相关链接：（1）设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A 不包含于B ⇔ 对任意A x ∈有B x ∉；②A 不包含于B ⇔ A ∩B ＝∅；③A 不包含于B ⇔ A 不包含B ；④A 不包含于B ⇔ 存在A x ∈且B x ∉其中正确命题的序号是 ．导析： （举特例）取A ＝｛1，2｝，B ＝｛1，3｝，排除①②；取A ＝｛1｝，B ＝∅，排除③评注： 本题综合考查集合的包含关系．例2 设集合{}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1),(22，{}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0),(2，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解题切入： 关键是分清数集与点集．（数形结合）：M 是由单位圆122=+y x 上的点组成，而N 是由抛物线2x y =上的点组成．画图可知M ∩N 中的公共元素（即交点）有两个，故选B ．评注： 利用数形结合思想，可避开复杂的运算过程，从而提高同学们的解题速度与准确性．相关链接：设A ，B ，I 为3个非空集合，且满足I B A ⊆⊆，则以下各式中错误的是（ ）（A ）（I A ）∪B ＝I （B ）（I A ）∪（I B ）＝I（C ）（I B ）∩A ＝∅ （D ）（I A ）∩（I B ）＝I B导析：由B A ⊆知（I A ）⊇I B ， ∴（I A ）∪（I B ）＝I A∵A ≠∅，例3 设函数b ax x x f ++=2)(（R b a ∈,），集合A ＝｛R x x f x x ∈=),(｝， B ＝｛()R x x f f x x ∈=,)(｝．（1）证明：B A ⊆；（2）当A ＝｛－l ，3｝时，求集合B ．分析 欲证B A ⊆，只需证明方程)(x f x =的根必是方程())(x f f x =的根．例 4 设关于x 的不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 和0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 、B ，求使B A ⊆的实数a 的取值范围．分析 要由B A ⊆求出a 的范围，必须先求出A 和B ．习 题1．已知三元实数集A ＝{}y x xy x +,,，B ＝{}y xy ,,0，且A ＝B ，则20052005y x +等于（ ）．（A ）0 （B ）2 （C ）1 （D ）－l2．集合{}Z l n m l n m u u M ∈++==,,,4812与{}Z r q p r q p u u N ∈++==,,,121620的关系为（ ）．（A ）M ＝N （B ）M ⊄N ，N ⊄M （C ）M N （D ）N M3．设(){}20,20,≤≤≤≤=y x y x A ，(){}4,2,10,-≤≥≤=x y y x y x B 是直角坐标平面xOy 上的点集．则⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=B y x A y x y y x x C ),(,),(2,222112121所成图形的面积是（ ）． （A ）6 （B ）6.5 （C ）2π （D ）74．已知非空数集M ⊆｛1，2，3，4，5｝，则满足条件“若M x ∈，则M x ∈-6”的集合M 的个数是（ ）．（A ）3个 （B ）7个 （C ）15个 （D ）31个5．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈>-<≤-N x x x x 且1,2110log 11的真子集的个数是 ． 6．已知{}R x x x x A ∈<+-=,0342，{}R x x a x a x B x ∈≤++-≤+=-,05)7(2,0221．若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．7．已知{}+∈+==Na a x x M ,12，{}+∈+-==N b b b x x N ,542，则M 与N 的关系是 ．8．非空集合S 满足：（1）S ⊆｛1，2，…，2n ＋1｝，+∈N n ；（2）若S a ∈，则有S a n ∈-+22． 那么，同时满足（1）、（2）的非空集合S 的个数是 ．9．集合{}54321,,,,x x x x x A =，计算A 中的二元子集两元素之和组成集合B ＝｛3，4，5，6，7，8，9，10，11，13｝．则A ＝．10．设集合M ＝｛1，2，3，…，1000｝，现对M 的任一非空子集X ，令X a 表示X 中最大数与最小数之和．求所有这样的X a 的算术平均值．11．用)(x σ表示非空的整数集合S 的所有元素的和．设A ＝｛1121,,,a a a ｝是正整数的集合，且1121a a a <<< ；又设对每个正整数n ≤1500，都存在A 的子集S ，使得)(x σ＝n ．求10a 的最小可能值．分析 要求10a 的最小值，显然应使)(x σ＝1500．又由题设，应使11a 尽可能大，且前10个数之和不小于750，故取11a ＝750．考虑整数的二进制表示，由1＋2＋…＋27＝255知，前8个数应依次为1，2，4，8，16，32，64，128．这时109a a +＝495，从而有10a ＝248．1．设E ＝{1，2，3，…，200}，G ＝{10021,,,a a a }⊆E ，且G 具有下列两条性质：（1）对任何1≤i<j ≤100，恒有201≠+j i a a ；（2）100801001=∑=i i a．试证明：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一个定数．跟着的是死算, 我xa1^2+a2^2+……+a100^2+(201-a1)^2+(201-a2)^2+……+(201-a100)^2=200x(200+1)x(2x200+1)/6=2686700平方和公式------↑2(a1^2+a2^2+……+a100^2)-402(a1+a2+……+a100) + 100x(201^2) = 2686700 ==> a1^2+a2^2+……+a100^2=1349380因为奇数的平方除以4余1 , 偶数的平方被4整除, 而1349380除以4余0,也就是说1349380被4整除那么G 中奇数必定是4的倍数,才满足平方和被4整除构造函数F(x)=(x-1/2)*(x-1/3)*...*(x-1/100),由定义可知X,X^3,X^5...X^97的系数和即为数集M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和；设F(X)=a0+a1*x+a2*x^2+....a98*x^98+x^99;则F(1)=a0+a1+....+a98+1=1/2*2/3*...*99/100=1/100;F(-1)=a0-a1+.....+a98-1=-3/2*4/3*...100/99*101/100=-101/2;所以a1+a3+...+a97=[F(1)-F(-1)-2]/2=4851/200选A 。
集合的概念知识点
集合的概念知识点集合的概念集合是数学中最基础、最重要的概念之一。
它是由一些元素组成的整体。
这些元素可以是任何东西，例如数、图形、字母、词语等等。
集合用大括号 {} 来表示，元素用逗号隔开。
例如，{1, 2, 3} 就是一个集合，其中的元素分别为 1、2、3。
又例如，{"apple", "orange", "banana"} 也是一个集合，其中的元素分别为苹果、橘子、香蕉。
集合与元素的关系在集合中，元素只能出现一次，即使一个元素在集合中出现多次，也只能算作一个元素。
例如，{1, 2, 3, 3} 就是一个包含三个元素的集合，其中元素 3 只算作一个。
我们可以用符号∈（表示“属于”）来描述一个元素是否属于一个集合。
例如，如果 A 是一个集合，a 是其中的一个元素，我们可以表示为 a ∈ A。
另外，我们也可以用符号∉（表示“不属于”）来描述一个元素是否不属于一个集合。
例如，如果 A 是一个集合，a 不是其中的一个元素，我们可以表示为 a ∉ A。
子集和超集集合 A 是集合 B 的子集，当且仅当 A 中的所有元素都属于 B。
我们可以用符号⊆（表示“是子集或等于”）来表示 A 是 B 的子集。
例如，如果 A = {1, 3}，B = {1, 2, 3}，我们可以表示为 A ⊆ B。
而集合 B 是集合 A 的超集，当且仅当 A 中的所有元素都属于 B。
我们可以用符号⊇（表示“是超集或等于”）来表示 B 是 A 的超集。
例如，如果 A = {1, 3}，B = {1, 2, 3}，我们可以表示为 B ⊇ A。
相等集合和空集如果两个集合 A 和 B 中的元素完全相同，即 A 中的元素全部属于 B，且 B 中的元素全部属于 A，那么我们称 A 和B 是相等的集合。
我们可以用符号 =（表示“相等”）来表示A 和 B 是相等的集合。
另外，我们还有一个称为空集的特殊集合。
高一数学必修1第一章集合定义
(2)适用范围：元素个数较少的集合．(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．7．子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A中任意一个元素都是集合B 中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)8．集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果A⊆B且B⊆A，就说集合A与B相等A＝B真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是B的真子集A B(或B A)9.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．10．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.答案 D解析 ∵B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，A ＝{1,2,3,4,5}，∴x ＝2，y ＝1；x ＝3，y ＝1,2；x ＝4，y ＝1,2,3；x ＝5，y ＝1,2,3,4.∴B ＝{(2,1}，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B 中所含元素的个数为10.10．如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．答案 {(x ，y )|－1≤x ≤3，且0≤y ≤3}解析 图中阴影部分点的横坐标－1≤x ≤3，纵坐标为0≤y ≤3，故用描述法可表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤30≤y ≤3. 11．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A . 解 ∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，∴a ·12＋2·1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13， ∴集合A ＝{－13，1}．三、探究与创新12．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.解 方法一 ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1. 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或a ＝1，b 为任意实数． 由集合元素的互异性得a ≠1，∴a ＝－1，b ＝0，故a 2014＋b 2014＝1.方法二 由A ＝B ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·a ·b ＝a ·a 2·ab ，1＋a ＋b ＝a ＋a 2＋ab ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ab (a 3－1)＝0， ①(a －1)(a ＋b ＋1)＝0. ② 因为集合中的元素互异，所以a ≠0，a ≠1.。
集合的概念
集合的概念
学习目标：
（1）集合的概念；
（2）集合元素的性质；
（3）元素与集合的关系；
（4）集合的分类，分类依据是什么？ （5）特定的数集。
2
自学检测
下列对象能否构成集合
（1）康成中学高一、3班全体同学 （2）关于x的方程x2-1=0的实数解 （3）美丽的小鸟 （4）教室内的桌椅 （5）著名的数学家 （6）高一级部的高个子
(3) {a,b,c,d}和{b,c,d,a}是不是表示同一个集合？
(4)“平方等于4的数”构成一个集合，写出该集合的元素。
(5)“young中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。 (6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。
5
二、集合中元素的特性
（1）确定性：
按照明确的判断标准给定一个元素或者 在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。 （2）互异性：集合中的元素没有重复。
集合中的元素没有一定 （3）无序性：
的顺序（通常用正常的顺序写出）
例题解析：试卷例1、例2
6
三、元素与集合的关系：
集合常用大写英语字母A、B、C……来表示。
元素常用小写英语字母a,b,c,d……来表示。
如果对象a是集合A 的元素，就记作a∈A， 读作a属于A；如果对象 a不是集合A的元素，就 记作a A，读作a不属 于A。 如：2∈Z，2.5 Z
7
四、常用数集及记法
（1）自然数集（非负整数集） N （2）正整数集 N+ （3）整数集 Z （4）有理数集 Q （5）实数集
练习A3、B1
R
例Hale Waihona Puke 3 练习98五、集合的分类
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的集合。 2、无限集(infinite set )：含有无限个元素的集合。
1.1.1集合与元素的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，如(1)中的几个偶数2，4等；
把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的4个集合。
2
2
集合中的元素有什么性质
确定性
对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。
也就是说，对于一个已知的集合来说，某个元素在不在这个集合里
，是确定的，要么在 ，要么不在，不能含糊其辞。
比如“较小的数”就不能构成集合
2
集合中的元素有什么性质
例1
考察下列每组对象，能构成集合的是（ D )
A.2 021年全国高考数学试卷中的所有难题
B.中国各地美丽的乡村
C. 3的近似数
D.不小于3的自然数
2
集合中的元素有什么性质
互异性
一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复
3－x
解析
由题意可得，3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为
2,1,0，因此A中元素有2,1,0.
5
随堂练习
2.给出下列说法：
①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则 Nhomakorabeaa∉Z；
③若a∈Q，b∈N＋，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为
A.0
解析
B.1
√
C.2
D.3
实数集中没有最小的元素，故①不正确；
当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0,2,3，故选B.
5
随堂练习
5.现有下列各组对象：
①著名的数学家；②某校今年在校的所有高个子同学；③不超过30的
所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标
系中第一象限内的点.其中能构成集合的是
集合与元素的含义
集合与元素的含义集合：把某些指定对象（研究对象）集在一起就形成一个集合元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素集合与元素的关系集合通常用大写拉丁字母A,B,C......表示，元素用小写拉丁字母a,b,c......表示。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作a属于集合A。
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A,记作a∉A，读作a不属于集合A。
注意：符号“∈”，“∉”是用来表示元素与集合之间关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系数学中一些常用的数集极其记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合, 记作N正整数集：非负整数集内排除0的集, 记作N*或N+整数集：全体整数的集合, 记作Z有理数集：全体有理数的集合, 记作Q实数集：全体实数的集合, 记作R练习一：判断数0，¾ ，π，-5，3分别属于N、Z、Q、R、N+中的哪个集合？集合的表示方法：图示法：用一条封闭的曲线所围成的图形的内部表示一个集合例如：用图示法表示大于5且小于10的整数用图示法表示大于1且小于10的偶数列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用大括号{ }括起来表示集合的方法。
例如：用列举法表示大于5且小于10的整数用列举法表示大于1且小于10的偶数用列举法表示由方程的所有解组成的集合用列举法表示从51到100的所有整数组成的集合练习二用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合（2）方程X2=X的所有实数根组成的集合（3）由1-20以内的所有素数组成的集合（4）所有正奇数组成的集合列举法适用于集合中元素较少的，可以列举出来的，而有些集合中的元素是列举不完的，但是我们可以用这个集合中的元素所具有的共同特征来描述，也就是集合的另一种表示方法---描述法描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
具体方法是：在大括号内先写上这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合元素所具有的共同特征。
集合与元素的有关概念（1）一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合
集合与元素的有关概念(1)一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合中的每个对象叫作这个集合的元素．(2)集合及其元素的记法集合常用大写字母A，B，C，D，…标记，元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．温馨提醒对集合中元素特性的认识(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．(3)无序性：在一个集合中，元素之间没有先后顺序，例如由1,2,3和3,2,1组合的集合是同一集合．【思考感悟】通过对集合含义的学习，你认为“我们班中高个子同学”、“中央电视台著名节目主持人”、“接近0的数”能组成一个集合吗？为什么？【提示】给定一个集合，任何一个研究对象要么在这个集合中，要么不在这个集合中，两者必居其一．以上例子中，研究对象不能确定下来，因此不能构成集合．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每一个对象是否是确定的，若元素确定，则可构成集合；元素不确定，则构不成集合．同时还要兼顾集合中每个对象所代表的元素的无序性与互异性．常用数集及其记法实数集R集合的表示集合的常用表示法有列举法和描述法．(1)列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法描述法是确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．集合的分类依据集合中所含元素个数的多少，把集合分为：(1)有限集：含有限个元素的集合，如集合A＝{2,4,6}；(2)无限集：含无限个元素的集合，如实数集R；(3)空集：不含任何元素的集合，记作∅.【思考感悟】集合{∅}与∅是否相同？【提示】∅是空集，指集合中不含有任何元素，而集合{∅}不是空集，该集合中含有一个元素∅，故两者的含义不同，学习时要注意符号语言表述的准确性，避免把空集∅表示成{∅}．。