高中数学第一章三角函数1.3.1诱导公式导学案1无答案新人教A版必修(1)

1.3.1 诱导公式

【学习目标】

1. 借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题

2. 通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。 【新知自学】

知识回顾：

1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；

2、在平面直角坐标系中做出单位圆，并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。

新知梳理：

α都可以转化为终边在)2,0[π内的角，如何进一步求出它的三角函数值？

我们对)2,

0[π范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2

[ππ

内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决。那么如何实现这种转化呢？

探究1. 诱导公式的推导

由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：

)

(tan )2tan()(cos )2cos()

(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+α

πααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。

注意：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成

︒=+︒80sin )280sin(πk ，3

cos

)3603

cos(

π

π

=︒⋅+k 是不对的

问题2：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2

,

0[π

角呢？

除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？

探究2：若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？特别地，角α-与角α的终边关于x 轴对称，由单位圆性质可以推得： （公式二）

特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有

（公式三）

特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有 （公式四）

所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。

说明：①公式中的α指任意角；

②在角度制和弧度制下，公式都成立；

③记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；

方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ① ； ② ； ③ 。

可概括为： ”（有时也直接化到锐角求值）。 对点练习：

1、tan690°的值为( )

A ．－

33 B.33

C. 3 D ．－ 3 2、已知sin(π＋α)＝3

5

，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )

A ．－45 B.45 C ．±45 D.35

3已知sin 5π7＝m ，则cos 2π

7

的值等于( )

A ．m

B ．－m C.1－m 2

D ．－1－m 2

4设cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( )

A.1－k

2

k B ．－1－k

2

k C.

k

1－k

2

D ．－

k

1－k

2

5若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝33，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－θ＝________.

【合作探究】

典例精析：

例1：求下列三角函数值：（1）sin 960； （2）43cos()6

π

-

．

变式练习:1：sin 2π5，cos 6π5，tan 7π

5

，从小到大的顺序是________．

例2、化简23

cot cos()sin (3)

tan cos ()

απαπααπα⋅+⋅+⋅--．

变式练2:：

化简：(1)sin(α-)cos(α-－π)tan(2π＋α)； (2)sin 2

(α＋π)cos(π＋α)

tan(π－α)cos 3

(－α－π)tan(－α－2π)

.

【课堂小结】

【当堂达标】 1．若)cos()2

sin(

απαπ

-=+，则α的取值集合为（ ）

A ．}4

2|{Z k k ∈+=ππαα

B ．}4

2|{Z k k ∈-=ππαα

C ．}|{Z k k ∈=παα

D ．}2

|{Z k k ∈+=π

παα

2．已知,)15

14

tan(a =-

π那么=︒1992sin （ ）

A ．

2

1||a a +

B ．

2

1a

a +

C ．2

1a

a +-

D ．2

11a

+-

3．设角则,635

πα-

=

)

(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于（ ）

A ．

3

3 B ．－

3

3 C ．3 D ．－3 4．当Z k ∈时，

]

)1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ+++++⋅-k k k k 的值为 （ ）

A ．－1

B ．1

C ．±1

D ．与α取值有关 5．设βαβπαπ,,,(4

)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且,5)2000(=f 那么

=)2004(f （ ）

A ．1

B ．3

C ．5

D ．7 6．已知,0cos 3sin =+αα则=+-α

αα

αcos sin cos sin .

【课时作业】 1．已知3sin(

)4

π

α+=

3sin()4

πα-值为（ ） A.

21 B. —2

1

C. 23

D. —23

2．cos (π+α)= —

21，2

3π

<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ）