中考数学总复习专题探究性问题

探究性问题（1）

1．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，点E 、F 分别是AB 和BC 边上的点。 （1）如图1，以EF 为对称轴翻折梯形ABCD ，使点B 与点D 重合，且DF ⊥BC ，若AD=4，BC=8，求梯形ABCD 的面积ABCD S 梯形；

（2）如图2，连接EF 并延长与DC 的延长线交于点G 。如果FG=k ·EF(k 为正数)，试猜想BE 与CG 的数量关系，请写出你的结论并证明。

2、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动，点

D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数．

（1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论；

（2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式；

（3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是

矩形？若能．求出t的值(用含b的代数式表示)；若不能，说明

理由．

3．如图1，在四边形ABCD 的AB 边上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连

接ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E 叫做四边形ABCD 的AB 边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E 叫做四边形ABCD 的AB 边上的强相似点．

(1) 若图1中，∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝50°，说明点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点； (2) ①如图2，画出矩形ABCD 的AB 边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）

②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．

(3)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，∠B ＝90°，点E 是梯形ABCD 的AB 边上的一个强相似点，判断AE 与BE 的数量关系并说明理由．

A

B

C

D

E 图1

A

B

C

D

图2

4．情境观察

将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC ′= °．

问题探究

如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸

如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与HF 之间的数量

关系，并说明理由.

图4

M

N

G

F

E

C

B

A

H

图3

A

B C

E

F

G

P

Q 图1 图2

C'A'B A D C A B C D B

C

D A (A')C'

F

E

C B

B'

C'5． 如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ，

CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ；

（2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE

是全等三角形，并说明理由．

6．如图1，在Rt ABC ∆中，∠ACB=0

90 ,AC=6,BC=8,点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM BD ⊥垂足为M ，EN CD ⊥垂足为N 。

（1） 当AD=CD 时，求证：D E ∥AC ；

（2） 探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？

（3） 探究：AD 为何值时，四边形MEND 与△BDE 的面积相等？

7．在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（2，2），点C 是线段OA 上的一个动点

（不运动至O ，A 两点），过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF,设OD ＝t. ⑴ 求tan ∠FOB 的值；

⑵用含t 的代数式表示△OAB 的面积S ；

⑶是否存在点C, 使以B ，E ，F 为顶点的三角形与△OFE 相似，若存在，请求出所有满足要求的B 点的坐标；若不存在，请说明理由．

8．已知：把Rt△ABC 和Rt△DEF 按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、

F

在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．

如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC 相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

9. （2011湖北襄阳，10分)如图9，点P

是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重

A

D

B C F

（E）

图（1）

图（2）

A

B C

图（3）