勒让德函数母函数及其在静电场中的应用

勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用

指导教师：娄宁

二000级物理（1）班：洪世松

勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用

一. 勒让德多项式的母函数引入的必要性及引入方法 1. 勒让德多项式的母函数引入的必要性 ⑴.勒让德多项式的由来

通过《高等代数》和《数学物理方法》课程的学习，我们知道勒让德多项式是在球坐标系下、满足边界条件()πθ,01=±=x 时求解拉普拉斯方程02=ψ∇时的解，在求解的过程中，根据对称性的不同，我们将所要研究的问题分三种情况进行考虑： 其一是所研究的问题不具有对称性。拉普拉斯方程02=∇U 在这种情况下的解是缔合勒让德函数，其具体的表示形式为：()

[]()()θθcos cos 12

/2

m l m l m P P x =-=Θ，其中m

＝0、1、2、3，…，l 。式中当m ＝0时，缔合勒让德多项式就简化为勒让德多项式()θcos l P 。

其二是所研究的问题具有轴对称性。其解的形式为勒让德多项式的形式，即

()θcos l P ＝()

()()()k

l l k

l k x k l k l k k l 22

/0

!2!!2!221-=----∑，其中⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2l 表示的是不超过2l 的最大整数，即：

⎦

⎤

⎢⎣⎡2l ＝

r 的函数，而与θ无关，其解是勒让德多项式的最简形式，此时方程的解就可以直接写为：∑∞

=+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=ψ01

l l l l

l r B r A ，其中l =0,1,2,……。

由上面三种情况分析可以看出，随着问题对称性的不同，求解问题的解也有所不同。从无对称性到轴对称性再到球对称性，所研究问题也在逐渐简化，其解也由缔合勒让德函数简化为勒让德函数再简化为1。 ⑵.对所研究问题的对称性的讨论

以静电场为例，我们分析一下勒让德多项式所要求的轴对称性和根据坐标系的选择而确定的变量（r,θ）

()θ,r E

的要求。

在图一所示的物理情景中，求解位于某一匀强场中的导体球外任一点的电势Ψ，为使求解的问题简单化，我们可建立如图一所示的直角坐标系，这样求解的问题就具有轴对称性，所以由前面分析的第二种情况易写出空间各点的电势为：

()θc o s 01

l l l l l l P r B r A ∑∞

=+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=ψ。 其对称轴为z 轴，产生这种轴对称的场势分布、场源分布以及场的分布均可用变量（r,θ）来描述。

但如果所研究的问题涉及到的场源不止一个，这时虽然还可以通过坐标系的适当选择，使所研究的问题具有轴对称性，但勒让德多项式的这种简捷的表述形式却已不再适用。如在图一中，导体球外有一点电荷Q

示。这时A 点的电势既有匀强场产生的又有点电荷产生的场，是两者的叠加，而匀强场产生的电势我们依然可由轴对称的情况来写出：

()θcos 01

l l l l l l P r B r A ∑∞

=+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=ψ；而点电荷在A 点产生的电势表述可简单的表为：

'

4r Q πε=

ψ*＝

'1

4r Q

⋅

πε ＝22cos 214a

ra r Q +-⋅θπε 这样对于同一问题的研究中就有两种不同的表述，从而使对问题的深入研究带来不便，因此有必要引入新的表述，将两者统一起来，在这种情况下我们引进了勒让德多项式的母函数。

2.勒让德多项式的母函数引入的科学方法

在勒让德多项式的母函数的引入的过程中，我采用了类比的方法，在引入单位球的基础上得出半径为1的单位球的勒让德多项式的母函数的基本形式，在基础上得出半径为r 的勒让德多项式的一般形式。在确定常数时取角度θ＝0时的特殊情况，进而得出一般情况下的常数a 、b 。

在电动力学中，我们为了求解含自由电荷的静电场中电势问题的时候，经常引用勒让德多项式的母函数来将求解的问题进行分解，从而使问题简单化便于问题的解决。那么何为勒让德多项式的母函数？它在求解静电场中的电势问题中究竟有何应用？

二.勒让德多项式的母函数的介绍： 设在单位球北极置一个带电量为04πε的电荷（如图三）, 则在球内任一点()ϕθ,,r M 上的电势为：

2cos 211

1444r

r d d r

Q ++===

=

ψθπεπεπε

由于所述问题具有轴对称性，故可将上式写成：

()θcos 101

l l l l l l P r B r A d ∑∞

=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+==ψ 1. 在球内（r<1）的情况：在球心（r=0）处，电势Ψ＝有限值，故B l =0

∴()∑∞==+-=0

2cos cos 2111l l l l P r A r r d θθ 确定A l 的值：令θ＝0，则cos θ=1,P l (cos θ)=1

∴l l l r A r d ∑∞==-=

11

1 ① 而将

r

-11

在r=0的领域上展开为泰勒级数为： ∑∞

==+++++=-0

2111l l l

r r r r r ② 将①、②两式相比较可知：A l =1

∴()θθcos cos 21110

2∑∞

==+-=l l l P r r r d （r<1） ⑴ 2. 在球外（r>1）的情况（如图四所示），同理可知：

()θθψcos cos 2111012l l l l l l P r B r A r

r d ∑∞

=+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=+-== 定常数A l 、B l 。由于在无穷远处，电势ψ定义为0电势，即ψ/r →∞=0,那么有：

()θψcos 0/0

1l l l l l l r P r B r A ∑∞

=+∞→⎪⎭

⎫

⎝⎛+

== ∴0=l A 这时，()θθcos cos 211

1012l l l l P r B r

r d ∑∞

=+=+-=，同样令θ＝0这样又有