勒让德函数母函数及其在静电场中的应用

勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用指导教师：娄宁二000级物理（1）班：洪世松勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用一. 勒让德多项式的母函数引入的必要性及引入方法 1. 勒让德多项式的母函数引入的必要性 ⑴.勒让德多项式的由来通过《高等代数》和《数学物理方法》课程的学习，我们知道勒让德多项式是在球坐标系下、满足边界条件()πθ,01=±=x 时求解拉普拉斯方程02=ψ∇时的解，在求解的过程中，根据对称性的不同，我们将所要研究的问题分三种情况进行考虑： 其一是所研究的问题不具有对称性。

拉普拉斯方程02=∇U 在这种情况下的解是缔合勒让德函数，其具体的表示形式为：()[]()()θθcos cos 12/2m l m l m P P x =-=Θ，其中m＝0、1、2、3，…，l 。

式中当m ＝0时，缔合勒让德多项式就简化为勒让德多项式()θcos l P 。

其二是所研究的问题具有轴对称性。

其解的形式为勒让德多项式的形式，即()θcos l P ＝()()()()kl l kl k x k l k l k k l 22/0!2!!2!221-=----∑，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡2l 表示的是不超过2l 的最大整数，即：⎦⎤⎢⎣⎡2l ＝r 的函数，而与θ无关，其解是勒让德多项式的最简形式，此时方程的解就可以直接写为：∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ01l l l ll r B r A ，其中l =0,1,2,……。

由上面三种情况分析可以看出，随着问题对称性的不同，求解问题的解也有所不同。

从无对称性到轴对称性再到球对称性，所研究问题也在逐渐简化，其解也由缔合勒让德函数简化为勒让德函数再简化为1。

⑵.对所研究问题的对称性的讨论以静电场为例，我们分析一下勒让德多项式所要求的轴对称性和根据坐标系的选择而确定的变量（r,θ）()θ,r E的要求。

在图一所示的物理情景中，求解位于某一匀强场中的导体球外任一点的电势Ψ，为使求解的问题简单化，我们可建立如图一所示的直角坐标系，这样求解的问题就具有轴对称性，所以由前面分析的第二种情况易写出空间各点的电势为：()θc o s 01l l l l l l P r B r A ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ。

其对称轴为z 轴，产生这种轴对称的场势分布、场源分布以及场的分布均可用变量（r,θ）来描述。

但如果所研究的问题涉及到的场源不止一个，这时虽然还可以通过坐标系的适当选择，使所研究的问题具有轴对称性，但勒让德多项式的这种简捷的表述形式却已不再适用。

如在图一中，导体球外有一点电荷Q示。

这时A 点的电势既有匀强场产生的又有点电荷产生的场，是两者的叠加，而匀强场产生的电势我们依然可由轴对称的情况来写出：()θcos 01l l l l l l P r B r A ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ；而点电荷在A 点产生的电势表述可简单的表为：'4r Q πε=ψ*＝'14r Q⋅πε ＝22cos 214ara r Q +-⋅θπε 这样对于同一问题的研究中就有两种不同的表述，从而使对问题的深入研究带来不便，因此有必要引入新的表述，将两者统一起来，在这种情况下我们引进了勒让德多项式的母函数。

2.勒让德多项式的母函数引入的科学方法在勒让德多项式的母函数的引入的过程中，我采用了类比的方法，在引入单位球的基础上得出半径为1的单位球的勒让德多项式的母函数的基本形式，在基础上得出半径为r 的勒让德多项式的一般形式。

在确定常数时取角度θ＝0时的特殊情况，进而得出一般情况下的常数a 、b 。

在电动力学中，我们为了求解含自由电荷的静电场中电势问题的时候，经常引用勒让德多项式的母函数来将求解的问题进行分解，从而使问题简单化便于问题的解决。

那么何为勒让德多项式的母函数？它在求解静电场中的电势问题中究竟有何应用？二.勒让德多项式的母函数的介绍： 设在单位球北极置一个带电量为04πε的电荷（如图三）, 则在球内任一点()ϕθ,,r M 上的电势为：2cos 2111444rr d d rQ ++====ψθπεπεπε由于所述问题具有轴对称性，故可将上式写成：()θcos 101l l l l l l P r B r A d ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ψ 1. 在球内（r<1）的情况：在球心（r=0）处，电势Ψ＝有限值，故B l =0∴()∑∞==+-=02cos cos 2111l l l l P r A r r d θθ 确定A l 的值：令θ＝0，则cos θ=1,P l (cos θ)=1∴l l l r A r d ∑∞==-=111 ① 而将r-11在r=0的领域上展开为泰勒级数为： ∑∞==+++++=-02111l l lr r r r r ② 将①、②两式相比较可知：A l =1∴()θθcos cos 211102∑∞==+-=l l l P r r r d （r<1） ⑴ 2. 在球外（r>1）的情况（如图四所示），同理可知：()θθψcos cos 2111012l l l l l l P r B r A rr d ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-== 定常数A l 、B l 。

由于在无穷远处，电势ψ定义为0电势，即ψ/r →∞=0,那么有：()θψcos 0/01l l l l l l r P r B r A ∑∞=+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+== ∴0=l A 这时，()θθcos cos 2111012l l l l P r B rr d ∑∞=+=+-=，同样令θ＝0这样又有∑∑∑∞=+∞=+∞====-⋅=-=+-0112111111111211lllllll rBrrrrrrrr∴1=lB∴()θθcos1cos211112lllrrrd∑∞=+=+-=（r>1）⑵电势可记为：Ψ＝2cos211rr+-θ＝我们将上式称为勒让德多项式的母函数（生成函数）。

当然，我们在解决实际问题的时候，很少能遇到单位球的情况。

那么置于静电场中、半径为R球体内外的电势的求解中又是如何借助勒让德多项式的母函数?或者勒让德多项式的母函数在半径为R的球体内R＝1带入，则（3）可变为：=+-22cos21rRrRθ上面我们介绍了勒让德多项式的母函数在单位球、半径为R的球内外静电场电势的求解中的两种具体的表达形式，下面我们通过具体的一个实例来看看该多项式在电动力学中求解问题的一个具体的应用：三.勒让德多项式母函数的实际应用在郭硕鸿先生主编的《电动力学》第二章P95有一问题：半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质ε，导体球接地，离球心为a处(a>R0)置一点电荷Q f，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与镜像法结果相同。

1.首先建立物理图景：分析：空间各点的电势有两部分叠加而成：一部分是自由电荷Q f在空间形成的场，另一部分是由于自由电荷而引起的感应电荷在空间形成的场，空图五间各点的电势都是由两部分的叠加。

同时，由于导体球接地，因此对于导体球来说，它本身是一个等势体，电势ψ＝0。

所以求解空间各点的电势实际上只要求解球体(R>R 0)的情况。

2.建立求解的方程建立如图五所示的直角坐标系，使求解的问题具有轴对称性。

由于在求解的空间有自由电荷Q f 的存在，所以可以列出方程： ()a R Q f--=ψ∇ε2① 由于我们定义在无穷远处为零电势点，而在R=R 0处，由于导体球接地，故在球体的表面的电势应为零电势。

所以我们可以根据上述分行列出求解空间的边界条件为：3.在求解方程①时，我们利用分离变量的方法，由于在球外是点电荷和感应电荷叠加的场，所以我们可利用将ψ分解成两部分：一部分是自由电荷的场，另一部分是感应电荷的场，只要将两部分场求完后叠加即为所求解的场。

故我们可令ψ＝ψ1＋ψ* ④ 其中ψ*为特解，是自由电荷所产生的场。

由于ψ*是自由电荷Q f 在球外点M 处产生的电势，∴rQ f πε4=ψ*。

⑤因此球外任一点的电势ψ＝ψ1＋r Q f πε4，原方程①可化为：012=ψ∇ ⑥④式我们可将其变为：r Q fπε4=ψ*＝r Q f14⋅πε ＝22cos 214aRa R Q f +-⋅θπε。

由前面介绍的勒让德多项式的母函数可知，上式可分解成球内和球外两部分，具体的形式为： ⑦在⑦式中，第一项()θπεcos 401ll l l fP aR Q l∑∞=+表示在R<a 的范围内自由电荷Q f 产生的电()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ψ∑∑∞=∞=++*0011cos cos 4l l ll ll l l f P R a P a R Q θθπε()()θπεθcos 4cos 010010ll l l f l l l lP a R Q P R B ∑∑∞=+∞=+-=∴场的电势，而()θπεcos 401ll l lfP Ra Q ∑∞=+表示在R>a 的范围自由电荷Q f 产生的电场的电势。

在012=ψ∇中，其是一个泊松方程，由其的对称性可知，该方程的通解为：()θcos 011l l l l l l P R B R A ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ，将该式和⑦代入④式中，我们就可以得出整个求解空间的电势：ψ＝ψ1＋ψ*＝()θcos 011l l l l ll P R B R A ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ＋()θπεcos 401l l l lf P a R Q ∑∞=+＋()θπεcos 401l l l lfP R a Q ∑∞=+。

⑧ 为了求解ψ，我们必须定出常数A l ,B l .当∞→R 时，此时将R>a 的情况代入，即：()()()θθπεθcos /cos 4cos 0/00011l l l l R l l ll lf l l l ll R P R A P R a Q P R B R A ∑∑∑∞=∞→∞=∞=++∞→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ψ∴0=l A ()()θθcos cos 0101l l l ll l l l P Ra P R B ∑∑∞=+∞=++=ψ (R>a) ⑨定常数B l ,当0R R =时，此时将R<a 的情况代入，即：比较()θcos l P 两边的系数，我们就可以定出常数B l 。

10104++⋅-=l lf l la R Q R B πε即：∴11204++⋅-=l l fl aR Q B πε 由上面定出的常数A l 、B l ，就可以完整的写出在整个空间的电势的表达式：()()θπεθπεcos 4cos 14011101120l l l l l l f ll l l l fP R a a R Q P R a R Q ∑∑∞=+++∞=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅-=ψ()()()()0cos 4cos /cos 4cos 0/010010001100=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==ψ∑∑∑∑∞=+∞=+==∞=∞=++=θπεθθπεθll l l f l l l lR R l l ll l f l l l R R P a R Q P R B P a R Q P R B()222222002212000cos 214cos 214cos 214cos 140a Ra R Q R a RR a R a R Q a Ra R Q P R a R aR Q f f f ln nl f+-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-=+-⋅+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=+∞=∑θπεθπεθπεθπε ○10 总结：我们在求解上面的问题的时候，采用了分离变量的方法，将自由电荷和感应电荷产生的电场分开，分别求出相应的电势进行叠加，进而得出在整个空间的电势的分布情况。