高考数学一轮总复习 第二章 第6节 二次函数与幂函数

最值
当 x＝－2ba时， ymin＝4ac4－a b2
当 x＝－2ba时， ymax＝4ac4－a b2
2．幂函数 (1)幂函数的概念 形如_____y_＝__x_α(_α_∈__R__) __的函数称为幂函数，其中x是自变 量，α为常数．
(2)常见幂函数的图像与性质
特征 函数 y＝x
图像
或性质
非奇非偶
奇
x∈(0，＋∞) 时，减
增 x∈(－∞，0) 时，减
(1,1) (－1，－1)
质疑探究：幂函数图像均过定点(1,1)吗？ 提示：是，根据定义y＝xα，当x＝1时y＝1α，无论α为何 值，1α＝1.
[基础自测] 1．下面给出 4 个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应 是( )
1
1
A．①y＝x3 ，②y＝x2，③y＝x2 ，④y＝x－1
⑤关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c＞0 恒成立的充要条件是
a>0， b2－4ac<0.
其中正确的是( ) A．①③
B．②
C．③④
D．④⑤
[解析] ①错误，不符合幂函数的定义．
②正确，因若相交，则 x＝0 得 y＝0；若 y＝0，则得 x＝0. ③错误，幂函数 y＝x－1 在定义域上不单调．
④错误，当－2ba∉[m，n]时，二次函数的最值，在区间端点 达到，而非4ac4－a b2.
第二章 函数、导数及其应用
第6节 二次函数与幂函数
1．了解幂函数的概念． 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12 的图像， 了解它们的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质． 4．能用二次函数、方程、不函数
(1)定义 函数________y＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_≠__0_)_______叫做二次函数．
⑤错误，由 ax2＋bx＋c＞0 恒成立不一定有ab>2－0，4ac<0，
因为 a 可以为 0.
[答案] B
考向一 二次函数的图像与性质 例 1 (2015·无锡模拟)已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－ 4,6]． (1)当 a＝－2 时，求 f(x)的最值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调 函数； (3)当 a＝－1 时，求 f(|x|)的单调区间．
[解析] 由mm22－ －3mm－＋23≤＝01 ， 解得 m＝1 或 2. 经检验 m＝1 或 2 都适合． [答案] 1 或 2
的图像不经过原点，
5．给出下列命题： ①函数 y＝2x 是幂函数． ②如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点． ③当 n＜0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数． ④二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n] 的最值一定是 4ac－b2 4a .
[答案] B
2．函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图像关于直线 x＝1 对称的充要
条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
[解析] 函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图像的对称轴为 x＝－m2 ，
且只有一条对称轴，所以－m2 ＝1，即 m＝－2.
[答案] A
3．(2015·昆明模拟)设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)， 若 a＝c，则函数 f(x)的图像不可能是( )
[解] (1)当 a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，则函 数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝－1， f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35. (2)函数 f(x)＝x2＋2ax＋3 的对称轴为 x＝－22a＝－a， ∴要使 f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4 或－ a≥6，解得 a≥4 或 a≤－6.
[解析] 由 A，B，C，D 四个选项知，图像与 x 轴均有交 点，记两个交点的横坐标分别为 x1，x2，若只有一个交点，则 x1＝x2，由于 a＝c，所以 x1x2＝ac＝1，比较四个选项，可知选项 D 的 x1<－1，x2<－1，所以 D 不满足．故选 D.
[答案] D
4．若幂函数 y＝(m2－3m＋3) 则实数 m 的值为________．
(3)图像与性质
a＞0
a＜0
图像
定义域 值域
对称轴
R
R
y∈[4ac4－a b2，＋∞) y∈(－∞，4ac4－a b2]
x＝－2ba
顶点坐标 奇偶性
－2ba，4ac4－a b2 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
单调性
x∈(－∞，－2ba)时是减函数； x∈(－∞，－2ba)时是增函数； x∈(－2ba，＋∞)时是增函数 x∈(－2ba，＋∞)时是减函数
(3)当 a＝－1 时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3 ＝xx22＋－22xx＋＋33＝＝xx＋－1122＋＋22，，xx≤＞00，， 其图像如图所示： 又∵x∈[－4,6]， ∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0) 和[1,6]上为增函数．
1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
1
D．①y＝x3 ，②y＝x2 ，③y＝x2，④y＝x－1
[解析] 图像①对应的幂函数的幂指数必然大于 1，排除 A，D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除 C. 故选 B.
y＝x2
y＝x3
图像
1
y＝x2
y＝x－1
定义域 值域
R
R
(－∞，0)∪
R
[0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞，0)∪
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(0，＋∞)
奇偶性
奇
偶
奇
x∈[0，＋ ∞)
单调性
增
时，增
增
x∈(－∞，
0]，减
(1,1) (0,0) (1,1) (0,0) 特殊点
(1,1)
(－1，－1) (－1，－1) (0,0)
(2)表示形式 ①一般式：y＝___a_x2_＋__b_x_＋__c_(_a_≠__0_) ___； ② 顶 点 式 ： y ＝ ___a_(_x_－__h_)_2＋__k_(_a_≠__0_)___ ， 其 中 __(_h_，__k_)__
为抛物线顶点坐标；
③零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物线 与x轴交点的横坐标．