灰色系统理论与方法
灰色系统理论简介
通过灰色关联分析等法，研究社会问题的内在关联和影响因素，为解决社会 问题提供思路。
环境领域
气候变化预测
利用灰色系统理论对气候数据进行处理和分析，预测未来气候变化趋势，为应对气候变化提供依据。
环境污染评估
通过构建灰色预测模型，评估环境质量状况和污染发展趋势，为环境治理提供参考。
农业领域
行预测，为空气污染防治提供决策支持。
案例三：灰色系统理论在农业生产中的应用
总结词
利用灰色关联分析和灰色预测模型指导农业生产，提 高农业产量和经济效益。
详细描述
农业生产是一个复杂的系统，受到多种因素的影响， 而灰色系统理论可以为农业生产提供有效的指导。通 过灰色关联分析和灰色预测模型，可以分析农业系统 中各因素之间的关联程度和未来发展趋势，为农业生 产提供科学依据。例如，在农作物种植中，可以利用 灰色系统理论分析气候、土壤等因素对农作物生长的 影响，制定合理的种植计划，提高农业产量和经济效 益。
灰色关联分析的优势在于 它能够处理不完全信息， 对数据量要求不高，且计 算简单。
ABCD
它通过比较各因素之间的 相似度，量化它们之间的 关联程度，从而为决策提 供依据。
在实际应用中，灰色关联 分析广泛应用于经济、社 会、工程等多个领域。
灰色预测模型
01
灰色预测模型是灰色系统理论中 用于预测未来发展趋势的方法。
发展历程
灰色系统理论经过多年的研究和发展，已经广泛应用于各个领域， 包括经济、管理、社会、环境等。
未来展望
随着信息技术和大数据的不断发展，灰色系统理论将会在更广泛的 领域得到应用和发展，同时也将面临更多的挑战和机遇。
02
灰色系统理论的核心概 念
灰色关联分析
第七章灰色系统综合评价方法
（ ）
于是，灰色聚类系数（即加权合成值）为：
（ ）
第五步：进行灰色系统聚类评价。
记 ，则与模糊聚类评价类似，可以根据“最大隶属原则”进行聚类。若
则该单位被判别为“c灰类”。但当“最大隶属原则”失效时，采用点值进行灰类识别更加合理。
第六步：若需要进行综合评价排序，则将B转化为点值y，即
式中，tj为第j灰类的“灰水平”赋值。根据每个单位的y值大小就可以进行综合评价排序，其赋值原则与模糊综合评价类似。
第四步：计算聚类系数bj，确定聚类向量。
第j类的聚类系数定义为：
（ ）
即为第j灰类各指标的白化权函数值的加权算术平均。
若将各指标在各灰类之下的白化权函数值用矩阵表示，记为R，即
[数学]灰色系统理论
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灰色系统理论进行关联分析的两种方法：一 根 据数据的几何关系分析法；二 利用关联公式分析法
生成数的生成方法
生成方法 一次累加
应用相关 时间
一次累减
时间
均值生成
得 Xˆ 0 ( Xˆ 0 (1), Xˆ 0 (2), Xˆ 0 (3), Xˆ 0 (4), Xˆ 0 (5))
(2.8740, 3.2320, 3.3545, 3.4817, 3.6136)
对比原数据
X0=( x0(1), x0(2), x0(3), x0(4), x0(5) )
=( 2.874, 3.278, 3.337, 3.390, 3.679 )
3．检验预测值
4．预测预报 由模型 GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，
根据实际问题的需要，给出相应的预测预报。
定义 设原始数据序列
X 0 ( x0 (1), x0 (2), , x0 (n))
相应的预测模型模拟序列:
X0
x0
1 , x0
2,
残差序列:
x0
n
0 0 1 , 0 2 , 0 n
b a
85.276151e0.0372k
82.402151
第五步：求X1的模拟值
X 1 (x1 (1), x1 (2), x1 (3), x1 (4), x1 (5)) (2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)
第六步：还原出 X0 的模拟值，由 Xˆ0(k) Xˆ1(k) Xˆ1(k 1)
主要内容
灰度理论
灰色关联四公理：规范性、整体性、偶对对 称性、接近性 灰色关联度分析：度量两事物间的相互依赖 关联的程度r(x0,xi)
1 N 定义 r x0 , xi i k N i 1 其中关联系数定义为 min min x0 k xi k max max x0 k xi k k i k i i k x0 k xi k max max x0 k xi k i k 0 为分辨系数， 0 1, 一般取0.5。 i0 i0
两个技术处理： 技术1：对b1 由GM（ 1， 1 ）预测得2003 、 2004 预测值 技术2：对c1 、c2 — 32 做等权均值白化
max S c1 x1 c2 x2
11 3,5,12 3.5,6.5, 21 7,11, 22 3,5,
年份 日供电量 1999 168 2000 174 2001 180 2002 190
建模：设甲、乙两种产 品的日产量为 x1 , x2 , 则数学模型为灰色线性 规划：
11 x1 12 x2 b1 s.t. 21 x1 22 x2 b2 360 x x b 300 32 2 3 31 1 c1 600,800, c2 900,1500 31 2.5,3.5,32 8,12
实际数x(0) 3.278 3.337 3.39 3.679
ˆ 0 k q(k ) x0 k x
e qk 100% / x0 k
0.04 -0.0175 -0.0917
1.402% -0.5259% -2.705%
0.0654
1.7755%
•
•
不确定型决策的五种方法
不确定型决策的五种方法不确定型决策在实际生活和工作中经常出现，对于这类决策，我们需要运用一些特殊的方法来应对。
以下是关于不确定型决策的五种方法：一、灰色系统理论灰色系统理论是一种用于处理不确定性信息的数学工具，它可以有效地处理缺乏充分信息的情况。
在进行不确定型决策时，我们通常会遇到信息不完全、数据不确定等问题，此时可以运用灰色系统理论进行分析和预测。
这一方法的优势在于可以有效地处理不确定性信息，提高决策的准确性和可靠性。
二、模糊综合评价方法模糊综合评价方法是一种用于处理模糊信息的常用方法，它可以将模糊的、不确定的信息进行定量分析和综合评价。
在不确定型决策中，我们往往需要面对模糊的信息和多因素的影响，此时可以采用模糊综合评价方法来帮助决策。
通过该方法，可以将不确定性信息转化为可计量的指标，从而有助于进行综合评价和决策选择。
三、蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，它通常应用于不确定型决策的风险分析和决策模拟中。
在不确定性情况下，我们往往需要对不同的决策方案进行风险评估和模拟分析，此时可以采用蒙特卡洛模拟方法。
通过该方法，可以对决策方案进行多次随机抽样，并基于概率分布进行模拟，从而评估不同方案的风险程度和可能性。
四、多目标决策方法不确定型决策通常伴随着多个决策目标和多个决策方案，此时可以运用多目标决策方法进行决策分析和优化选择。
常见的多目标决策方法包括层次分析法、灰色关联分析法、TOPSIS法等。
通过多目标决策方法，可以将不确定情况下的多种目标和因素进行量化分析和综合评价，帮助决策者进行合理的决策选择。
五、决策树分析方法决策树分析方法是一种基于树状结构的决策模型，它可以帮助决策者在不确定型决策中进行多条件的分析和决策选择。
在不确定情况下，我们通常需要考虑多个因素和条件对决策的影响，此时可以利用决策树分析方法进行全面的多条件决策分析。
通过该方法，可以将不确定的决策条件和因素进行系统化的组织和分析，有助于找到最优的决策路径和选择方案。
灰色系统理论及其应用
5 灰色模型
5.1 GM(1,1) 模型
将时刻 k 2,3,, n 视为连续变量t 则数列 x(1) 就可视为时间 t 的函数，x(1) x(1) (t) GM(1,1) 的白化型为：
dx(1) ax(1) (t) b dt
5 灰色模型
5.2 GM(1, N)模型
GM (1, N) ：模型是一阶的，包含N个变量的灰色模型
x(1) 的灰导数为： d (k) x(0) (k) x(1) (k) x(1) (k 1), k 2,3,, n
5 灰色模型
5.1 GM(1,1) 模型
x(1) 的紧邻均值序列为： z(1) (z(1) (2), z(1) (3),, z(1) (n))
z(1) (k) 0.5x(1) (k) 0.5x(1) (k 1), k 2,3,, n
1 n
n
( k
k 1
)2
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
（5）小误差概率合格模型： 小误差概率为：
p P k 0.67445S1
给定 p0 0, p p0 称模型为小误差概率合格模型
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
常用精度等级：
6 灰色预测
6.3 Verhulst GM (2,1) DGM
2 2
可容覆盖区域：(e n1 , e n2 )
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
1.数据的检验与处理：
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
数据列可用为模型的预测数据 数据列需进行变换处理
平移变换
灰色系统理论
灰色系统理论简单介绍灰色系统法理论就是某一个系统内部各个因素之间的关系不是非常的明确。
例如：在农业生产中，生产作物的生长情况与农药、土壤以及气候等条件之间的关系。
我们对于这一系统内这些因素之间的关系不是非常的了解，所以这就叫作一个灰色系统。
灰色系统理论提出了一种新的分析方法—关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。
由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。
通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。
但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。
尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。
事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
相关理论对因素间关联度的分析：对数据进行变换取消数据的纲量，使数据具有可比性，以保证建模的质量。
对数据变换的方法有：1、初值化变换 f(x(k))==y(k), k=1,2,…,n ()(1)x k x 2、均值化变换 f(x(k))=1()1(),()nk x k y k x x k n x===∑3、百分比变换 ()(())()()max kx k f x k y k x k ==4、倍数变换 ()(())(),()0()min min k kx k f x k y k x k x k ==≠5、归一化变换 其中x 为大于零的某个值0()(())()x k f x k y k x ==06、极差最大之化变换 ()(())()min ()max ()k kx k f x k y k x k x k -==7、区间之化变换 ()(())()min ()max ()min ()k k k x k f x k y k x k x k x k -==-某一时刻的比较数列为x =i {}()1,2,...,((1),(2),...,()),1,2,...,i i i ix k k n x x x n i m ===参考书列为x =o {}0000()1,2,...,((1),(2),...,())x k k n x x x n ==称 （1）式 000()()()()()()()()()maxmax minmin maxmax o s s s t s tii ss tx t x t x t x t k x k x k x t x t ρξρ-+-=-+-为比较数列x 对参考数列x 在时刻k 的关联系数，其中为分辨系数。
灰色系统基本原理
灰色系统基本原理
灰色系统理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的方法，它的基本原理包括以下几个方面：
1. 灰色性：灰色系统理论认为，系统中的信息部分已知、部分未知，这种介于白色（完全已知）和黑色（完全未知）之间的状态被称为灰色。
2. 灰色关联分析：通过计算系统中各因素之间的灰色关联度，可以分析它们之间的相互关系和影响程度。
灰色关联分析用于确定因素间的相似性或相关性，常用于因素筛选、预测和决策等方面。
3. 灰色建模：灰色系统理论提供了多种建模方法，如灰色预测模型、灰色决策模型等。
这些模型基于灰色系统的特征和数据，通过对历史数据的分析和挖掘，对系统的未来发展进行预测或决策。
4. 灰色聚类：灰色聚类是一种基于灰色关联度的聚类方法，它根据各样本之间的相似程度进行分类或分组。
5. 灰色决策：灰色决策方法用于在不确定和模糊的环境下做出决策。
它考虑了多种因素和不同方案的影响，通过综合评价和比较，选择最优的决策方案。
6. 数据预处理：在应用灰色系统理论之前，通常需要对数据进行预处理，如数据归一化、灰色生成等，以使数据符合灰色系统的要求。
总的来说，灰色系统理论提供了一种处理不确定性和模糊性问题的方法，它通过对系统中部分已知信息的分析和利用，推测和预测系统的整体行为和发展趋势。
需要注意的是，灰色系统理论并非适用于所有情况，具体应用时需要根据问题的特点进行选择和调整。
灰色系统理论及其应用
灰色系统理论及其应用随着社会的不断发展，信息技术的快速发展，以及人们对社会治理方式的不断追求，灰色系统理论出现在我们的视野中。
灰色系统理论是一种用来处理不确定性事物的方法，也是一种用来建立数学模型的理论，它在信息处理、决策和控制等领域被广泛应用，为社会的发展和进步做出了巨大贡献。
一、灰色系统理论的基本概念灰色系统理论源于中国科学家陈纳德教授在上世纪80年代提出的概念，灰色系统理论是分析那些知识不充分，信息不完全，不确定性很大的系统时所采用的一种数学方法和理论。
灰色系统理论主要包括灰色系统模型、灰色控制、灰度关联分析等。
其中，灰色系统模型是灰色系统理论的核心，是灰色系统研究的基础。
灰色系统理论的基本概念包括：1、灰色：所谓灰色指的是在信息不完全、不确定的情况下，既有明确的肯定性信息，又有模糊的否定性信息。
2、灰色系统：指的是一个系统中存在着一定的灰色信息，不确定性较大，而且难以准确描述。
3、灰色预测：灰色预测是指在将来某一时刻，根据已知历史发展情况，采用灰色系统理论对未来状态进行预测。
4、灰量化：指将不确定性问题量化、标准化的过程。
二、灰色系统理论的应用灰色系统理论在信息处理、决策和控制等领域得到了广泛的应用。
具体来说，它主要包括以下几个方面：1、灰色预测：灰色预测是灰色系统应用的主要领域之一。
它根据已知的数据，通过灰色预测模型对未来进行预测，从而帮助人们制定合理的决策。
2、灰度关联分析：灰度关联分析是对一个或多个变量之间的相关性进行分析的方法。
它可以对时间序列、空间序列等各种序列进行关联分析，从而帮助我们了解变量之间的关系。
3、灰色控制：灰色控制是利用灰色系统理论对控制过程进行建模、分析和控制的方法。
它可以解决控制系统中常见的灰色关键变量辨识、灰色建模、灰色预测和灰色控制等问题。
4、灰色决策：灰色决策是灰色系统理论应用的又一个重要领域。
它可以帮助人们在不完全信息的情况下，进行有效的决策。
三、灰色系统理论的优势相比于传统方法，灰色系统理论具有以下几个优势：1、适用性广：灰色系统理论可以处理那些不完全信息、不确定性较大的问题，广泛应用于物理、生物、环境、社会、经济等多个领域。
第6章 灰色系统理论
为因素 的行为横向X 序i列 (x i(1 ),x i(2 ), ,x i(n ))
Xi
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22
无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可 以用来做关联分析。 定义3.1.2 设 X i (x i(1 ),x i(2 ), ,x i(n )) 为因素 X i 的
行为序列， D 1为序列算子，且 X iD 1 ( x i( 1 ) d 1 ,x i( 2 ) d 1 ,,x i( n ) d 1 ) 其中
，简称逆化像。
•作为实际系统，灰色系统在世界中是大量存
在的，绝对的白色或黑色系统是很少的，例
如人体结构与功能、粮食作物的生产等。
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2
目录
1 灰色系统介绍 2 序列算子与灰色序列生成 3 灰色关联分析 4 灰靶理论 5 灰色预测分析
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3
1 灰色系统介绍
灰色系统理论的提出
➢ 著名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代 初提出；
定义 它是对原序列中的数据依次累加以得到
生成序列。令 X ( 0 )为原序列
X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 , ,x ( 0 )n
当且仅当
X ( 1 ) x ( 1 )1 ,x ( 1 )2 , ,x ( 1 )n
k
并满足 x(1)(k) x(0)(m) (k1,2, ,n) m1
确”的对象。例如：2050年中国人口控制在15亿
到16亿之间、树精高选可在编辑2p0pt米至30米。
8
• 灰色系统是通过对原始数据的收集与整理来寻求 其发展变化的规律。如何通过散乱的数据系列去 寻找其内在的发展规律显得特别重要。灰色系统 理论认为，一切灰色序列都能通过某种生成弱化 其随机性的模型而呈现本来的规律，也就是通过 灰色数据序列建立系统反应模型，并通过该模型 预测系统的可能变化状态。
灰色系统理论
灰色系统理论背景：1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。
研究对象：灰色系统理论是一个“小样本”和“差信息”的不确定系统，“一些信息已知，一些信息未知”方法和作用：通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。
（社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是按照研究对象所属的领域和范围命名的，而灰色系统确是按颜色命名的。
在控制论中，人们常用颜色的深浅形容信息的明确程度，如艾什比(ashby)将内部信息未知的对象称为黑箱(blackbox)，这种称谓已为人们普遍接受。
我们用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确。
相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。
）主要内容：基于灰色模糊集的理论体系、基于灰色关联空间的分析体系、基于灰色序列生成的方法体系、以灰色模型（g，m）为核心的模型体系。
基于系统分析、评估、建模、预测、决策、控制和优化的技术系统。
2灰色关联度分析背景：灰色关联分析是灰色系统理论的一个分支，它从整体概念上综合评价受多种因素影响的事物和现象。
为了克服统计相关分析的上述缺陷，灰色关联分析为我们提供了另一种分析因素之间关系的方法。
（在实际问题中，许多因素之间的关系是灰色的，因此很难区分哪些因素是主导因素，哪些是非主导因素；哪些因素密切相关，哪些不是。
灰色关联分析为我们提供了解决此类问题的有效方法。
）灰色关联分析的基本思想是：属于几何处理的范畴，实质是对反映各因素变化特性的数据序列所进行的几何比较根据序列曲线几何的相似性，我们可以判断它是否密切相关。
曲线越近，对应序列之间的关联度越大，反之亦然。
灰色关联度的计算步骤：2.1根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据1.x12.x1？？，xn x1？，x2十、M1.1.x2？？2.x2Mx2 1.xn 2.xn Mxn席？1.席？2.席？Mt、十二？1,2,?, N其中是指示器的数量2.3确定参考数据列和对指标数据进行无量纲化参考数据列应该是理想的比较标准。
灰色系统理论及其在决策分析中的应用
灰色系统理论及其在决策分析中的应用随着社会的不断发展和科技的不断进步，决策分析已成为企业等组织科学管理的必要手段。
而面对越来越多的信息和数据，如何通过分析来做出科学决策也成为人们亟待解决的问题。
灰色系统理论作为一种新的分析方法，受到了越来越多的关注。
一、灰色系统理论概念灰色系统理论是由我国科学家李学凌研究提出的一种新型理论，包括灰色系统动力学、灰色系统模型、灰色关联分析、灰色综合评价等方法。
所谓灰色，是指存在一定程度不确定性的事物，即信息或知识不完备的系统。
而灰色系统理论意在通过对这些灰色系统的分析，揭示其内在机理，预测其发展趋势，从而进行科学决策。
二、灰色系统理论方法灰色系统理论方法包括：1. 灰色关联分析方法：通过相似性比较，建立变量间的关联关系模型，从而揭示变量之间的影响机理。
例如，企业的销售额与广告投入、市场容量等因素之间的关系可以通过灰色关联分析找到。
2. 灰色综合评价方法：将多个因素的影响情况综合考虑，通过建立评价模型进行分析。
例如，对于一个新产品的推广，可以通过灰色综合评价方法综合考虑市场需求、产品特点、市场竞争等因素，来评估该产品的推广前景。
3. 灰色系统预测方法：对于一个未来发展趋势不确定的系统，通过建立预测模型，预测其未来的发展情况。
例如，对于一个企业的销售额，可以通过灰色系统预测方法建立销售额的预测模型，预测未来销售额的变化情况。
三、灰色系统理论在决策分析中的应用灰色系统理论在决策分析中的应用可以大致分为以下三个方面：1. 风险预测：灰色系统理论方法可以将多个因素的影响情况综合考虑，对未来可能发生的风险进行评估和预测。
例如，在做企业投资决策时，可以通过灰色系统理论方法对风险进行预测，从而有效减少投资风险。
2. 绩效评价：灰色系统理论方法可以对多因素进行综合评价，从而对某个绩效进行客观评价。
例如，在对企业销售绩效进行评价时，可以将销售额、市场份额、用户满意度等因素进行灰色综合评价，从而得出该企业销售绩效的客观评价结果。
灰色系统理论及其应用(精)
灰色系统理论及其应用第一章灰色系统的概念与基本原理1.1灰色系统理论的产生和发展动态1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。
目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。
国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。
灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。
1.2几种不确定方法的比较（系统科学---系统理论）概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。
其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。
也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。
模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。
比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。
概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。
要求大样本，并服从某种典型分布。
灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。
三种不确定性系统研究方法的比较分析1.3灰色系统理论的基本概念定义1.3.1信息完全明确的系统称为白色系统。
灰色系统理论建模全教程精选全文
设按GM (1.1)建模法已求出Xˆ (1) ,并将Xˆ (1)做一次累
减转化为Xˆ (0) ,即
Xˆ (0) [ xˆ (0) (1), xˆ (0) (2), , xˆ (0) (n)]
(2 31)
计算残差得
E [e(1), e(2), , e(n)] X (0) Xˆ (0)
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景 序列曲线的几何形状比较
应用举例
问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养 兔业？
二、应用举例
二、关联系数的定义
二、关联度的定义
一般取 0.5
应用举例
应用举例
Step 1. 选取参照数列 选取铅球运动员专项成绩作为参照数列
n k1
n k1
计算后验差比为
C S2 / S1
计算小误差概率为
p P e(k) e 0.6745S1
(2 36)
(2 37)
指标C和p是后验差检验的两个重要指标.指标C越小 越好, C 越小表示S1大而S2越小.S1大表示原始数据方差 大,即原始数据离散程度大.S2小表示残方差小,即残 差离散程度小.C小就表明尽管原始数据很离散,而模 型所得计算值与实际值之差并不太离散.
小误差概率p 0.95<=p
2级（合格） 0.35<C<=0.5
0.80<=p<0.95
3级（勉强） 0.5<C<=0.65
0.70<=p<0.80
4级（不合格 0.65<C
P<0.70
于）是,模型的精度级别 Max p的级别,C的级别
关联度检验法
灰关联分析实质上就是比较数据到曲线几何形状
灰色系统概述讲解
灰数（grey number） 灰数是那些只知道大概范围而不知其确切 值的数（只知道部分数学特征，而不知道 具体数值的参数）。
没有明确数值或确定的分布，仅知大概范围
（上限、下限）
A [ A, ) A (, A] A [ A, A]
当灰数的上限和下限相等时，就成为了确定数
a
即：灰数自差一般不能等于0，仅当减数与被减数的取 数一致时，灰数的自差才等于0。
如： ∈[2，5]， - =0 取数一致
∈[-3，3] 取数不一致
再如： /
=1
取数一致
∈[2/5，5/2] 取数不一致
定义：起点，终点确定的左升、右降连续函数称为典型 的白化权函数。
f(x) 1
x为模糊数,它属于一个模糊集合
y必然也是一个模糊数,属于某个模糊集合…
灰色系统理论
灰色系统理论是我国学 者邓聚龙教授于19世纪 80年代初创立并发展的 理论，它把一般系统论， 信息论和控制论的观点 和方法延伸到社会，经 济，生态等抽象系统， 结合运用数学方法发展 的一套解决灰色系统的 理论和方法。
灰色关联分析
经济与管理学院 郭敏
课程结构
1 灰色系统概述 2 灰序列与灰色建模 3 灰预测 4 灰决策 5 灰关联分析
第一节 灰色系统理论概述
一、灰色系统
定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的 任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体。 • 信息－－对系统的认知
输入x
区间灰数的运算
设灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c,d] (a<b,c<d)
① 1 + 2 ∈[a+c,b+d]
计算机软件及应用灰色系统理论
X(1) =(1,4,6,11,14.5)的一阶累减生成序列为X(0) =(1,3,2,5,3.5).
(3) 始点零化算子
设序列X (x(1), x(2), , x(n)), 令X1 D1X , 其中 x1(k)=x(k) x(1), k 1, 2, , n, 则称D1为始点零化算子, X1称为X的始点零化像.
一、灰色系统理论简介
• 1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与 控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教 授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统 的控制问题”，同年，《华中工学院学报》 发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色 控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰 色系统这一学科诞生。
• 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关 研究发展迅速。
参考书
1、邓聚龙. 灰色预测与灰决策. 武汉：华中科 技大学出版社，2002.
2、沈继红等. 数学建模. 哈尔滨： 哈尔滨工 业大学出版社，1998.
二、几种不确定方法的比较
概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三 种最常用的不确定系统研究方法。其研究对 象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。 也正是研究对象在不确定性上的区别，才派 生了这三种各具特色的不确定学科。
例 设X (x(1), x(2), x(3), x(4))=（1,3,5,7）,则X的始点零化像 为X1 (0, 2, 4,6).
4 邻值均值生成序列
设序列X（1）=((x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (k 1), x(1) (k), , x(1) (n)), 则称x(1) (k 1), x(1) (k)为序列X(1)的邻值,x(1) (k 1)为后邻值，x(1) (k) 为前邻值.
灰色系统理论及其应用
灰色系统理论及其应用一、灰色系统理论概述灰色系统理论，是一种研究不确定性问题的方法。
它起源于20世纪80年代，由中国学者邓聚龙教授提出。
灰色系统理论认为，现实世界中的许多问题并非非黑即白，而是介于黑白之间的灰色地带。
这种理论为我们处理复杂、模糊、不确定性问题提供了一种新的视角。
灰色系统理论的核心思想是通过对部分已知信息的挖掘和加工，实现对整个系统行为的合理预测和控制。
它将系统分为白色系统、黑色系统和灰色系统。
白色系统是指信息完全已知的系统，黑色系统是指信息完全未知的系统，而灰色系统则是介于两者之间的系统，部分信息已知，部分信息未知。
二、灰色系统理论的基本原理1. 灰灰是灰色系统理论的基础，它通过对原始数据进行处理，具有规律性的序列。
常见的灰方法有累加（AGO）、累减（IGO）和均值等。
2. 灰关联分析灰关联分析是灰色系统理论的重要方法，用于分析系统中各因素之间的关联程度。
通过对系统各因素发展变化的相似度进行比较，揭示系统内部因素之间的联系。
3. 灰预测灰预测是灰色系统理论在实际应用中的重要手段，它通过对部分已知信息的挖掘，建立灰色模型，对系统未来发展趋势进行预测。
三、灰色系统理论的应用领域1. 经济管理灰色系统理论在经济学和管理学领域具有广泛的应用，如企业竞争力分析、市场预测、投资决策等。
通过灰关联分析，可以找出影响企业发展的关键因素，为企业制定发展战略提供依据。
2. 工程技术在工程技术领域，灰色系统理论可用于设备故障预测、质量控制、能源消耗分析等。
例如，通过对设备运行数据的分析，建立灰色预测模型，提前发现潜在故障，确保设备安全运行。
3. 社会科学4. 生态环境在生态环境领域，灰色系统理论可以用于水资源评价、环境污染预测、生态平衡分析等。
通过对生态环境数据的挖掘，有助于我们更好地了解和把握生态环境的发展态势。
四、灰色系统理论的优势与局限性优势：1. 对小样本数据的适用性：灰色系统理论不需要大量数据即可进行建模和分析，这对于样本量有限的情况尤其有价值。
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灰色模型的构建步骤
确定建模目标
明确建模的目的和需要解决的问题， 确定模型的输出和输入变量。
建立灰色模型
对建立的灰色模型进行检验，包括残 差分析、后验差检验等，根据检验结 果对模型进行优化和调整。
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目录
• 灰色系统理论概述 • 灰色系统建模方法与步骤 • 灰色预测模型 • 灰色关联分析 • 灰色决策模型 • 案例分析与实战演练
01
灰色系统理论概述
灰色系统的定义与特点
定义
灰色系统是指信息不完全、结构不明 确、关系不清晰的系统。
特点
灰色系统具有不确定性、模糊性、动 态性和复杂性等特点。
数据预处理
对原始数据进行清洗、整理，去除异 常值和噪声，使数据更符合灰色模型 的建模要求。
模型检验与优化
根据具体问题和数据特点，选择合适 的灰色模型进行建模，确定模型的参 数和结构。
灰色模型的适用性分析
适用于少数据、贫信息的情况
灰色模型能够在数据量较少、信息不完全的情况下进行建模和预测，适用于一些难以获取大量数 据的领域。
灰色系统理论的发展与应用
发展历程
灰色系统理论起源于20世纪80年代，经过多年的发展，已形成一套完整的理论体系和方法体系。
应用领域
灰色系统理论广泛应用于经济、管理、工程、环境等多个领域，用于解决实际问题中的不确定性和复杂性。
与其他系统理论的比较
01
与传统系统理论比较：传统系统理论通常要求 系统信息完全、结构明确，而灰色系统理论能 够处理信息不完全、结构不明确的系统问题。
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ˆ (a1 , a2 ,...,an b1 , b2 ,...,bn1可以 )T 则微分方程的系数向量为：a 1 T ˆ 通过最小二乘法求解 ；式中 a ( A B ) ( A B ) ( A B) T y N A B 为由( A ， B) 组成的分块矩阵。
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10.1.2 灰色系统的特点
概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不 确定性系统的研究方法，如表10.1所示。研究对象都具 有不确定性，这是三者的共同点。正是研究对象在不确 定性上的区别派生出三种各具特色的不确定性学科。
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
灰色模型适用范围分析 （一）作为预测模型，常用GM(n, 1)模型，即只有一个 序列变量的GM模型。这是因为对社会、经济、农业等 系统效益（效果、产量、产值等）的发展变化进行分析 和预测时，只需研究一个变量，即“效果”的数据序列。 （二）作为状态模型，常用GM(1, h)模型。因为它可以 反映h－1个变量对某一变量一阶导数的影响。当然，这 需要h个时间序列，并且事先必须作尽可能客观的分析， 以确定哪些因素的时间序列应计入这h个变量中。但 GM(1, h)模型只能反映其它h－1个变量对某一变量的一 阶导数的影响，不能反映多因素系统内各变量之间的相 互作用。
当j=3时有
(10.2)
a ( n) ( xi(1) , t ) a ( n1) ( xi(1) , t 1) a (n1) ( xi(1) , t )
(10.3)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
再构造如下累差矩阵A，累加矩阵B及常向量yn
..., a (1) ( x1(1) ,2) (1) (1) ..., a ( x1 ,3) ... ... (1) (1) ..., a ( x1 , n)
(10.4)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
1 (1) (1) (1) (1) ( x (2) x (1)), x (2) ... x (2) 1 1 2 n 2 1 (1) (1) ( x (1) (3) x (1) (2)), x (3) ... x 1 1 2 n (3) B 2 (10.4) ... ... ... ... 1 (1) (1) (1) (1) ( x1 (n) x1 (n 1)), x2 (n) ..., xn ( n) 2
( 0)
(1) i i k 1 ( 0) i
i
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
当j=1时有
a (1) ( xi(1) , t ) xi(1) (t 1) xi(1) (t ) xi(0) (t ) (10.1) 当j=2时有
a ( 2) ( xi(1) , t ) xi(0) (t 1) xi(0) (t )
数据挖掘技术与应用
第10章 灰色系统理论与方法
本章提纲
10.1
灰色系统的基础理论 灰色预测模型
灰色聚类分析 灰色综合评价方法 小结
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10.2
10.3 10.4 10.5
10.1灰色系统的基础理论
10.1.1 灰色系统理论介绍 10.1.2 灰色系统的特点 10.1.3 灰色系统建模与适用范围
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10.1.1灰色系统理论介绍
灰色系统理论（Grey System Theory）的创立源于20 世纪80年代。邓聚龙教授在1981年上海中美控制系统 学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术 报告中首次使用了“灰色系统”一词。1982年，邓聚龙 发表了“参数不完全系统的最小信息正定”、“灰色系 统的控制问题”等引起了高度的重视，美国哈佛大 学教授、《系统与控制通信》杂志主编布罗克特 （Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而，众多 的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探 索灰色系统理论及其应用研究。
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
)i＝1, 2, …, h; t=1, 2,…, N； 定理：给定下列序列： X i (t , 1) 2,…, h; t=1, 2, …, N； (t ) 有相应的一阶累加序列： ,Xii(＝ 1, x (t ) x (k ) 其中： 为一次累加序列；并有相应的多次累差 ( j ) 2, (t ) , h；t=1, 2, …, N；j=1, 2,…, m。 序列： , i＝ a1, (x … , t )
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10.1.1灰色系统理论介绍
灰色系统是通过对原始数据的收集与整理来寻求其发展 变化的规律。这是因为，客观系统所表现出来的现象尽 管纷繁复杂，但其发展变化有着自己的客观逻辑规律， 是系统整体各功能间的协调统一。因此，如何通过散乱 的数据系列去寻找其内在的发展规律就显得特别重要。 灰色系统理论认为，一切灰色序列都能通过某种生成弱 化其随机性的模型而呈现本来的规律，也就是通过灰色 数据序列建立系统反应模型，并通过该模型预测系统的 可能变化状态。灰色系统理论认为微分方程能较准确地 反应事件的客观规律，即对于时间为t的状态变量，通 过方程就能够基本反映事件的变化规律。
a ( n 1) ( x1(1) ,2), a ( n 2) ( x1(1) ,2), ( n 1) (1) ( n2) (1) a ( x , 3 ), a ( x 1 1 ,3), A ... ... ( n 1) (1) ( n2) (1) a ( x , n ) a ( x 1 1 , n)
a ( n ) ( x1(1) ,2) ( n ) (1) a ( x1 ,3) yn ... ( n ) (1) a ( x1 , N )
(10.6)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
若记h个序列n阶微分方程所表达的动态模型，即GM(n, h)模型为：
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
灰色系统GM(n, h)建模 灰色建模是进行灰色预测与灰色决策的基础，其建 模过程可分为五步：语言模型、网络模型、量化模型、 动态模型、优化模型。五步建模过程事实上是信息不断 补充，系统因素及其关系不断明确，明确的关系进一步 量化，量化后关系进行判断改造的过程，是系统由灰变 白的过程。
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10.2 灰色预测模型
10.2.1 建立灰色预测模型 10.2.2 灰色预测模型实例
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10.2.1 建立灰色预测模型
灰色预测是指基于灰色动态模型GM(1, 1)的预测，灰色 预测模型一般指GM(1, 1)模型。数列灰色预测的步骤如 下： 第一步：级比检验，建模可行性分析。 对于给定序列 X ，能否建立精度较高的GM(1,1)预测模 ( 0) ) 型，一般可用 X (0)的级比 (k的大小与所属区间，即其 覆盖来判断。 事前检验准则：设 X x 1, x 2,...,x ,n x (0) (k ), x (0) (k 1) X (0)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
第二步：数据变换处理 数据变换处理的原则是经过处理后的序列级比落在可容 覆盖中，从而对于级比不合格的序列，可保证经过选择 数据变换处理后能够进行GM(1, 1)建模。通常的数据变 换有平移变换、对数变换、方根变换。
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
灰色模型和其他任何模型一样，不可能具有普遍适用性， 而是有其特定的建模条件。灰色模型的特点在于其建模 机理与其他模型不同，在建模的数据处理上，通过灰色 序列生成找寻数据演变的规律性。在进行灰色系统建模 前需要判断序列是否是光滑序列，数据序列是否满足灰 指数规律。灰色系统的模型GM(n, h)是以灰色模块概念 为基础，以微分拟合法为核心的建模方法。其中 n 表示 微分方程阶数， h 表示参与建模的序列个数，用得较多 的是GM(1, 1)模型。GM(n, h)建模原理如下：
题
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10.1.2 灰色系统的特点
灰色系统着重研究概率统计、模糊数学所不能解决的 “小样本、贫信息不确定”问题，并依据信息覆盖，通 过序列生成寻求现实规律。其特点是“少数据建模”。 与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究“外延明 确，内涵不明确”的对象。比如：到2050年，中国要将 总人口控制在15亿到16亿之间，这“15到16亿之间”就 是一个灰概念，其外延是非常明确的，但如果进一步要 问到底是哪个具体值，则不清楚。灰色系统理论与概率 论、模糊数学一起并称为研究不确定性系统的三种常用 方法，具有能够利用“少数据”建模寻求现实规律的良 好特性，克服了数据不足或系统周期短的矛盾。
10.1.2 灰色系统的特点
表10.1 灰色系统与概率、模糊的对比
概率与数理 统计 模糊数学 样本量大、数据多但缺乏明显规律的问题，即“大样本不确定性 ”问题 人的经验及认知先验信息的不确定问题，即“认知的不确定性” 问题 既无经验，数据又少的不确定性问题，即“少数据不确定性”问