离散数学及其应用数理逻辑部分课后习题答案
离散数学(第二版)课后习题答案详解(完整版)
离散数学(第⼆版)课后习题答案详解(完整版)习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题?在是命题的句⼦中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?(1)中国有四⼤发明.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(2)5 是⽆理数.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(3)3 是素数或 4 是素数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为1.(4)2x+ <3 5 答:不是命题.(5)你去图书馆吗?答:不是命题.(6)2 与3 是偶数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(7)刘红与魏新是同学.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.(8)这朵玫瑰花多美丽呀!答:不是命题.(9)吸烟请到吸烟室去!答:不是命题.(10)圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(11)只有6 是偶数,3 才能是2 的倍数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(12)8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(13)2008 年元旦下⼤雪.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:(1)p:中国有四⼤发明.(2)p: 是⽆理数.(7)p:刘红与魏新是同学.(10)p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.(13)p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.(1)5 是有理数.答:否定式:5 是⽆理数. p:5 是有理数.q:5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.(2)25 不是⽆理数.答:否定式:25 是有理数. p:25 不是⽆理数. q:25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.(3)2.5 是⾃然数.答:否定式:2.5 不是⾃然数. p:2.5 是⾃然数. q:2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.(4)ln1 是整数.答:否定式:ln1 不是整数. p:ln1 是整数. q:ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2 与5 都是素数答:p:2 是素数,q:5 是素数,符号化为p q∧,其真值为 1.(2)不但π是⽆理数,⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答:p:π是⽆理数,q:⾃然对数的底e 是⽆理数,符号化为p q∧,其真值为1.(3)虽然2 是最⼩的素数,但2 不是最⼩的⾃然数.答:p:2 是最⼩的素数,q:2 是最⼩的⾃然数,符号化为p q∧? ,其真值为1.(4)3 是偶素数.答:p:3 是素数,q:3 是偶数,符号化为p q∧,其真值为0.(5)4 既不是素数,也不是偶数.答:p:4 是素数,q:4 是偶数,符号化为? ∧?p q,其真值为0.5.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2 或3 是偶数.(2)2 或4 是偶数.(3)3 或5 是偶数.(4)3 不是偶数或4 不是偶数.(5)3 不是素数或4 不是偶数.答: p:2 是偶数,q:3 是偶数,r:3 是素数,s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨,其真值为1.(2)符号化:p r∨,其真值为1.(3)符号化:r t∨,其真值为0.(4)符号化:? ∨?q s,其真值为1.(5)符号化:? ∨?r s,其真值为0.6.将下列命题符号化.(1)⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答:p:⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果,q:⼩丽从筐⾥拿⼀个梨,符号化为: p q∨ .(2)这学期,刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答:p:刘晓⽉选学英语,q:刘晓⽉选学⽇语,符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p:王冬⽣于1971 年,q:王冬⽣于1972 年,说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表:合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有;(1)只要, 则;, 才有;(3)只有, 才有;(4)除⾮, 否则;(5)除⾮(6)仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .(1);(2);;(3);(4);(5);(6);(7).答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.(1);(2);(3);(4).答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.(1)若2+2=4,则地球是静⽌不动的;(2)若2+2=4,则地球是运动不⽌的;(3)若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存;(4)若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:(1)2+2=4 当且仅当3+3=6;(2)2+2=4 的充要条件是3+3 6;(3)2+2 4 与3+3=6 互为充要条件;(4)若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.(1)若今天是星期⼀,则明天是星期⼆;(2)只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆;(3)今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆;(4)若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.(1)刘晓⽉跑得快,跳得⾼;(2)⽼王是⼭东⼈或者河北⼈;(3)因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服;(4)王欢与李乐组成⼀个⼩组;(5)李欣与李末是兄弟;(6)王强与刘威都学过法语;(7)他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐;(8)如果天下⼤⾬,他就乘班车上班;(9)只有天下⼤⾬,他才乘班车上班;(10)除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班;(11)下雪路滑,他迟到了;(12)2 与4 都是素数,这是不对的;(13)“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q:⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值:(1)(2)(3)(4)解:p真值为1,q 真值为1,r 真值为0.(1)0,(2)0,(3)0,(4)116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值:(1)(2)(3)(4)解:(1)0,(2)0,(3)0,(4)117.判断下⾯⼀段论述是否为真:“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解:p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t:6 能被 4 整除符号化为: ,该式为重⾔式,所以论述为真。
离散数学课后习题答案 (邱学绍)
第一章 命题逻辑习题1.11.解 ⑴不是陈述句,所以不是命题。
⑵x 取值不确定,所以不是命题。
⑶问句,不是陈述句,所以不是命题。
⑷惊叹句,不是陈述句,所以不是命题。
⑸是命题,真值由具体情况确定。
⑹是命题,真值由具体情况确定。
⑺是真命题。
⑻是悖论,所以不是命题。
⑼是假命题。
2.解 ⑴是复合命题。
设p :他们明天去百货公司;q :他们后天去百货公司。
命题符号化为q p ∨。
⑵是疑问句,所以不是命题。
⑶是悖论,所以不是命题。
⑷是原子命题。
⑸是复合命题。
设p :王海在学习;q :李春在学习。
命题符号化为p ∧q 。
⑹是复合命题。
设p :你努力学习;q :你一定能取得优异成绩。
p →q 。
⑺不是命题。
⑻不是命题⑼。
是复合命题。
设p :王海是女孩子。
命题符号化为:⌝p 。
3.解 ⑴如果李春迟到了,那么他错过考试。
⑵要么李春迟到了,要么李春错过了考试,要么李春通过了考试。
⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。
⑷如果李春迟到了并且错过了考试,那么他没有通过考试。
4.解 ⑴⌝p →(q ∨r )。
⑵p →q 。
⑶q →p 。
⑷q → p 。
习题1.21.解 ⑴是1层公式。
⑵不是公式。
⑶一层: p ∨q ,⌝p二层:⌝p ↔q所以,)()(q p q p ↔⌝→∨是3层公式。
⑷不是公式。
⑸(p →q )∧⌝(⌝q ↔( q →⌝r ))是5层公式,这是因为 一层:p →q ,⌝q ,⌝r 二层:q →⌝r 三层:⌝q ↔( q →⌝r ) 四层:⌝(⌝q ↔( q →⌝r ))2.解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。
真值表如表2-1所示:表2-1⑵p q p q A →→∧=)(是3层公式。
真值表如表2-2所示:表2-2⑶)()(q p r q p A ∨→∧∧=是3层公式。
真值表如表2-3所示:表2-3⑷)()()(r q r p q p A ∨∧∨⌝∧∨=是4层公式。
真值表如表2-4所示:3.解 ⑴p q p A ∨⌝∧⌝=)(真值表如表2-5所示:表2-5所以其成真赋值为:00,10,11;其成假赋值为01。
离散数学课后答案(第1-2-4章)武汉大学出版社
离散数学课后答案(第1-2-4章)武汉大学出版社习题1.11、(1)否(2)否(3)是,真值为0(4)否(5)是,真值为12、(1)P:天下雨Q:我去教室┐P →Q(2)P:你去教室Q:我去图书馆P →Q (3)P,Q同(2)Q →P(4)P:2是质数Q:2是偶数P∧Q3、(1)0(2)0(3)14、(1)如果明天是晴天,那么我去教室或图书馆。
(2)如果我去教室,那么明天不是晴天,我也不去图书馆。
(3)明天是晴天,并且我不去教室,当且仅当我去图书馆。
习题1.21、(1)是(2)是(3)否(4)是(5)是(6)否2、(1)(P →Q) →R,P →Q,R,P,Q (2)(┐P∨Q) ∨(R∧P),┐P ∨Q,R∧P,┐P,Q,R,P(3)((P →Q) ∧(Q →P)) ∨┐(P →Q)),(P →Q) ∧(Q →P),┐(P →Q),P →Q,(Q →P),P →Q,P,Q,Q,P,P,Q3、(1)((P →Q) →(Q →P)) →(P →Q) (2)((P →Q) ∨((P →Q) →R))→((P →Q) ∧((P →Q) →R))(3)(Q →P∧┐P) →(P∧┐P →Q)4、(P →Q) ∨((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧(┐P∨Q)习题1.31、(1)I(P∨(Q∧R)) = I(P)∨(I(Q)∧I(R)) = 1∨(1∧0) = 1(2)I((P∧Q∧R)∨(┐(P∨Q)∧┐(R∨S))) = (1∧1∧0)∨(┐(1∨1)∧┐(0∨1)) = 0∨(0∧0) = 0 (3)I((P←→R)∧(┐Q→S)) = (1←→0)∧(┐1→1) = 0∧1 = 0(4)I((P∨(Q→R∧┐P))←→(Q∨┐S)) = (1∨(1→(0∧┐1)))←→(1∨┐1) = 1←→1 = 1(5)I(┐(P∧Q)∨┐R∨((Q←→┐P)→R∨┐S)) = ┐(1∧1)∨┐0∨((1←→┐1)→(0∨┐1)) = 0∨1∨1 = 12、(1)P Q P→Q Q∧(P→Q) Q∧(P→Q)→P0 0 1 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 1 1 1 1(2)P Q R Q∧R ┐(P∨(Q∧R)) P∨Q P∨R(2)原式<=> ┐T∨(┐(┐P∨Q)∨(┐┐Q∨┐P)) <=> (P∧┐Q)∨(Q∨┐P)<=> (P∧┐Q)∨┐(P∧┐Q) <=> T 原式为永真式(3)原式<=> ┐(P∧Q) ←→┐(P∧Q) <=> T 原式为永真式(4)原式<=> P∧(Q∨R) ←→P∧(Q∨R) <=> T 原式为永真式(5)原式<=> ┐(P∨┐Q)∨Q <=> (┐P∧Q)∨Q <=> Q 原式为可满足式(6)原式<=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> T 原式为永真式(7)原式<=> (┐P∨P∨Q)∧┐P <=> (T∨Q)∧┐P<=> T∧┐P <=> ┐P 原式为可满足式(8)原式<=> ┐((P∨Q) ∧(┐Q∨R))∨(┐P ∨R) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐R)∨(┐P∨R)<=> ((P∧┐Q)∨┐P)∨((Q∧┐R)∨R)<=>(( P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨(( Q∨R)∧(┐R ∨R))<=> (┐Q∧┐P)∨( Q∨R) <=> T 原式为永真式4、(1)左<=> ┐P∨┐Q∨P <=> ┐┐P∨(┐P ∨┐Q) <=> 右(2)左<=> ┐(┐P∨Q) <=> 右(3)左<=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> 右(4)左<=> ┐(P→Q)∨┐(Q→P) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐P) <=> 中<=> ((P∧┐Q)∨Q)∧((P∧┐Q)∨┐P)<=> (P∨Q)∧(┐Q∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨┐P)<=> (P∨Q)∧┐(P∧Q) <=> 右(5)左( P Q) ( R Q) (P Q) Q 右5.(1)左Q P Q 右(2)(P (Q R)) ((P Q) (P R))( P Q R) ( P Q) ( P R)(P Q R) (P Q) P R(P Q R) ((P P) ( Q P)) R(P Q R) ( Q P R)(P Q R) (P Q R)T故P (Q R) (P Q) (P R)(3).(P Q) (P P Q)( P Q) P (P Q)( P Q) ( P P) ( P Q)( P Q) ( P Q)T故P Q P P Q(4).((P Q) Q) P Q( ( P Q) Q) P Q(( P Q) Q) P Q( P Q) (Q Q) P Q(P Q) (P Q)T故(P Q) Q P Q(5).((P P) Q) ((P P) R) (Q R) (( T Q) ( T R)) Q R(Q R) Q RQ R Q RQ TT故((P P) Q) ((P P) R) Q R(6)左(Q F) (R F)( Q F) ( R F)Q RRR Q 右6.(1)原式( P Q R)(2)原式P Q P (P Q P)(3)原式P (Q R P) P Q R ( P Q R)7.(1)原式( P Q P)(2)原式( P Q R) P Q ( ( P Q R) P Q)(3)原式P Q (R P) (P Q (R P))8. (1) (P Q) (( P ( P Q)) R) P(2)(P Q R) ( P R)(3)(P F) (Q T)习题1.41.(1)原式( P Q) (( P Q) (Q P))( P Q) (Q P)(P Q) Q PQ P,既是析取范式又是合取范式(2)原式(( P Q) ( P Q)) ( ( P Q) ( P Q))(P Q) (P Q) 析取范式P (Q Q)合取范式(3)原式P Q S ( P Q)析取范式( P ( P Q)) Q SP Q S合取范式(4)原式P P Q Q R既是析取范式又是合取范式2.(1)原式P Q R为真的解释是:000,001,011,100,101,110,111故原式的主析取范式为:( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P QR) (P Q R) (P Q R)(2)原式(P Q) R(P Q (R R)) ((P P) R)(P Q R) (P Q R) (P Q) ( P R)(P Q R) (P Q R) (P (Q Q) R) ( P (Q Q) R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)为真的解释是101,100,111,011,001(3)原式( P (Q R)) (P ( Q R))(( P (Q R)) P) (( P (Q R)) ( Q R))( P P) (Q P R) ( P Q R) (Q R Q R)(P Q R) ( P Q R)为真的解释是:000,111(4)原式P P Q Q R P Q R为真的解释是:001,010,011,100,101,110,111故原式的主析取范式为:( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P QR) (P Q R) (P Q R)3.(1)原式P Q P Q T主合取范式,无为假的解释。
离散数学第2版课后习题答案
离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科,它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。
离散数学的应用非常广泛,包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。
而离散数学第2版是一本经典的教材,它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。
本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案,帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。
第一章:基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1:命题逻辑的基本符号有哪些?它们的含义是什么?答:命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。
命题变量用字母表示,代表一个命题。
命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等,分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。
括号用于改变命题联结词的优先级。
习题2:列举命题逻辑的基本定律。
答:命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。
1.2 集合论习题1:什么是集合?集合的基本运算有哪些?答:集合是由一些确定的对象组成的整体,这些对象称为集合的元素。
集合的基本运算包括并、交、差和补等。
习题2:列举集合的基本定律。
答:集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。
第二章:数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1:什么是命题逻辑的推理规则?列举几个常用的推理规则。
答:命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。
常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。
习题2:使用推理规则证明以下命题:如果A成立,则B成立;B不成立,则A不成立。
答:假言推理规则可以用来证明该命题。
根据假言推理规则,如果A成立,则B成立。
又根据假言推理规则,如果B不成立,则A不成立。
2.2 谓词逻辑习题1:什么是谓词逻辑?它与命题逻辑有何区别?答:谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统,它引入了谓词和量词。
与命题逻辑不同,谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。
离散数学及应用课后习题答案
离散数学及应用课后习题答案【篇一:离散数学及其应用图论部分课后习题答案】p165:习题九1、给定下面4个图(前两个为无向图,后两个为有向图)的集合表示,画出它们的图形表示。
(1)g1??v1,e1?,v1?{v1,v2,v3,v4,v5},e1?{(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v3,v3),(v4,v5)} (2)g2??v2,e2?,v2?v1,e1?{(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v4,v5),(v5,v1)} (3)d1??v3,e3?,v3?v1,e3?{?v1,v2?,?v2,v3?,?v3,v2?,?v4,v5?,?v5,v 1?} (4)d2??v4,e4?,v4?v1,e3?{?v1,v2?,?v2,v5?,?v5,v2?,?v3,v4?,?v4,v 3?} 解答:(1)(2)10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图?若有,则画出一个这样的图。
(1)5,5,3,2,2;(2)3,3,3,3,2;(3)1,2,3,4,5;(4)4,4,4,4,4 解答:(1)(3)不存在,因为有奇数个奇度顶点。
14、设g是n(n?2)阶无向简单图,g是它的补图,已知?(g)?k1,?(g)?k2,求?(g),(g)。
解答:?(g)?n?1?k2;?(g)?n?1?k1。
15、图9.19中各对图是否同构?若同构,则给出它们顶点之间的双射函数。
解答:(c)不是同构,从点度既可以看出,一个点度序列为4,3,3,3,3而另外一个为4,4,3,3,1(d)同构,同构函数为12f(x)345解答:(1)三条边一共提供6度;所以点度序列可能是x?ax?bx?c x?dx?e16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
①3,3,0,0,0,0;②3,2,1,0,0,0;③3,1,1,1,0,0;④2,2,2,0,0,0;⑤2,2,1,1,0,0;⑥2,1,1,1,1,0;⑦1,1,1,1,1,1;由于是简单图,①②两种情形不可能图形如下:(2)三条边一共提供6度,所以点度序列可能为①3,3,0;②3,2,1;③2,2,2 由于是简单图,①②两种情形不可能21、在图9.20中,下述顶点序列是否构成通路?哪些是简单通路?哪些是初级通路?哪些是回路?哪些是简单回路?哪些是初级回路?(1)a,b,c,d,b,e;(2)a,b,e,d,b,a;(3)a,d,c,e,b;(4)d,b,a,c,e;(5)a,b,c,d,e,b,d,c;(6)a,d,b,e,c,b,d;(7)c,d,a,b,c;(8)a,b,c,e,b 解答:(1)构成通路,且为初级通路,因为点不重复(2)构成了回路,但是不为简单回路和初级回路,因为有重复的边(a,b) (3)构成了初级通路,因为点不重复;(4)不构成通路,因为边(a,c)不存在;(5)构成通路,但是不为简单通路和初级通路,因为有重复的边(d,c) (6)构成了回路,但是不为简单回路和初级回路,因为有重复的边(d,b) (7)构成了初级通路;(8)简单通路,但是不为初级通路,有重复边。
(完整版)离散数学及其应用(课后习题)
习题1.12. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。
(3)大雁北回,春天来了。
(4)不是东风压倒西风,就是西风压倒东风。
(5)张三和李四在吵架。
解:(3)和(4)是复合命题,(5)是原子命题。
习题1.21. 指出下列命题的真值:(1)若224+>,则太阳从西方升起。
解:该命题真值为T (因为命题的前件为假)。
(3)胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解:该命题真值为F (如鸭嘴兽虽是哺乳动物,但不是胎生动物)。
2. 令P :天气好。
Q :我去公园。
请将下列命题符号化。
(2)只要天气好,我就去公园。
(3)只有天气好,我才去公园。
(6)天气好,我去公园。
解:(2)P Q →。
(3)Q P →。
(6)P Q ↔。
习题1.32. 将下列命题符号化(句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示): (1)我去新华书店(P ),仅当我有时间(Q )。
(3)只要努力学习(P ),成绩就会好的(Q )。
(6)我今天进城(P ),除非下雨(Q )。
(10)人不犯我(P ),我不犯人(Q );人若犯我,我必犯人。
解:(1)P Q →。
(3)P Q →。
(6)Q P ⌝→。
(10)()()P Q P Q ⌝→⌝∧→。
习题1.41. 写出下列公式的真值表: (2)()P Q R ∨→。
解:该公式的真值表如下表:2. 证明下列等价公式:(2)()()()P Q P Q P Q ∨∧⌝∧⇔⌝↔。
证明:()(()()) ()()) ()() ()()P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ⌝↔⇔⌝∧∨⌝∧⌝⇔⌝∧∧⌝⌝∧⌝⇔⌝∧∧∨⇔∨∧⌝∧(4)()()()P Q P R P Q R →∧→⇔→∧。
证明:()()()() () ()P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后,有人问他们谁的成绩最好,甲说,不是我。
离散数学 数理逻辑 课后答案
第一章命题逻辑基本概念4.将下列命题符号化,并指出真值:(1)p∧q,其中,p:2是素数,q:5是素数,真值为1;(2)p∧q,其中,p:是无理数,q:自然对数的底e是无理数,真值为1;(3)p∧┐q,其中,p:2是最小的素数,q:2是最小的自然数,真值为1;(4)p∧q,其中,p:3是素数,q:3是偶数,真值为0;(5)┐p∧┐q,其中,p:4是素数,q:4是偶数,真值为0.5.将下列命题符号化,并指出真值:(1)p∨q,其中,p:2是偶数,q:3是偶数,真值为1;(2)p∨q,其中,p:2是偶数,q:4是偶数,真值为1;(3)p∨┐q,其中,p:3是偶数,q:4是偶数,真值为0;(4)p∨q,其中,p:3是偶数,q:4是偶数,真值为1;(5)┐p∨┐q,其中,p:3是偶数,q:4是偶数,真值为0;6.(1)(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中,小丽从筐里拿一个苹果,q:小丽从筐里拿一个梨;(2)(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中,p:刘晓月选学英语,q:刘晓月选学日语;.7.因为p与q不能同时为真.8.p:2<1,q:3<2(1)p→q,(2)p→┐q,(3)┐q→p,(4)┐q→p,(5)┐q→p,(6)p→q,13.设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三:(1)p→q,真值为1(不会出现前件为真,后件为假的情况);(2)q→p,真值为1(也不会出现前件为真,后件为假的情况);(3)p q,真值为1;(4)p→r,若p为真,则p→r真值为0,否则,p→r真值为1.16.设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1)p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s) ⇔(0↔1)∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.(3)(⌝p∧⌝q∧r)↔(p∧q∧﹁r) ⇔(1∧1∧1)↔ (0∧0∧0)⇔0(4)(⌝r∧s)→(p∧⌝q) ⇔(0∧1)→(1∧0) ⇔0→0⇔117.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。
离散数学课后习题答案 (2)
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意,设集合A和B如下:Set A and BSet A and B在此情况下,我们可以得出以下结论:•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} };•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} };•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此,习题一.1的答案为:•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} };•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} };•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意,集合A和B如下所示:Set A and BSet A and B根据集合的定义,习题一.2要求我们判断以下命题的真假性:a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来,我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集:$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此,命题a)为真。
b)大家都知道,空集合是任意集合的子集,因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意,$\\emptyset \\in B$,因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积:$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
离散数学课后习题答案一
§1.1 命题和逻辑连接词习题1.11. 下列哪些语句是命题,在是命题的语句中,哪些是真命题,哪些是假命题,哪些命题的真值现在还不知道?(1)中国有四大发明。
(2)你喜欢计算机吗? (3)地球上海洋的面积比陆地的面积大。
(4)请回答这个问题! (5)632=+。
(6)107<+x 。
(7)园的面积等于半径的平方乘以圆周率。
(8)只有6是偶数,3才能是2的倍数。
(9)若y x =,则z y z x +=+。
(10)外星人是不存在的。
(11)2020年元旦下大雪。
(12)如果311=+,则血就不是红的。
解是真命题的有:(1)、(3)、(7)、 (9) 、(12) ;是假命题的有:(5)、 (8) ;是命题但真值现在不知道的有: (10)、 (11);不是命题的有:(2)、(4)、(6)。
2. 令p 、q 为如下简单命题:p :气温在零度以下。
q :正在下雪。
用p 、q 和逻辑联接词符号化下列复合命题。
(1)气温在零度以下且正在下雪。
(2)气温在零度以下,但不在下雪。
(3)气温不在零度以下,也不在下雪。
(4)也许在下雪,也许气温在零度以下,也许既下雪气温又在零度以下。
(5)若气温在零度以下,那一定在下雪。
(6)也许气温在零度以下,也许在下雪,但如果气温在零度以上就不下雪。
(7)气温在零度以下是下雪的充分必要条件。
解 (1)q p ∧;(2)q p ⌝∧;(3)q p ⌝∧⌝;(4)q p ∨; (5)q p →;(6))()(q p q p ⌝→⌝∧∨;(7)q p ↔。
3. 令原子命题p :你的车速超过每小时120公里,q :你接到一张超速罚款单,用p 、q 和逻辑联接词符号化下列复合命题。
(1)你的车速没有超过每小时120公里。
(2)你的车速超过了每小时120公里,但没接到超速罚款单。
(3)你的车速若超过了每小时120公里,将接到一张超速罚款单。
(4)你的车速不超过每小时120公里,就不会接到超速罚款单。
离散数学课后习题答案
1-1,1-2(1) 解:a) 是命题,真值为T。
b) 不是命题。
c) 是命题,真值要根据具体情况确定。
d) 不是命题。
e) 是命题,真值为T。
f) 是命题,真值为T。
g) 是命题,真值为F。
h) 不是命题。
i) 不是命题。
(2) 解:原子命题:我爱北京天安门。
复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。
(3) 解:a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q(4) 解:a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
(Q→R)∧(R→Q):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。
(5) 解:a) 设P:王强身体很好。
Q:王强成绩很好。
P∧Qb) 设P:小李看书。
Q:小李听音乐。
P∧Qc) 设P:气候很好。
Q:气候很热。
P∨Qd) 设P: a和b是偶数。
Q:a+b是偶数。
P→Qe) 设P:四边形ABCD是平行四边形。
Q :四边形ABCD的对边平行。
PQf) 设P:语法错误。
Q:程序错误。
R:停机。
(P∨ Q)→ R(6) 解:a) P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb) P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc) R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd) A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be) M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf) L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg) P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh) P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3(1)解:a) 不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式)b) 是合式公式c) 不是合式公式(括弧不配对)d) 不是合式公式(R和S之间缺少联结词)e) 是合式公式。
离散数学习题答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版离散数学习题答案习题一:P121.判断下列句子哪些是命题?在是命题的句子中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?(1)中国有四大发明。
(2)5是无理数。
(3)3是素数或4是素数。
(4)x2+3<5,其中x是任意实数。
(5)你去图书馆吗?(6)2与3都是偶数。
(7)刘红与魏新是同学。
(8)这朵玫瑰花多美丽呀!(9)吸烟请到吸烟室去!(10)圆的面积等于半径的平方乘π。
(11)只有6是偶数,3才能是2的倍数。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
(13)2025年元旦下大雪。
1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。
在上面的命题中,1、2、7、10、13是简单命题;1、2、10是真命题;7的真值现在还不知道。
2.将上题中是简单命题的命题符号化。
(1)p:中国有四大发明。
(2)q:5是无理数。
(7)r:刘红与魏新是同学。
(10)s:圆的面积等于半径的平方乘π。
(1)t:2025年元旦下大雪。
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值。
“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。
解:原命题可符号化为:p:5是有理数。
其否定式为:非p。
非p的真值为1。
4.将下列命题符号化,并指出真值。
(1)2与5都是素数。
(2)不但π是无理数,而且自然对数的底e也是无理数。
(3)虽然2是最小的素数,但2不是最小的自然数。
(4)3是偶素数。
(5)4既不是素数,也不是偶数。
a:2是素数。
b:5是素数。
c:π是无理数。
d:e是无理数。
f:2是最小的素数。
g:2是最小的自然数。
h:3是偶数。
i:3是素数。
j:4是素数。
k:4是偶数。
解:(1)到(5)的符号化形式分别为a∧b,c∧d,f∧非g,h∧i,非j∧非k。
这五个复合命题的真值分别为1,1,1,0,0。
5.将下列命题符号化,并指出真值。
a:2是偶数。
b:3是偶数。
c:4是偶数。
离散数学及其应用数理逻辑部分课后习题答案
作业答案:数理逻辑部分P14:习题一1、下列句子中,哪些是命题?在是命题的句子中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?(3 答:简单命题,真命题。
(9)吸烟请到吸烟室去! 答:不是命题。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
答:复合命题,假命题。
14、讲下列命题符号化。
(6)王强与刘威都学过法语。
答::p 王强学过法语;:q 刘威学过法语。
符号化为:p q ∧(10)除非天下大雨,他就乘班车上班。
答::p 天下大雨;:q 他乘班车上班。
符号化为:p q →(13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的。
答::p 2是素数;:q 4是素数。
符号化为:(())p q ⌝⌝∨15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。
:r 太阳从西方升起。
求下列复合命题的真值。
(2)(())r p q p →∧↔⌝(4)()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解答: p 真值为1;q 真值为1;r 真值为0.(2)p q ∧真值为1;()r p q →∧真值为1;p ⌝真值为0;所以(())r p q p →∧↔⌝真值为0.(4)p q r ∧∧⌝真值为1,p q ⌝∨⌝真值为0,()p q r ⌝∨⌝→真值为1;所以()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→真值为1.19、用真值表判断下列公式的类型。
(4)()()p q q p →→⌝→⌝所以为重言式。
(7)所以为可满足式。
P36:习题二3、用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出其成真赋值。
(1)()p q q ⌝∧→ 解答:()(())(())()10p q q p q q p q q p q q ⌝∧→⇔⌝⌝∧∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⇔所以为永假式。
(2)(())()p p q p r →∨∨→ 解答:(())()(())()()()1()1p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔∨⌝∨⇔ 所以因为永真式。
离散数学及其应用课后习题答案
离散数学及其应用课后习题答案【篇一:离散数学及其应用(课后习题)】出下列命题是原子命题还是复合命题。
(3)大雁北回,春天来了。
(4)不是东风压倒西风,就是西风压倒东风。
(5)张三和李四在吵架。
解:(3)和(4)是复合命题,(5)是原子命题。
习题1.21. 指出下列命题的真值:(1)若2?2?4,则太阳从西方升起。
解:该命题真值为t(因为命题的前件为假)。
(3)胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解:该命题真值为f(如鸭嘴兽虽是哺乳动物,但不是胎生动物)。
2. 令p:天气好。
q:我去公园。
请将下列命题符号化。
(2)只要天气好,我就去公园。
(3)只有天气好,我才去公园。
(6)天气好,我去公园。
解:(2)p?q。
(3)q?p。
(6)p?q。
习题1.32. 将下列命题符号化(句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示):(1)我去新华书店(p),仅当我有时间(q)。
(3)只要努力学习(p),成绩就会好的(q)。
(6)我今天进城(p),除非下雨(q)。
(10)人不犯我(p),我不犯人(q);人若犯我,我必犯人。
解:(1)p?q。
(3)p?q。
(6)?q?p。
(10)(?p??q)?(p?q)。
习题1.41. 写出下列公式的真值表:(2)p?(q?r)。
解:该公式的真值表如下表:2. 证明下列等价公式:(2)(p?q)??(p?q)??(p?q)。
证明:?(p?q)??((p?q)?(?p??q))??(p?q)??(?p??q))??(p?q)?(p?q) ?(p ?q)??(p?q)(4)(p?q)?(p?r)?p?(q?r)。
证明:(p?q)?(p?r)?(?p?q)?(?p?r)??p?(q?r)?p?(q?r)3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后,有人问他们谁的成绩最好,甲说,不是我。
乙说:是丁。
丙说:是乙。
丁说:不是我。
已知4个人的回答只有一个人符合实际,问成绩最好的是谁?解:设a:甲成绩最好。
b:乙成绩最好。
离散数学课后习题答案
习题参考解答习题1.11、(3)P:银行利率降低Q:股价没有上升P∧Q(5)P:他今天乘火车去了北京Q:他随旅行团去了九寨沟QP∇(7)P:不识庐山真面目Q:身在此山中Q→P,或~P→~Q(9)P:一个整数能被6整除Q:一个整数能被3整除R:一个整数能被2整除T:一个整数的各位数字之和能被3整除P→Q∧R ,Q→T2、(1)T (2)F (3)F (4)T (5)F(6)T (7)F (8)悖论习题 1.31(3))()()()()()(RPQPRPQPRQPRQP→∨→⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨∨⌝⇔∨→(4)()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右2、不, 不, 能习题 1.41(3) (())~((~))(~)()~(~(~))(~~)(~)P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、主合取范式)()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(())()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝=∧∨⌝∧∨⌝=∨⌝∧∨⌝=→∧→ ————主析取范式(2) ()()(~)(~)(~(~))(~(~))(~~)(~)(~~)P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨2、()~()(~)(~)(~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价 3、解:根据给定的条件有下述命题公式:(A →(C ∇D ))∧~(B ∧C )∧~(C ∧D )⇔(~A ∨(C ∧~D )∨(~C ∧D ))∧(~B ∨~C )∧(~C ∨~D ) ⇔((~A ∧~B )∨(C ∧~D ∧~B )∨(~C ∧D ∧~B )∨(~A ∧~C )∨(C ∧~D ∧~C )∨(~C ∧D ∧~C ))∧(~C ∨~D )⇔((~A ∧~B )∨(C ∧~D ∧~B )∨(~C ∧D ∧~B )∨(~A ∧~C )∨(~C ∧D ∧~C )) ∧(~C ∨~D )⇔(~A ∧~B ∧~C )∨(C ∧~D ∧~B ∧~C )∨(~C ∧D ∧~B ∧~C )∨ (~A ∧~C ∧~C )∨(~C ∧D ∧~C ∧~C )∨(~A ∧~B ∧~D )∨(C ∧~D ∧~B ∧~D )∨(~C ∧D ∧~B ∧~D )∨(~A ∧~C ∧~D )∨ (~C ∧D ∧~C ∧~D )(由题意和矛盾律)⇔(~C ∧D ∧~B )∨(~A ∧~C )∨(~C ∧D )∨(C ∧~D ∧~B )⇔(~C ∧D ∧~B ∧A )∨ (~C ∧D ∧~B ∧~A )∨ (~A ∧~C ∧B )∨ (~A ∧~C ∧~B )∨ (~C ∧D ∧A )∨ (~C ∧D ∧~A )∨(C ∧~D ∧~B ∧A )∨(C ∧~D ∧~B ∧~A )⇔(~C ∧D ∧~B ∧A )∨ (~A ∧~C ∧B ∧D )∨ (~A ∧~C ∧B ∧~D )∨ (~A ∧~C ∧~B ∧D )∨ (~A ∧~C ∧~B ∧~D )∨(~C ∧D ∧A ∧B )∨ (~C ∧D ∧A ∧~B )∨ (~C ∧D ∧~A ∧B )∨ (~C ∧D ∧~A ∧~B )∨(C ∧~D ∧~B ∧A )∨(C ∧~D ∧~B ∧~A ) ⇔(~C ∧D ∧~B ∧A )∨ (~A ∧~C ∧B ∧D )∨ (~C ∧D ∧A ∧~B )∨ (~C ∧D ∧~A ∧B ) ∨(C ∧~D ∧~B ∧A )⇔(~C ∧D ∧~B ∧A )∨ (~A ∧~C ∧B ∧D )∨(C ∧~D ∧~B ∧A ) 三种方案:A 和D 、 B 和D 、 A 和C习题 1.51、 (1)需证()(())P Q P P Q →→→∧为永真式()(())~(~)(~())~~(~)(()(~))~(~)(~)()P Q P P Q P Q P P Q P P P Q P Q TP Q P Q TP Q P P Q →→→∧=∨∨∨∧∨=∨∨∧∨=∨∨∨=∴→⇒→∧ (3)需证S R P P →∧⌝∧为永真式SR P P T S F S R F S R P P ⇒∧⌝∧∴⇔→⇔→∧⇔→∧⌝∧3A B A B ⇒∴→、为永真式。
离散数学课后习题答案
1.3.1习题1.1解答1设S = {2,a,{3},4},R ={{a},3,4,1},指出下面的写法哪些是对的,哪些是错的?{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}⊆S,{{a},1,3,4}⊂R,R=S,{a}⊆S,{a}⊆R,φ⊆R,φ⊆{{a}}⊆R⊆E,{φ}⊆S,φ∈R,φ⊆{{3},4}。
解:{a}∈S ,{a}∈R ,{a,4,{3}} ⊆ S ,{{a},1,3,4 } ⊂ R ,R = S ,{a}⊆S ,{a}⊆ R ,φ⊆ R ,φ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ E ,{φ} ⊆ S ,φ∈R ,φ⊆ {{3},4 } 2写出下面集合的幂集合{a,{b}},{1,φ},{X,Y,Z}解:设A={a,{b}},则ρ(A)={ φ,{a},{{b}},{a,{b}}};设B={1,φ},则ρ(B)= { φ,{1},{φ},{1,φ}};设C={X,Y,Z},则ρ(C)= { φ,{X},{Y},{Z},{X,Y },{X,Z },{ Y,Z },{X,Y,Z}};3对任意集合A,B,证明:(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B);(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B);(3)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B);(4)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。
举例说明:ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明:(1)证明:必要性,任取x∈ρ(A),则x⊆A。
由于A⊆B,故x⊆B,从而x∈ρ(B),于是ρ(A)⊆ρ(B)。
充分性,任取x∈A,知{x}⊆A,于是有{x}∈ρ(A)。
由于ρ(A)⊆ρ(B),故{x}∈ρ(B),由此知x∈B,也就是A⊆B。
(2)证明:任取X∈ρ(A)∪ρ(B),则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X⊆A或X⊆B∴X⊆(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ( A∪B)(3)证明:先证ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B),则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X⊆A且X⊆B∴X⊆ A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B),则Y⊆ A∩B∴Y⊆A且Y⊆B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。
离散数学(第二版)课后习题答案详解(完整版)
离散数学(第⼆版)课后习题答案详解(完整版)习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题?在是命题的句⼦中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?(1)中国有四⼤发明.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(2)5 是⽆理数.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(3)3 是素数或 4 是素数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为1.(4)2x+ <3 5 答:不是命题.(5)你去图书馆吗?答:不是命题.(6)2 与3 是偶数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(7)刘红与魏新是同学.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.(8)这朵玫瑰花多美丽呀!答:不是命题.(9)吸烟请到吸烟室去!答:不是命题.(10)圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(11)只有6 是偶数,3 才能是2 的倍数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(12)8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(13)2008 年元旦下⼤雪.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:(1)p:中国有四⼤发明.(2)p: 是⽆理数.(7)p:刘红与魏新是同学.(10)p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.(13)p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.(1)5 是有理数.答:否定式:5 是⽆理数. p:5 是有理数.q:5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.(2)25 不是⽆理数.答:否定式:25 是有理数. p:25 不是⽆理数. q:25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.(3)2.5 是⾃然数.答:否定式:2.5 不是⾃然数. p:2.5 是⾃然数. q:2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.(4)ln1 是整数.答:否定式:ln1 不是整数. p:ln1 是整数. q:ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2 与5 都是素数答:p:2 是素数,q:5 是素数,符号化为p q∧,其真值为 1.(2)不但π是⽆理数,⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答:p:π是⽆理数,q:⾃然对数的底e 是⽆理数,符号化为p q∧,其真值为1.(3)虽然2 是最⼩的素数,但2 不是最⼩的⾃然数.答:p:2 是最⼩的素数,q:2 是最⼩的⾃然数,符号化为p q∧? ,其真值为1.(4)3 是偶素数.答:p:3 是素数,q:3 是偶数,符号化为p q∧,其真值为0.(5)4 既不是素数,也不是偶数.答:p:4 是素数,q:4 是偶数,符号化为? ∧?p q,其真值为0.5.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2 或3 是偶数.(2)2 或4 是偶数.(3)3 或5 是偶数.(4)3 不是偶数或4 不是偶数.(5)3 不是素数或4 不是偶数.答: p:2 是偶数,q:3 是偶数,r:3 是素数,s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨,其真值为1.(2)符号化:p r∨,其真值为1.(3)符号化:r t∨,其真值为0.(4)符号化:? ∨?q s,其真值为1.(5)符号化:? ∨?r s,其真值为0.6.将下列命题符号化.(1)⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答:p:⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果,q:⼩丽从筐⾥拿⼀个梨,符号化为: p q∨ .(2)这学期,刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答:p:刘晓⽉选学英语,q:刘晓⽉选学⽇语,符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p:王冬⽣于1971 年,q:王冬⽣于1972 年,说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表:合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有;(1)只要, 则;, 才有;(3)只有, 才有;(4)除⾮, 否则;(5)除⾮(6)仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .(1);(2);;(3);(4);(5);(6);(7).答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.(1);(2);(3);(4).答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.(1)若2+2=4,则地球是静⽌不动的;(2)若2+2=4,则地球是运动不⽌的;(3)若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存;(4)若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:(1)2+2=4 当且仅当3+3=6;(2)2+2=4 的充要条件是3+3 6;(3)2+2 4 与3+3=6 互为充要条件;(4)若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.(1)若今天是星期⼀,则明天是星期⼆;(2)只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆;(3)今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆;(4)若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.(1)刘晓⽉跑得快,跳得⾼;(2)⽼王是⼭东⼈或者河北⼈;(3)因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服;(4)王欢与李乐组成⼀个⼩组;(5)李欣与李末是兄弟;(6)王强与刘威都学过法语;(7)他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐;(8)如果天下⼤⾬,他就乘班车上班;(9)只有天下⼤⾬,他才乘班车上班;(10)除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班;(11)下雪路滑,他迟到了;(12)2 与4 都是素数,这是不对的;(13)“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q:⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值:(1)(2)(3)(4)解:p真值为1,q 真值为1,r 真值为0.(1)0,(2)0,(3)0,(4)116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值:(1)(2)(3)(4)解:(1)0,(2)0,(3)0,(4)117.判断下⾯⼀段论述是否为真:“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解:p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t:6 能被 4 整除符号化为: ,该式为重⾔式,所以论述为真。
离散数学课后习题答案(第三章)
3-10.7设R1和R2是非空集合A上的等价关系,试确定下述各式,哪些是A上的等价关系,对不是的式子,提供反例证明。
a)(A×A)-R1;
b)R1-R2;
c)R12;
d) r(R1-R2)(即R1-R2的自反闭包)。
解a)(A×A)-R1不是A上等价关系。例如:
3-10.6设R是集合A上的对称和传递关系,证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b,使<a,b>在R之中,则R是一个等价关系。
证明:对任意a∈A,必存在一个b∈A,使得<a,b>∈R.
因为R是传递的和对称的,故有:
<a,b>∈R∧<b, c>∈R<a, c>∈R<c,a>∈R
由<a,c>∈R∧<c, a>∈R<a,a>∈R
若c<0,则a<0u<0au>0
所以(a+bi)R(u+vi),即R在C*上是传递的。
关系R的等价类,就是复数平面上第一、四象限上的点,或第二、三象限上的点,因为在这两种情况下,任意两个点(a,b),(c,d),其横坐标乘积ac>0。
3-10.9设Π和Π是非空集合A上的划分,并设R和R分别为由Π和Π诱导的等价关系,那么Π细分Π的充要条件是RR。
2设<x,y>∈A,<u,v>∈A,若
<<x,y>,<u,v>>∈R==<<u,v>,<x,y>>∈R
即R是对称的。
3设任意<x,y>∈A,<u,v>∈A,<w,s>∈A,对
<<x,y>,<u,v>>∈R∧<<u,v>,<w,s>>∈R
(=)∧(=)=
<<x,y>,<w,s>>∈R
故R是传递的,于是R是A上的等价关系。
因此,RkRj,于是I/Rk细分I/Rj
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9、用3种方法(真值表、等值演算、主析取范式)证明下面推理是正确的。
若a是奇数,则a不能被2整除。若a是偶数,则a能被2整除。因此,如果a是偶数,则a不是奇数。
解答:命题符号化: a为奇数; a为偶数; a能被2整除
推理的形式结构:
前提: ; ;
结论:
推理的形式结构的另外一种描述:
证明:(1)真值表法:
班委会分工名单公布后发现,甲乙丙三人都恰好猜对了一半。问王小红、李强、丁金生各任何职?(用等值演算求解)
解答:命题符号化:
王小红为班长; 李强为生活委员; 丁金生为班长; 王小红为生活委员;
李强为班长; 王小红为学习委员。
设 ; ; ; ; ; ;
由题意可知:
所以
所以
所以选举结果为:李强为生活委员;丁金生为班长;王小红为学习委员。
30、某公司要从赵、钱、孙、李、周5名新毕业的大学生中选派一些人出国学习。选派必须满足条件:
(1)若赵去,钱也去;
(2)李、周两人中必有一人去;
(3)钱、孙两人中去且仅去一人;
(4)孙、李两人同去或同不去;
(5)若周去,则赵、钱也同去。
用等值演算法分析该公司该如何选派他们出国。
解答:命题符号化:
赵去; 钱去; 孙去; 李去; 周去。
④ 前提引入
⑤ ④置换
⑥ ⑤化简
⑦ 前提引入
⑧ ⑦置换
⑨ ⑧化简
⑩ ⑥⑨假言三段论
②⑩假言推理
前提引入
假言推理
⑨ 合取
15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理:
(1)前提:
结论:
证明:
① 附加前提引入
② 前提引入
③ ①②假言推理
④ 前提引入
⑤ ③④假言推理
⑥ 前提引入
⑦ ⑤⑥假言推理
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:
(2)
(4)
解答: 真值为1; 真值为1; 真值为0.
(2) 真值为1; 真值为1; 真值为0;
所以 真值为0.
(4) 真值为1, 真值为0, 真值为1;
所以 真值为1.
19、用真值表判断下列公式的类型。
(4)
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
所以为重言式。
(7)
0
0
0
0
1
1
1
(1)前提:
结论:
证明:
① 结论否定引入
② ①置换
③ ②化简
④ ②化简
⑤ 前提引入
⑥ 前提引入
⑦ ④⑤拒取式
⑧ ③⑥拒取式
⑨ ⑦⑧合取
⑩ ⑨置换
前提引入
⑩ 矛盾。
17:在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没有离开,A就是谋杀嫌疑犯。A曾到过受害者房间。如果A在11点以前离开,看门人会看见过他。看门人没有看见他。所以,A是谋杀嫌疑犯。
所以成真赋值为00,10,11
(3)
解答:
所以为永真式,成真赋值为000,001,010,011,100,101,110,111
6、求下列公式的主合取范式,并求它们的成假赋值。
(1)
解答:
为永假式,成假赋值为00,01,10,11
(3)
解答:
永真式,无成假赋值
7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式。
(1)
解答:
8、求下列公式的主合取范式,再用主合取范式求主析取范式。
(2)
解答:
13、已知公式A含3个命题变项 ,并且它的成假赋值为010,011,110,111,求A的主析取范式和主合取范式。
解答:成真赋值为000,001,100,101
所以主析取范式为
而主合取范式为
15、用主析取范式判断下列公式是否等值。
解答:
(1)命题符号化: A曾到过受害者房间; A在11点以前离开;
A就是谋杀嫌疑犯; 看门人会看见过A;
(2)推理的形式结构:
前提:
结论:
(3)证明
① 前提引入
② 前提引入
③ ①②拒取式
④ 前提引入
⑤ ③④合取
⑥ 前提引入
⑦ ⑤⑥假言推理。
P63:习题四
5、在一阶逻辑中讲下列命题符号化。
(3)不存在比所有火车都快的汽车。
(d)谓词 。
给出下列公式在I下的解释,并指出它们的真值。
(1)
(3)
解答:(1)对任意的x和y,如果 ,那么 。真值为1;
(3)对任意的x和y,如果 ,那么 。真值为1;
11、判断下列各式的类型。
(2)
(4)
解答:(2) 真值为1; 真值为0;
所以 真值为0,所以为永假式。
(4) 与 真值相同,所以为永真式。
(1)
解答:
所以为永假式。
(2)
解答:
所以因为永真式。
(3)
解答:
为可满足式。
真值表为
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
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1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
4、用等值演算法证明下面的等值式。
(2)
解答:
(4)
解答:
5、求下列公式的主析取范式,并求它们的成真赋值。
(1)
解答:
作业答案:数理逻辑部分
P14:习题一
1、下列句子中,哪些是命题?在是命题的句子中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?
(3) 是无理数。
答:简单命题,真命题。
(9)吸烟请到吸烟室去!
答:不是命题。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
答:复合命题,假命题。
14、讲下列命题符号化。
③ ①化简
④ 前提引入
⑤ ②④假言推理
⑥ ③⑤假言推理
⑦ 前提引入
⑧ ③⑦假言推理
⑨ ⑥⑧假言推理
14、在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
(2)前提:
结论:
证明:
① 前提引入
② ①置换
③ 前提引入
④ ②③析取三段论
⑤ 前提引入
⑥ ④⑤拒取式
(4)前提:
结论:
证明:
① 前提引入
② ①化简
③ ①化简
(2) 和
解答:
所以两式并不等值。
18、将下列公式化成与之等值且仅含有 中联结词的公式
(3)
解答:
29、在某班班委成员的选举中,已知王小红、李强、丁金生3位同学被选进了班委会。该班的的甲、乙、丙3位同学预言:
甲说:王小红为班长,李强为生活委员;
乙说:丁金生为班长,王小红为生活委员。
丙说:李强为班长,王小红为学习委员。
0
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1
1
1
所以为可满足式。
P36:习题二
3、用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出其成真赋值。
13、给出下列各公式的一个成真解释和一个成假解释。
(1)
(2)
(3)
解答:
(1)成真解释:
成假解释:
(2)成真解释:
成假解释:
(3)成真解释:
成假解释:
(6)王强与刘威都学过法语。
答: 王强学过法语; 刘威学过法语。
符号化为:
(10)除非天下大雨,他就乘班车上班。
答: 天下大雨; 他乘班车上班。
符号化为:
(13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的。
答: 2是素数; 4是素数。
符号化为:
15、设 2+3=5.
大熊猫产在中国。
太阳从西方升起。
求下列复合命题的真值。
所满足的条件即为
(1)若赵去,钱也去: ;
(2)李、周两人中必有一人去: ;
(3)钱、孙两人中去且仅去一人: ;
(4)孙、李两人同去或同不去: ;
(5)若周去,则赵、钱也同去: 。