离散数学及其应用数理逻辑部分课后习题答案

13、给出下列各公式的一个成真解释和一个成假解释。
（1）
（2）
（3）
解答：
（1）成真解释：
成假解释：
（2）成真解释：
成假解释：
（3）成真解释：
成假解释：
作业答案：数理逻辑部分
P14：习题一
1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？
（3） 是无理数。
答：简单命题，真命题。
（9）吸烟请到吸烟室去！
答：不是命题。
（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
答：复合命题，假命题。
14、讲下列命题符号化。
（2）
（4）
解答： 真值为1； 真值为1； 真值为0.
（2） 真值为1； 真值为1； 真值为0；
所以 真值为0.
（4） 真值为1， 真值为0， 真值为1；
所以 真值为1.
19、用真值表判断下列公式的类型。
（4）
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所以为重言式。
（7）
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0
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（d）谓词 。
给出下列公式在I下的解释，并指出它们的真值。
（1）
（3）
解答：（1）对任意的x和y，如果 ,那么 。真值为1；
（3）对任意的x和y，如果 ,那么 。真值为1；
11、判断下列各式的类型。
（2）
（4）
解答：（2） 真值为1； 真值为0；
所以 真值为0，所以为永假式。
（4） 与 真值相同，所以为永真式。
30、某公司要从赵、钱、孙、李、周5名新毕业的大学生中选派一些人出国学习。选派必须满足条件：
（1）若赵去，钱也去；
（2）李、周两人中必有一人去；
（3）钱、孙两人中去且仅去一人；
（4）孙、李两人同去或同不去；
（5）若周去，则赵、钱也同去。
用等值演算法分析该公司该如何选派他们出国。
解答：命题符号化：
赵去； 钱去； 孙去； 李去； 周去。
（1）前提：
结论：
证明：
① 结论否定引入
② ①置换
③ ②化简
④ ②化简
⑤ 前提引入
⑥ 前提引入
⑦ ④⑤拒取式
⑧ ③⑥拒取式
⑨ ⑦⑧合取
⑩ ⑨置换
前提引入
⑩ 矛盾。
17：在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没有离开，A就是谋杀嫌疑犯。A曾到过受害者房间。如果A在11点以前离开，看门人会看见过他。看门人没有看见他。所以，A是谋杀嫌疑犯。
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所以为可满足式。
P36:习题二
3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。
班委会分工名单公布后发现，甲乙丙三人都恰好猜对了一半。问王小红、李强、丁金生各任何职？（用等值演算求解）
解答：命题符号化：
王小红为班长； 李强为生活委员； 丁金生为班长； 王小红为生活委员；
李强为班长； 王小红为学习委员。
设 ； ； ； ； ； ；
由题意可知：
所以
所以
所以选举结果为：李强为生活委员；丁金生为班长；王小红为学习委员。
（4）凡是汽车就比火车慢是不对的。
解答：
（3）
（4）
6、将下列命题符号化，个体域为实数集合R，并指出各命题的真值。
（1）对所有的 ，都存在 使得 。
（3）对所有的 ，都存在 使得 。
解答：
（1） ，真值为1；
（3） ，真值为1；
9、给定解释I如下。
（a）个体域为实数集合R。
（b）特定元素 。
（c）函数
（6）王强与刘威都学过法语。
答： 王强学过法语； 刘威学过法语。
符号化为：
（10）除非天下大雨，他就乘班车上班。
答： 天下大雨； 他乘班车上班。
符号化为：
（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。
答： 2是素数； 4是素数。
符号化为：
15、设 2+3=5.
大熊猫产在中国。
太阳从西方升起。
求下列复合命题的真值。
④ 前提引入
⑤ ④置换
⑥ ⑤化简
⑦ 前提引入
⑧ ⑦置换
⑨ ⑧化简
⑩ ⑥⑨假言三段论
②⑩假言推理
前提引入
假言推理
⑨ 合取
15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：
（1）前提：
结论：
证明：
① 附加前提引入
② 前提引入
③ ①②假言推理
④ 前提引入
⑤ ③④假言推理
⑥ 前提引入
⑦ ⑤⑥假言推理
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：
解答：
（1）命题符号化： A曾到过受害者房间； A在11点以前离开；
A就是谋杀嫌疑犯； 看门人会看见过A；
（2）推理的形式结构：
前提：
结论：
（3）证明
① 前提引入
② 前提引入
③ ①②拒取式
④ 前提引入
⑤ ③④合取
⑥ 前提引入
⑦ ⑤⑥假言推理。
P63:习题四
5、在一阶逻辑中讲下列命题符号化。
（3）不存在比所有火车都快的汽车。
（1）
解答：
所以为永假式。
（2）
解答：
所以因为永真式。
（3）
解答：
为可满足式。
真值表为
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1
1
4、用等值演算法证明下面的等值式。
（2）
解答：
（4）
解答：
5、求下列公式的主析取范式，并求它们的成真赋值。
（1）
解答：
P50:习题三
9、用3种方法（真值表、等值演算、主析取范式）证明下面推理是正确的。
若a是奇数，则a不能被2整除。若a是偶数，则a能被2整除。因此，如果a是偶数，则a不是奇数。
解答：命题符号化： a为奇数； a为偶数； a能被2整除
推理的形式结构：
前提： ； ；
结论：
推理的形式结构的另外一种描述：
证明：（1）真值表法：
（2） 和
解答：
所以两式并不等值。
18、将下列公式化成与之等值且仅含有 中联结词的公式
（3）
解答：
29、在某班班委成员的选举中，已知王小红、李强、丁金生3位同学被选进了班委会。该班的的甲、乙、丙3位同学预言：
甲说：王小红为班长，李强为生活委员；
乙说：丁金生为班长，王小红为生活委员。
丙说：李强为班长，王小红为学习委员。
所以成真赋值为00，10，11
（3）
解答：
所以为永真式，成真赋值为000，001，010，011，100，101，110，111
6、求下列公式的主合取范式，并求它们的成假赋值。
（1）
解答:
为永假式，成假赋值为00，01，10，11
（3）
解答：
永真式，无成假赋值
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式。
所满足的条件即为
（1）若赵去，钱也去： ；
（2）李、周两人中必有一人去： ；
（3）钱、孙两人中去且仅去一人： ；
（4）孙、李两人同去或同不去： ；
（5）若周去，则赵、钱也同去： 。
将所有条件进行合取，然后求其主析取范式
（过程省略）
所以最终方案有两套：
（1）赵钱周不去，孙李去；（2）赵钱周去，孙李不去。
（1）
解答：
8、求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式。
（2）
解答：
13、已知公式A含3个命题变项 ，并且它的成假赋值为010，011，110，111，求A的主析取范式和主合取范式。
解答：成真赋值为000,001,100,101
所以主析取范式为
而主合取范式为
15、用主析取范式判断下列公式是否等值。
③ ①化简
④ 前提引入
⑤ ②④假言推理
⑥ ③⑤假言推理
⑦ 前提引入
⑧ ③⑦假言推理
⑨ ⑥⑧假言推理
14、在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
（2）前提：
结论：
证明：
① 前提引入
② ①置换
③ 前提引入
④ ②③析取三段论
⑤ 前提引入
⑥ ④⑤拒取式
（4）前提：
结论：
证明：
① 前提引入
② ①化简
③ ①化简
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所以 为永真式；推理 是正确的。
（2）等值演算：
（3）主析取范式
12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提： ，
结论：
证明：
① 附加前提引入
② ①化简