拉压轴力和轴力图以及横截面上应力计算
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轴力与应力计算
FN1=F
FN3
F
2F
FN2
FN 2 F
FN 3 F
轴力图
F
2F A
2F B
F
FN
F
F x
F
例2：已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN； F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
A
B
F1
F2
C
D
F3
F4
A 1B
F1
1 F2
FN / kN 10
2 C 3D
2 F3 3 F4
25
P
三、轴向拉压时横截面上的应力
已知轴力的大小，是否就可以判定构件是否发生破坏？
如果轴力很大，而杆件的横截面面积也很大，杆件是 否一定发生破坏？ 如果轴力很小，而杆件的横截面面积也很小，杆件是 否一定不发生破坏？
不能只根据轴力就判断杆件是否有足够的强度； 还必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 在拉压杆的横截面上，与轴力对应的应力是正应力。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
例1、 起吊三角架，如图所示，已知AB杆由2根截 面面积为10.86cm2的角钢制成，P=130kN，=30O。 求AB杆横截面上的应力。
B
C
A
P
NAB
变形前
受载后
F
F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直 线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂直于轴线.
FN3
F
2F
FN2
FN 2 F
FN 3 F
轴力图
F
2F A
2F B
F
FN
F
F x
F
例2：已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN； F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
A
B
F1
F2
C
D
F3
F4
A 1B
F1
1 F2
FN / kN 10
2 C 3D
2 F3 3 F4
25
P
三、轴向拉压时横截面上的应力
已知轴力的大小，是否就可以判定构件是否发生破坏？
如果轴力很大，而杆件的横截面面积也很大，杆件是 否一定发生破坏？ 如果轴力很小，而杆件的横截面面积也很小，杆件是 否一定不发生破坏？
不能只根据轴力就判断杆件是否有足够的强度； 还必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 在拉压杆的横截面上，与轴力对应的应力是正应力。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
例1、 起吊三角架，如图所示，已知AB杆由2根截 面面积为10.86cm2的角钢制成，P=130kN，=30O。 求AB杆横截面上的应力。
B
C
A
P
NAB
变形前
受载后
F
F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直 线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂直于轴线.
3、4轴力,轴力图,横截面上的应力
∑F
x
=0
拉为正、 拉为正、压为负 4、轴力图：轴力沿杆 轴力图： 件轴线的变化
目录
FN − F = 0 FN = F
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.1 例题2.1
A
1 B 1 F2
2 C 2
3 D
已知F1=10kN；F2=20kN； =10kN； =20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 =35kN； =25kN;试画 出图示杆件的轴力图。 出图示杆件的轴力图。
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 根据强度条件， 1、强度校核： 强度校核：
2、设计截面： 设计截面：
FN σ max = ≤ [σ ] A FN A≥
3、确定许可载荷： 确定许可载荷：
[σ ] FN ≤ A[σ ]
目录
失效、 §2.7 失效、安全因数和强度计算
例题2.4 例题2.4 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。 D=350mm，油压p=1MPa 螺栓许用应力[σ]=40MPa p=1MPa。 [σ]=40MPa， D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa， 求螺栓的内径。 求螺栓的内径。 解： 油缸盖受到的力 F = D 2 p
F
a′ b′
a
b
c
c′ d′
F
FN = =σ
∫ σ dA
A
d
∫ dA
A
=σ A
FN σ= A
目录
各横截面依然平行
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
FN σ = A
平 外 力 作 用 方 式 的 影 响 力 而 趋 于 离 的 横 截 面 上 在 离 杆 件 外 力 作 用 点 一 定 距
4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图等 - 2012
1
FN1
1
x
注意:
1)在AB段任一截面处用1-1截面截开 2)保留左段，将右段对左段的作用以轴力FN1来代替
也可保留右段研究， 但一定要注意要先 求D处的约束反力。
3)写平衡方程如下：
∑X=0: -20+FN1=0 so FN1 =20kN 拉力tensile force
So FNAB=FN1=20kN tensile force
2021/4/13
11
20kN 1 0kN 2 10kN
A 1B
2C 2
D
20kN
40kN
A
B 2 FN2
x
(2)求BC段的内力
1)在BC段任一截面处用2-2截面截开
2)保留左段，将右段对左段的作用以轴力FN2来代替 3)写平衡方程如下：
∑X=0: -20+40+FN2=0 so FN2 = 20- 40= -20kN 压力compressive force
directed toward a section
用截面法求轴力时，统一先假定其为拉力！
2021/4/13
9
Note: transmissibility of force力的可传性
P
P
P
P
Can not apply the axiom of the sliding of force.
2021/4/13
8
Axial force/normal force轴力FN 或N International system of units(SI): N、kN Engineering units: kgf 、t
directed away from a section
直杆轴向拉压横截面上的轴力计算
设正法 ∑FX=0或者∑FY=0
假想面 1
F
F
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B
轴力背离截面即拉力为正，反之为1负
1
F
FN 轴力
1
1
轴力 FN'
F
1
7
计算轴力步骤
用假想截面将 杆件进行切断
F
M1
A
1
B 1
F
F
M2
将轴力带入图中，
采用设正法，即
FN为拉力
1 FN 轴力
∑FX=0或者∑FY=0
1
M3
M4
取出任意一段 作研究对象， 进行受力分析
直杆轴向拉、压横截面的轴力计算
陈星新
目标
1 轴力的概念 2 计算轴力的方法 3 计算轴力的步骤
轴力的概念
内力是由外力作 用而引起杆件内 部某一部分与另 一部分之间的相 互作用力，是作 用力与反作用力。
外力越大，内力 越大； 外力消失，内力 也随之消失。
3
轴力的概念
在建筑工程中，为了保证杆件不被拉断或 者压坏，必须先计算出杆件的内力
书本P53页，图3-8，采用平衡方程计算各截面的轴力
不是 结束 是开始
4
问 如何计算杆件的内力呢？
计算轴力
现有一杆件AB两端受到一对轴向拉力F=10KN，计算该杆件的内力。
∑FX=0或者∑FY=0
假想面 1
∑FX=0 -F+FN=0
F A
F B 1
-10KN+FN=0 FN=10KN（拉力）
1
F
FN 轴力
1
6
计算轴力
现有一杆件AB两端受到一对轴向拉力F=10KN，计算该杆件的内力。
5 轴向拉伸与压缩_5.1 拉(压)杆横截面上的内力、轴力图
第九页，编辑于星期二：十四点 十分。
2.内力
内力是指在外力作用下物体内各个部分之间的 作用力。
内力分析是解决构件强度，刚度与稳定性问题的基
础。
内力是由外力引起的，并随着外力的增大而增大。
但对构件来说，内力的增大是有限的，当内力超过限度时， 构件就会破坏。所以研究构件的承载能力必须先分析其内 力。
内力的正负号根据规定，不同变形的内力有不同 的规定。
第四十四页，编辑于星期二：十四点 十分。
N AdA A dA A
N
A
—— 横截面上正应力计算公式
(5-3)
的符号规定与N一致。 拉应力为正号的正应力。
压应力为负号的正应力。
第四十五页，编辑于星期二：十四点 十分。
例5－2 一横截面为正方形
的砖柱分上、下两段，其受力 情况，各段长度横截面尺寸如 图(a)所示，已知P=50kN, 试求
第十四页，编辑于星期二：十四点 十分。
4. 轴力 轴向拉压杆的内力称为轴力，其作用线与杆的轴 线重合，用符号N表示 求图示拉杆m－m截面的内力
m
P
P
m
Y
P
N
x
第十五页，编辑于星期二：十四点 十分。
N：分布内力系的合力称为内力，代表移去部分对保 留部分的作用。
由平衡方程
X 0
NP=0 N=P
y P
P1
弹
力不能随意沿作用线移动
性
体
不能随意进行力向某点的简化
第三页，编辑于星期二：十四点 十分。
1. 轴向拉伸或压缩 工程中有很多构件，除连接部分外都是等直杆， 作用于杆上的外力（或合外力）的作用线与杆的轴 线重合。等直杆在这种受力情况下，其主要变形是 纵向伸长或缩短。这种变形形式就是轴向拉伸或压缩。 这类构件称为拉（压）杆。
2.内力
内力是指在外力作用下物体内各个部分之间的 作用力。
内力分析是解决构件强度，刚度与稳定性问题的基
础。
内力是由外力引起的，并随着外力的增大而增大。
但对构件来说，内力的增大是有限的，当内力超过限度时， 构件就会破坏。所以研究构件的承载能力必须先分析其内 力。
内力的正负号根据规定，不同变形的内力有不同 的规定。
第四十四页，编辑于星期二：十四点 十分。
N AdA A dA A
N
A
—— 横截面上正应力计算公式
(5-3)
的符号规定与N一致。 拉应力为正号的正应力。
压应力为负号的正应力。
第四十五页，编辑于星期二：十四点 十分。
例5－2 一横截面为正方形
的砖柱分上、下两段，其受力 情况，各段长度横截面尺寸如 图(a)所示，已知P=50kN, 试求
第十四页，编辑于星期二：十四点 十分。
4. 轴力 轴向拉压杆的内力称为轴力，其作用线与杆的轴 线重合，用符号N表示 求图示拉杆m－m截面的内力
m
P
P
m
Y
P
N
x
第十五页，编辑于星期二：十四点 十分。
N：分布内力系的合力称为内力，代表移去部分对保 留部分的作用。
由平衡方程
X 0
NP=0 N=P
y P
P1
弹
力不能随意沿作用线移动
性
体
不能随意进行力向某点的简化
第三页，编辑于星期二：十四点 十分。
1. 轴向拉伸或压缩 工程中有很多构件，除连接部分外都是等直杆， 作用于杆上的外力（或合外力）的作用线与杆的轴 线重合。等直杆在这种受力情况下，其主要变形是 纵向伸长或缩短。这种变形形式就是轴向拉伸或压缩。 这类构件称为拉（压）杆。
课题七轴向拉、压杆的内力及应力计算
为N，则
N A
正应力的正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
例：如图7-2a悬臂梁，已知P1=20KN，P2=30KN，P3=10KN，试画出杆的轴力图。 解：（1）计算各段的轴力
AB段：用1-1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象，以 N1表示截面上的轴力，并假设为拉力。写出平 衡方程： ∑X=0，N1+P1=0 得 N1=-P1=-20KN 负号表示AB段轴力N1实际为压力。 BC段：同理写出平衡方程： ∑X=0，N2+P1-P2=0
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
三、轴力图
表明沿杆长各横截面轴力变化规律的图形称为轴力图。用平行于杆轴线的坐 标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按选定的比 例尺把正轴力画在轴的上方，负轴力画在轴的下方，并连成直线，就得到轴力 图。
四、轴向拉、压杆横截面上的应力
单位面积上的内力叫做应力。应力反映了内力分布的密集程度。其中，与截 面垂直的应力为正应力，与截面相切的应力为剪应力。轴向拉伸、压缩时，杆件 截面上各点处产生正应力，且大小相等。若应力用σ表示，横截面积为A，轴力
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力按选定的比例尺把正轴力画在轴的上方负轴力画在轴的下方并连成直线就得到轴力图
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
一、轴向拉伸和压缩
受力特点：直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等，方向相反的力。 变形特点：在外力作用下产生轴线方向的伸长或缩短。 当作用力背离杆端时，作用力是拉力，杆件产生伸长变形，叫做轴向拉伸。 见图7-1a 当作用力指向杆端时，作用力是压力，杆件产生压缩变形，叫做轴向压缩。 见图7-1b
学习情境三 1.轴向拉压杆的轴力图、应力
P
2、计算各杆件的应力。
1
N1 A1
28.3103 202 106
4
90106 Pa 90MPa
2
N2 A2
20103 152 106
A
45° B
C
P
N1
y
N2 45° B x
89106 Pa 89MPa
P
小结：
1.轴向拉压的受力特点和变形特点； 2．轴力的计算及轴力图的绘制
要求： ①要用直尺绘图； ②要求上、下对齐，不准分页画； ③图上标明图名、单位、特征值和正负。
例
FD D
一直杆受力如图右所示。
已知：F1=16kN， FD D F2=10kN，F3=20kN。 试画其轴力图。
1 C F3 2 B F2 3 A F1
1
2
3
N1 (1)
(2) N2
B F2
轴力的计算：N=∑F左或N=∑F右 轴力图作图规律：
左上右下，突变值等于外力的大小。 3．轴向拉(压)杆横截面上的正应力的计算。
N
A
A微面积
m
一点的应力： 当面积趋于零时，平均应力的大小和方
向都将趋于一定极限(即全应力)，得到
F dF
pm
lim
A0
A
dA
F1
m
切应力
O
F2 m
全应力
pm
正应力
全应力pm通常分解成: 垂直于截面的分量σ－正应力 平行于截面的分量τ－切应力
2、应力的单位：Pa(帕)、kPa(千帕)
A
解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆 AB为1杆，水平杆BC为2杆）用截面法 取节点B为研究对象
轴向拉伸与压缩时横截面上的应力
解1计算轴力由截面法可求得杆中各横截面上的轴力均为ffnf20knf20kn1212ffafnff图47nb2计算最大正应力图47bba1hha2h0cahh0b251020mm2300mm2则杆件内的最大正应力则杆件内的最大正应力为为maxmax由于整个杆件轴力相同故最大正应力发生在面积较小的横截面上即开槽部分的横截面上如图47c其面积为maxmpa667mpaa300fn10203?负号表示最大正应力为压应力
例 一正中开槽的直杆，承受轴向载荷F =20kN的作用， 如图4-7a所示。已知h = 25mm，h0 = 10mm，b = 20mm。试求 杆内的最大正应力。
1 2
F
1 2
F
解 (1) 计算轴力 由截面法可求得杆中 各横截面上的轴力均为
a)
FN F
b)
图4-7
FN = -F = -20kN
A1
图4-6
由材料的均匀性、连续性假设可以推断出轴力在横截面 上的分布是均匀的，而且都垂直于横截面，故横截面上的正 应力也是均匀分布的，如图4-6c所示。因此，轴向拉伸与压 缩时的横截面上的正应力计算公式为
FN σ= A
σ 式中， 为横截面上的正应力；FN 为横截面上的内力（轴
力）；A 为横截面面积。 正应力的正负号与轴力的正负号一致。即拉应力正， 压应力为负。
h0 h
A2
h
b b
c)
(2)计算最大正应力 图4-7 由于整个杆件轴力相同，故最大正应力发生在面积较小 的横截面上，即开槽部分的横截面上如图4-7c,其面积为
A = (h-h0 )b = (25-10)
则杆件内的最大正应力 σ max 为
×20mm2 =
300mm2
σ max
例 一正中开槽的直杆，承受轴向载荷F =20kN的作用， 如图4-7a所示。已知h = 25mm，h0 = 10mm，b = 20mm。试求 杆内的最大正应力。
1 2
F
1 2
F
解 (1) 计算轴力 由截面法可求得杆中 各横截面上的轴力均为
a)
FN F
b)
图4-7
FN = -F = -20kN
A1
图4-6
由材料的均匀性、连续性假设可以推断出轴力在横截面 上的分布是均匀的，而且都垂直于横截面，故横截面上的正 应力也是均匀分布的，如图4-6c所示。因此，轴向拉伸与压 缩时的横截面上的正应力计算公式为
FN σ= A
σ 式中， 为横截面上的正应力；FN 为横截面上的内力（轴
力）；A 为横截面面积。 正应力的正负号与轴力的正负号一致。即拉应力正， 压应力为负。
h0 h
A2
h
b b
c)
(2)计算最大正应力 图4-7 由于整个杆件轴力相同，故最大正应力发生在面积较小 的横截面上，即开槽部分的横截面上如图4-7c,其面积为
A = (h-h0 )b = (25-10)
则杆件内的最大正应力 σ max 为
×20mm2 =
300mm2
σ max
拉压-轴力与轴力图以及横截面上应力计算
Example 2-2：Do the Diagram of Axial Force
轴力图(FN图)显示了各 段杆横截面上的轴力。
FN,max FN2 50 kN 思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图
发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？ 16
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
F
F 作用线也与杆件的轴线重
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
11
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-1
A
F1 F1 F1
25
§5-3、Stress on lateral
Stress on Lateral：
Formula：
σ =N/A
26
§5-3、Stress on lateral
FN
A
该式为横截面上的正应力σ计
算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
圣 文 南 原 理
27
§5-3、Stress on lateral
F4
25 CD段
FN 2 F1 F2
10 20 10kN
Fx 0
FN3 F4 25kN
x
2、绘制轴力图。 12
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
13
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
轴力图(FN图)显示了各 段杆横截面上的轴力。
FN,max FN2 50 kN 思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图
发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？ 16
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
F
F 作用线也与杆件的轴线重
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
11
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-1
A
F1 F1 F1
25
§5-3、Stress on lateral
Stress on Lateral：
Formula：
σ =N/A
26
§5-3、Stress on lateral
FN
A
该式为横截面上的正应力σ计
算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
圣 文 南 原 理
27
§5-3、Stress on lateral
F4
25 CD段
FN 2 F1 F2
10 20 10kN
Fx 0
FN3 F4 25kN
x
2、绘制轴力图。 12
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
13
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
机械基础——轴向拉伸与压缩时横截面上应力与变形计算
2、拉（压）杆横截面的应力根据材料的均匀连续性假设可推知，横截面上各点处的变形相同，受力也相同，即轴力在横截面上均匀分布的，且方向垂直于横截面，即杆件横截面存在有正应力σ。其计算式为
σ＝
3、应用举例
四、拉（压）杆的变形计算
1、变形与线应变
纵向线应变ε＝ ＝
横向线应变 ＝ ＝
实践表面，当杆内应力不超过某一限度时，横向线应变与纵向线应变的比值为一常数，常称为泊松比，用符号μ表示。即
轴向拉伸与压缩时横截面上应力与变形计算
教学目的
掌握轴向拉伸和压缩时的应力和变形计算。
教学安排
组织教学
讲述新课
三、拉（压）杆横截面上的应力
1、应力的概念杆件的强度不仅与轴力的大小有关，还与横截面面积的大小有关，即取决于内力在横截面上分布的密集程度。所以把内力在横截面上的密集程度称为应力。其中垂直于截面的应力称为正应力，用σ表示；平行于截面的应力称为切应力，用τ表示。
或
2、虎克定理
＝ 或σ＝Eε
当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比。
3、拉（压）杆的变形计算应用虎克定理时，要注意它们的适用条件：应力不超过某一极限值，这一极限值是指材料的比例极限，同时要注意分段计算。
4、应用举例
作
σ＝
3、应用举例
四、拉（压）杆的变形计算
1、变形与线应变
纵向线应变ε＝ ＝
横向线应变 ＝ ＝
实践表面，当杆内应力不超过某一限度时，横向线应变与纵向线应变的比值为一常数，常称为泊松比，用符号μ表示。即
轴向拉伸与压缩时横截面上应力与变形计算
教学目的
掌握轴向拉伸和压缩时的应力和变形计算。
教学安排
组织教学
讲述新课
三、拉（压）杆横截面上的应力
1、应力的概念杆件的强度不仅与轴力的大小有关，还与横截面面积的大小有关，即取决于内力在横截面上分布的密集程度。所以把内力在横截面上的密集程度称为应力。其中垂直于截面的应力称为正应力，用σ表示；平行于截面的应力称为切应力，用τ表示。
或
2、虎克定理
＝ 或σ＝Eε
当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比。
3、拉（压）杆的变形计算应用虎克定理时，要注意它们的适用条件：应力不超过某一极限值，这一极限值是指材料的比例极限，同时要注意分段计算。
4、应用举例
作
材料力学-2-拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
FN
+
－
FN
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
轴力与轴力图
绘制轴力图的方法与步骤如下：
首先，确定作用在杆件上的外载荷与约束力； 其次，根据杆件上作用的载荷以及约束力，轴力图的分段点： 在有集中力作用处即为轴力图的分段点； 第三，应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在 截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分 杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉伸变形的轴 力为正，产生压缩变形的轴力为负； 最后，建立 FN－ x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中， 画出轴力图。
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
拉、压杆件横截面上的应力
2．计算直杆横截面上绝对 值最大的正应力
横截面上绝对值最大的正 应力将发生在轴力绝对值最大 的横截面，或者横截面面积最 小的横截面上。本例中，AD段 轴力最大；BC段横截面面积最 小。所以，最大正应力将发生 在这两段杆的横截面上：
拉、压杆件横截面上的应力
在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩 短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应 力均匀分布，这时横截面上的正应力为 FN A 其中FN——横截面上的轴力，由截面法求得；A——横截面面 积。
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
拉、压杆件横截面上的应力
轴力与轴力图
FA
A
B" B l l
F1
FN B' '
B" B
F1
3. 应用截面法求控制面上的轴力 用 假 想 截面 分 别 从 控 制 面 A 、 B' 、B"、C处将杆截开，假设横截 面上的轴力均为正方向（拉力）， 并考察截开后下面部分的平衡，求 得各截面上的轴力：
杆件轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
CB为15×15的方截面杆。（不考虑重力，是二力 杆件）
解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆。力的指向可先假定一方向）
B 用截面法取节点B为研究对象
C
2
F
FN1
y
FN 2 45° B x
Fx 0 Fy 0
FN1 cos 45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
二、截面法求内力
m F
m
F
FN
FN
Fx 0
FN F 0 FN F
(1)假想沿m-m横截面将杆切开
F
(2)留下左半段或右半段
(3)将弃去部分对留下部分的作
F 用用内力代替
(4)对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
FN
A
该式为横截面上的正应力σ计
算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
圣 维 南 原 理
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.2
A
1
45°
图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知
F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆
实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截
面发生，有时却是沿斜截面发生的。
k
F
k
ห้องสมุดไป่ตู้
F FN F
AA
F
k p
F
F F
A
A
cos
F
k
k p
p
F A
F A
解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆。力的指向可先假定一方向）
B 用截面法取节点B为研究对象
C
2
F
FN1
y
FN 2 45° B x
Fx 0 Fy 0
FN1 cos 45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
二、截面法求内力
m F
m
F
FN
FN
Fx 0
FN F 0 FN F
(1)假想沿m-m横截面将杆切开
F
(2)留下左半段或右半段
(3)将弃去部分对留下部分的作
F 用用内力代替
(4)对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
FN
A
该式为横截面上的正应力σ计
算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
圣 维 南 原 理
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.2
A
1
45°
图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知
F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆
实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截
面发生，有时却是沿斜截面发生的。
k
F
k
ห้องสมุดไป่ตู้
F FN F
AA
F
k p
F
F F
A
A
cos
F
k
k p
p
F A
F A
拉压-轴力与轴力图以及横截面上应力计算共37页
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
Байду номын сангаас
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
拉压-轴力与轴力图以及横截 面上应力计算
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
Байду номын сангаас
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39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
拉压-轴力与轴力图以及横截 面上应力计算
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
拉压杆横截面上的内力及轴力图
谢谢观看
得
FN2＝-9kN
7kN 1 16kN 2 9kN
7kN
1
2
1
FN1
1
2
FN2
2
9kN
绘制轴力图
表示轴力与横截面位置关系的图形，称为轴力图；
x轴：横坐标表示横截面的位置; y轴：表示横截面上轴力的大小;
例题1 一等截面直杆受力如图所示，试求1-1、2-2截面上的内力。
解：（1）求横截面1-1上的轴力
7kN 1 16kN 2 9kN
FN1=7kN
1
2
47
（2）求横截面2-2上的轴力
FN2＝-9kN
A
B
C
93 FN 图（kN）
1 分段计算各段轴力；
注意事项
2 绘制一条与杆件轴线平行且相等的基线；
3 将正的轴力绘制在基线上方并标注正号；负的轴力绘制在基线下方标注负号；
4 在轴力图上补充填充线（与基线垂直）、轴力值、图名及单位。
拉压杆横截面上 的内力及内力图
目录
拉压杆横截面上的内力 绘制轴力图
拉压杆横截面上 的内力
（一）轴力的概念
与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心，称为轴力，记作 FN 。
1 截开 沿m-m 截面截开
mm
F
F
2 取代 取左半部分为研究对象
mm
3 平衡
Fx 0 FN = F
FN
截ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法
（二）轴力正负号规定
m
F
F
轴力背离所在截面时，使研究对
m
象受拉，轴力为负。
m
轴力指向所在截面时，使研究对
F
FN
m
象受压，轴力为正。
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆横截面上的正应力(工程力学课件)
• 与截面垂直的应力称为正应力，用σ表示。 • 与截面相切的应力称为剪应力，用τ表示。
应力单位：帕（Pa）、千帕（kPa）、兆帕 （MPa）、吉帕（GPa）。
➢ 2.轴向拉（压）杆横截面上的正应力 平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，
且垂直于杆轴线。
结论：轴向拉（压）杆横截面上只有正应力，且均匀分布。
第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 第四节 轴向拉（压）杆的变形计算 第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.应力的概念
应力——内力在单位面积上的分布集度。反映了内力在横截面上分布 的密集程度。
1Pa 1N / m2 1kPa 103 Pa 1Mpa 1N / mm2 106 Mpa 1Gpa 109 Pa
X 0 N BA sin 30 P 0
Y 0 N BA cos 30 N BC 0
P 15 NBA sin 30 0.5 30kN
N BC N BA cos 30 30 0.866 26kN
（2）计算各杆的应力
AB
N BA ABA
4 N BA
d 2
4 30 103 3.14 162
149.3MPa
BC
N BC ABC
26 10 2
103 10 2
2.6MPa
结论：拉杆横截面上产生的应力为均匀分布的正应力。 轴向拉（压）杆横截面上的正应力计算公式为：
N
A
N——横截面上的轴力； A——横截面面积。
σ 的符号：正号表示拉应力；Байду номын сангаас号表示压应力。
例题3 有一根钢丝绳，其截面积为0.725 cm2，受到3000N 的拉力，试求这根钢丝绳的应力是多少？
3.2轴向拉压杆横截面上的正应力
受轴向拉伸的杆件变形后横截面仍保持为平面两平面相对的位移了一段距离
第三章 轴向拉伸和压缩
第二节 轴向拉压杆横截面上的正应力
一、应力
联想：粗绳和细绳
一根筷子和一把筷子 1、概念：单位面积上的内力称为应力 2、表示：σ（读西格玛） 3、单位：Pa（帕斯卡）Mpa（兆帕） 1Pa=1N/m2 1MPa=106Pa=106N/m2=1N/mm2
试求各横截面上的应力。
解：计算轴力画轴力图 利用截面法可求得阶梯杆各段的轴力为F1=50kN,
F2=-30kN, F3=10kN, F4=-20kN。轴力图如下。
2 2 A1 400mm2 求各截面正应力：
AB段:
BC段: CD段: DE段:
小结
你学到了什么？
作业：习题3-3
谢谢聆听！
AB
F1 50 103 MPa 125MPa A1 400
BC
F2 30 103 MPa 100MPa A2 300
CD
DE
F3 10 103 MPa 33.3MPa A2 300
F4 20 103 MPa 100MPa A3 200
二、横截面上的正应力
轴向拉压杆的平面假设：
受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两 平面相对的位移了一段距离。
正应力
说明：轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分
布。
FN A
正应力与轴力有相同的正、负号，即：拉应力为正，
压应力为负。
例题讲解
例6.2一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为 A1 400mm2 , A2 300mm2 , A3 200mm2
第三章 轴向拉伸和压缩
第二节 轴向拉压杆横截面上的正应力
一、应力
联想：粗绳和细绳
一根筷子和一把筷子 1、概念：单位面积上的内力称为应力 2、表示：σ（读西格玛） 3、单位：Pa（帕斯卡）Mpa（兆帕） 1Pa=1N/m2 1MPa=106Pa=106N/m2=1N/mm2
试求各横截面上的应力。
解：计算轴力画轴力图 利用截面法可求得阶梯杆各段的轴力为F1=50kN,
F2=-30kN, F3=10kN, F4=-20kN。轴力图如下。
2 2 A1 400mm2 求各截面正应力：
AB段:
BC段: CD段: DE段:
小结
你学到了什么？
作业：习题3-3
谢谢聆听！
AB
F1 50 103 MPa 125MPa A1 400
BC
F2 30 103 MPa 100MPa A2 300
CD
DE
F3 10 103 MPa 33.3MPa A2 300
F4 20 103 MPa 100MPa A3 200
二、横截面上的正应力
轴向拉压杆的平面假设：
受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两 平面相对的位移了一段距离。
正应力
说明：轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分
布。
FN A
正应力与轴力有相同的正、负号，即：拉应力为正，
压应力为负。
例题讲解
例6.2一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为 A1 400mm2 , A2 300mm2 , A3 200mm2
第4章第1节 轴向拉伸与压缩慨念、 截面法、轴力与轴力图[10页]
![第4章第1节 轴向拉伸与压缩慨念、 截面法、轴力与轴力图[10页]](https://img.taocdn.com/s3/m/28ad8e9cdc88d0d233d4b14e852458fb770b381e.png)
作用线必通过杆的轴线，故内力FN又称之为轴力。
m
FFP P
FP
m
FP
FN
FN
FP
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轴力的正负由杆的变形确定。当轴力的方向与横 截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，其轴力为 正；反之，杆件受压缩短，其轴力为负。通常未知轴 力均按正向假设。
m
FP
FP
m
FP
FN
FN
FP
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在工程实际中，许多构件都会受到拉伸或压缩的作用。例 如，图示的起重机吊架中，BC杆受到轴向拉伸，使轴线产生伸 长变形；而AB杆则受到轴向压缩，使轴线产生缩短变形。
C
FCB C
A
B
B
FP 轴向拉压（压缩）
FAB A
B
FBC FBA
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这些杆件虽然形状不同，加载和连接方式也各异，但都可 简化成如图示的计算简图。其共同特点为：作用于直杆两端的 两个外力等值、反向，且作用线与杆的轴线重合，杆件产生 沿轴线方向的伸长（或缩短）。这种变形形式称为轴向拉伸 （或轴向压缩），这类杆件称为拉杆（或压杆）。轴向拉伸FPFP轴向压缩
FP
FP
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4.1.1 内力与用截面法求内力 构件在受外力前，其内各部分之间存在着相 互作用的内力，它维持着构件的形状和尺寸。当 构件受到外力作用时，将发生变形，构件内各部 分之间相互作用的力也将随之改变，这个因变形 而引起构件内部的附加内力，才是材料力学中所 称的内力。内力的大小及其在构件内部的分布方 式，与构件的强度、刚度和稳定性密切相关。因 此，内力分析也是材料力学的重要基础之一。
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m
FFP P
FP
m
FP
FN
FN
FP
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轴力的正负由杆的变形确定。当轴力的方向与横 截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，其轴力为 正；反之，杆件受压缩短，其轴力为负。通常未知轴 力均按正向假设。
m
FP
FP
m
FP
FN
FN
FP
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在工程实际中，许多构件都会受到拉伸或压缩的作用。例 如，图示的起重机吊架中，BC杆受到轴向拉伸，使轴线产生伸 长变形；而AB杆则受到轴向压缩，使轴线产生缩短变形。
C
FCB C
A
B
B
FP 轴向拉压（压缩）
FAB A
B
FBC FBA
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这些杆件虽然形状不同，加载和连接方式也各异，但都可 简化成如图示的计算简图。其共同特点为：作用于直杆两端的 两个外力等值、反向，且作用线与杆的轴线重合，杆件产生 沿轴线方向的伸长（或缩短）。这种变形形式称为轴向拉伸 （或轴向压缩），这类杆件称为拉杆（或压杆）。轴向拉伸FPFP轴向压缩
FP
FP
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4.1.1 内力与用截面法求内力 构件在受外力前，其内各部分之间存在着相 互作用的内力，它维持着构件的形状和尺寸。当 构件受到外力作用时，将发生变形，构件内各部 分之间相互作用的力也将随之改变，这个因变形 而引起构件内部的附加内力，才是材料力学中所 称的内力。内力的大小及其在构件内部的分布方 式，与构件的强度、刚度和稳定性密切相关。因 此，内力分析也是材料力学的重要基础之一。
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13
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-2：Do the Diagram of Axial Force
解：为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN
为方便，取横截面1－1左边为
分离体，假设轴力为拉力，得：
FN1=10 kN(拉力)
7
§5-1、 Introduction and Engineering Examples The Character of Axial Tension and Compression：
作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线 重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
杆的受力简图为 Tension
F
§5-4、Deformation of Axially Loaded Bar §5-5、Strength Condition, Allowable Stress and Safety Factor §5-6、Mechanical Behavior of Materials
§5-7、Statically Indeterminate Problem
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积 有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。 应力(stress)—内力在一点的分布集度(Density)
Δ FN lim Δ A0 Δ A
lim
Δ FQ ΔA
Δ A0
p
C
F4
F3
20
§5-3、Stress on lateral
Relationship about Internal Force and Stress
Compression
F F
F
8
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
9
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
1、轴力（Axial Force）：
m F m F FN FN F
F
2、截面法求轴力（Method of
Example 2-1
A
1 B 1 F2
2 C 2
3 D
F1 F1 F1
FN kN
ห้องสมุดไป่ตู้
F3
3
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 F4 出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
AB段
0 FN1 F1 10kN
x x
FN1 FN2
F
F2
FN3
10
工程力学——材料力学
1
工程力学——材料力学 第五章
轴向拉伸与压缩
2
第五章 轴向拉伸与压缩
§5-1、Introduction and Engineering Examples
§5-2、Axial Force and Axial Force Diagrams §5-3、Stress on lateral Section
16
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Conclusion
由上述轴力计算过程可推得：
任一截面上的轴力的数值等于对应截面一侧所 有外力的代数和，且当外力的方向使截面受拉时为 正，受压时为负。
N=Σ P
17
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Exercise ：做出下列杆件的轴力图。
F
l F + F F 2l
q
F l
F l F +
FN
18
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
轴力（Axial Force)与构 件的那些因素有关？ 截面形状？ 外力大小？ 截面尺寸？ 构件材料？
19
§5-3、Stress on lateral
Section）
切: 假想沿m-m横截面将杆 切开 留: 留下左半段或右半段 代: 将抛掉部分对留下部分 的作用用内力代替
Fx 0 FN F 0 FN F
平: 对留下部分写平衡方程 10 求出内力即轴力的值
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
A A
x
dA FNx
x
FP1
y
My
A
dAz M y
15
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-2：Do the Diagram of Axial Force
轴力图(FN图)显示了各 段杆横截面上的轴力。
FN, max FN2 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
3
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
§5-1
4
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
5
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
6
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
由于外力的作用线与 杆件的轴线重合，内力的 F 作用线也与杆件的轴线重 合。所以称为轴力。
FN FN
m F
m
F
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
0 FN F 0 FN F
F
x
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
11
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
BC段
F
0 FN 2 F2 F1
25
F4
CD段
FN 2 F1 F2 10 20 10kN Fx 0
FN 3 F4 25kN
10
x
2、绘制轴力图。
12
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
14
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-2：Do the Diagram of Axial Force
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)